LTDH TICH PHAN

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 1: DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG I. Lý thuyết: 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là S = ∫ b a dxxf |)(| 2. Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Diện tích giới hạn bởi y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là S = ∫ − b a dxxgxf |)()(| II. Các dạng toán thường gặp: Phương pháp giải: + Diện tích cần tìm là S = ∫ b a dxxf |)(| + Xét dấu f(x) trên [a; b] S = ∫ b a dxxf |)(| + Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì S = ∫ b a dxxf )( + Nếu f(x) đổi dấu trên [a; b], giả sử phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = α; x = β (α <β ) thì S = ∫∫∫ ++ b a dxxfdxxfdxxf β β α α |)(||)(||)(| Giải: + Diện tích cần tìm S = ∫ 2 0 32 |cossin| π dxxx Với mọi x ∈ [0; 2 π ] thì cosx ≥ 0, do đó S = ∫ 2 0 32 cossin π xdxx * Tính S: Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx 1 Ví dụ1 (ĐHBK HN – 2000). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sin 2 xcos 3 x; y = 0 và x = 0; x = 2 π . Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và x = a, x = b. Đổi cận 1 2 00 =⇒= =⇒= tx tx π Khi đó S = dttt )1( 2 1 0 2 − ∫ = dttt )1( 2 1 0 2 − ∫ = 1 0 53 ) 5 1 3 1 ( tt − = 15 2 (đvdt). Giải: Diện tích cần tìm S = ∫ − 2 1 dxxe x ∫∫ +−= − 2 0 0 1 dxxedxxe xx Tính A = ∫ − 0 1 dxxe x Đặt    = = ⇒    = = xx ev dxdu dxedv xu A = ∫ − − − 0 1 0 1 dxexe xx = 0 1 1 − − x e e = 1 2 − e Tính B = ∫ 2 0 dxxe x Đặt    = = ⇒    = = xx ev dxdu dxedv xu B = ∫ − 2 0 2 0 dxexe xx = 2 0 2 2 x ee − = 1 2 + e . Vậy S = - A + B = 2 2 2 +− e e (đvdt). Giải: Diện tích cần tìm là 2 Ví dụ 2 (HVBCVT HN – 2001 - 2002). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x x e ; y = 0 và x = -1; x = e. Ví dụ 3 (ĐH Huế - 1999) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi y = x x 2 ln , y = 0 và x = 1; x = e. S = ∫ e dx x x 1 2 ln Với mọi x ∈ [1; e] ⇒ lnx ≥ 0, do đó S = ∫ e dx x x 1 2 ln Tính S: Đặt      = = ⇒      = = xv x dx du dx x dv xu 2 1 ln S = .22ln 1 1 2/1 1 1 exedxxe x dx xx e ee e −=−=−=− ∫∫ − (đvdt). Giải: Diện tích cần tìm là: S = ∫ − − 2 1 2 2 dxxx Xét dấu f(x) = x 2 – 2x trên [-1; 2] f(x) = 0 khi x = 0 và x = 2. x -1 0 2 f(x) + 0 - 0 Khi đó: S = ∫∫ −−− − 2 0 2 0 1 2 )2()2( dxxxdxxx = 2 0 23 0 1 23 3 1 3 1       −−       − − xxxx = 3 8 (đvdt). Giải: Diện tích cần tìm: S = dx x x e ∫ + 1 ln1 Với mọi x ∈[1; e] ⇒ lnx ≥ 0. do đó: S = dx x x e ∫ + 1 ln1 Tính S: Đặt t = xln1 + ⇒ t 2 = 1 + lnx ⇒ 2tdt = x dx Đổi cận 2 11 =⇒= =⇒= tex tx 3 Ví dụ 4 (ĐHTN – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 – 2x; y = 0; x = -1 và x = 2. Ví dụ 5 (ĐH Huế 2000 – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x xln1 + ; y = 0 và x = 1; x = e. S = )122( 3 2 3 2 2 2 3 2 1 2 1 −== ∫ tdtt (đvdt). Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: 2 1 xx + = 0 ⇔ x = 0. Diện tích cần tính là: S = dxxxdxxx ∫∫ +=+ 1 0 2 1 0 2 11 = )122( 3 1 )1( 3 1 )1()1( 1 0 32 1 0 22/12 −=+=++ ∫ xxdx (đvdt). Phương pháp giải: + Diện tích cần tìm S = ∫ − b a dxxgxf )()( . + Xét dấu: f(x) – g(x) trên [a; b] Nếu f(x) – g(x) không đổi dấu trên [a; b] thì S = ∫ − b a dxxgxf )()( Nếu f(x) – g(x) đổi dấu trên [a; b], giả sử PT f(x) – g(x) có nghiệm x = α; x = β (α < β) thì S = ∫∫∫ −+−+− b a dxxgxfdxxgxfdxxgxf β β α α )()()()()()( Giải: Diện tích cần tìm S = ∫ ∫ +=+−+ π π 0 0 22 sinsin)cos1()sin2( dxxxdxxx = ∫ ∫ ∫ +−=+ π π π 0 0 0 2 sin)2cos1( 2 1 )sin(sin xdxdxxdxxx = 2 2 cos2sin 2 1 2 1 0 0 +=−       − π π π xxx (đvdt). Giải: Diện tích cần tìm S = ∫ − 3 6 22 cos 1 sin 1 π π dx xx 4 Ví dụ 6 (HVNH TPHCM 1999) Tính diện tích của miền giới hạn bởi (C) y = 2 1 xx + , trục Ox và x = 1. Ví dụ 1 (ĐHTCKT – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 2 + sinx và y = 1 + cos 2 x với x ∈ [0; π]. Ví dụ 2 (HVKTQS – 2000) Tính diện tích hình phẳng y = x 2 sin 1 ; y = x 2 cos 1 và x = 6 π ; x = 3 π . Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x); y = g(x); x = a và x = b. Xét dấu f(x) = xx 22 cos 1 sin 1 − với x ∈       3 ; 6 ππ Trên đoạn       3 ; 6 ππ ta có f(x) = 0 khi x = 4 π . Dấu của f(x) x π/6 π/4 π/3 f(x) + 0 - Khi đó S = ∫ ∫       −−       − 4 6 3 4 2222 cos 1 sin 1 cos 1 sin 1 π π π π dx xx dx xx = ( ) ( ) 4 3 38 tancottancot 3 4 4 6 −=−−−−− π π π π xxxx (đvdt). Giải: Xét PT: 2 x = 3 – x ⇔ 2 x + x – 3 = 0 (1) Xét hàm số f(x) = 2 x + x – 3 ta có f’(x) = 2 x ln2 + 1 > 0, ∀x ∈ R ⇒ f(x) đồng biến trên R. Mà f(1) = 0 ⇒ PT(1) có nghiệm duy nhất x = 1. Ta có diện tích cần tính S = ( ) ∫ −=         −+=−− 1 0 1 0 2 2ln 1 2 5 3 22ln 2 32 x x dxx x x (đvdt). Chú ý: Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x); y = 0 và x = a. Khi đó ta chỉ cần giải PT f(x) = 0 để tìm cận còn lại. Giải: Xét phương trình: x =x ⇔ 1 1;0 0 0 2 =⇒    == ≥ ⇔    = ≥ x xx x xx x . Vẽ hình: 5 1 Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x ; y = x; x = 4. Ví dụ 3 (HVBCVT – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 2 x ; y = 3 – x và x = 0. S = ∫∫ −+− 4 1 1 0 )()( dxxxdxxx = 4 1 32 1 0 23 3 2 2 1 2 1 3 2       −+       − xxxx = 3 (đvdt). Phương pháp: • Xét phương trình: f(x) = g(x) có nghiệm x 1 < x 2 < x 3 < …< x n . • Diện tích cần tìm là: • S = .)()( .)()()()( 1 3 2 2 1 ∫∫∫ − −++−+− n n x x x x x x dxxgxfdxxgxfdxxgxf Giải: Xét PT: (e + 1)x = (1 + e x )x ⇔ x(e x – e)= 0 ⇔ x = 0 v x = 1. Khi đó diện tích cần tìm S = ∫∫ −=+−+ 1 0 1 0 )1()1( dxxeexdxxexe xx = . 22 )( 1 0 1 0 2 1 0 I e dxxex e dxxeex xx −=−=− ∫∫ Tính I: Đặt    = = ⇒    = = xx ev dxdu dxedv xu I = 1 1 0 1 0 1 0 =−=− ∫ xxx eedxexe Vậy S = 1 2 − e (đvdt). Giải: Xét phương trình |x 2 – 4x + 3| = x + 3 ⇔    +=+− ≥+ 222 )3()34( 03 xxx x 6 Ví dụ 1 (ĐH-CĐ khối A 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (e + 1)x; y = (1 + e x )x. Ví dụ 2 (ĐHCĐ khối A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x 2 -4x+3| và y = x + 3. Bài toán 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x) và y = g(x). ⇔    +=+− ≥+ 222 )3()34( 03 xxx x ⇔    = = ⇒         = = −≥ 5 0 5 0 3 x x x x x Diện tích cần tính là S = ∫ +−+− 5 0 2 )3(34 dxxxx = ∫∫∫ −+−+−+− 5 3 2 3 1 2 1 0 2 |5||63||5| dxxxdxxxdxxx = ∫∫∫ −−−+−−−− 5 3 2 3 1 2 1 0 2 )5()63()5( dxxxdxxxdxxx = 5 3 32 3 1 23 1 0 32 3 1 2 5 6 2 3 3 1 3 1 2 5       −+       +−+       − xxxxxxx = 6 109 (đvdt). Giải: Xét phương trình: 3 4 3 4 2 2 2 2 x x x x =−⇔−=−− 9 4 4 2 x x =−⇔ ⇔ x 4 + 9x 2 – 36 = 0 ⇔ x = ± 3 . Diện tích cần tìm: S = Adxxdx x dxx x +−=−+−=−+− ∫ ∫∫ − −− 3 32 4 3 4 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 Tính A: Đặt x = 2sint, t ∈       2 ; 2 ππ ⇒ dx = 2costdt Đổi cận: 3 3 3 3 π π =⇒= −=⇒−= tx tx A = ∫ ∫ − − =− 3 3 3 3 22 cos4cos.sin442 π π π π tdttdtt = ( ) ∫ − − +=       +=+ 3 3 3/ 3/ 3 3 4 2sin 2 1 22cos12 π π π π π ttdtt . Vậy S = 3 34 + π (đvdt). Giải: 7 Ví dụ 4 (ĐHSPHN – 2000) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x 2 – 1| và y = |x| + 5. Ví dụ 3 (ĐHBK – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 2 4 x −− và x 2 + 3y = 0. Xét phương trình: |x 2 – 1| = |x| + 5 (1). Bảng xét dấu x -∞ -1 0 1 +∞ x - - 0 + + x 2 - 1 + 0 - - 0 + Nếu x < - 1: (1) trở thành: x 2 – 1 = - x + 5 ⇔ x 2 + x – 6 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = - 3 ⇒ x = - 3. Nếu – 1 ≤ x < 0: (1) trở thành: 1 – x 2 = - x + 5 ⇔ x 2 – x + 6 = 0 (vô nghiệm). Nếu 0 ≤ x < 1: (1) trở thành: 1 – x 2 = - x + 5 ⇔ x 2 – x + 4 = 0 (vô nghiệm). Nếu x ≥ 1: (1) trở thành: x 2 – 1 = x + 5 ⇔ x 2 – x – 6 = 0 ⇔ x = -2 hoặc x = 3 ⇒ x = 3. Từ đồ thị ta có: S = ( ) dxxx ∫ −−+ 3 0 2 |1|5||2 = ( ) ( ) ∫∫ ++−+++ 3 1 2 1 0 2 6242 dxxxdxxx = 3 73 (đvdt). Giải: Cách 1: Từ đồ thị ta có: S = ∫ ∫ −+ 1 0 2 1 2 )2( dxxdxx = 6 5 2 2 3 1 2 1 2 1 0 3 =         −+ x xx (đvdt). Cách 2: Có x + y – 2 = 0 ⇔ x = 2 – y. Xét phương trình:    =+− ≤ ⇔    −= =− ⇔−= 045 2 )2( 02 2 22 yy y yy y yy 8 Ví dụ 5 (ĐHCông Đoàn – 2000) tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: .0;02; ==−+= yyxyx ⇔ 1 4 1 2 =⇒         = = ≤ y y y y Diện tích cần tìm: S = ( ) ∫∫ −+=−− 1 0 1 0 2)2( dyyydyyy 6 5 2 23 2 1 0 2 3 =         −+= y y y (đvdt). Chú ý: Một số bài toán có thể coi y là ẩn số. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: x = f(y); x = g(y) và y = a và y = b là S = ∫ − b a dyygyf )()( . Giải: Có y 2 = x 3 ⇔ x = 3 2 y . y 2 = (2 – x) 3 ⇔ x = 2 - 3 2 y . Xét PT: 3 2 y = 2 - 3 2 y ⇔ 3 2 y =1 ⇔ y = ± 1. Diện tích hình phẳng cần tìm: S = ( ) 5 8 2 5 6 22)2( 1 1 3 5 1 1 3 2 1 1 3 2 3 2 =       −=−=−− − −− ∫∫ yydyydyyy (đvdt). Bài toán 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x); y = g(x); y = h(x). Giải: + Vẽ đồ thị hàm số + Xác định hình phẳng cần tính diện tích. Giải: Xét PT: x 2 = x 8 ⇔ x = 2; 8 2 x = x 8 ⇔ x = 4. 9 Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 2 = x 3 và y 2 = (2-x) 3 . Ví dụ 1 (ĐHCĐ – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 ; y = 8 2 x ; y = x 8 . Diện tích cần tìm: S = 2ln8 24 ||ln8 24 7 8 8 8 4 2 3 2 0 3 2 0 4 2 22 2 =         −+=         −+         − ∫ ∫ x xxdx x x dx x x (đvdt). Giải: Xét PT: x 2 – 2x + 2 = x 2 + 4x + 5 ⇔ 6x = -3 ⇔ x = 2 1 − . Diện tích cần tìm: S = ∫ ∫ − − − −+++−++ 2 1 2 1 2 1 22 )122()154( dxxxdxxx = ( ) ( ) 4 15 3 )1( 3 )2( 12 1 2 1 3 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 22 = + + + =+++ − − − − − − ∫ ∫ xx dxxdxx (đvdt) Giải: + Gọi d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc k: d: y = k(x - 2 5 ) + 6 + d tiếp xúc với (P) ⇔      −=       −=− xk xkxx 24 2 5 4 2 có nghiệm. Từ hệ ta có: x 2 – 5x + 4= 0 ⇔    −=⇒= =⇒= 44 21 kx kx Tiếp tuyến qua M có hệ số góc k = 2 10 Ví dụ 2 (ĐH Thủy Lợi – 2000) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 – 2x + 2; y = x 2 + 4x + 5; y = 1. Ví dụ 3 (ĐHKTQD – 2001) Tính hình phẳng giới hạn bởi (P) y = 4x – x 2 và các đường thẳng tiếp tuyến với (P) biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua M       6; 2 5 . [...]... 2 4 π 4 π 2 1 2 I = ∫ cos tdt = 16 ∫ (1 + cos 2t )dt = 16(t + sin 2t ) = 4π − 8 π 2 π π 4 12 64 16 + 2(4π − 8) = 8π + (đvdt) 3 3 ⇒ S1 = Hình tròn (C) bán kính R = 4 2 ⇒ Diện tích S = πR2 = 32π ⇒ Diện tich phần không bị gạch S2 = 32π - (8π + 16 16 ) = 24π − 3 3 Bài toán 6: Tính diện tích Elíp x2 y2 Ví dụ 1: Tính diện tích Elíp (E): 2 + 2 = 1 (a > b) a b Giải: * Ta có y2 = b b2 2 a2 − x2 (a − x 2 ) . +=−+ ππ (đvdt) Hình tròn (C) bán kính R = 24 ⇒ Diện tích S = πR 2 = 32π ⇒ Diện tich phần không bị gạch S 2 = 32π - 3 16 24) 3 16 8( −=+ ππ . Giải: * Ta có