các phương pháp tính tích phân

Chõm Tổ Toán -Trờng THPT Xuân Huy chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng Phần I :Nguyên hàm A .Các kiến thức cần nhớ : 1 .Định nghĩa : Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) Trên Khoảng (a;b) nếu mọi x thuộc (a;b) ta có : F(x) = f(x) . Nếu thay khoảng (a;b ) bằng Đoạn [a ;b] thì ta phải có thêm : F(a + ) = f(a) và F(b ) = f(b) 2 . Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì : a , Với mọi hằng số C , F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó b , Ngợc lại mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dới dạng F(x) +C với C là hằng số. Ngời ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là ( )f x dx .Do đó viết ( )f x dx = F(x) +C *Bổ đề : Nếu F(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó 3 .Các tính chất của nguyên hàm : . ( ( )f x dx ) = f(x) . ( )af x dx = a ( )f x dx (a 0) . [ ] ( ) ( )f x g x dx+ = ( )f x dx + ( )g x dx . ( )f t dt = F(t) +C [ ] , ( ) ( ) ( )f u x u x d x = [ ] ( )F u x +C = F(u) + C (u=u(x)) 4 . Bảng các nguyên hàm : Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thờng gặp Nguyên hàm của các hàm số Hợp (u=u(x)) dx = x+C du = u+C x dx = 1 x C + + ( -1) u du = 1 u C + + ( -1) dx x = ln x +C (x 0) du u = ln u +C (u=u(x) 0) x x e dx e C= + u u e du e C= + (0 1) ln x x a a dx C a a = + < (0 1) ln u u a a du C a a = + < cos sinxdx x C= + cos sinudu u C= + sin xdx cosx C= + sin cosudu u C= + 2 cos dx tgx C x = + 2 cos du tgu C u = + 2 s dx cotgx C in x = + 2 cot s dx gu C in u = + B. các cách xác định nguyên hàm : Cách 1: xác định nguyên hàm bằng định nghĩa : *Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x thuộc R ta có : 1) 1 cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a a + = + + 2) 1 sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a a + = + + 3) 1 ax b ax b e dx e C a + + = + (a 0) CM : 1, Thật vậy tacó :( 1 sin( )ax b C a + + ) , = cos(ax+b) Chứng minh tơng tự cho ý 2,và3, .Có thể coi kết quả của ví dụ 1 là các công thức bổ xung để tính nguyên hàm * Bài 2 : CMR hàm số F(x)= ln (x+ 2 x a+ ) với a>0 là một nguyên hàm của f(x)= 2 1 x a+ trên R Giải :Ta có F(x)= [ln (x+ 2 x a+ )]= 2 2 2 1 2 x x a x x a + + + + = 2 2 2 2 : 2 x a x x a + + + ( x+ 2 x a+ )= 2 1 x a+ = =f(x) * Bài 3 : Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) Biết : a , f(x) = e 2x+1 Biết F(- 1 2 )= 3 2 b, f(x) = 3 7x Biết F(8) = 2 c, f(x)= 3 2 2 3 3 7 ( 1) x x x x + + + Biết F(0) = 8 Giải : a , Ta có F(x) = 2 1x e dx + = 1 2 2 1 (2 1) x e d x + + = 1 2 e 2x+1 +C Vì F(- 1 2 )= 3 2 1 2 e 2(- 1 2 )+1 +C = 3 2 1 2 +C = 3 2 C =1 Vậy một nguyên hàm của hàm số f(x) là: F(x) = 1 2 e 2x+1 +1 ý b, c Giải tơng tự Cách 2 : Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp Ví dụ : Tìm nguyênhàm của hàm số f(x)= 2 1 3 5 x x x Ta có 2 1 3 ( 5 ) x x x dx = 2 3 5 x dx x dx dx x = ln x + 3 5 ln5 x C x + Bài tập tơng t. tìm nguyênhàm của các hàm số a, f(x)=3x 2 -4x+5 Hớng dẫn : Viết lại f(x)= 2 3 4 5x dx xdx dx + b,f(x)=(x 3 -2) 2 Hớng dẫn :Viết lại f(x)= x 6 4x+4 c,f(x)= 3 ( 1)x x + Hớng dẫn : Viết lại f(x)= 3 3 1x x x x x + + + Cách 3 :Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng nguyên hàm của hàm hợp : Ví dụ : Tìm I= sin 1 4cos x dx x+ Ta có (1 4cos )x d + = -4sin x dx sin xdx= - 1 4 (1 4cos )x d + Vậy I =- 1 (1 4cos ) 4 1 4cos d x x + + = - 1 4 ln 1 4cos x+ +C Bài tập t ơng t : Tính a, J= 7 (3x+5 ) dx Hớng dẫn : Ta có J= 1 3 7 (3 5)x + d (3x+5) b, k= 4 sin .cosx xdx Hớng dẫn : Ta có k= 4 sin . (sin )x d x c, m= 2 2 1 3 x dx x x + Hớng dẫn : Ta có m= 2 2 ( 3) 3 d x x dx x x + + d , n = 2 (2ln 1)x dx x + Hớng dẫn : Ta có n= 1 2 2 (2ln 1) (2ln 1)x d x+ + f , p = 2 1 x x e dx e + Hớng dẫn : Ta có p=2 ( 1) 1 x x d e e + + g , q = 2 2 xdx x + Hớng dẫn : Ta có q= 1 2 1 2 2 2 ( 2) ( 2)x d x + + Phần II Tích phân A . Các kiến thức cần nhớ : 1. Định nghĩa tích phân : Ta có công thức Nu tơn laipnit ( ) ( ) b a f x dx F x= b a = F(b) F(a) 2 .Các tính chất của tích phân B Các ph ơng pháp tính tích phân : 1, Phơng pháp đổi biến số : Dạng 1: Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx) bậc lẻ Ví dụ a, I= 2 5 0 sin xdx b, J = 2 3 0 cos xdx *Ph ơng pháp chung : Ta tách một sin x (hoặc cosx) ra chuyển phân mũ chẵn còn lại về cos x (hoặc sin x) nhờ công thức sin 2 x +cos 2 x =1 Giải : a, ta có I = 2 4 0 sin sinx xdx = 2 2 2 0 (1 cos ) sinx xdx Đặt t= cos x dt =- sin x dx với x= 0 t=1 với x= 2 t=0 Vậy I= - 0 2 2 1 (1 )t dt = 1 2 4 0 (1 2 )t t dt + =(t- 3 5 1 0 2 ) 3 5 t t + = 8 15 b, J = 2 3 0 cos xdx = 2 2 0 (1 sin )cosx xdx Đặt t= sin x giải tơng tự ta đợc : J= 2 3 Dạng 2 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx) bậc chẵn Ví dụ a, I= 2 2 0 sin xdx b, J = 4 2 cos xdx *Ph ơng pháp chung : Ta dùng công thức hạ bậc Giải : a, Ta có : I= 2 2 0 sin xdx = 2 0 1 cos 2 2 x dx = 2 0 1 1 ( sin 2 ) 2 2 x x = 4 b, Giải tơng tự ta có J= 3 16 Dạng 3 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa căn bậc hai có thể đa đợc về dạng f(u) du Ví dụ 1 : Tính tích phân a, I= 2 2 3 1 2 x dx x + c, 2 2 0 sin 2 4 cos x dx x (đềTN 2006) b, J= 2 2 3 0 2.x x dx+ Ph ơng pháp chung : Đặt t bằng biểu thức trong căn (hoặc bằng cả căn) Giải : a, Đặt t= x 3 +2 dt =3x 2 dx x 2 dx = 1 3 dt Với x=1 t = 3 x=2 t = 10 I= 2 2 3 1 2 x dx x + = 2 3 1 3 dt t = 2 1 2 3 1 3 t dt = 10 3 2 3 t = 2 ( 10 3) 3 b, J= 2 2 3 0 2.x x dx+ = 2 2 2 0 2.x x xdx+ Đặt t= x 2 +2 x 2 = t-2 dt =2xdx xdx = 1 2 dt Với x=0 t = 2 Với x= 2 t = 4 Vậy J= 4 2 1 ( 2) 2 t t dt Tính toán ta có J = 8(2 2) 15 + c, K= 2 2 0 sin 2 4 cos x dx x HD : Viết K= 2 2 2 0 (4 cos ) 4 cos d x dx x Dạng 4 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa căn bậc hai mà biểu thức trong căn là 1- x 2 hoặc a 2 -x 2 (a>0) Ph ơng pháp chung : Đặt x= sin t hoặc x= a sin t (Với t ; 2 2 ) Ví dụ : Tính I = 2 2 2 2 0 1 x dx x Đặt x= sin t dx = cos t dt Với x=0 t = 0 Với x= 2 2 t = 4 Ta có 2 2 1 x dx x = 2 2 sin .cos 1 sin t tdt t = 2 sin .cos cos t tdt t = 2 sin .cos cos t tdt t =sin 2 t Vậy I= 4 2 0 sin tdt = 1 2 4 0 (1 cos2 )t dt = 4 0 1 1 ( sin 2 ) 2 2 t t = 1 8 4 áp dụng phơng pháp trên ta có thể giải đợc các tích phân sau : a, 1 2 0 1x x dx b , 1 2 2 0 1x x dx Dạng 5 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức có mẫu chứa biểu thức a 2 +x 2 hoặc căn của a 2 +x 2 (a>0) Ph ơng pháp chung : Đặt x= a tg t (Với t ; 2 2 ữ ) Ví dụ : Tính tích phân: I= 2 2 0 4 dx x+ Giải : Đặt x= 2 tg t Với t ; 2 2 ữ Đổi cận : x= 0 t = 0 x=2 t = 4 Vậy ta Đặt x= 2 tg t Với t 0; 4 I= 4 2 2 0 2 cos (4 4 ) dt t tg t + = 4 0 1 2 dt = 4 0 1 2 t = 8 Dạng 6 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức hữu tỷ có bậc của tử bằng hoặc cao hơn bậc của mẫu *Ph ơng pháp chung : Ta phân tích nó bằng cách chia tử cho mẫu Ví dụ : Tính các tích phân sau : a, I= 3 2 0 4 5 1 x x dx x + b, J= 2 3 2 1 4 1 2 1 x x dx x + + Giải : a, I= 3 2 0 4 5 1 x x dx x + = 3 0 2 ( 3 ) 1 x dx x + = 2 3 0 ( 3 2ln 1) 2 x x x + = 4ln 2 9 2 b, J= 2 3 2 1 4 1 2 1 x x dx x + + Giải tơng tự Dạng 7 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức hữu tỷ có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu mà mẫu có nghiệm *Ph ơng pháp chung : Ta phân tích mẫu thức Thành tích các nhân tử bậc nhất rồi đồng nhất hóa tử thức Ví dụ : Tính I= 5 2 0 1 3 2 dx x x + = 5 0 1 ( 1)( 2) dx x x + Ta có 2 1 3 2x x + = 1 ( 1)( 2)x x Ta tìm A và B sao cho 1 ( 1)( 2)x x = ( 2) A x + ( 1) B x 2 ( 1)( 2) Ax A Bx B x x + = = ( ) 2 ( 1)( 2) A B x A B x x + Đồng hóa tử thức ta có hệ { 0 2 1 A B A B + = = { 1 1 A B = = Vậy 1 ( 1)( 2)x x = 1 ( 2)x - 1 ( 1)x I= 5 0 1 ( 1)( 2) dx x x + = 5 0 1 1 ( ) ( 2) 1 dx x x = 5 0 (ln 2 ln 1)x x = ln 3 4 -ln2 =ln 3 8 Bài tập tơng tự :Tính tích phân : a, 6 2 4 5 6 x dx x x + b, 4 2 2 4 6 5 x dx x x+ + Dạng 8 : Nếu hàm số trong dấu tích phân có dạng tích của hai hàm số lợng giác *Ph ơng pháp chung : Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng Ví dụ : Tính tích phân I= 6 0 sin 6 sin 2x xdx Giải : Ta có: I= 6 0 sin 6 sin 2x xdx = 1 2 6 0 (cos4 cos8 )x x dx = 1 2 ( 1 4 sin4x- 1 8 sin8x) 6 0 = 3 3 32 Bài tập tơng tự :Tính tích phân : a, 3 0 cos3 .cos7x xdx = b, 2 0 sin 5 .cos7x xdx 2 .Ph ơng pháp tính tích phân từng phần Dạng 1 : Biểu thức trong dấu tích phân có dạng P(x)lnxdx *Ph ơng pháp chung : Đặt { ln ( ) u x dv P x dx = = VD:Tính a, I= 5 2 2 ln( 1)x x dx b, J= 3 1 4 lnx xdx Giải: a, I= 5 2 2 ln( 1)x x dx Đặt { 2 ln( 1)u x dv x dx = = 3 1 3 dx du x x v = = Vậy 5 2 2 ln( 1)x x dx = 3 5 2 ln( 1) 3 x x - 5 3 2 1 3 1 x dx x = 125 8 ln 4 ln1 3 3 5 2 2 1 1 ( 1 ) 3 1 x x dx x + + + = 3 2 5 2 125 1 ln 4 ( ln 1) 3 3 3 2 x x x x + + + = 1 (248ln 4 105) 6 b,J= 3 1 4 lnx xdx . Giải tơng tự ta có J=18ln3-8 Dạng2 : Biểu thức trong dấu tích phân là tích của 1 đa thức với sinx hoặc cosx dạng ( ) b a P x sinxdx hoặc ( )cos b a P x xdx *Ph ơng pháp chung : Đặt { ( ) sin u P x dv xdx = = VD:Tính a,I= 2 0 cosx xdx b, J= 2 2 0 sx inxdx Giải a,Đặt { cos u x dv xdx = = { sin du dx v x = = Vậy I= xsinx 2 0 - 2 0 sin xdx = xsinx 2 0 + cosx 2 0 =(xsinx+cosx) 2 0 = 0 1 2 + = 1 2 b, J= 2 2 0 sx inxdx . Giải tơng tự J= 2 Dạng 3 : Biểu thức trong dấu tích phân có dạng x x e dx *Ph ơng pháp chung : Đặt { x u x dv e dx = = VD: a,I= 1 0 x xe dx b, J= 1 0 sin x xe dx Giải: a, Đặt { x u x dv e dx = = { x du dx v e = = Vậy I= 1 0 x xe - 1 0 x e dx = (xe x -e x ) 1 0 = e x (x-1) 1 0 = e(1-1)-e 0 (0-1) = 1 b, J= 1 0 sin x xe dx . Giải tơng tự J= 2 1 ( 1) 2 e + Phn: IIIMT S NG DNG CA TCH PHN I - BI TON 1: Tớnh din tớch hỡnh phng Dng 1: Hỡnh phng gii hn bi 4 ng: y = f(x), y = g(x), x = a, x = b Din tớch b a S = f(x) - g(x) dx c bit nu g(x)= 0 thỡ b a S = f(x) dx tớnh S ta phi phỏ f(x) - g(x) bng cỏch: - GPT f(x) = g(x) nu trờn [a;b] PT f(x) = g(x) cú nghim , ( )thỡ b a S = f(x) - g(x) dx = a f(x) - g(x) dx + f(x) - g(x) dx + b f(x) - g(x) dx = a [ f(x) - g(x) ] dx + [f(x) - g(x) ] dx + b [ f(x) - g(x) ] dx Vớ d: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn bi cỏc ng sau: a) y = sinx, y = 0, x = 0, x = 3 b) y = x 2 , y = x, x = -1, x = 2 H ng dn gii: a) 3 0 S π = ∫ sinx dx = 3 0 π ∫ sinx dx (vì trên [0; 3 π ] sinx ≥ 0 ) KQ: S= 1 2 (đvdt) b) GPT 2 0 1 x x x x =  = ⇔  =  S =  0 1− ∫ (x 2 - x ) dx +  1 0 ∫ (x 2 - x ) dx +  2 1 ∫ ( x 2 - x) dx KQ: S= 19 6 (đvdt) Bài tập tương tự: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 1) y = 5x 4 +3x 2 +1, y = 0, x = 0, x = -1 2) y = x 2 -4x, y = -x-2, x = 0, x = 2 3) y = cosx, y = 0, x = 2 π , x = π Dạng 2: Hình phẳng giới hạn bởi 2 đường y = f(x) và y = g(x) hoặc hình phẳng giới hạn bởi 3 đường y = f(x) , y = g(x) và x = a Dạng này khuyết cận,giáo viên cần hướng dẫn học sinh xác định cận bằng cách GPT f(x) = g(x) Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) y = x 3 - 3x 2 ; y = 2x b) y = 1; x = y 3 ; x = 8 Hướng dẫn giải: a) Xét PT x 3 -3x 2 = -2x 0 1 2 x x x =   ⇔ =   =  S=  1 0 ∫ (x 3 - 3x 2 +2x) dx +  2 1 ∫ (x 3 - 3x 2 +2x) dx  KQ S= 1 2 (đvdt) b) Ta có x =y 3 ⇔ 3 y x = GPT 3 1x = ⇔ x = 1 V ậy S= 8 1 ∫  3 1x − dx = 8 1 ∫ ( 3 1x − )dx KQ S = 17 4 (đvdt) Bài tập Tương tự: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) y = 4 2 3 2 2 x x− − , y = 0 2) y = x 2 - 2x+4, x - y + 4 = 0 3) y = 2 1 x e − , y = x e − , x = 1 4) y = lnx, y = 1, x = 1 Dạng 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x), y = g(x), y = h(x) Trong trường hợp này ta phải phác hoạ hình vẽ, giải các phương trình: f(x) = g(x), g(x) = h(x), f(x) = h(x) để chia khoảng,xác định cận của tích phân Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 2 1 2 2 2 x x− + , y = 3 2 x− + , y = 2x - 6 Ta GPT: 2 1 2 2 2 x x− + = 3 2 x− + ⇔ x = 1 3 2 x− + = 2x - 6 ⇔ x = 5 2 2 1 2 2 2 x x− + = 2x - 6 ⇔ x = 4 S= 5 4 2 2 2 5 1 2 1 3 1 ( 2 2 ) ( 2 2 2 6) 2 2 2 x x x dx x x x dx − + + − + − + − + ∫ ∫ KQ: S = 9 8 (đvdt) 0 2 4 y=2x-6 y= 3 2 x− + y= 2 1 2 2 2 x x− + 3 2 y x [...]...Bài tâp tương tự: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) y = x, y = 0 , y = 4 - x 2) y = x2 + 3x + 2 và 2 tiếp tuyến của (P) tại giao điểm của nó với trục hoành BÀI TOÁN 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay Dạng 1: Giả sử vật thể tròn xoay sinh ra bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b khi quay xung quanh b ∫ V = π y dx trục 0x 2 a Ví dụ: Tính diện tích vật thể tròn xoay sinh... y = 0, x = 0, x = 1 2) y = 5x-x2, y = 0 3) y = 2x2, y = x3 Dạng 2: Vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = g(y), x = 0, y = a, y = b khi nó quay xung quanh trục 0y b V= π ∫ x 2 dy a V í d ụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: y2 = x3, y = 0, x = 0 khi nó quay xung quanh trục 0y Hướng dẫn giải: Từ y2 = x3 x = 3 Giải PT: y2 = 0 ⇔... Giả sử vật thể tròn xoay sinh ra bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b khi quay xung quanh b ∫ V = π y dx trục 0x 2 a Ví dụ: Tính diện tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay xung quanh trục 0x 4 x 1) y = , y= 0, x = 1, x = 4 2) y = -3x2+3x+6, y = 0 3) y2= 4x, y = x Hướng dẫn giải: 2 4 4 dx 4 1) V = π ∫  ÷ dx = 16π ∫ 2 x x 1 1 KQ: s = 12π (đvtt) . F(a) 2 .Các tính chất của tích phân B Các ph ơng pháp tính tích phân : 1, Phơng pháp đổi biến số : Dạng 1: Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx). tích phân là phân thức hữu tỷ có bậc của tử bằng hoặc cao hơn bậc của mẫu *Ph ơng pháp chung : Ta phân tích nó bằng cách chia tử cho mẫu Ví dụ : Tính các