Skkn kết hợp hai phương pháp tìm nguyên hàm để tạo ra bài toán nguyên hàm mới

KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỂ TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI A.. ĐẶT VẤN ĐỀ Nguyên hàm và tích phân là một nội dung cơ bản, luôn được đưa vào giảng dạy trong chương trình toá

KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

ĐỂ TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Nguyên hàm và tích phân là một nội dung cơ bản, luôn được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán phổ thông Và nguyên hàm và tích phân lại thường xuyên có mặt trong các đề thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học

Trong quá trình giảng dạy phần nguyên hàm và tích phân, giáo viên thường lấy bài toán có sẵn mà ít khi tự mình tạo ra các bài toán mới Do đó bài tập được đưa ra có thể không phong phú về thể loại Đặc biệt trong việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh nếu giáo viên chỉ dựa vào các bài toán

có sẵn thì việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh sẽ thiếu tính khách quan

và chính xác

Ngoài ra tôi nhận thấy sách giáo khoa nói về vấn đề này còn ít, còn nhiều hạn chế Chưa thực sự giúp cho giáo viên và học sinh định hướng được về vấn đề này trong quá trình dạy và học của mình

Chính vì những lí do trên mà tôi viết đề tài này với mục đích giúp học sinh lớp 12 và học sinh luyện thi cao đẳng, đại học có nhiều bài tập tham khảo về dạng toán này để ôn luyện tốt hơn Qua đó học sinh có định hướng tốt trong quá trình làm các bài toán về dạng này Đồng thời giúp giáo viên tự mình tạo được những đề toán phục vụ cho việc dạy học, kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh của mình

Trong quá trình viết đề tài có thể không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô để đề tài này của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

B NỘI DUNG

I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Định nghĩa nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số

( )

yf x xác định trên K Ta nói:

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu

/( ) ( ),

F x f x  x K

1.2 Định lí

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì với mỗi

hằng số C, hàm số G(x)= F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số

( )

f x trên K.

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K đều có dạng F(x) +C , với C là một hằng số

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì

F(x) +C ,C  là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K.

Kí hiệu:f x dx F x( )  ( )C

1.3 Tính chất của nguyên hàm

+ f/( )x dx f x( )C

+ kf x dx( ) k f x dx k ( ) ( 0)

+   f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )

+ f x dx( ) F x( )C f u du( ) F u( )C (u=u(x)).

1.4 Sự tồn tại nguyên hàm

Mọi hàm số y f x( ) liên tục trên K đều có một nguyên hàm trên K.

1.5 BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp

(dưới đây u=u(x)=ax+b)

dx x C 



1

1

x















2

 

 

 

 



dx 2 x C

x

kdx kx C k ( 0)















1

1

ax b

a

2

(ax b) dx a ax b( ) C





 dx 12 ax b C

a

ax b

cos xdx s inx C  



s inxdx  cos x C 



2

1

tan cos x dx x C



2

1

cot sin x dx x C



1 cos(ax b dx) sin(ax b) C

a



1 sin(ax b dx) cos(ax b) C

a







 2

1

dx





 2

1 cot( ) sin ( )

dx

dx



ln

x

a



(ax b) 1 (ax b)

e dx e C

a



ln

bx c







dx ln x C(x 0)

x

1 ln

dx



1.6 Phương pháp đổi biến số

Nếu f u du F u( )  ( )Cvà u u x ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục

trên K thì f u x u x dx F u x( ( )) ( )/  ( ( ))C

Từ đó ta có hệ quả f ax b dx( ) 1F ax b( ) C

a

1.7 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu u u x ( )và v v x ( ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v x dx u x v x  v x u x dx

II KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

ĐỂ TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI

2.1 Cách giải quyết vấn đề

a Cách 1

- Bước 1: Thiết lập hai bài toán nguyên hàm theo hai phương pháp đổi biến

và từng phần

- Bước 2: Cộng hoặc trừ hai bài nguyên hàm trên và biến đổi(nếu có thể)

để có được bài toán nguyên hàm mới Ở bước này ta không có hai phép toán nhân và chia vì nguyên hàm không có hai tính chất về hai phép toán nhân và chia

b Cách 2

- Bước 1: Thiết lập một bài toán nguyên hàm theo phương pháp từng phần.

- Bước 2: Thay biến x trong bài toán ở bước một bởi biến f(x) (là một hàm

số thích hợp) Đồng thời nhân với f x/ ( ) vào bài toán ở bước một ta có bài toán nguyên hàm mới

c Cách 3

- Bước 1: Thiết lập hai lượng u u x ( )và dv v x dx /( ) sao cho thỏa mãn hai ý:

+ Hàm số v v x ( ) tìm được bằng phương pháp đổi biến

+ Nguyên hàm v x u x dx( ) ( )/ tìm được.

- Bước 2: Với hai lượng thiết lập được ta lập được bài toán nguyên hàm

mới

Nhận xét: Ba cách tạo ra bài toán nguyên hàm mới trên được đưa ra với

mức độ thực hiện từ dễ đến khó Nên các bài toán tạo ra cũng với mức độ

từ dễ đến khó Sau đây ta sẽ lần lượt tạo ra các bài toán nguyên hàm bằng

ba cách trên

2.2 Các ví dụ

a Cách 1

*Ví dụ 1

- Bước 1: Ta có hai bài toán nguyên hàm sau:

Bài toán x2 x31dx theo phương pháp đổi biến (Đặt t x3  ).1 Bài toán xsinxdx theo phương pháp từng phần

- Bước 2: Cộng hai bài toán nguyên hàm trên và đặt x làm thừa số chung ta

có bài toán mới sau:

Bài toán 1: Tìm nguyên hàm xsinx x x 31dx

*Ví dụ 2

- Bước 1: Ta có hai bài toán nguyên hàm sau:

Bài toán 3ln x dx

x

 theo phương pháp đổi biến (Đặt t lnx)

Bài toán 2 ln x xdx theo phương pháp từng phần

- Bước 2: Trừ hai bài nguyên hàm trên và đặt lnx làm thừa số chung ta có

bài toán mới sau:

Bài toán 2: ĐH khối B – 2010 Tìm nguyên hàm 2x 3 lnxdx

x



*Ví dụ 3

- Bước 1: Ta có hai bài toán nguyên hàm sau:

Bài toán

1

x x

e dx

e 

 theo phương pháp đổi biến (Đặt t e x 1)

Bài toán xe dx x theo phương pháp từng phần

- Bước 2: Trừ hai bài nguyên hàm trên và quy đồng ta có bài toán mới sau:

Bài toán 3: Tìm nguyên hàm

2 ( 1)

1

x

dx e

 



b Cách 2

*Ví dụ 4

- Bước 1: Ta có bài toán 2

cos

x dx x

 theo phương pháp từng phần.

- Bước 2: Thay biến x trong bài toán ở bước một bởi biến ( ) f x  x Đồng

thời nhân với /( ) 1

2

f x

x

 vào bài toán ở bước một ta có bài toán mới sau:

Bài toán 4: Tìm nguyên hàm 12

2cos x dx

Hướng giải

Ta dùng phương pháp đổi biến bằng cách đặt t x  t2  x 2tdt dx

cos 2cos

t

t

Ta dùng phương pháp từng phần bằng cách đặt

2

1

tan cos

t

















cos 2cos

t

t

 x tan x  ln cos x C

*Ví dụ 5

- Bước 1: Ta có bài toán 2 e x dx x theo phương pháp từng phần

- Bước 2: Thay biến x trong bài toán ở bước một bởi biến f x( ) sin x Đồng thời nhân với f x/( ) cos x vào bài toán ở bước một ta có bài toán nguyên hàm mới sau:

Bài toán 5: Tìm nguyên hàm sin2xe dxsinx

Hướng giải

Ta dùng phương pháp đổi biến bằng cách đặt tsinx  dt cosxdx Khi đó sin2xe dxsinx 2te dt t

Ta dùng phương pháp từng phần bằng cách đặt u 2t t du t2dt

dv e dt v e



Suy ra sin2xe dxsinx 2te dt t 2te t  2e t C2esinx(sinx 1)C

*Ví dụ 6

- Bước 1: Từ đề ĐH khối B – 2009 ta có bài toán 3 ln 2

( 1)

x dx x





pháp từng phần

- Bước 2: Thay biến x trong bài toán ở bước một bởi biến f x( )x2 Đồng

thời nhân với

/( ) 2

f x

x

 vào bài toán ở bước một ta có bài toán mới sau:

Bài toán 6: Tìm nguyên hàm

2

2 2

(3 ln ) ( 1)

dx x





Hướng giải

Ta dùng phương pháp đổi biến bằng cách đặt t x 2  dt2xdx

Khi đó

2

(3 ln ) 1 (3 ln )



bằng cách đặt

2

1

3 ln 1

1 ( 1)

1

t

v t

t



 







Suy ra

2

2 2

c Cách 3

*Ví dụ 7

- Bước 1: Chọn u x  1 và /( ) sin2

cos

x

x

  Khi đó ta tìm v bằng

phương pháp đổi biến như sau: sin2

cos

x

x

 Đặt tcosx dt sinxdx Suy ra

- Bước 2: Với hai lượng chọn được ta lập được bài toán mới sau:

Bài toán 7: Tìm nguyên hàm ( 1)sin2

cos

dx x



Hướng giải

Đặt

2

1

x



(với sin2

cos

x

x

 tìm ở trên)

x

  bằng cách đặt t sinx dt cosxdx

Vậy ( 1)sin2 1 1ln 1 sin



Nhận xét:

Qua lời giải bài toán trên ta thấy bài toán dành cho học sinh khá giỏi

và phù hợp với ôn thi

Nếu ta biến đổi cos2 1 cos2

2

x

x   ta được bài toán khó hơn sau

Bài toán 7’: Tìm nguyên hàm ( 1)sin

1 cos2

dx x





*Ví dụ 8

- Bước 1: Chọn u2x và /( ) 1 cot2

sin

x

x



  Khi đó ta tìm v bằng

phương pháp đổi biến như sau: 1 cot2

sin

x

x





sin

x

2

x



- Bước 2: Với hai lượng chọn được ta lập được bài toán mới sau:

Bài toán 8: Tìm nguyên hàm 2 (1 cot )2

sin

dx x



Hướng giải

2

2 2

cot

du dx

x









(với 1 cot2

sin

x

x



 tìm ở trên)

Khi đó 2 (1 cot )2 cot2 2 cot (cot2 2cot )

sin

x



x(cotx 1)2 cotx2ln sinx C

Nhận xét: Nếu ta biến đổi sin2 1 cos2

2

x

x   ta được bài toán khó hơn sau:

Bài toán 8’: Tìm nguyên hàm 4 (1 cot )

1 cos2

dx x





*Ví dụ 9

- Bước 1: Chọn ulnx và /( ) 2 2

( 1)

x

x

 Khi đó ta tìm v

bằng phương pháp đổi biến như sau: 2 2

( 1)

x

x







Đặt 2 1

2

dt

t x   xdx Suy ra

- Bước 2: Với hai lượng chọn được ta lập được bài toán mới sau:

Bài toán 9: Tìm nguyên hàm 2ln 2

( 1)

x x

dx

x 

Hướng giải

Đặt

2 2

2

1 ln

( 1)

x x

v x

x











( 1)

x

x





 tìm ở trên)

x x

2

x

*Ví dụ 10

- Bước 1: Chọn u x 2 2x và

1 /( )

1

x

e

x



 Khi đó ta tìm v

bằng phương pháp đổi biến như sau:

1

1

x

e

x









Đặt 1 2 1

1

x

 Suy ra 1

1

1

x

t t x

e

x







- Bước 2: Với hai lượng chọn được ta lập được bài toán mới sau:

Bài toán 10: Tìm nguyên hàm

1

x

x x e

dx x







Hướng giải

Đặt

2

1

1

2 1

x

x

e

x

















(với

1

1

x

e

x







 tìm ở trên).

Khi đó

1

x

x x e

x







Ta tìm (x 1)e x1dx



 bằng cách đặt t x 1 2tdt dx

(x 1)e x dx 2t e dt t

    Đến đây ta tiếp tục dùng phương pháp từng phần ba lần liên tiếp ta sẽ tìm được nguyên hàm

*Ví dụ 11

- Bước 1: Chọn uln(cos )x và dv v x dx /( ) tanxdx Khi đó ta tìm v

bằng phương pháp đổi biến như sau: vtanxdx

Đặt tcosx dt sinxdx Suy ra

ln ln(cos )

dt

t

- Bước 2: Với hai lượng chọn được ta lập được bài toán mới sau:

Bài toán 11: Tìm nguyên hàm tan ln(cos ) x x dx

Hướng giải

Đặt ln(cos ) tan



  (với v tanxdx tìm ở trên).

Khi đó tan ln(cos )x x dx ln (cos )2 x  tan ln(cos )x x dx

2 1 tan ln(cos ) ln (cos )

2

III CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bằng cách thêm cận thích hợp vào những bài toán nguyên hàm đã tạo ra ở trên ta được các bài toán tích phân Sau đây là một số bài tập được tạo nên từ hướng đã nêu trên:

*Bài 1: Tốt nghiệp 2004 – 2005 Tính tích phân 2 2

0 (x sin )cosx xdx





*Bài 2: ĐH Khối A – 2010 Tính tích phân

0

2

1 2

x x x

dx e



*Bài 3: Tính tích phân

4

2 1

ln x dx x

*Bài 4: ĐH Khối B – 2011 Tính tích phân 3

2 0

1 sin cos

x x

dx x





*Bài 5: Tính tích phân

3

3

4

cos sin

x x

dx x





*Bài 6: Tính tích phân

3

2 0

4 ln 4

x

x

  

  





2 2

4 cos

s in2 (1 cos2 ) ln

4 cos

x

x

*Bài 7: Tính tích phân

3

6

4 (1 cot )

1 cos2

dx x









*Bài 8: Tính tích phân

2

6 cot ln(sin )x x dx





4 s in2 cos2  s in2

2 2

C KẾT LUẬN

Như vậy với cách giải quyết đã nêu trên, chúng ta đã tạo ra được nhiều bài toán tìm nguyên hàm và tích phân mới Bằng cách làm tương tự giáo viên có thể tạo ra nhiều bài toán nguyên hàm và tích phân mới để cung cấp bài tập cho học sinh luyện tập Đồng thời có thể dùng vào việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh

Trong quá trình dạy học, tôi đã đưa những bài tập đã tạo ra ở trên vào dạy ở Chương III giải tích 12 và định hướng cho các em làm các bài tập này Đồng thời khi kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh lớp 12 về Chương III giải tích 12, tôi cũng dùng các bài tập tự mình tạo ra ở trên Tôi nhận thấy việc kiểm tra, đánh giá trình độ học sinh của mình khách quan và chính xác hơn Còn với các em học sinh thì nắm vững kiến thức hơn và biết cách vận dụng kiến thức đã học để giải các bài tập dạng này Qua đó các

em cũng được ôn luyện một phần kiến thức cho hai kì thi tốt nghiệp và cao đẳng, đại học

Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ quý thầy, cô và bạn đọc để đề tài này được hoàn thiện hơn nhằm mục đích phục vụ tốt hơn cho việc dạy và học

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Chư Sê, ngày 20 tháng 02 năm 2013

Người viết: Võ Ngọc Minh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Liên

Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục,

2008

2) Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Liên Hương, Nguyễn Thu Nga, Phạm

Thu, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, Bài tập giải tích 12, NXB Giáo

dục, 2008

3) Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Trần

Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, 2008.

4) Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Đoàn Quỳnh, Trần Phương Dung,

Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đặng Hùng Thắng, Bài tập giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, 2008.

5) ThS Lê Hồng Đức (Chủ biên), NGƯT Đào Thiện Khải, Lê Bích

Ngọc, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân và ứng dụng, NXB Đại học sư phạm, 2006.

6) Đề thi tuyển sinh Đại học từ năm 2002 đến năm 2012 của Bộ giáo dục

và đào tạo

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ……… 1

B NỘI DUNG 2

I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ………2

1.1 Định nghĩa nguyên hàm … ……… 2

1.2 Định lí ……… 2

1.3 Tính chất của nguyên hàm ……… ……….2

1.4 Sự tồn tại nguyên hàm ……… ………… 2

1.5 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.……… 3

1.6 Phương pháp đổi biến số.……… ……… 3

1.7 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần………… …… … 3

II KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ĐỂ TẠO RA BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM MỚI……… ………….4

2.1 Cách giải quyết vấn đề……… ……… 4

a Cách 1……… ……… 4

b Cách 2……… ……… 4

c Cách 3……… ……… 4

2.2 Các ví dụ……….……… ……… 5

a Cách 1……… ……… 5

b Cách 2……… ……… 6

c Cách 3……… ……… 8

III CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ………12

C KẾT LUẬN………13

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 14