PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Bài giảng đang được hoàn thiện mong các bạn thông cảm và góp ý theo địa chỉ Loinguyen1310@gmail.com SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phép biến đổi đại số Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp Trường hợp thường gặp dx x C    1 1 x x dx C         ln dx x C x    2 1dx C x x       Cedxe xx   C a a dxa x x ln   Cxdxx sin.cos   Cxdxx cos.sin 2 2 1 (1 tan ). tan cos dx x dx x C x         2 2 1 1 cot cot sin dx x dx x C x           Cedxe xx 0 dx C     Cudu 1 1 u u du C           Culn u du 2 du 1 C u u       Cedue uu   C aln a dua u u   Cusinuducos   Cucosudusin 2 cos du tgu C u    2 cot sin du gu C u     x 1 n n nx xdx C n         1 1 1 ax b ax b dx C a              Cbax a dx bax ln 1 )( 1    Ce a dxe baxbax )()( 1 1 ln mx n mx n a a dx C m a      1 cos( ) sin( ) ax b dx ax b C a      1 sin( ) cos( ) ax b dx ax b C a           2 1 tan cos dx ax b C a ax b          2 1 cot sin dx ax b C a ax b       TQ:  1 f(ax + b)dx = F(ax + b)+ C a Mở rộng: 10. ln sin 2 dx x tg x   +C 11. ln ( cos 2 4 dx x tg x     +C 14. 2 2 1 ln 2 dx x a x a a x a      +C 15. 2 2 2 2 ln dx x x a x a      +C 16.   Caxx a ax x dxax 22 2 2222 ln 2 2 17. 2 2 arcsin dx x C a a x     10. ln sin 2 du u tg u   +C 11. ln ( cos 2 4 du u tg u     +C 14. 2 2 1 ln 2 du u a u a a u a      +C 15. 2 2 2 2 ln du u u a u a      +C 16. 2 2 2 2 2 u u a du u a      2 2 2 ln 2 a u u a    +C 17. 2 2 arcsin du u C a a u     Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 2 18. 2 2 1dx x arctg C a x a a     19. 2 2 2 2 2 arcsin 2 2 x a x a x dx a x C a       18. 2 2 1du u arctg C a u a a     19. 2 2 2 2 2 arcsin 2 2 u a u a u du a u C a       Chứng minh một số công thức cơ bản : 10. ln sin 2 dx x tg x   +C 11. ln tan cos 2 4 dx x x           +C Chứng minh : 10. Ta có : 2 2 sin cos sin cos 1 1 2 2 2 2 sin 2sin cos 2sin cos 2cos 2sin 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x      sin cos (cos ) (sin ) 1 1 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 ln cos ln sin ln 2 2 2 x x x x d d I dx dx x x x x x x x C tg C                 11. Ta có: cosx = sin(x+ 2  ) = 2sin( )cos( ) 2 4 2 4 x x      kết quả 14. 2 2 1 ln 2 dx x a x a a x a      +C Ta có : 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( )( ) 2 ( )( ) 2 x a x a x a x a x a a x a x a a x a x a                          Do đó : 1 ( ) ( ) 1 ln 2 2 d x a d x a x a I C a x a x a a x a                   15. 2 2 2 2 ln dx x x a x a      +C Ta đặt : 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) ln ln x x x a t x x a dt dx dx x a x a x a dx dt dt dx dt I t C x x a C t t t x a                                   16. 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 x a x a dx x a x x a        +C Ta đặt: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) xdx du u x a x a dv dx v x x dx x a a dx I x x a x x a x a x a                              Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln ln 2 2 dx x x a x a dx a x a x x a I a x x a x a I x a x x a C                      Ví dụ 1: (SGK – ban cơ bản T 101 và 102) Tìm các nguyên hàm: d.    Ce 2 1 dxeI 2x32x3 XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số:         01 0 )( 2 khixxx khixe xF x là một nguyên hàm của hàm số:       012 0 )( khixx khixe xf x trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trường hợp sau: - Với x  0, ta có:       012 0 )(' khixx khixe xF x - Với x = 0, ta có: 1lim 0 )0()( lim)0(' 1 1 lim 0 )0()( lim)0(' 0 00 02 00                   x ee x FxF F x exx x FxF F x xx xx Nhận xét rằng:       ’ 0 ’ 0 1 ’ 0 1 F F F       , có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0. Tóm lại: )( 012 0 )(' xf khixx khixe xF x        Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ? a.   1 ln log n x x a F x x x cosx + sinx+tanx + cotx+e a x x x        . b.   ln tan 2 x F x  c.   ln tan 2 4 x F x          d.   2 ln ( ) F x x x a a R     e.     2 2 1 .ln 2 F x x x a a x x a C       . Giải: a.     1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ’ sin cos .ln .ln cos sin 2 n x x F x f x nx x x e a a x x a x x x x              . Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 4 b.     2 2 ' 2 x tan ' os 1 1 2 2 ’ x sinx tan tan 2cos tan 2 2 2 2 x x c F x f x x x x                  Nhận xét: 1 ln tan sin 2 x dx C x    c.     x t an ' 2 4 1 1 ’ x osx t an sin x+ 2 4 2 F x f x c                                  Nhận xét: 1 ln tan s x 2 4 x dx C co            d.       / 2 2 2 2 2 1 1 ’ x x x a x a F x f x x x a x x a x a              Nhận xét: 2 2 1 ln dx x x a C x a       e.     2 2 2 2 2 1 ’ 2 x x a F x f x x a x a x a a                  Nhận xét:   2 2 2 1 .ln 2 x adx x x a a x x a C         Bài tập áp dụng. Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số ( ) ln x F x x  từ đó suy ra nguyên hàm: I = 2 1 1 ( ) ln ln dx x x   Bài 2: Cho hàm số ( ) 3 f x x x   . Xác định a, b, c để     2 3 F x ax bx c x     là nguyên hàm của f(x). Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của: 2 1 (1 2 3 ) n I x x nx dx        biết   0 0 F  . Bài 4: Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số     sin 1 sin f x x x   biết rằng 1 4 F          Bài 5: Tính đạo hàm của F(x) = 2 ln 1 x x C    từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số: 2 1 ( ) 1 f x x   Bài 6: Chứng minh rằng a. ( ) ln 2 x F x tg C   là nguyên hàm của hàm số: 1 ( ) ( ) sin f x x k x    b. ( ) ln ( ) 2 4 x F x tg C     là nguyên hàm của hàm số: 1 ( ) ( ) cos 2 f x x k x      Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 5 c. 2 2 1 ( ) [ ln( )] 2 F x x x a a x x a      là nguyên hàm của hàm số: f(x) = 2 x a  . Bài 7: Chứng minh rằng hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) thì hàm số   f ax b  với a, b là hắng số a khác 0 có nguyên hàm là:   1 F ax b C a   Áp dụng tính các nguyên hàm sau. 3 3 . sin5 . 1 . cos . 2 7 x a xdx b e dx c dx d dx x      Bài 8: Cho g(x) là một hàm số tuỳ ý. Cmr hàm số ( ) ln ( ) F x g x C   là nguyên hàm của hàm số: '( ) ( ) ( ) g x f x g x  . Áp dụng tính các nguyên hàm của các hàm số sau. 2 2 cos . . 1 2sin 5 . cot . x x a dx b dx x x c gxdx d tgxdx       Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số   2 ln g x x x  từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số:   2 ln f x x x  Bài 10: Chứng minh:     2 ln 0 F x x x k k     là một nguyên hàm của   2 1 f x x k   trên các khoảng mà chúng cùng xác định. Áp dụng: tính 3 2 0 16 dx I x    Bài 11: Tính đạo hàm.   2 1 u x x x    . Suy ra nguyên hàm các hàm số sau : a.     2 2 2 1 1 x x f x x     b.   2 1 1 h x x   c.     2 2 1 1 1 g x x x x     . Bài 12: Tìm hàm số   f x biết rằng 1.   ’ 2 1 f x x   và   1 5 f  HD:         ' 2 2 1 1 1 5 3 3 f x f x dx x x C f C C f x x x                2.   2 ’ 2 – f x x  và   7 2 3 f  Đs:   3 2 1 3 x f x x    3.   ’ 4 f x x x   và f(4) = 0 Đs:   2 8 40 3 2 3 x x x f x    4.   2 1 ’ 2 f x x x    và f(1) = 2 Đs:   2 1 3 2 2 2 x f x x x     5.   2 ’ , '(1) 0, (1) 4, ( 1) 2 b f x ax f f f x       Đs:   2 1 5 2 2 x f x x    TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Bài 1: (SGK – ban nâng cao T 141) Tìm các nguyên hàm: a.     2010 2009 2 3 2 3 4020 x I x dx C       Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 6 b. 2 4sin 2 sin 2 I xdx x x C      c. 1 cos4 1 sin4 2 2 4 x x I dx x C             Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: a. 3 3 tan 1 cos 3cos x I dx C x x     b. 1 cos4 1 sin4 2 2 4 x x I dx x C             Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau: a. 2 x x e e y    b. 2 lg 2 x e x y   c. 3 3 sin .cos3 cos .sin3 y x x x x   d. log ln a y x x   e. sin .cos y mx nx  (m, n là hằng số) Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau: a. 3 3 3 x x x m y x     b. 4 3 3 2 x x x m y x     c. 3 1 2 ln m y x x x    d. 3 ( ) p y qx x   e. cos .cos y px qx  (với m, n, p, q là các hằng số) TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA MỘT BIỂU THỨC VÀO DẤU VI PHÂN (NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỢP) Cho hàm số   y f x  xác định trên   , a b và có đạo hàm trên đoạn đó ta có 1. Vi phân của hàm số   y f x  kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx) 2. Công thức tính: ' dy y dx  hoặc     ' df x f x dx  Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến số 3. Vi phân của các hàm số thường gặp: 1.   . d ax b a dx   2.     2 2 d ax bx c ax b dx     3.     3 2 2 3 2 d ax bx cx d ax bx c dx       4.   cos sin . d x x dx   5.   sin cos d x xdx  6.     sin .cos . d ax b a ax b dx        7.     cos sin d ax b a ax b dx        8.   x x d e e dx  9.   ax b ax b e ae dx    10.   2 1 tan cos d x dx x  11.   2 1 cot sin d x dx x  12.   1 2 d x dx x  13.   2 a d ax b dx ax b    14.   1 ln d x dx x  15. 2 2 1 x d dx x a x a          16.     1 1 m m d x m x    Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (với a, b, c, m, n là các hằng số): 1.   2007 y mx n  2. 1 y mx n   3. 4 3 2 1 2 2 x y x x x     4. 2 3 2 ( ) ax b y ax bx c     5. ln n x y x  6. 2008 cos sin (sin cos ) x x y x x    Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 7 7. 3 4 3 2 x y x   8. 2007 ( 1) x y x   9. 1 .ln .ln(ln ) y x x x  10. 3 5 x x e y e   11. 4 4 2 x x y x     12. (ln 1) m x y x   13. 22007 x y x a   14.   10 3 5 y x  15. 2007 sin 2 .cos y x x  16. cos .sin p y x x  17. sin .cos p y x x  18. 2 sin cos . x y x e  19. 3 2 3 . x y x e   20. 5 cos y x  21. 7 sin y x  22. 4 tan y x  23. 5 tan y x  24. 3 cot y x  25. 2 2 tan cot y x x   26. 2 1 . x y x e   27. 4 sin 4 y x          TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết. Phương pháp chung: Bước 1: Biến đổi   f x về dạng:   1 f x ( ) n i i i f x     với   i f x có nguyên hàm trong bảng công thức và  i là các hằng số. Bước 2: Khi đó:       n i iii n i i dxxfdxxfdxxf 11 )()()(  Một số kĩ thuật phân tích: 1. Nhân phân phối:     a b c d ac ad bc bd       2. Khai triển các hằng đẳng thức   2 2 2 2 A B A AB B     ,   3 3 2 2 3 3 3 A B A A B AB B      … 3. Thêm bớt hạng tử   . , X B X X B B X B     với 0 B  … 4. Nhân liên hợp: llh A B A B    , 3 3 2 2 3 3 3 llh A B A AB B     … 5. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp của hàm lượng giác Với mục đích biến đổi tích thành tổng (với hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích) Chú ý: Kĩ thuật phân tích thành tổng đối với hàm phân thức dựa vào tính chất 1 2 1 2 n n a a a a a a b b b b        kết hợp với một số tính chất của hàm lũy thừa sau Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 8 1 n n a a   , m n m n a a  , n n n n n n a a (ab) a .b ; b b         ,   n m mn a a  Một số dạng thường gặp: Dạng 1: Tìm nguyên hàm:   , 0 I x ax b dx a      Sử dụng đồng nhất thức   1 1 x ax ax b b a a         Dạng 2: Tìm nguyên hàm:   2 x I dx ax b     Sử dụng đồng nhất thức       2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 x a x ax b b ax b b ax b b a a a                 Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm:   2002 1 I x x dx    Cách 1: Sử dụng cách đồng nhất thức:   1 1 x x      2002 2002 2002 2002 2003 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) x x x x x x x                       2002 2003 2002 2003 2003 2004 1 1 1 (1 ) 1 1 1 1 1 2003 2004 I x dx x dx x d x x dx x x C                      Cách 2: Đổi biến số: Đặt 1 t x       2002 2002 2003 2003 2004 2003 2004 1 (1 ) 1 1 1 1 1 1 2003 2004 2003 2004 x t dx dt I t t dt t dt t dt t t C x x C                           Bài 2: Tìm nguyên hàm: 2 4 3 dx I x x     Giải : Cách 1: Ta có: 2 1 1 1 ( 1) ( 3) 1 1 1 ( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 2 3 1 4 3 x x x x x x x xx x                            1 ( 3) 1 ( 1) 1 1 1 3 ln 3 ln 1 ln 2 3 2 1 2 2 2 1 d x d x x I x x C x x x                  Cách 2: Ta có:   2 2 1 3 ln 2 1 4 3 2 1 dx dx x I C x x x x             Bài 3: Tìm nguyên hàm:   3 1 3 xdx I x    Giải: C1: Sử dụng đồng nhất thức:   1 1 3 1 3 x x          3 3 2 2 1 3 1 1 1 1 1 3 3 (1 3 ) (1 3 ) 1 3 1 3 x x x x x x                         Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 9 2 3 2 3 1 2 1 (1 3 ) 1 (1 3 ) 1 1 (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) 9 9 9 9 (1 3 ) (1 3 ) 1 1 (1 3 ) (1 3 ) 9 18 d x d x I x d x x d x x x x x C                            C2: Phương pháp hệ số bất định Bài 4: Tìm nguyên hàm: 2 2 dx I x x     Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 2 1 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 1 ( 1)( 2) 3 ( 1)( 2) 3 2 1 2 1 1 1 1 1 2 ln 3 2 3 1 3 1 x x x x x x x x x x x I dx dx C x x x                                       Bài 5: Tìm nguyên hàm: 4 2 4 3 dx I x x     Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 3) ( 1) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 1) ( 3) 1 3 x x dx dx I x x x x x x x x                               Bài 6: Tìm nguyên hàm: 3 10 ( 1) x dx I x    Giải: Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức:         3 3 2 3 1 1 1 3 1 3 1 1 x x x x x               3 10 7 8 9 10 7 8 9 10 6 7 8 9 1 3 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 3 1 3 1 1 1 3 3 6 7 8 9 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x dx dx dx dx I C x x x x x x x x                                  Cách 2: Đặt 1 t x   ta có: 1 x t   nên dx dt    3 3 2 7 8 9 10 10 10 1 ( 3 3 1) 3 3 t dt t t t dt A t dt t dt t dt t dt t t                     6 7 8 9 1 1 3 1 3 1 1 1 6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1) C x x x x           Bài 7: Tìm nguyên hàm:   2001 1002 2 1 x I dx x    Giải: Ta phân tích :         1000 2001 2000 2 1002 1000 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x              Đặt: 2 2 1 x t x     2 2 2 1 x dt dx x    Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 10 1000 1001 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2002 1 1 1 x x x I d C x x x                           Bài 8: Tìm nguyên hàm: 7 5 dx I x x    Giải: Sử dụng dồng nhất thức: 2 2 1 1 x x      2 2 2 2 5 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 2 2 2 5 3 2 5 3 2 2 5 3 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 1 4 2 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x I dx dx dx dx x x C x x x x x x                                               Bài 9: Tìm nguyên hàm: 5 3 dx I x x    Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 2 2 1 1 x x      2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x I dx dx dx x x C x x x x                                 Bài 10 : Tìm nguyên hàm:   2 39 1 x dx I x    Giải: Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức :       2 2 2 1 1 1 2 1 1 x x x x                         2 2 39 39 37 38 39 1 2(1 ) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x                           37 38 39 36 37 38 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 36 37 38 1 1 1 1 1 1 I dx dx dx C x x x x x x                 Cách 2: Đặt: 1 t x   1 x t dx dt         2 39 39 38 37 38 37 36 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 38 37 36 t dt I dt dt dt C t t t t t t t                 Bài 11: Tìm nguyên hàm:    x e dx I 1 . Giải: Sử dụng đồng nhất thức:   1 1 – x x e e   . Ta được:     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x e e d e e e I dx dx e e e e e                            ln 1 x x e C     . [...]... 8: Tìm các nguyên hàm sau: 3 2 4 x 2  16 x  8 3x 2  3x  3 a I   dx b I   3 dx x3  4 x 2 1 x  3x  2 Bài 6: Cho hàm số y  2 2x  3 dx 2 1 6  x  5x c I   5 c I   2 x 1 dx x  x2 3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ Để xác định tích phân của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp sau: - Phương pháp tam thức bậc hai - Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản - Phương pháp. .. x 2 x 2  a dx c J   cos 2 x dx sin 3 x g TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA VÀI LỚP HÀM ĐẶC BIỆT Để xác định tích phân các hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: - Phương pháp tam thức bậc hai - Phương pháp phân tích - Phương pháp đổi biến - Phương pháp tích phân từng phần - Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dùng công thức đổi biến số với kĩ thuật... 2 x   4 1  2 x  c I   dx 3  2 x  1 2   2 x  1 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác, ta thường sử dụng các phương pháp sau: - Sử dụng các nguyên hàm cơ bản - Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm lượng giác - Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản - Phương pháp đổi biến Đối với các dạng tích phân: I   R  sin x, cos... 1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau: Định lý 1: a Nếu  f  x  dx  F  x   C và u    x  là hàm số có đạo hàm thì:  f  u  du  F  u   C b Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt u    t  trong đó φ  t  cùng với đạo hàm φ '  t  là những hàm. .. Loại 1: Đối với hàm lượng giác: Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I   f  cos  ax  b   sin  ax  b  dx   1 đặt u  cos  ax  b   du   sin  ax  b  dx a n TQ: I   f  cos x  sin xdx với n  R Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: dx dx a I   b I   6 sin x cos x sin x  cos3 x  1 Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: dx cos3 x a I   3 b I   dx sin x sin 5 x Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I   f  sin... Đối với hàm số mũ là logarit: Dạng 7: Tìm nguyên hàm: I   f  e x  e x dx đặt u  e x  du  e x dx 1 1 Dạng 8: Tìm nguyên hàm: I   f  ln x  dx đặt u  ln x  du  dx x x 1 1 Dạng 9: Tìm nguyên hàm: I   f ln  ln x     x ln x dx đặt u  ln  ln x   du  x ln x dx 1 hoặc u  ln x  du  dx x Loại 3: Đối với hàm hữu tỷ và vô tỷ Dạng 10: Tìm nguyên hàm: I   f  x n 1 x n dx đặt u ... các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến t  tan x 2 - Phương pháp tích phân từng phần - Sử dụng nguyên hàm phụ Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I   dx sin  x  a  sin  x  b  Phương pháp: Bước 1: Đồng nhất thức: sin(a  b) sin  ( x  a )  ( x  b )  1 1   sin(a  x ) cos(b  x)  cos(a  x) sin(b  x) sin(a  b) sin(a  b ) sin( a  b) Bước 2: Biến đổi đưa về kết quả Chú ý: 1 Dạng: Tìm nguyên hàm: ... Bài 5: Cho hàm số y  3 x  3x  2 A B C a Tìm A, B, C sao cho: y    2  x  1 x  1 x  2 f I   “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ 25 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 b Tìm nguyên hàm của y x2  2 x  6 x3  7 x 2  14 x  8 A B C a Tìm A, B, C sao cho: y    x 1 x  2 x  4 b Tìm họ nguyên hàm của y Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau: 1... Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Bài 1: Tìm nguyên hàm: I   x 1  x  x Bài 2: Tìm nguyên hàm: I   Bài 3: Tìm nguyên hàm: 1 1 2003 2004 1  x   1  x   C 2003 2004 1 1 1 2 dx   1  3 x   1  3 x   C 9 18 2002 3 dx   1  3x  2005 I   x 1  x  dx Bài 4: (SGK – Ban cơ bản T100 – T101) Tìm các nguyên hàm: x  x 1 3 6 3 a I   dx  3 x5  6 x 7  3 x 2  C... đặt u  x n 1  du   n  1 x n dx Dạng 11: Tìm nguyên hàm: I   f Dạng 12: Tìm nguyên hàm: I    x 1 dx đặt u  x  du  1 x 2 x f  ax  b dx đặt u  ax  b  du  adx dx 1  1  1   1 Dạng 13: Tìm nguyên hàm: I   f  x   1  2  dx đặt u  x   du   1   dx x  x  x x   B Đổi biến số thuận đặt x   u    Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I   f x, x 2  a 2 dx với a  0 Cách 1: . nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phép biến đổi đại số Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp Trường hợp thường. x x    TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Bài 1: (SGK – ban nâng cao T 141) Tìm các nguyên hàm: a. . “ 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Bài giảng đang được hoàn thiện mong các bạn thông cảm và góp ý theo địa chỉ Loinguyen1310@gmail.com SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM Tìm nguyên hàm bằng cách