PHUONG PHAP HAM SINH

Mục lục Lời nói đầu 3 1 Cơ sở lí thuyết 4 1.1 Vành các đa thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Đa thức trên một trường và một vài biểu diễn của đa thức . . . . . . . 10 1.3.1 Đa thức trên một trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Một vài biểu diễn đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Đa thức trên trường Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Đa thức bất khả quy trên Q và các tiêu chuẩn Eisenstein; Osada; Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Vành đa thức và vành các chuỗi lũy thừa hình thức nhiều biến . . . . . 16 1.5.1 Xây dựng vành các đa thức và vành các chuỗi lũy thừa hình thức nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Một vài ứng dụng của đa thức 20 2.1 Đa thức bất khả quy trên Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Dùng hàm sinh là đa thức để giải các bài toán về lí thuyết tổ hợp . . . 26 2.3 Một số ứng dụng của định lí Viéte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Một số ứng dụng của công thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Phương pháp hàm sinh 52 3.1 Định lí Nhị thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Dùng hàm sinh là các chuỗi luỹ thừa vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.1 Tìm số nghiệm nguyên của phương trình tuyến tính . . . . . . . 54 3.2.2 Tìm số hạng tổng quát của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.3 Tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.4 Tìm công thức truy hồi từ hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . 66 1 3.2.5 Hàm sinh dạng mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3 Một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 2 Lời nói đầu Luận văn đặt vấn đề nghiên cứu một cách có hệ thống về một số lớp bài toán liên quan đến vành đa thức và vành các chuỗi lũy thừa hình thức, bao gồm các loại sau đây: đa thức bất khả quy trên trường hữu tỉ; ứng dụng để giải một số bài toán về lí thuyết tổ hợp; ứng dụng của định lí Viéte; ứng dụng của công thức nội suy Lagrange; định lí Nhị thức tổng quát; tìm số nghiệm nguyên của phương trình tuyến tính; tìm số hạng tổng quát của dãy số; tính tổng của các chuỗi; lập biểu thức truy hồi của dãy. Luận văn gồm có ba chương sau đây: Chương 1. Cơ sở lí thuyết: Trong chương này, trước hết chúng tôi xây dựng vành đa thức và vành các chuỗi lũy thừa hình thức; nghiên cứu các biểu diễn đa thức và biểu diễn các phần tử của chuỗi lũy thừa hình thức; trình bày ba tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức. Có thể nói chương này là cơ sở lí thuyết để đi đến ứng dụng của hai chương sau. Chương 2. Một vài ứng dụng của đa thức: Đây là một trong hai nội dung chính của luận văn. Chương này trình bày về phương pháp xét tính bất khả quy của đa thức trên trường Q; một số ứng dụng của định lí Viéte và công thức nội suy Lagrange; đưa ra phương pháp dùng hàm sinh là đa thức để giải các bài toán về lí thuyết tổ hợp. Chương 3. Phương pháp hàm sinh: Trong chương này, luận văn trình bày về phương pháp dùng hàm sinh là chuỗi lũy thừa vô hạn, ứng dụng của phương pháp này vào các bài toán như: tìm số nghiệm nguyên của phương trình tuyến tính; tìm số hạng tổng quát của một dãy số; tính tổng của một chuỗi số. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS.TS.Dương Quốc Việt. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với người thầy của mình. Đồng thời tôi cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Đại số đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng, nhưng nội dung của luận văn ở một số loại toán còn chưa thực sự phong phú. Tuy nhiên, qua việc trình bày luận văn tác giả đã có điều kiện tiếp cận với nhiều loại toán liên quan đến đa thức và chuỗi lũy thừa hình thức. Điều này chắc chắn sẽ là những vấn đề bổ ích đối với tác giả. Hà Nội, tháng 10 năm 2009 Tác giả: Quách Duy Tuấn 3 Chương 1 Cơ sở lí thuyết Mục đích của chương này là trình bày cơ sở vành đa thức, các tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức trên trường Q, vành các chuỗi luỹ thừa hình thức và một số tính chất cơ bản của nó. 1.1 Vành các đa thức một biến Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1. Biểu thức có dạng f = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n , a i ∈ A, i = 0, 1, . . . , n, a n = 0, được gọi là đa thức một biến x trên A. Các phần tử a 0 , a 1 , . . . , a n được gọi là các hệ tử của f. Số n được gọ i là bậc của đa thức f, kí hiệu là degf. Tập tất cả các đa thức của biến x trên vành A được kí hiệu là A[x]. Giả sử f = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n , g = b 0 + b 1 x + . . . + b m x m ∈ A[x]. Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử m ≥ n và m = n + s. Khi đó g = b 0 + b 1 x + . . . + b n x n + b n+1 x n+1 + . . . + b n+s x n+s ∈ A[x]. Trên A[x] ta có quan hệ bằng nhau: f = g khi và chỉ khi a i = b i với mọi i = 0, 1, . . . , n và b n+1 = . . . = b n+s = 0. Phép cộng và phép nhân được xác định bởi: f + g = n  i=0 (a i + b i )x i + b n+1 x n+1 + . . . + b n+s x n+s . fg = m+n  i=0 ( i  j=0 a i−j b j )x i . Với hai phép toán cộng và nhân đã nêu, thì A[x] trở thành một vành giao hoán có đơn vị 1. Khi đó A[x] được gọi là vành các đa thức của biến x trên A. 4 Quy ước: Đa thức 0 là một đa thức có bậc −∞. Thực chất của việc làm trên là xây dựng một vành A[x] mở rộng của A, thông qua định nghĩa hình thức cho đa thức của biến x trên A, mà bản chất thực sự là định nghĩa hình thức cho phần tử siêu việt x. Chúng ta hãy xem xét một cách tiếp cận khác để đưa ra một vành mở rộng của A đẳng cấu với A[x]. Xét tập T tất cả những dãy được sắp các phần tử (a 0 , a 1 , a 2 , . . .) thuộc A, trong đó chỉ có một số hữu hạn các a i khác 0. trong T ta định nghĩa quan hệ bằng nhau và hai phép toán như sau: (i) (a 0 , a 1 , a 2 , . . .) = (b 0 , b 1 , b 2 , . . .) khi và chỉ khi a i = b i với mọi i. (ii) (a 0 , a 1 , a 2 , . . .) + (b 0 , b 1 , b 2 , . . .) = (a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , . . .). (iii) (a 0 , a 1 , a 2 , . . .)(b 0 , b 1 , b 2 , . . .) = (a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , . . . ,  i+j=n a i b j , . . .). Ta có thể kiểm tra được T cùng với hai phép toán trên lập thành một vành giao hoán. Lấy tập con T 1 của T gồm tất cả những phần tử dạng: (a, 0, 0, . . .), a ∈ A. Khi đó ta có: (i) T 1 là vành con của T . (ii) Tương ứng φ : A → T 1 , a → (a, 0, 0, . . .) là một đẳng cấu. Thật vậy, từ (a, 0, 0, . . .) và (b, 0, 0 . . .) thuộc T 1 ta có ngay (a, 0, 0, . . .) − (b, 0, 0 . . .), và (a, 0, 0, . . .)(b, 0, 0 . . .) = (ab, 0, 0, . . .) thuộc T 1 . Do đó T 1 là vành con của T . Từ a = b ta suy ra (a, 0, 0, . . .) = (b, 0, 0 . . .). Vậy φ là một ánh xạ. Dễ dàng kiểm tra φ là một đẳng cấu. Do đó A ∼ = T 1 . Do A đẳng cấu với vành con T 1 của T nên khi đồng nhất a ∈ A với (a, 0, 0, . . .) ∈ T 1 chúng ta đã nhúng được A vào T. Do vậy có thể coi A là một vành con của vành T. 5 Đặt α = (0, 1, 0, 0, 0, . . .) ∈ T ta có:                    α = (0, 1, 0, 0, 0, . . .) α 2 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .) α 3 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, . . .) . . . α n = (0, 0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .), 1 ở toạ độ thứ n+1 . . . Khi đó mỗi phần tử (a 0 , a 1 , . . . , a n , 0, 0, . . .) ∈ T đều có thể biểu diễn dưới dạng: (a 0 , a 1 , . . . , a n , 0, 0, . . .) = (a 0 , 0, 0, . . .) + (0, a 1 , 0, 0, . . .) + . . . = a 0 + a 1 (0, 1, 0, 0, . . .) + . . . = a 0 + a 1 α + . . . + a n α n . Nói cách khác mỗi phần tử của T đều biểu diễn thành dạng một đa thức của α với các hệ tử thuộc A. Như vậy T = A[α]. Từ a 0 + a 1 α + . . . + a n α n = 0, ta suy ra (a 0 , a 1 , . . . , a n , 0, 0, . . .) = (0, 0, 0, . . .), hay a 0 = a 1 = . . . = a n = 0. Khi đó tương ứng τ : A[x] → T = A[α] f(x) → f(α) là một đẳng cầu vành. Vậy A[α] ∼ = A[x]. Định lí 1.1.1. Cho A là một miền nguyên. Khi đó vành các đa thức A[x] là một miền nguyên. Ngoài ra, nếu f, g ∈ A[x] là các đa thức khác đa thức 0, thì deg(fg) = deg f + deg g. Chứng minh. Thật vậy, giả sử f, g ∈ A[x] là các đa thức khác đa thức 0, và f = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n , a n = 0, g = b 0 + b 1 x + . . . + b m x m , b m = 0. Khi đó f.g = c 0 + c 1 x + . . . + c n+m x n+m , 6 trong đó c k =  i+j=k a i b j , nói riêng c n+m = 0. Do đó fg = 0. Vậy A[x] là một miền nguyên và deg(fg) = deg f + deg g. Cho A là một miền nguyên, khi đó vành các đa thức A[x] là một miền nguyên. Giả sử f, g ∈ A[x]. Đa thức f ∈ A[x] được gọi là chia hết cho đa thức g ∈ A[x] nếu tồn tại đa thức h ∈ A[x] để f = gh. Đa thức d được gọi là một ước chung lớn nhất của f và g nếu d là một ước chung của f và g, đồng thời d chia hết cho mọi ước chung của f và g. Ước chung lớn nhất của hai đa thức được xác định duy nhất sai khác một nhân tử khả nghịch của A. Nếu một ước chung lớn nhất d của f và g là khả nghịch (lúc đó d ∈ A), thì f và g gọi là nguyên tố cùng nhau. Đa thức f được gọi là khả quy trên A, nếu có hai đa thức g, h ∈ A[x] bậc dương, để f = gh. Đa thức f được gọi là bất khả quy trên A, nếu không có hai đa thức bậc dương g, h ∈ A[x] để f = gh. Định nghĩa 1.1.2. Giả sử c là một phần tử tuỳ ý thuộc vành A và f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 0 là một đa thức tuỳ ý của A[x]. Khi đó phần tử f(c) = a n c n + a n−1 c n−1 + . . . + a 0 ∈ A được gọi là giá trị của f(x) tại c. Nếu f(c) = 0 thì c được gọi là một nghiệm của f(x). Tìm nghiệm của f(x) trong A được gọi là giải phương trình đại số bậc n a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 0 = 0, a n = 0 trên A. 1.2 Vành các chuỗi luỹ thừa hình thức một biến Đây là một đối tượng rất gần gũi với vành đa thức, nó vai trò rất quan trọng trong toán học. Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1. Kí hiệu A[[x]] = {f = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n + . . . | a i ∈ A với mọi i ≥ 0} với x là biến. Giả sử f = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n + . . . , g = b 0 + b 1 x + . . . + b n x n + . . . 7 là những phần tử của A[[x]]. Trên A[[x]] ta có quan hệ bằng nhau f = g khi và chỉ khi a i = b i với mọi i ≥ 0. Với mỗi phần tử h = c 0 + c 1 x + . . . + c n x n ∈ A[x], ta đồng nhất với phần tử c 0 + c 1 x + . . . + c n x n + 0x n+1 + . . . + 0x m + . . . ∈ A[[x]], và xem A[x] như một tập co n của A[[x]]. Bây giờ ta xét hai phép toán cộng và nhân trong A[[x]]: f + g = ∞  n=0 (a n + b n )x n , fg = ∞  n=0 ( n  k=0 a k b n−k )x n . Với hai phép toán cộng và nhân này thì A[[x]] trở thành một vành giao hoán có đơn vị 1. Vành A[[x]] được gọi là vành các chuỗi luỹ thừa hình thức của biến x trên A, còn mỗi phần tử của A[[x]] được gọi là một chuỗi luỳ thừa hình thức của biến x trên A . ở đây cụm từ "hình thức" được sử dụng để chỉ ra rằng tính hội tụ của chuỗi không được chú ý đến, do vậy chuỗi luỹ thừa hình thức không nhất thiết biểu diễn một hàm trên A. Ta có thể chứng minh được A[x] là một vành con của vành A[[x]]. Bổ đề 1.2.2. Chứng minh rằng 1 −x là một phần tử khả nghịch trong A[[x]] với phần tử nghịch đảo là 1 + x + x 2 + . . . . Chứng minh. Thật vậy, ta có (1 − x)(1 + x + x 2 + . . .) = (1 − x)( ∞  n=0 x n ) = ∞  n=0 x n − ∞  n=0 x n+1 = 1 + ∞  n=0 x n − ∞  n=0 x n = 1. Bổ đề 1.2.3. Chứng minh rằng f =  n≥0 a n x n khả nghịch trong A[[x]] khi và chỉ khi a 0 khả nghịch trong A. Trong trường hợp đó, phần tử nghịch đảo của f là duy nhất. 8 Chứng minh. Giả sử f = ∞  n=0 a n x n là khả nghịch, nghĩa là tồn tại g = ∞  n=0 b n x n sao cho fg = 1. Ta có: fg = ∞  n=0 a n x n . ∞  n=0 b n x n = ∞  n=0 ( n  k=0 a k b n−k )x n = a 0 b 0 + ∞  n=1 ( n  k=0 a k b n−k )x n = 1 + 0x + 0x 2 + . . . . Điều đó nói lên rằng ∞  n=1 ( n  k=0 a k b n−k )x n phải bằng 0 và a 0 b 0 = 1. Từ đó suy ra a 0 khả nghịch trong A. Ngược lại, giả sử a 0 khả nghịch trong A, ta chứng minh f khả nghịch trong A[[x]]. Thật vậy, vì a 0 khả nghịch trong A nên tồn tại duy nhất b 0 ∈ A để a 0 b 0 = 1. Ta cần tìm b 1 , b 2 , . . . sao cho: (a 0 + a 1 x + . . .)(b 0 + b 1 x + . . .) = 1, hay a 0 b 0 + (a 1 b 0 + a 0 b 1 )x + (a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 )x 2 + . . . = 1. Từ đó ta được hệ:          a 0 b 0 = 1 a 1 b 0 + a 0 b 1 = 0 a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 = 0 . . . Giải hệ ta tìm được các hệ số b i = i  k=0 (−1) i+1−k a i+1−k k b i+2−k 0 với mọi i ≥ 1. Trong vành các chuỗi lũy thừa hình thức, phép lấy đạo hàm được định nghĩa một cách hình thức mà không cần thông qua phép lấy giới hạn như sau: Định nghĩa 1.2.4. Đạo hàm hình thức của chuỗi lũy thừa f(x) = ∞  n=0 a n x n là chuỗi f  (x) = ∞  n=1 na n x n−1 . Cho hai chuỗi f(x) = ∞  n=0 a n x n và g(x) = ∞  n=0 b n x n . Khi đó đạo hàm hình thức cũng có tính chất giống như đạo hàm được định nghĩa trong Giải tích: (i) (f + g )  = f  + g  . (ii) (fg)  = f  g + fg  . 9 (iii) (f(g(x)))  = g  f  (g(x)). (iv) (f k )  = kf k−1 f  . (v)  f g   = f  g −fg  g 2 , với b 0 khả nghịch. 1.3 Đa thức tr ên một trường và một vài biểu diễn của đa thức 1.3.1 Đa thức trên một trường Trước hết ta có một số kết quả sau: Định lí 1.3.1. Cho K là một trường. Khi đó vành K[x] là một vành Euclid. Từ tính chất của một vành Euclid ta rút ra hệ quả: Hệ quả 1.3.2. Nếu K là một trường thì trong K[x] ta có: (i) Nếu gh chia hết cho đa thức bất khả quy p thì hoặc g chia hết cho p, hoặc h chia hết cho p. (ii) Mỗi đa thức bậc dương đều có thể phân tích thành một tích hữu hạn các nhân tử bất khả quy. Sự phân tích ấy là duy nhất, chỉ sai khác thứ tự và sai khác các nhân tử khả nghịch. (iii) Nếu d là ước chung lớn nhất của f và g, thì tồn tại u, v để d = uf + vg. Định lí 1.3.3. Cho K là một trường và giả sử c thuộc K, f(x) ∈ K[x]. Khi đó dư của phép chia f(x) cho x −c là f(c), hay f(x) = (x − c)g(x) + f (c), với g(x) ∈ K[x]. Chứng minh. Từ thuật toán chia đa thức, ta có f(x) = (x −c)g(x) + b, với b ∈ K. Do đó f(c) = (c − c)g(c) + b = b. Định lí 1.3.4 (Bezoút). Nếu α ∈ K là một nghiệm của đa thức bậc dương f(x) ∈ K[x], thì f(x) = (x − α)g(x) với g(x) ∈ K[x] có degg(x)= degf(x)−1. Chứng minh. Thật vậy, ta luôn có biểu diễn f(x) = (x − α)g(x) + f(α) 10 [...]... (x) Do đó f (x) là bất khả quy trong Z3 [x], hay f (x) là đa thức bất khả quy trên Q[x] 2.2 Dùng hàm sinh là đa thức để giải các bài toán về lí thuyết tổ hợp Phương pháp sử dụng hàm sinh là một phương pháp độc trong giải toán Để hình dung về phương pháp này, trước hết chúng ta xem xét trường hợp hàm sinh là các đa thức 26 Ví dụ 2.2.1 Chứng minh rằng n k n (Cn )2 = C2n k=0 n Giải Đặt f (t) = (t + 1)n... x)2n−1 , nên hệ số của xn còn là nC2n−1 Do đó n k n−1 k(Cn )2 = nC2n−1 k=1 Nhận xét 2.2.15 Việc sử dụng phương pháp hàm sinh giúp chúng ta giải được nhiều bài toán hay về tổ hợp Nhưng vấn đề đặt ra là: Đứng trước một bài toán, thì ta phải tìm hàm sinh như thế nào? Rồi tác động đến hàm sinh ra sao? Chúng ta không thể đưa ra một phương pháp chung cho tất cả, mà phải mò mẫm, dự đoán tuỳ theo từng bài toán... v−k+1 v Cn Cm = (m + n)Cm+n−1 , (v + 1) k=0 hay v+1 k v−k+1 Cn Cm = k=0 m+n v C v + 1 m+n−1 Ví dụ 2.2.3 Giả sử m, n là các số nguyên dương thoả mãn m ≤ 2n Tính k l Cn Cn (−1)n−k k+l=m 0≤k,l≤n Giải Hàm sinh f (t) = (t + 1)n (t − 1)n = (t2 − 1)n có n n (t + 1)n = k Cn tk , (t − 1)n = k=0 n k Cn (−1)n−k tk , (t2 − 1)n = k=0 k Cn (−1)n−k t2k k=0 k l Cn Cn (−1)n−k Do đó Với m ≤ 2n thì hệ số của tm trong... nếu m chẵn Ví dụ 2.2.4 Giả sử m, p là các số nguyên dương và Sp (n) = 1p + 2p + + np Chứng minh hệ thức p 0 1 2 nCp+1 + Cp+1 S1 (n) + Cp+1 S2 (n) + + Cp+1 Sp (n) = (n + 1)p+1 − 1 Giải Ta có hàm sinh p+1 0 1 f (t) = (1 + t)p+1 = Cp+1 + Cp+1 x + + Cp+1 xp+1 Thay t lần lượt các giá trị 1, 2, , n ta được 2p+1 = p+1 0 1 Cp+1 + Cp+1 + + Cp+1 3p+1 = p+1 0 1 Cp+1 + 2Cp+1 + + 2p+1 Cp+1 (n... là cdxa1 +b1 xnn +bn 1 19 Chương 2 Một vài ứng dụng của đa thức Chương này nhằm trình bày một số phương pháp xét tính bất khả quy của đa thức trên trường số hữu tỉ, giới thiệu phương pháp dùng hàm sinh là đa thức để giải các bài toán Tổ hợp, một số ứng dụng của định lí Viéte và bài toán nội suy Đặc biệt, kèm theo cuối chương là một hệ thống các bài tập áp dụng 2.1 Đa thức bất khả quy trên Q Ví dụ . phương pháp dùng hàm sinh là đa thức để giải các bài toán về lí thuyết tổ hợp. Chương 3. Phương pháp hàm sinh: Trong chương này, luận văn trình bày về phương pháp dùng hàm sinh là chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.4 Tìm công thức truy hồi từ hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . 66 1 3.2.5 Hàm sinh dạng mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3 Một. . . . . . . . . . . . 47 3 Phương pháp hàm sinh 52 3.1 Định lí Nhị thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Dùng hàm sinh là các chuỗi luỹ thừa vô hạn . . . . .