Phuong pháp hàm sinh

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH TÁP DỤNG THUẬT TOÁN PHƯƠNG PHÁP SINH ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN LIỆT KÊ TỔ HỢP I Giới thiệu phương pháp sinh Phương pháp sinh áp dụng để giải toán liệt kê tổ hợp đặt hai điều kiện sau thoả mãn: Có thể xác định thứ tự tập cấu hình tổ hợp cần liệt kê Từ xác định cấu hình cấu hình cuối thứ tự xác định Xây dựng thuật tốn từ cấu hình chưa phải cấu hình cuối, sinh cấu hình Phương pháp sinh mơ tả sau: ; Repeat ; ; Until ; II Một số tốn cài đặt phương pháp sinh LIỆT KÊ CÁC TẬP CON K PHẦN TỬ Ta lập chương trình liệt kê tập k phần tử tập {1, 2, , n} theo thứ tự từ điển Ví dụ: với n = 5, k = 3, ta phải liệt kê đủ 10 tập con: {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 2, 5} {1, 3, 4} {1, 3, 5} Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí {1, 4, 5} {2, 3, 4} {2, 3, 5} {2, 4, 5} 10 {3, 4, 5} rong viết muốn giới thiệu với bạn phương pháp đếm cấu hình ổ hợp đắc lực , phương pháp hàm sinh Vì kiến thức có hạn chủ yếu cóp nhặt từ số tài liệu nên có sai sót mong q bạn thơng cảm hen Phương pháp hàm sinh phương pháp đại, sử dụng kiến thức chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt cơng thức Taylor) Trước hết ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1: Cho dãy số Chuỗi hình thức gọi hàm sinh dãy Ta gọi chuỗi hình thức ta khơng xét đến tính hội tụ hay tính giá trị chuỗi mà ta xem cách viết thuận tiện Ta đưa vào số phép toán chuỗi để xác định hệ số cho lũy thừa biến Định nghĩa 2: Với hai chuỗi chuỗi Ta định nghĩa: a) Phép cộng: b) Phép nhân với số: c) Tích hai chuỗi: với Trong phương pháp ta thường hay sử dụng công thức khai triển Newton mở rộng sau: Với số hữu tỉ, Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí Ta xét số trường hợp đặc biệt * Từ * * Tư tưởng sử dụng hàm sinh để tìm CTTQ dãy số tóm tắt sau Để tìm CTTQ dãy , ta xét hàm sinh dãy Khi tính chất dãy nên phải thỏa mãn số hệ thức định Giải hệ thức ta tìm hàm số chứa biểu thức số học (cộng, trừ nhân, chia, lũy thừa, ), ta tìm cách khai triển thành chuỗi so sánh hệ số ta tìm Ví dụ 3.1: Cho dãy Tìm CTTQ dãy Giải: Xét Khi đó: hàm sinh dãy Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí Vì Ta có: Mà Vậy Ví dụ 3.2: Tìm CTTQ dãy số Giải: Xét hàm sinh dãy Khi đó: Ta có: Vậy Ví dụ 3.3: Tìm CTTQ dãy số: Giải: Ta có Xét hàm sinh dãy Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí Khi đó: Ta có: Giải phương trình , ta được: Ta có: hệ số khai triển thành chuỗi lũy thừa số nguyên dương Do đó: Vậy Chú ý : tốn ta thường gọi số catalan Đang tiếp tục bằng: hệ số Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí I Cơ sở lí thuyết hàm sinh 1.Định nghĩa: Hàm sinh dãy số vô hạn a0,a1,a2, ,an, là chuỗi hình thức xác định G(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn+ : 2.Một số đẳng thức thường dùng hàm sinh: a, 11−x=1+x+x2+x3+ b, 1(1−x)2=1+2x+3x2+4x3+ c, 1(1−x)n=1+nx+n(n+1)2!x2+n(n+1)(n+2)3! x3+ =∑∞i=0Cii+n−1xi với n∈N d, 11+x=1−x+x2−x3+ e, 1(1−ax)2=1+2ax+3a2x2+4a3x3+ f, 11−xr=1+xr+x2r+x3r+ g, 11+xr=1−xr+x2r−x3r+ II.Ứng dụng hàm sinh vào tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số điển hình Thơng thường bạn biết đến phương pháp chứng minh quy nạp phương pháp giải phương trình sai phân để tìm cơng thức tổng quát dãy số Bài viết nhằm cung cấp cho bạn thêm phương pháp hay để tìm cơng thức tổng qt dãy số dựa sở hàm sinh.Hi vọng qua ví dụ minh họa sau bạn đọc nắm vận dụng phương pháp sử dụng hàm sinh tìm cơng thức tổng qt dãy số Ví dụ 1: Tìm cơng thức tổng qt dãy số Fibonacci(Fn )với : {F1=F2=1Fn=Fn−1+Fn−2n≥3 Lời Giải Đặt G(x) hàm sinh cho dãy (Fn), giả sử F0=0 có: G(x)=F0+F1x+F2x2+F3x3+ −xG(x)=−F0x−F1x2−F2x3− −x2G(x)=−F0x2−F1x3−F2x4− Từ đẳng thức trên, ta có : (1−x−x2)G(x)=F0+(F1−F0)x+(F2−F1−F0)x2+ =x ⇔G(x)=x1−x−x2 Phân tích G(x)=x1−x−x2=A1−αx+B1−βx Với α=1+5√2;β=1−5√2 hai nghiệm phương trình 1−x−x2=0\\ Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí Quy đồng đồng hệ số, A=15√;B=−15√ Vậy G(x)=x1−x−x2=15√(11−αx−11−βx) ⇔5√G(x)=(11−αx−11−βx)=∑k=1∞(αx)n−∑k=1∞(βx)n=∑k=1∞ (αn−βn)xn Vậy G(x)=∑∞k=1αn−βn5√xn Hệ số khai triển Fn=αn−βn5√=15√⎡⎣(1+5√2)n−(1−5√2)n⎤⎦ Vậy dãy số cần tìm có cơng thức tổng quát dạng Fn=15√[(1+5√2)n−(1−5√2)n],n≥0 Nhận xét: Vậy với cách sử dụng hàm sinh tìm công thức tổng quát dãy số Fibonacci tiếng Bây tìm hiểu thêm số ví dụ tương tự dãy để thấy rõ tính hiệu phương pháp hàm sinh Chũng ta đến ví dụ sau: Ví dụ Tìm công thức tổng quát dãy số (an )với : {a0=1;a1=2an+2=5an+1−4ann≥0(∗) Lời Giải Đặt G(x) hàm sinh cho dãy (an ), có: G(x)=a0+a1x+a2x2+ −5xG(x)=−5a0x−5a1x2−5a2x3+ 4x2G(x)=4a0x2+4a1x3+ Cộng ba đẳng thức kết hợp (*) ta có: G(x)−5xG(x)+4x2G(x)=a0+(a1−5a0)x+ (a2−5a1+4a0)x2+ =1−3x ⇔(1−5x+4x2)G(x)=1−3x Do G(x)=1−3x1−5x+4x2=23(11−x)+13(11−4x) =23(1+x+x2+ )+13[1+(4x)+(4x)2+ ] Do hệ số xn khai triển G(x) 23+134n nên an=23+134n,n≥0 Vậy dãy số cần tìm có cơng thức tổng qt dạng an=23+134n,n≥0 Nhận xét:Như hàm sinh giải tốt toán xác định công thức tổng quát dãy số cho công thức truy hồi: {a0=a;a1=ban+2=p.an+1+q.ann≥0 Để ý với tốn ví dụ1 ví dụ 2, thấy hàm G(x) có mẫu số tam thức bậc hai, chẳng hạn ví dụ có mẫu số hàm sinh f(x)=1−5x+4x2 có nghiệm phân biệt x=1;x=14 Vậy trường hợp mẫu số G(x) phương Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí trình bậc hai có nghiệm kép làm nào? Ví dụ sau giúp xử lí tình đó: Ví dụ Tìm công thức tổng quát dãy số (an )với : {a0=a1=1an+2=4an+1−4ann≥0 Lời Giải Đặt G(x)là hàm sinh cho dãy (an ), có: G(x)=a0+a1x+a2x2+ −4xG(x)=−4a0x−4a1x2−4a2x3− 4x2G(x)=4a0x2+4a1x3+ Cộng ba đẳng thức ta có: G(x)−4xG(x)+4x2G(x)=a0+ (a1−4a0)x=1−3x⇔(1−4x+4x2)G(x)=1−3x Do G(x)=1−3x1−4x+4x2=1−3x(1−2x)2=11−2x−x(1−2x)2 =∑n=1∞(2x)n−x∑n=1∞(2x)n−1=∑n=1∞(2n−n2n−1)xn Hệ sơ xntrong khai triển G(x)là 2n−n2n−1 nên an=2n−n2n−1,n≥0 Vậy dãy số cần tìm có cơng thức tổng qt dạng an=2n−n2n−1,n≥0 Nhận xét: Trong ví dụ ví dụ thấy mẫu số hàm sinh G(x) có nghiệm thực để phân tích thành nhân tử có dạng Câu hỏi đặt “Nếu mẫu số hàm sinh G(x) vơ nghiệm khơng có phân tích thành nhân tử có dạng Khi phải giải tốn nào” Đặt câu hỏi này, dành thời gian suy nghĩ tìm hiểu trường hợp phương trình đặc trưng dãy số vơ nghiệm nhìn chung biết đến phương pháp giải phương trình sai phân giải tốn thơng qua số phức với hàm sinh sao? Dựa vào ý tưởng số phức phương pháp sai phân tìm cơng thức tổng qt dãy số thật thú vị với ý tưởng số phức, áp dụng vào hàm sinh thấy hàm sinh giải tốt tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số trường hợp phương trình đặc trưng dãy vơ nghiệm  ... phương pháp đếm cấu hình ổ hợp đắc lực , phương pháp hàm sinh Vì kiến thức có hạn chủ yếu cóp nhặt từ số tài liệu nên có sai sót mong quý bạn thông cảm hen Phương pháp hàm sinh phương pháp đại,... đó: hàm sinh dãy Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí Vì Ta có: Mà Vậy Ví dụ 3.2: Tìm CTTQ dãy số Giải: Xét hàm sinh dãy Khi đó: Ta có: Vậy Ví dụ 3.3: Tìm CTTQ dãy số: Giải: Ta có Xét hàm sinh. .. phí I Cơ sở lí thuyết hàm sinh 1.Định nghĩa: Hàm sinh dãy số vô hạn a0,a1,a2, ,an, là chuỗi hình thức xác định G(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn+ : 2.Một số đẳng thức thường dùng hàm sinh: a, 11−x=1+x+x2+x3+