Phương pháp hàm số

CHƯƠNG I HÀM SỐ BÀI PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y  f (x) đồng biến / (a, b)  x1  x   a, b  ta có f  x1   f  x  y  f (x) nghịch biến / (a, b)  x1  x   a, b  ta có f  x1   f  x  y  f (x) đồng biến / (a, b)  (x)  x(a, b) đồng thời (x)  số hữu hạn điểm  (a, b) y  f (x) nghịch biến / (a, b)  (x)  x(a, b) đồng thời (x)  số hữu hạn điểm  (a, b) Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị điểm x  x k  f   x  đổi dấu điểm xk xj  a xi   xi xi     xj xj     b x Giá trị lớn nhỏ hàm số  Giả sử y  (x) liên tục [a, b] đồng thời đạt cực trị x1 , , x n   a, b  Khi đó: Max f  x   Max  f  x1  , , f  x n  , f  a  , f  b  ; x a ,b M in f  x   M in  f  x1  , , f  x n  , f  a  , f  b  x a ,b  Nếu y  f (x) đồng biến / [a, b] Min f  x   f  a  ; Max f  x   f  b  x a ,b  x a ,b   Nếu y  f (x) nghịch biến / [a, b] Min f  x   f  b  ; Max f  x   f  a  x a ,b  x a ,b   Hàm bậc f  x   x   đoạn  a; b  đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đầu mút a; b II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Nghiệm phương trình u(x)  v(x) hoành độ giao điểm đồ thị y  u  x  với đồ thị y  v  x  u(x) Nghiệm bất phương trình u(x)  v(x) phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y  u  x  nằm phía v(x) a   x b so với phần đồ thị y  v  x  Nghiệm bất phương trình u(x)  v(x) phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị y  u  x  nằm phía so với phần đồ thị y  v  x  Nghiệm phương trình u(x)  m hoành độ giao điểm đường thẳng y  m với đồ thị y  u  x  BPT u(x)  m xI  Min u  x   m xI y=m BPT u(x)  m xI  Max u  x   m xI BPT u(x)  m có nghiệm xI  Max u  x   m xI BPT u(x)  m có nghiệm xI  Min u  x   m xI a b x III Các toán minh họa phương pháp hàm số Bài Cho hàm số f  x   mx  2mx  a Tìm m để phương trình (x)  có nghiệm x[1; 2] b Tìm m để bất phương trình (x)  nghiệm x[1; 4] c Tìm m để bất phương trình (x)  có nghiệm x  1; 3 Giải: a Biến đổi phương trình (x)  ta có: f  x   mx  2mx    m  x  x    g  x   3  m x  x  x  1  Để (x)  có nghiệm x[1; 2] Min g  x   m  Max g  x    m  x1;2 x1;2 b Ta có x[1; 4] f  x   mx  2mx    m  x  x    g  x   m , x  1; 4  M in g  x   m x1;4  x  2x Do g  x   giảm [1; 4] nên ycbt  Min g  x   g     m x1;4  x  1  c Ta có với x  1; 3 f  x   mx  2mx    m  x  x   Đặt g  x   , x   1; 3 Xét khả sau đây: x  2x + Nếu x  bất phương trình trở thành m.0   nên vô nghiệm + Nếu x   0; 3 BPT  g  x   m có nghiệm x   0; 3  Min g  x   m x 0;3 Do g  x   giảm /  0;3 nên ycbt  Min g  x   g  3   m x 0;3  x  1  + Nếu x   1;  x  x  nên BPT  g  x   m có nghiệm x   1;  3  x    Max g  x   m Ta có g   x    0, x   1; 0  1;0   x  2x Do g  x  nghịch biến nên ta có Max g  x   g  1  3  m  1;0  Kết luận: (x)  có nghiệm x  1; 3  m   ; 3 U  ;  5  Bài Tìm m để bất phương trình:  x  3mx   13 nghiệm x  x Giải: BPT  3mx  x  13  2, x   3m  x  14   f  x  , x  x x x Ta có f   x   x  45  22  2 x  45   22  22  suy f  x  tăng x x x  x x YCBT  f  x   3m, x   f  x   f 1   3m   m x 1 Bài Tìm m để bất phương trình m.4 x   m  1 x  m   x  ¡ Giải: Đặt t  x  m.4 x   m  1 x  m   x  ¡  m.t   m  1 t   m  1  0, t   m  t  4t  1  4t  1, t   g t   4t   m, t  Ta có t  4t  g t   4t  2t  t  4t  1 0 nên nghịch biến  0;   suy ycbt  Max g  t   g     m t 0 Bài Tìm m để phương trình: x x  x  12  m   x   x  có nghiệm Giải: Điều kiện  x  Biến đổi PT  f  x   x x  x  12  m 5 x  4 x g t  Chú ý: Nếu tính f   x  xét dấu thao tác phức tạp, dễ nhầm lẫn Thủ thuật: Đặt g  x   x x  x  12   g   x   x  h  x    x   x   h  x   Suy ra: g  x   tăng; h  x  > giảm hay 0 x  12 1  0 5 x 4x  tăng h  x g  x tăng Suy f  x   m có nghiệm h  x  m   f  x  ; max f  x     f   ; f    2  15  12  ;12   0;4  0;4   f  x  Bài Tìm m để bất phương trình: x  3x   m  x  x   có nghiệm Giải: Điều kiện x  Nhân hai vế BPT với  x  x    ta nhận bất phương trình f  x    x  x  1  x  x    m Đặt g  x   x  x  ; h  x    x  x   Ta có g   x   3x  x  0, x  1; h   x    x  x     2 x 0  x 1  Do g  x   tăng x  ; h  x   tăng nên f  x   g  x  h  x  tăng x  Khi bất phương trình f  x   m có nghiệm  f  x   f 1   m x 1 Bài Tìm m để   x    x   x  x  m nghiệm x   4, 6 Cách BPT  f  x    x  x    x    x   m x   4, 6 f   x   2 x   2 x     x 1  1  x            x 6  x  x  x   Lập bảng biến thiên suy Max Max f  x   f 1   m  4,6     Cách Đặt t    x    x    x   x  Ta có t   x  x  24 Khi bất phương trình trở thành t  t  m  24, t   0;5  f  t   t  t  24  m; t   0;5  Ta có: f   t   2t    f  t  tăng nên f  t   m; t  0;5  max f  t   f     m  0;5 Bài Tìm m để  x   x  18  3x  x  m  m  x   3, 6 Giải: Đặt t   x   x   t    x   x      x    x    t     x    x      x     x   18  18  x  x    x    x    t   ; t  3;3  Xét f  t    t  t  ; f   t    t  0; t  3;3   max f  t   f  3  2 3;3  ycbt  max f  t    m  m   m  m    m  1 V m  3;3  Bài (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình x   m x   x  có nghiệm thực Giải: ĐK: x  , biến đổi phương trình t g  t  13 + –  3 x   x   m x 1 x 1 Đặt u  x     0,1 x 1 x 1 Khi g  t   3t  2t  m Ta có g   t   6t    t  Do yêu cầu  1  m  3 Bài (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với m  , phương trình x  x   m  x   có hai nghiệm phân biệt Giải: Điều kiện: x  x g x  + Biến đổi phương trình ta có: g  x   x  2  x  6  m  x  2  2   x  2  x  6  m  x     x    x  x  32  m    x  V g  x   x  x  32  m ycbt  g  x   m có nghiệm thuộc khoảng  2;   Thật ta có: g   x   3x  x    0, x  Do g  x  đồng biến mà g  x  liên tục g    0; lim g  x    nên g  x   m có nghiệm   2;   x  Vậy m  , phương trình x  x   m  x   có hai nghiệm phân biệt Bài 10 (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x  x   x   x  m Giải: Đặt f  x   x  x   x   x ; x  0; 6 Ta có: f   x    1      , x   0;        3  6x  x   2x  2x Đặt u  x    2x  ; v  x   , x   0,  2x 6 x 6  x u  x  , v  x   0, x   0,   f ( x)  0, x   0,     u    v      f ( x)  0, x   2,          f (2)  u x , v x  0, x   2,  x + f  x f(x) – 26  24 12  Nhìn BBT ta có PT có nghiệm phân biệt    m   Bài 11 (Đề TSĐH khối D, 2007): x   y    x y Tìm m để hệ phương trình có nghiệm   x  13  y  13  15m  10 x y   Giải: Đặt u  x  ; v  y  ta có x  13  x  x y x x   u  x   x   x  ; v  y   y  x x x y   3x  x   u  3u x x y u  v  u  v   3 u  v   u  v   15m  10 uv   m Khi hệ trở thành   u , v nghiệm phương trình bậc hai f  t   t  5t   m Hệ có nghiệm  f  t   m có nghiệm t1 , t thỏa mãn t1  2; t  Lập Bảng biến thiên hàm số f  t  với t  t f  t  f t  –2  5/2 – – + + + + 22 7/4 Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm   m   m  22 Bài 12 (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): Tìm x để bất phương trình x  x  sin y  cos y    với y  ¡ Giải: Đặt u  sin y  cos y   2,  , BPT  g  u    x  u   x  1  0, u    2,   Min u ,  g u   Do đồ thị y  g  u  đoạn thẳng với u   2,  nên Min u  2,  g      x  2 x    x  1 g u       2   x  2 x    g     x    a, b, c  Chứng minh rằng: a  b  c  abc  a  b  c   Bài 13 Cho  2 Giải: BĐT  a   b  c   2bc  abc   a    a    a   bc     f  u    a   u  2a  6a    u  bc  b  c 2  3  a  2 Như đồ thị y  f  u  đoạn thẳng với u  0;   a   Ta có    f    a  6a   a     2   0; f   a    a  1  a    4 nên suy f  u   0;  u  0;   a     Vậy a  b  c  abc  Đẳng thức xảy  a  b  c  Bài 14 (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984):  a, b, c  Chứng minh rằng: ab  bc  ca  2abc  27 a  b  c   Cho  Giải: a  b  c   1  2a  bc  a 1  a   1  2a  bc  a 1  a   1  2a  u  f  u  2 Đồ thị y  f  u   1  2a  u  a 1  a  với  u  bc  b  c  1  a    đoạn thẳng với giá trị đầu mút f  0  a 1  a    a   a      27      f 1  a    2a  a  1   2a  a  4 27 3 10  27