Ứng dụng phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục  a; b  * u; v   a; b  : f  u   f  v   u  v * Phương trình f  x   k  k  const  có nhiều nghiệm khoảng  a; b  Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục  a; b  , đồng thời lim f  x  lim f ( x )  phương trình f  x   k  k  const  có nghiệm  a; b  x a xb Tính chất logarit: 1.1 So sánh hai logarit số: 1.2 Hệ quả: Cho số dương a  số dương b, c Cho số dương a  số dương b, c  Khi a  log a b  log a c  b  c  Khi a  log a b   b   Khi  a  log a b  log a c  b  c  Khi  a  log a b   b   log a b  log a c  b  c Logarit tích: Logarit thương: Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta có Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta có log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2 log a b1  log a b1  log a b2 b2 Đặc biệt: với a, b  0, a  log a   log a b b Logarit lũy thừa: Công thức đổi số: Cho a, b  0, a  , với  , ta có Cho số dương a, b, c với a  1, c  , ta có log a b   log a b Đặc biệt: log a n b  log a b ( n nguyên dương) n log a b  Đặc biệt: log a c  logc b log c a 1 log a b  log a b với  log c a   Trang 696 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 BÀI TẬP MẪU Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x  2020 log  3x  3  x  y  y ? A 2019 B C 2020 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình mũ, logarit Phương pháp Tìm hàm đặc trưng tốn, đưa phương trình dạng f  u   f  v  HƯỚNG GIẢI: B1: Đưa phương trình cho dạng f  u   f  v  B2: Xét hàm số y  f  t  miền D * Tính y  xét dấu y * Kết luận tính đơn điệu hàm số y  f  t  D B3: Tìm mối liên hệ x; y tìm cặp số  x; y  kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D ĐK: x  1 Ta có log3  3x  3  x  y  y  3log3  3x  3  3log3 3 x 3   y  1  32 y 1 (*) Xét hàm số f  t   3t  3t  , f   t    3t ln  0, t  nên hàm số f  t  đồng biến  Từ *  f  log  3x  3   f  y  1  log  x    y  Mặt khác  x  2020  log  x    1; log  6063    y   1; log  6063   1  y   log  6063    y  Vậy có cặp  x; y  thỏa mãn   y  Z Bài tập tương tự phát triển: Câu 47.1: Có giá trị nguyên tham số 2019 x  m   2019; 2019  để phương trình x  mx  2m    có nghiệm thực phân biệt ? x 1 x2 A 4038 B 2019 C 2017 D 4039 Lời giải Chọn C Trang 697 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 TXĐ: D   \ 1; 2 Ta có x  mx  2m   0 x 1 x2 x  m( x  2)   2019 x   0 x 1 x2 2x 1  2019 x    m (*) x 1 x  2019 x  Đặt f ( x)  2019x  x 1  Khi x 1 x  f '( x)  2019 x ln 2019    x  D ( x  1) ( x  2)2 Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có nghiệm thực phân biệt  m   m  2 Mà m   2019; 2019  m   nên có 2017 giá trị m thỏa mãn  2x   x Câu 47.2: Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  y  2020 log3    y 1 ? y   A 2019 C 2020 B 11 D Lời giải Chọn B y   x  1   2x   x  Từ giả thiết ta có:   y  y  Ta có: PT  log  x  1  x   log y  y (*) Trang 698 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Xét hàm số f  t   log t  t  0;   Khi f   t     hàm số f  t   log t  t đồng biến  0;   t ln (*) có dạng f  x  1  f  y   y  x  Vì  y  2020   2x   2020   x  2021   x  log  2021 0  x  log  2021  x  0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10 Vậy có 11 cặp  x; y  thỏa mãn   x   Câu 47.3: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn e3 x 5 y  e x 3 y 1   x  y , đồng thời thỏa mãn log 32  3x  y  1   m   log3 x  m   ? A B C D Lời giải Chọn B Ta có e3 x 5 y  e x 3 y 1   x  y  e3 x y   3x  y   e x 3 y 1   x  y  1 (1) Xét hàm số f  t   et  t  Ta có f   t   et   nên hàm số đồng biến  Khi (1)  f  3x  y   f  x  y  1  x  y  x  y   y   x Thế vào phương trình lại ta log 32 x   m   log3 x  m2   (2) Đặt t  log3 x Số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình t   m   t  m2   (3) Phương trình (3) có nghiệm    3m  12 m    m  Do có số nguyên m thỏa mãn Câu 47.4: Có số nguyên m để phương trình log  x  m   log x  x  x  2m  có hai nghiệm thực phân biệt ? A B C D Lời giải Chọn C x   Điều kiện  m  x   log  x  m   log x  x  x  2m  Trang 699 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  log  x  m   2log x  x   x  2m    log  x  m    x  2m    log x  x  log 2  x  m    x  m   log x  x (1) Xét f  u   log u  u ,  u   f 'u     , hàm số đồng biến (0; ) u ln Khi (1)  f   x  m    f  x    x  m   x  x  x  2m Xét hàm số g  x   x  x,  x   Phương trình có nghiệm dương 4  2m   2  m  suy có giá trị nguyên Câu 47.5: Biết x1 , x2 x1  x2  hai nghiệm phương trình  x2  4x   log    4x 1  6x 2x   a  b với a , b hai số nguyên dương Tính a  b   A a  b  13 B a  b  11 C a  b  16 D a  b  14 Lời giải Chọn D Điều kiện: x  0, x   4x2  4x   2 Ta có: log    x   x  log  x  x  1  x  x   log  x   x x   Xét hàm số f  t   log t  t có f   t     t  nên hàm số đồng biến t ln  0;   Do ta có x  x   x  x  x    x  3 Trang 700 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Khi x1  x2  Vậy x1  3 3 3 3 2   x1  x2  2  9 4 4 4     3 3 ; x2  Do a  9; b  a  b    14 4 Câu 47.6: Biết phương trình log5  x x 1   log3    có nghiệm dạng x  a  b x  2 x a, b số nguyên Tính a  b A C B D Lời giải Chọn B Ta có log  x x 1  x 1  x 1   log3    log3    log5  1 x x 2 x   2 x ĐKXĐ: x  1  log5   x   2log3 x  log5 x  2log3  x  1 (*) Xét hàm số f  t   log t  log  t  1 , với t  f  t     với t  , suy f  t  đồng biến khoảng 1;    t.ln  t  1 ln   Từ (*) ta có f x   f  x  nên suy x   x   x  x 1   x  1 (do x  ) Suy x   2  a  3; b   2a  b  Câu 47.7: Tìm x  3 tổng m 3 x A 45  tất giá trị nguyên m để phương trình   x  x  24 x  m 3x 3  x  có nghiệm phân biệt B 34 C 27 D 38 Lời giải Chọn C Trang 701 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU x  3 m3 x  x  3 3 3    x  x  24 x  m 3x 3  3x  m3 x m 3 x 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020   x  3  27  m  x  3x 3  3x      x  3  m  3x  27  33  33 x 1 1  3b  27  b3  a  27  3a  3b  b3  3a  a3 Đặt a   x; b  m  x , phương trình (1) trở thành 3b  27  b3  a  27  3a  3b  b3  3a  a3 Xét hàm số f  t   3t  t  f '  t   3t.ln  3t  0, t   (1)  f  a   f  b   a  b   x  m  x  m    x   x   x  x  24 x  27 g  x    x3  x  24 x  27  g '  x   3x  18 x  24 g ' x   x   x  Đồ thị: Dựa vào đồ thị ta thấy điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt  m  11 hay m  8;9;10 Câu 47.8: Tìm giá trị m để phương trình 3sin x  A  m  cos x  m   log sin x  cos x 10  m   có nghiệm C   m   B 5  m  D   m  Lời giải Chọn C Ta có sin x  cos x  m   3sin x   log sin x  cos x 10 m 5    m  5 ln  m   cos x 10 ln sin x  cos x  10  Trang 702 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  3sin x   50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  ln sin x  cos x  10  m 5.ln  m   cos x 10 (1) Xét f  t   ln  t  3t , t  , f   t   3t  ln  t  3t ln  3  0, t  nên hàm số f  t  đồng t biến (5; ) Khi   (1)  f sin x  cos x  10  f  m  5  sin x  cos x  10  m   sin x  cos x   m Mà   sin x  cos x  nên để phương trình có nghiệm ta phải có   m   Câu 47.9: Số nghiệm thực phương trình x  3log  x  1  x  B A C D Lời giải Chọn B Điều kiện: x   PT:  x  x  3log  x  1  x   x  x  log6  x 1  3log  x  1 (1) Xét hàm số f  t   6t  3t , f   t   6t.ln   0, t   nên f  t  đồng biến  Khi 1  f  x   f  log  x  1   x  log  x  1  log  5x  1  x    Xét hàm số h  x   log  x  1  x   ;   , ta có   h  x   1  x  1 ln h  x    25  x  1  0, x   ln lim  h  x   ; lim h  x   1 x   1 x    5 Bảng biến thiên: Trang 703 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020   Từ BBT suy phương trình h  x   có nhiều nghiệm thuộc khoảng   ;     Mà h    0, h 1  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0, x  Câu 47.10:  5x  3x  x 1 x Tính tổng S tất nghiệm phương trình ln     5.3  30 x  10  x    A S  B S  C S  1 D S  Lời giải Chọn A Điều kiện x   Phương trình tương đương ln  x  3x   ln  x     x  x    x     ln  x  3x    x  x   ln  x     x   (1) Xét hàm số f  t   ln t  5t , t  Có f '  t     ,  t  nên f  t  đồng biến t  0;    Từ 1 suy f  x  3x   f  x    x  x  x   x  x  x   Xét g  x   5x  3x  x  , g '  x   5x ln  3x ln  2 g ''  x   x  ln   3x  ln   , x   Trang 704 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Nên g '  x   có khơng q nghiệm suy g  x   có khơng q nghiệm     ;   Mà g    g 1  Vậy phương trình có tập nghiệm 0,1 Do S    x  80  2.3x 1  x  80  ln Số nghiệm phương trình ln x Câu 47.11: A B D C Lời giải Chọn C PT  ln x  80  x  80  ln 3x 1  2.3 x1 (1) Xét hàm số f  t   ln t  2t , t  ; Ta có: f   t     0, t   Hàm số f  t  đồng biến t  0;  Từ (1) suy f   x  80  f  x 1   x  80  x 1  x  80  x 1  x 1  x  80  Xét hàm số g  x   x1  x  80  Ta có: g   x   2.9 x 1 ln  x g   x   4.9 x1  ln 3    g   x    x  x0   log  ln 3   g ( x0 )  g   log  ln 3   3,  lim g   x   ; lim g ( x)   x  x  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có g '  x   0, x    hàm số g  x  đồng biến   phương trình g  x   có nhiều nghiệm Mà g 1  Do phương trình cho có nghiệm Câu 47.12: Cho phương trình x  m  log  x  m  với m tham số Có giá trị nguyên m   18;18 để phương trình cho có hai nghiệm? Trang 705 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 47.20: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 y x Cho hai số thực x, y lớn thỏa mãn y x (e x ) e  x y (e y ) e Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  log x xy  log y x A B 2 C 1 2 D 1 Lời giải Chọn C Với x, y  , ta có y y x (e x ) e  x y ( e y ) e   ln y x (e x ) e y x   ln  x (e )  y ex y  x ln y  xe y  y ln x  ye x  ln y e y ln x e x    (1) y y x x Xét hàm số g (t )  tet  et   ln t 1;   , có g (t )  tet   0, t  t Hàm số g (t ) đồng biến 1;   nên g (t )  g (1)   0, t  Xét hàm số f (t )  g (t ) ln t et  1;   , có f '(t )   0, t  1, nên f (t ) đồng biến t t t (1; ) Với x, y  (1)  f ( y)  f ( x)  y  x Đặt u  log x y Do y  x  nên u  Ta có P  h(u)  1 u u2   Nhận thấy h '(u )  , u 2u nên h '(u )  u  2, h '(u )   u  2, h '(u )  u  Dẫn tới P  h(u )  h     22 Vậy P  Câu 47.21: , u  1, đẳng thức xảy u  1 2 , đạt y  x 2 x  Cho hai số thực x , y thỏa mãn  x, y  x , y không đồng thời  x y  log     x  1  y  1   Tìm giá trị nhỏ P với P  x  y   xy  A B C D Lời giải Trang 716 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn B Từ điều kiện đề x y  0;1  xy   x  y  0;1  xy   xy  x y  log     x  1  y  1    log  x  y    x  y   log   xy   1  xy    xy  Xét hàm số f  t   log t  t  1  t   có f   t   t.ln1   t   f  t  hàm số đồng biến khoảng  0;   Vậy phương trình  1  x  y   xy  y  Xét hàm số f ( x)  x  1 x 1 x  P  2x  1 x 1 x x  2 1 x cho f ( x)    với x   0; 1 có f ( x)   x1  x  2  x  1 f    1; f  1   f ( x)   chọn B  0;1 Câu 47.22:   2x  Xét số thực dương x , y thỏa mãn ln    3x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin  x y  P  1  x xy A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  16 Lời giải Chọn A Điều kiện  x    2x  Từ giả thiết ln    3x  y   ln   x     x   ln  x  y    x  y   1  x y  Xét hàm số f  t   ln t  t  0;   có f   t     , t  hàm f  t  đơn điệu t Vậy  1   x  x  y  x  y    Có P  1 2      x xy x x  y x  2x Đặt g  x   , ta có g  x     suy g  x    x   x  2x x 1  2x  Do g  x   Vậy Pmin   1  0;   2 Bổ sung: đánh giá P  1 2        x xy x x  y x  2x x   x Trang 717 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 47.23: 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Cho hai số thực x , y không âm thỏa mãn x  x  y   log 2 y 1 Giá trị nhỏ x 1 biểu thức P  e x 1  x  y  A  B C D  Lời giải Chọn A x  x  y   log2 y 1 2   x  1  log 2  x  1  log  y  1   y  1 x 1  Xét hàm số f  t   t  log t ,  t  0 ; f   t      0, t  t ln 2 Suy  x  1  y   y   x 1 1 2 x 1 P  e x 1  x  y   e  4x   x 1 1 1  e x 1  x  x  g  x  g   x   2e2 x 1  x  hàm số đồng biến nửa khoảng 0;  nên g   x   có tối đa nghiệm, nhẩm nghiệm x  Vậy P   Câu 47.24: nên nghiệm 1 x  2 Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức  xy  1 2 xy 1   x  y  x  y Tìm giá trị nhỏ ymin y A ymin  B ymin  C ymin  D ymin  Lời giải Chọn B Ta có  xy  1 22 xy 1   x  y  x y   xy   1 2 xy 1   x  y  x  y 1 1 Xét hàm f  t    t  1 2t với t  Khi f   t   2t   t  1 2t.ln  với t  Từ 1  xy   x  y   y  x2  2x 1 Trang 718 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU y  x2  x   x  1 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 x    x2  x      x  1 Loại x  1 điều kiện t nên f     x, y    Cho  cho ln 2    x, y  1 biểu thức T  x  x  3y Câu 47.25: x   x3  ln  19 y  xy ( x  y ) Tìm giá trị nhỏ m   y C m  B m  A m   D m  Lời giải Chọn C Ta có  x  3 ln 2   x3  ln  19 y  xy ( x  y)  ln 2 y  x   2 y  x   ln 3 y   3 y  1   y  Xét hàm số f t   ln t   t với t  có f  t    3t  t   f t  đồng biến t Vậy 1  y  x  y  x  y  T  x  4x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM 3x x 3x x 3x T  x            Dấu xảy 4x 4 4x 4 4x 4 x  y 1 Câu 47.26: Cho x4 y  x; y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  x    3 x4 y  y  x  4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y 3xy B  A C  D 1 Lời giải Chọn B Ta có x4 y  xy  x    3 x4 y  y  x  4 xy  x4 y  3 x4 y  x  y  xy1  31 xy  xy 11 Xét hàm số f t   5t  3t  t  Vì f  t   5t ln  3t.ln   0; x   nên hàm số f t  đồng biến  2  Từ 1  2 ta có x  y  xy 13 Dễ thấy x  không thỏa mãn 3 Với x  , 3  y  x 1 kết hợp điều kiện y  suy x  x 4 Trang 719 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Do P  x  y  x  x 1 x4 Xét hàm số g  x  x  x 1 4;  x4 Ta có g   x   1 x  4     x  4  x   x – g  x g  x  4    52 Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin  g  x   4;  Câu 47.27: Cho x , y số thực dương thỏa mãn x  y  xy  x    3 x y  y ( x  2) Tìm giá xy trị nhỏ biểu thức T  x  y A Tmin   B Tmin   C Tmin   D Tmin   Lời giải Chọn B Theo đề ta có xy x     3 x 2 y  y ( x  2) 3xy 1  x  y  x  y  x  y  xy 1  xy 1  xy  3 x y  Xét f  t   5t   t  f   t   5t ln  3t ln   t  x  y  xy   y  Ta có: T  x  y  x  T  x2  4x   x  2 x 1 x 1 Do y  0, x   0 x2 x2 x2 x 1 x2  x 1  x2 x2  x     2;   0  x     2;   Bảng biến thiên Chỉnh lại bbt cho em,chỉ xét với x  nhé,kết khơng thay đổi Trang 720 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin   x   Xét số thực dương x, y thỏa mãn log Câu 47.28: biểu thức A  x  A Amin  x  3y  xy  y  x  Tìm giá trị nhỏ xy  1 y 14 B Amin   14 C Amin  6 D Amin  Lời giải Chọn D Điều kiện: x  y  log x  3y  xy  y  x   log  x  y   log  xy  1  xy  y  x  xy   log  x  y    x  y   log  xy  1  xy  11 Xét hàm f  t   log t  t , t  f  t     0, t  t.ln Suy hàm số f  t  đồng biến  0;    nên 1  x  y  xy   y  A x x3  x y x 1 Đặt A  A  x   x  Câu 47.29: x 1 x3 x3  A  x      x  x , y  x 1  x  1  Cho x, y  thỏa 2019 x2  y 2   4x  y   x  2  Tìm giá trị nhỏ P P  y  4x A 2018 B 2019 Lời giải C D Trang 721 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn D Ta có: 2019  2019   x  y 2 2 x  2  4x  y   x  2  x  2  2019   2019   x  x  24 x  y  2  4x  y   x  2 24 x  y   4 x  y  * u   x  22  Đặt  u, v  0 v  x  y   Khi đó: *  2019 u.u  2019 v.v  f u   f v  với f t   2019 t t , (t  0)  f ' t   2019 2t ln 2019.t  2019 t  0,  t  Do đó: f u   f v   u  v   x  2  x  y   y  x  2  P  y  x  x  x    x 1   Vậy Pmin   x  Cho số thực dương x, y thỏa mãn log  x  1 y  1  biểu thức P  x  y Câu 47.30: A Pmin  11 B Pmin  27 y1    x  1 y  1 Giá trị nhỏ C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Chọn D Ta có log  x  1 y  1  y1    x  1 y  1   y  1  log  x  1  log  y  1    x  1 y  1    y  1  log  x  1  log  y  1  x  1   log  x  1  x    log  y  1 y 1  log  x  1  x    9   log y 1 y1 Xét hàm số f  t   log t  t  với t  có f   t     với t  nên hàm số t ln f  t  đồng biến liên tục  0;   Từ suy x   Vậy P  x  y  8y 9 , x  nên y   0;  x 1  y 1 y 1 y 1 8y 9  2y  2y     y  1    3  y1 y1 y 1 Trang 722 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Vậy Pmin  3   y  1  Câu 47.31: y 1 y1 1 y  3xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ x  3xy Xét số thực dương x, y thỏa mãn log Pmin P  x  y A Pmin  34 B Pmin  34 C Pmin  34 D Pmin  34 Lời giải Chọn B 1 y log  3xy  x  y   log 1  y   log  x  3xy   3xy  x  y  x  3xy  log 3 1  y   1  y   log  x  xy    x  xy    0, t  Suy hàm số đồng biến t ln  0;   Suy  log3 1  y   1  y   log3  x  3xy    x  3xy   1  y   x  3xy Xét hàm f  t   log t  t , t  có f '  t   Câu 47.32: 1  y  1  y  4 34 Vậy Pmin  1 3y 1 3y 3 x y Xét số thực dương x, y thỏa mãn log  x  x  3  y  y  3  xy Tìm x  y  xy  x  x y  y  giá trị lớn Pmax biểu thức P  A 3x  y  x y6 B C D Lời giải Chọn C Ta có: log x y  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  2  log 3  x  y    x  y   log Xét hàm số f  t   log t  t , t  có f   t   x  y  xy    x  y  xy  t ln   0, t  Vậy hàm số f  t  đồng biến liên tục khoảng  0;   Do đó: f   x  y    f  x  y  xy     x  y   x  y  xy  1 Từ 1  xy   x  y    x  y    x  y 1 Ta có x  x  xy  xy  x  y  1  xy     xy   Đẳng thức xảy x  y  Trang 723 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Do từ 1 , suy ra: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  x  y  1 x   x  y   3 x  y   Đặt t  x  y , t   x  y  1 x Suy ra: P   x y6 Ta có: f   t    t  1 2t    t  3t  3t  22t    f t  t 6 t  6 3t  36t  135 t  6 2   t  (nhận) Bảng biến thiên t  f  t    f t  x  y 1 x  Dựa vào BBT, ta có max P  max f  t   f  3     0;   x  y  y  Câu 47.33: Xét số thực dương x , y thỏa mãn 2018   x  y 1  2x  y  x  1 Tìm giá trị nhỏ Pmin P  y  3x A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có 2018   x  y 1  2x  y  x  1   x  y  1  log 2018   x  1   x  y   log 2018  x  y   log 2018  x  1 2x  y  x  1 2   x  1  log 2018  x  1   x  y   log 2018  x  y  Có dạng f  x  1   f  x  y  với f  t   2t  log 2018 t ,  t     Xét hàm số f  t   2t  log 2018 t ,  t   , ta có f   t      t   nên hàm số t.ln 2018 2 f  t  đồng biến khoảng  0;    Khi f  x  1   f  x  y    x  1  x  y    y  x2  Ta có P  y  3x   x  1  3x  x  3x  Trang 724 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Bảng biến thiên x    P Vậy Pmin   x  Cho số thực dương x, y thỏa mãn log  x  1 y  1  biểu thức P  x  y Câu 47.34: A Pmin  11 B Pmin  27 y 1    x  1 y  1 Giá trị nhỏ C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Chọn D Ta có log  x  1 y  1  y 1    x  1 y  1   y  1 log  x  1  log3  y  1    x  1 y  1    y  1 log3  x  1  log  y  1  x  1   log3  x  1  x    log  y  1 y 1  log  x  1  x    9   log (*) y 1 y 1 Xét hàm số f  t   log t  t  với t  có f   t     với t  nên hàm số f  t  t ln đồng biến liên tục  0;   Từ (*) suy x   Vậy P  x  y  9 8 y x 1  , x  nên y   0;8  y 1 y 1 y 1 8 y 9  y  y 1    y  1    3  y 1 y 1 y 1 Vậy Pmin  3   y  1  Câu 47.35:  y 1 y 1 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x  x  x  y   log   y   x Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y   x y Trang 725 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 59 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 B 19 C 53 D  Lời giải Chọn B x  Điều kiện:  0  y  Từ giả thiết ta có: log x  x  x  y   log   y   x  log x  x  log  x   y    x   y  (*) Xét hàm số f  t   log t  t với t  , Ta có f '  t     0, t  nên hàm số t ln f  t   log t  t đồng biến khoảng  0;   Do *  f  x   f  x   y    x  x   y   x   y  x  y   ** ( x  ) Áp dụng Bất đẳng thức Cô si cho cặp số dương bất đẳng thức ** , ta có: 3x y  3x   y  P  3x  y     x  y              19 x y 2 x y  x 2 y  x  y   x   3x Đẳng thức xảy   Vậy giá trị nhỏ P 19  y  2 x y 2  y  Câu 47.36: Cho x , y số dương thỏa mãn log x2  y2   x  10 xy  y  Gọi M ,m x  10 xy  y x  xy  y Tính T  10 M  m xy  y C T  104 D T  50 giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  A T  60 B T  94 Lời giải Chọn B log x2  y2   x  10 xy  y  x  10 xy  y  log  x  y   log  x  10 xy  y   log 2   x  y    x  10 xy  y    log  x  10 y    x  y   log  x  10 xy  y    x  10 xy  y   x2  10 y  x  10 xy  y vi) Trang 726 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  x x x  x  10 xy  y      10        y  y  y 2 x x  y  y 9 2 x  xy  y P   x xy  y 1 y x , điều kiện :  t  y Đặt t  f t   t  2t   t  4 t2  t  ; f  t   ; f  t     t 1  t  1 t  f  1  11 99 ; f    ; f 9  10 Nên M  Câu 47.37: 99 , m  Vậy T  10 M  m  94 10 Vậy Amin  Cho số thực dương x y thỏa mãn  9.3x Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 y    9x 2 y .7 y  x2  x  y  18 x 3 A P  B P  C P   D Hàm số khơng có giá trị nhỏ Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta đặt t  x  y , t   Phương trình  9.3x 2 y    9x 2 y .7 y x2 2 trở thành   t  49 t t  9.3     t    49   9    49       t t Nhận thấy t  nghiệm phương trình Ta chứng minh t  nghiệm phương trình t 7  Xét t  : t  49    49 nên vế trái phương trình ln dương, nên phương trình vơ 3 nghiệm t 7  Xét t  :  49    49 nên vế trái phương trình ln âm, nên phương trình vơ 3 nghiệm t Trang 727 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy t  x  y   y   x Câu 47.38: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 x2  x  y  18 x  x  16 thay vào P   x x 16 16 16   x   Dấu đạt x   x  x x x   Cho x, y số thực lớn cho y x e x ey ex  x y  e y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log x xy  log y x A B 2 C 1 2 D 1 Lời giải Chọn C Cách y x y x e e e e Ta có: y x  e x   x y  e y   ln  y x  e x    ln  x y  e y       x y  x ln y  xe y  y ln x  ye x   (*) (vì y  e x  ln x có x ln x  e ln y  e y y '  e x   0; x  nên y  y 1  e  ) x Xét hàm số: f  t   t ln t  et   tet 1;  ta có Với hàm số f ' t      ln t  et  ln t  et  g  t   ln t  et 1  tet có g '  t    ln t  et   tet  '   tet  0, t  t Nên g  t   g 1  1  f '  t   0; t   y  f  t  hàm nghịch biến 1;   nên với (*) f  x   f  y   y  x  Khi P  log x xy  log y x  Dấu “=” xảy khi: Vậy: Pmin  Câu 47.39: 1 1 1 1 2  log x y    log x y  2 log x y 2 log x y 1 log x y    log x y    y  x log x y 1 2 2 Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  biết với x  1  y  A P  13 B P  C P  x2  x2 1  log 14   y   y   D P  Lời giải Trang 728 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn B Xét x2  Ta có x2 1 x2  x2  log 14   y   y   1 x2 4 x2 1  , dấu xảy x  1 , Mặt khác 14   y   y   14  y   Đặt t  y  ta có  t    y 1 30 Xét hàm số f  t   t  3t  14 Ta tìm GTLN – GTNN   30  56  30 30  hàm số đoạn 0; ; max f  t   f 1  16 f  t   f     min  30  30  2 0;       0;          Suy log 14   y   y    log 16  ,    x  1  x  1 Thay vào P  Từ suy ta có   t  y   y  1 ,  y  log 11  x  y   y  x  Xét 2 biểu thức P  16 yx  x  y    y  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn Câu 47.40: Cho hai số thực x , y thỏa mãn  x  P Khi giá trị T   4m  M  bao nhiêu? A 16 B 18 C 17 D 19 Lời giải Chọn A Ta có log 11  x  y   y  x    x  y   log 11   x  y     Đặt t  x  y ,  t  11 Phương trình trở thành: 2t  log 11  t    1 Xét hàm số f  t   2t  log 11  t   khoảng  0;11 Có y    , t   0;11 Do hàm số f  t  đồng biến 11  t Dễ thấy 1 có nghiệm t  Do t  nghiệm 1 Suy x   y Khi 1  y  P  16 y  1  y  y    y   y  y  y   1 Xét hàm số g  y   y  y  y  0;  , có  2  1 g   y   12 y  10 y   , y   0;   2 Trang 729 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Do đó, g  y   g    , max g  y   g 1   1 0;   1  0;    Suy m  , m  Vậy T  4.3   16 Trang 730 ... cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x  2020 log  3x  3  x  y  y ? A 2019 B C 2020 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình mũ, logarit Phương. .. x Số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình t   m   t  m2   (3) Phương trình (3) có nghiệm    3m  12 m    m  Do có số nguyên m thỏa mãn Câu 47.4: Có số nguyên m để phương. .. trình mũ, logarit Phương pháp Tìm hàm đặc trưng tốn, đưa phương trình dạng f  u   f  v  HƯỚNG GIẢI: B1: Đưa phương trình cho dạng f  u   f  v  B2: Xét hàm số y  f  t  miền D *