Ứng dụng phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit

Tài liệu gồm 35 trang được biên soạn bởi tập thể quý thầy, cô giáo nhóm Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT, hướng dẫn ứng dụng phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit, được phát triển dựa trên câu 47 đề thi minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020 do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố.

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục  a; b  * u; v   a; b  : f  u   f  v   u  v * Phương trình f  x   k  k  const  có nhiều nghiệm khoảng  a; b  Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục  a; b  , đồng thời lim f  x  lim f ( x )  phương trình f  x   k  k  const  có nghiệm  a; b  x a xb Tính chất logarit: 1.1 So sánh hai logarit số: 1.2 Hệ quả: Cho số dương a  số dương b, c Cho số dương a  số dương b, c  Khi a  log a b  log a c  b  c  Khi a  log a b   b   Khi  a  log a b  log a c  b  c  Khi  a  log a b   b   log a b  log a c  b  c Logarit tích: Logarit thương: Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta có Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta có log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2 log a b1  log a b1  log a b2 b2 Đặc biệt: với a, b  0, a  log a   log a b b Logarit lũy thừa: Công thức đổi số: Cho a, b  0, a  , với  , ta có Cho số dương a, b, c với a  1, c  , ta có log a b   log a b Đặc biệt: log a n b  log a b ( n nguyên dương) n log a b  Đặc biệt: log a c  logc b log c a 1 log a b  log a b với  log c a   Trang 696 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 BÀI TẬP MẪU Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x  2020 log  3x  3  x  y  y ? A 2019 B C 2020 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình mũ, logarit Phương pháp Tìm hàm đặc trưng tốn, đưa phương trình dạng f  u   f  v  HƯỚNG GIẢI: B1: Đưa phương trình cho dạng f  u   f  v  B2: Xét hàm số y  f  t  miền D * Tính y  xét dấu y * Kết luận tính đơn điệu hàm số y  f  t  D B3: Tìm mối liên hệ x; y tìm cặp số  x; y  kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D ĐK: x  1 Ta có log3  3x  3  x  y  y  3log3  3x  3  3log3 3 x 3   y  1  32 y 1 (*) Xét hàm số f  t   3t  3t  , f   t    3t ln  0, t  nên hàm số f  t  đồng biến  Từ *  f  log  3x  3   f  y  1  log  x    y  Mặt khác  x  2020  log  x    1; log  6063    y   1; log  6063   1  y   log  6063    y  Vậy có cặp  x; y  thỏa mãn   y  Z Bài tập tương tự phát triển: Câu 47.1: Có giá trị nguyên tham số 2019 x  m   2019; 2019  để phương trình x  mx  2m    có nghiệm thực phân biệt ? x 1 x2 A 4038 B 2019 C 2017 D 4039 Lời giải Chọn C Trang 697 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 TXĐ: D   \ 1; 2 Ta có x  mx  2m   0 x 1 x2 x  m( x  2)   2019 x   0 x 1 x2 2x 1  2019 x    m (*) x 1 x  2019 x  Đặt f ( x)  2019x  x 1  Khi x 1 x  f '( x)  2019 x ln 2019    x  D ( x  1) ( x  2)2 Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*) có nghiệm thực phân biệt  m   m  2 Mà m   2019; 2019  m   nên có 2017 giá trị m thỏa mãn  2x   x Câu 47.2: Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  y  2020 log3    y 1 ? y   A 2019 C 2020 B 11 D Lời giải Chọn B y   x  1   2x   x  Từ giả thiết ta có:   y  y  Ta có: PT  log  x  1  x   log y  y (*) Trang 698 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Xét hàm số f  t   log t  t  0;   Khi f   t     hàm số f  t   log t  t đồng biến  0;   t ln (*) có dạng f  x  1  f  y   y  x  Vì  y  2020   2x   2020   x  2021   x  log  2021 0  x  log  2021  x  0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10 Vậy có 11 cặp  x; y  thỏa mãn   x   Câu 47.3: Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn e3 x 5 y  e x 3 y 1   x  y , đồng thời thỏa mãn log 32  3x  y  1   m   log3 x  m   ? A B C D Lời giải Chọn B Ta có e3 x 5 y  e x 3 y 1   x  y  e3 x y   3x  y   e x 3 y 1   x  y  1 (1) Xét hàm số f  t   et  t  Ta có f   t   et   nên hàm số đồng biến  Khi (1)  f  3x  y   f  x  y  1  x  y  x  y   y   x Thế vào phương trình cịn lại ta log 32 x   m   log3 x  m2   (2) Đặt t  log3 x Số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình t   m   t  m2   (3) Phương trình (3) có nghiệm    3m  12 m    m  Do có số nguyên m thỏa mãn Câu 47.4: Có số nguyên m để phương trình log  x  m   log x  x  x  2m  có hai nghiệm thực phân biệt ? A B C D Lời giải Chọn C x   Điều kiện  m  x   log  x  m   log x  x  x  2m  Trang 699 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  log  x  m   2log x  x   x  2m    log  x  m    x  2m    log x  x  log 2  x  m    x  m   log x  x (1) Xét f  u   log u  u ,  u   f 'u     , hàm số đồng biến (0; ) u ln Khi (1)  f   x  m    f  x    x  m   x  x  x  2m Xét hàm số g  x   x  x,  x   Phương trình có nghiệm dương 4  2m   2  m  suy có giá trị nguyên Câu 47.5: Biết x1 , x2 x1  x2  hai nghiệm phương trình  x2  4x   log    4x 1  6x 2x   a  b với a , b hai số nguyên dương Tính a  b   A a  b  13 B a  b  11 C a  b  16 D a  b  14 Lời giải Chọn D Điều kiện: x  0, x   4x2  4x   2 Ta có: log    x   x  log  x  x  1  x  x   log  x   x x   Xét hàm số f  t   log t  t có f   t     t  nên hàm số đồng biến t ln  0;   Do ta có x  x   x  x  x    x  3 Trang 700 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Khi x1  x2  Vậy x1  3 3 3 3 2   x1  x2  2  9 4 4 4     3 3 ; x2  Do a  9; b  a  b    14 4 Câu 47.6: Biết phương trình log5  x x 1   log3    có nghiệm dạng x  a  b x  2 x a, b số nguyên Tính a  b A C B D Lời giải Chọn B Ta có log  x x 1  x 1  x 1   log3    log3    log5  1 x x 2 x   2 x ĐKXĐ: x  1  log5   x   2log3 x  log5 x  2log3  x  1 (*) Xét hàm số f  t   log t  log  t  1 , với t  f  t     với t  , suy f  t  đồng biến khoảng 1;    t.ln  t  1 ln   Từ (*) ta có f x   f  x  nên suy x   x   x  x 1   x  1 (do x  ) Suy x   2  a  3; b   2a  b  Câu 47.7: Tìm x  3 tổng m 3 x A 45  tất giá trị nguyên m để phương trình   x  x  24 x  m 3x 3  x  có nghiệm phân biệt B 34 C 27 D 38 Lời giải Chọn C Trang 701 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU x  3 m3 x  x  3 3 3    x  x  24 x  m 3x 3  3x  m3 x m 3 x 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020   x  3  27  m  x  3x 3  3x      x  3  m  3x  27  33  33 x 1 1  3b  27  b3  a  27  3a  3b  b3  3a  a3 Đặt a   x; b  m  x , phương trình (1) trở thành 3b  27  b3  a  27  3a  3b  b3  3a  a3 Xét hàm số f  t   3t  t  f '  t   3t.ln  3t  0, t   (1)  f  a   f  b   a  b   x  m  x  m    x   x   x  x  24 x  27 g  x    x3  x  24 x  27  g '  x   3x  18 x  24 g ' x   x   x  Đồ thị: Dựa vào đồ thị ta thấy điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt  m  11 hay m  8;9;10 Câu 47.8: Tìm giá trị m để phương trình 3sin x  A  m  cos x  m   log sin x  cos x 10  m   có nghiệm C   m   B 5  m  D   m  Lời giải Chọn C Ta có sin x  cos x  m   3sin x   log sin x  cos x 10 m 5    m  5 ln  m   cos x 10 ln sin x  cos x  10  Trang 702 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  3sin x   50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  ln sin x  cos x  10  m 5.ln  m   cos x 10 (1) Xét f  t   ln  t  3t , t  , f   t   3t  ln  t  3t ln  3  0, t  nên hàm số f  t  đồng t biến (5; ) Khi   (1)  f sin x  cos x  10  f  m  5  sin x  cos x  10  m   sin x  cos x   m Mà   sin x  cos x  nên để phương trình có nghiệm ta phải có   m   Câu 47.9: Số nghiệm thực phương trình x  3log  x  1  x  B A C D Lời giải Chọn B Điều kiện: x   PT:  x  x  3log  x  1  x   x  x  log6  x 1  3log  x  1 (1) Xét hàm số f  t   6t  3t , f   t   6t.ln   0, t   nên f  t  đồng biến  Khi 1  f  x   f  log  x  1   x  log  x  1  log  5x  1  x    Xét hàm số h  x   log  x  1  x   ;   , ta có   h  x   1  x  1 ln h  x    25  x  1  0, x   ln lim  h  x   ; lim h  x   1 x   1 x    5 Bảng biến thiên: Trang 703 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020   Từ BBT suy phương trình h  x   có nhiều nghiệm thuộc khoảng   ;     Mà h    0, h 1  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0, x  Câu 47.10:  5x  3x  x 1 x Tính tổng S tất nghiệm phương trình ln     5.3  30 x  10  x    A S  B S  C S  1 D S  Lời giải Chọn A Điều kiện x   Phương trình tương đương ln  x  3x   ln  x     x  x    x     ln  x  3x    x  x   ln  x     x   (1) Xét hàm số f  t   ln t  5t , t  Có f '  t     ,  t  nên f  t  đồng biến t  0;    Từ 1 suy f  x  3x   f  x    x  x  x   x  x  x   Xét g  x   5x  3x  x  , g '  x   5x ln  3x ln  2 g ''  x   x  ln   3x  ln   , x   Trang 704 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Nên g '  x   có khơng q nghiệm suy g  x   có khơng q nghiệm     ;   Mà g    g 1  Vậy phương trình có tập nghiệm 0,1 Do S    x  80  2.3x 1  x  80  ln Số nghiệm phương trình ln x Câu 47.11: A B D C Lời giải Chọn C PT  ln x  80  x  80  ln 3x 1  2.3 x1 (1) Xét hàm số f  t   ln t  2t , t  ; Ta có: f   t     0, t   Hàm số f  t  đồng biến t  0;  Từ (1) suy f   x  80  f  x 1   x  80  x 1  x  80  x 1  x 1  x  80  Xét hàm số g  x   x1  x  80  Ta có: g   x   2.9 x 1 ln  x g   x   4.9 x1  ln 3    g   x    x  x0   log  ln 3   g ( x0 )  g   log  ln 3   3,  lim g   x   ; lim g ( x)   x  x  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có g '  x   0, x    hàm số g  x  đồng biến   phương trình g  x   có nhiều nghiệm Mà g 1  Do phương trình cho có nghiệm Câu 47.12: Cho phương trình x  m  log  x  m  với m tham số Có giá trị nguyên m   18;18 để phương trình cho có hai nghiệm? Trang 705 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 47.20: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 y x Cho hai số thực x, y lớn thỏa mãn y x (e x ) e  x y (e y ) e Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  log x xy  log y x A B 2 C 1 2 D 1 Lời giải Chọn C Với x, y  , ta có y y x (e x ) e  x y ( e y ) e   ln y x (e x ) e y x   ln  x (e )  y ex y  x ln y  xe y  y ln x  ye x  ln y e y ln x e x    (1) y y x x Xét hàm số g (t )  tet  et   ln t 1;   , có g (t )  tet   0, t  t Hàm số g (t ) đồng biến 1;   nên g (t )  g (1)   0, t  Xét hàm số f (t )  g (t ) ln t et  1;   , có f '(t )   0, t  1, nên f (t ) đồng biến t t t (1; ) Với x, y  (1)  f ( y)  f ( x)  y  x Đặt u  log x y Do y  x  nên u  Ta có P  h(u)  1 u u2   Nhận thấy h '(u )  , u 2u nên h '(u )  u  2, h '(u )   u  2, h '(u )  u  Dẫn tới P  h(u )  h     22 Vậy P  Câu 47.21: , u  1, đẳng thức xảy u  1 2 , đạt y  x 2 x  Cho hai số thực x , y thỏa mãn  x, y  x , y không đồng thời  x y  log     x  1  y  1   Tìm giá trị nhỏ P với P  x  y   xy  A B C D Lời giải Trang 716 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn B Từ điều kiện đề x y  0;1  xy   x  y  0;1  xy   xy  x y  log     x  1  y  1    log  x  y    x  y   log   xy   1  xy    xy  Xét hàm số f  t   log t  t  1  t   có f   t   t.ln1   t   f  t  hàm số đồng biến khoảng  0;   Vậy phương trình  1  x  y   xy  y  Xét hàm số f ( x)  x  1 x 1 x  P  2x  1 x 1 x x  2 1 x cho f ( x)    với x   0; 1 có f ( x)   x1  x  2  x  1 f    1; f  1   f ( x)   chọn B  0;1 Câu 47.22:   2x  Xét số thực dương x , y thỏa mãn ln    3x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin  x y  P  1  x xy A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  16 Lời giải Chọn A Điều kiện  x    2x  Từ giả thiết ln    3x  y   ln   x     x   ln  x  y    x  y   1  x y  Xét hàm số f  t   ln t  t  0;   có f   t     , t  hàm f  t  đơn điệu t Vậy  1   x  x  y  x  y    Có P  1 2      x xy x x  y x  2x Đặt g  x   , ta có g  x     suy g  x    x   x  2x x 1  2x  Do g  x   Vậy Pmin   1  0;   2 Bổ sung: đánh giá P  1 2        x xy x x  y x  2x x   x Trang 717 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 47.23: 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Cho hai số thực x , y không âm thỏa mãn x  x  y   log 2 y 1 Giá trị nhỏ x 1 biểu thức P  e x 1  x  y  A  B C D  Lời giải Chọn A x  x  y   log2 y 1 2   x  1  log 2  x  1  log  y  1   y  1 x 1  Xét hàm số f  t   t  log t ,  t  0 ; f   t      0, t  t ln 2 Suy  x  1  y   y   x 1 1 2 x 1 P  e x 1  x  y   e  4x   x 1 1 1  e x 1  x  x  g  x  g   x   2e2 x 1  x  hàm số đồng biến nửa khoảng 0;  nên g   x   có tối đa nghiệm, nhẩm nghiệm x  Vậy P   Câu 47.24: nên nghiệm 1 x  2 Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức  xy  1 2 xy 1   x  y  x  y Tìm giá trị nhỏ ymin y A ymin  B ymin  C ymin  D ymin  Lời giải Chọn B Ta có  xy  1 22 xy 1   x  y  x y   xy   1 2 xy 1   x  y  x  y 1 1 Xét hàm f  t    t  1 2t với t  Khi f   t   2t   t  1 2t.ln  với t  Từ 1  xy   x  y   y  x2  2x 1 Trang 718 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU y  x2  x   x  1 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 x    x2  x      x  1 Loại x  1 điều kiện t nên f     x, y    Cho  cho ln 2    x, y  1 biểu thức T  x  x  3y Câu 47.25: x   x3  ln  19 y  xy ( x  y ) Tìm giá trị nhỏ m   y C m  B m  A m   D m  Lời giải Chọn C Ta có  x  3 ln 2   x3  ln  19 y  xy ( x  y)  ln 2 y  x   2 y  x   ln 3 y   3 y  1   y  Xét hàm số f t   ln t   t với t  có f  t    3t  t   f t  đồng biến t Vậy 1  y  x  y  x  y  T  x  4x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM 3x x 3x x 3x T  x            Dấu xảy 4x 4 4x 4 4x 4 x  y 1 Câu 47.26: Cho x4 y  x; y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  x    3 x4 y  y  x  4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y 3xy B  A C  D 1 Lời giải Chọn B Ta có x4 y  xy  x    3 x4 y  y  x  4 xy  x4 y  3 x4 y  x  y  xy1  31 xy  xy 11 Xét hàm số f t   5t  3t  t  Vì f  t   5t ln  3t.ln   0; x   nên hàm số f t  đồng biến  2  Từ 1  2 ta có x  y  xy 13 Dễ thấy x  không thỏa mãn 3 Với x  , 3  y  x 1 kết hợp điều kiện y  suy x  x 4 Trang 719 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Do P  x  y  x  x 1 x4 Xét hàm số g  x  x  x 1 4;  x4 Ta có g   x   1 x  4     x  4  x   x – g  x g  x  4    52 Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmin  g  x   4;  Câu 47.27: Cho x , y số thực dương thỏa mãn x  y  xy  x    3 x y  y ( x  2) Tìm giá xy trị nhỏ biểu thức T  x  y A Tmin   B Tmin   C Tmin   D Tmin   Lời giải Chọn B Theo đề ta có xy x     3 x 2 y  y ( x  2) 3xy 1  x  y  x  y  x  y  xy 1  xy 1  xy  3 x y  Xét f  t   5t   t  f   t   5t ln  3t ln   t  x  y  xy   y  Ta có: T  x  y  x  T  x2  4x   x  2 x 1 x 1 Do y  0, x   0 x2 x2 x2 x 1 x2  x 1  x2 x2  x     2;   0  x     2;   Bảng biến thiên Chỉnh lại bbt cho em,chỉ xét với x  nhé,kết khơng thay đổi Trang 720 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin   x   Xét số thực dương x, y thỏa mãn log Câu 47.28: biểu thức A  x  A Amin  x  3y  xy  y  x  Tìm giá trị nhỏ xy  1 y 14 B Amin   14 C Amin  6 D Amin  Lời giải Chọn D Điều kiện: x  y  log x  3y  xy  y  x   log  x  y   log  xy  1  xy  y  x  xy   log  x  y    x  y   log  xy  1  xy  11 Xét hàm f  t   log t  t , t  f  t     0, t  t.ln Suy hàm số f  t  đồng biến  0;    nên 1  x  y  xy   y  A x x3  x y x 1 Đặt A  A  x   x  Câu 47.29: x 1 x3 x3  A  x      x  x , y  x 1  x  1  Cho x, y  thỏa 2019 x2  y 2   4x  y   x  2  Tìm giá trị nhỏ P P  y  4x A 2018 B 2019 Lời giải C D Trang 721 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn D Ta có: 2019  2019   x  y 2 2 x  2  4x  y   x  2  x  2  2019   2019   x  x  24 x  y  2  4x  y   x  2 24 x  y   4 x  y  * u   x  22  Đặt  u, v  0 v  x  y   Khi đó: *  2019 u.u  2019 v.v  f u   f v  với f t   2019 t t , (t  0)  f ' t   2019 2t ln 2019.t  2019 t  0,  t  Do đó: f u   f v   u  v   x  2  x  y   y  x  2  P  y  x  x  x    x 1   Vậy Pmin   x  Cho số thực dương x, y thỏa mãn log  x  1 y  1  biểu thức P  x  y Câu 47.30: A Pmin  11 B Pmin  27 y1    x  1 y  1 Giá trị nhỏ C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Chọn D Ta có log  x  1 y  1  y1    x  1 y  1   y  1  log  x  1  log  y  1    x  1 y  1    y  1  log  x  1  log  y  1  x  1   log  x  1  x    log  y  1 y 1  log  x  1  x    9   log y 1 y1 Xét hàm số f  t   log t  t  với t  có f   t     với t  nên hàm số t ln f  t  đồng biến liên tục  0;   Từ suy x   Vậy P  x  y  8y 9 , x  nên y   0;  x 1  y 1 y 1 y 1 8y 9  2y  2y     y  1    3  y1 y1 y 1 Trang 722 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Vậy Pmin  3   y  1  Câu 47.31: y 1 y1 1 y  3xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ x  3xy Xét số thực dương x, y thỏa mãn log Pmin P  x  y A Pmin  34 B Pmin  34 C Pmin  34 D Pmin  34 Lời giải Chọn B 1 y log  3xy  x  y   log 1  y   log  x  3xy   3xy  x  y  x  3xy  log 3 1  y   1  y   log  x  xy    x  xy    0, t  Suy hàm số đồng biến t ln  0;   Suy  log3 1  y   1  y   log3  x  3xy    x  3xy   1  y   x  3xy Xét hàm f  t   log t  t , t  có f '  t   Câu 47.32: 1  y  1  y  4 34 Vậy Pmin  1 3y 1 3y 3 x y Xét số thực dương x, y thỏa mãn log  x  x  3  y  y  3  xy Tìm x  y  xy  x  x y  y  giá trị lớn Pmax biểu thức P  A 3x  y  x y6 B C D Lời giải Chọn C Ta có: log x y  x  x  3  y  y  3  xy x  y  xy  2  log 3  x  y    x  y   log Xét hàm số f  t   log t  t , t  có f   t   x  y  xy    x  y  xy  t ln   0, t  Vậy hàm số f  t  đồng biến liên tục khoảng  0;   Do đó: f   x  y    f  x  y  xy     x  y   x  y  xy  1 Từ 1  xy   x  y    x  y    x  y 1 Ta có x  x  xy  xy  x  y  1  xy     xy   Đẳng thức xảy x  y  Trang 723 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Do từ 1 , suy ra: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  x  y  1 x   x  y   3 x  y   Đặt t  x  y , t   x  y  1 x Suy ra: P   x y6 Ta có: f   t    t  1 2t    t  3t  3t  22t    f t  t 6 t  6 3t  36t  135 t  6 2   t  (nhận) Bảng biến thiên t  f  t    f t  x  y 1 x  Dựa vào BBT, ta có max P  max f  t   f  3     0;   x  y  y  Câu 47.33: Xét số thực dương x , y thỏa mãn 2018   x  y 1  2x  y  x  1 Tìm giá trị nhỏ Pmin P  y  3x A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có 2018   x  y 1  2x  y  x  1   x  y  1  log 2018   x  1   x  y   log 2018  x  y   log 2018  x  1 2x  y  x  1 2   x  1  log 2018  x  1   x  y   log 2018  x  y  Có dạng f  x  1   f  x  y  với f  t   2t  log 2018 t ,  t     Xét hàm số f  t   2t  log 2018 t ,  t   , ta có f   t      t   nên hàm số t.ln 2018 2 f  t  đồng biến khoảng  0;    Khi f  x  1   f  x  y    x  1  x  y    y  x2  Ta có P  y  3x   x  1  3x  x  3x  Trang 724 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Bảng biến thiên x    P Vậy Pmin   x  Cho số thực dương x, y thỏa mãn log  x  1 y  1  biểu thức P  x  y Câu 47.34: A Pmin  11 B Pmin  27 y 1    x  1 y  1 Giá trị nhỏ C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Chọn D Ta có log  x  1 y  1  y 1    x  1 y  1   y  1 log  x  1  log3  y  1    x  1 y  1    y  1 log3  x  1  log  y  1  x  1   log3  x  1  x    log  y  1 y 1  log  x  1  x    9   log (*) y 1 y 1 Xét hàm số f  t   log t  t  với t  có f   t     với t  nên hàm số f  t  t ln đồng biến liên tục  0;   Từ (*) suy x   Vậy P  x  y  9 8 y x 1  , x  nên y   0;8  y 1 y 1 y 1 8 y 9  y  y 1    y  1    3  y 1 y 1 y 1 Vậy Pmin  3   y  1  Câu 47.35:  y 1 y 1 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x  x  x  y   log   y   x Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y   x y Trang 725 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A 59 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 B 19 C 53 D  Lời giải Chọn B x  Điều kiện:  0  y  Từ giả thiết ta có: log x  x  x  y   log   y   x  log x  x  log  x   y    x   y  (*) Xét hàm số f  t   log t  t với t  , Ta có f '  t     0, t  nên hàm số t ln f  t   log t  t đồng biến khoảng  0;   Do *  f  x   f  x   y    x  x   y   x   y  x  y   ** ( x  ) Áp dụng Bất đẳng thức Cô si cho cặp số dương bất đẳng thức ** , ta có: 3x y  3x   y  P  3x  y     x  y              19 x y 2 x y  x 2 y  x  y   x   3x Đẳng thức xảy   Vậy giá trị nhỏ P 19  y  2 x y 2  y  Câu 47.36: Cho x , y số dương thỏa mãn log x2  y2   x  10 xy  y  Gọi M ,m x  10 xy  y x  xy  y Tính T  10 M  m xy  y C T  104 D T  50 giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  A T  60 B T  94 Lời giải Chọn B log x2  y2   x  10 xy  y  x  10 xy  y  log  x  y   log  x  10 xy  y   log 2   x  y    x  10 xy  y    log  x  10 y    x  y   log  x  10 xy  y    x  10 xy  y   x2  10 y  x  10 xy  y vi) Trang 726 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  x x x  x  10 xy  y      10        y  y  y 2 x x  y  y 9 2 x  xy  y P   x xy  y 1 y x , điều kiện :  t  y Đặt t  f t   t  2t   t  4 t2  t  ; f  t   ; f  t     t 1  t  1 t  f  1  11 99 ; f    ; f 9  10 Nên M  Câu 47.37: 99 , m  Vậy T  10 M  m  94 10 Vậy Amin  Cho số thực dương x y thỏa mãn  9.3x Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2 y    9x 2 y .7 y  x2  x  y  18 x 3 A P  B P  C P   D Hàm số khơng có giá trị nhỏ Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta đặt t  x  y , t   Phương trình  9.3x 2 y    9x 2 y .7 y x2 2 trở thành   t  49 t t  9.3     t    49   9    49       t t Nhận thấy t  nghiệm phương trình Ta chứng minh t  nghiệm phương trình t 7  Xét t  : t  49    49 nên vế trái phương trình ln dương, nên phương trình vơ 3 nghiệm t 7  Xét t  :  49    49 nên vế trái phương trình ln âm, nên phương trình vơ 3 nghiệm t Trang 727 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy t  x  y   y   x Câu 47.38: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 x2  x  y  18 x  x  16 thay vào P   x x 16 16 16   x   Dấu đạt x   x  x x x   Cho x, y số thực lớn cho y x e x ey ex  x y  e y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log x xy  log y x A B 2 C 1 2 D 1 Lời giải Chọn C Cách y x y x e e e e Ta có: y x  e x   x y  e y   ln  y x  e x    ln  x y  e y       x y  x ln y  xe y  y ln x  ye x   (*) (vì y  e x  ln x có x ln x  e ln y  e y y '  e x   0; x  nên y  y 1  e  ) x Xét hàm số: f  t   t ln t  et   tet 1;  ta có Với hàm số f ' t      ln t  et  ln t  et  g  t   ln t  et 1  tet có g '  t    ln t  et   tet  '   tet  0, t  t Nên g  t   g 1  1  f '  t   0; t   y  f  t  hàm nghịch biến 1;   nên với (*) f  x   f  y   y  x  Khi P  log x xy  log y x  Dấu “=” xảy khi: Vậy: Pmin  Câu 47.39: 1 1 1 1 2  log x y    log x y  2 log x y 2 log x y 1 log x y    log x y    y  x log x y 1 2 2 Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  biết với x  1  y  A P  13 B P  C P  x2  x2 1  log 14   y   y   D P  Lời giải Trang 728 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn B Xét x2  Ta có x2 1 x2  x2  log 14   y   y   1 x2 4 x2 1  , dấu xảy x  1 , Mặt khác 14   y   y   14  y   Đặt t  y  ta có  t    y 1 30 Xét hàm số f  t   t  3t  14 Ta tìm GTLN – GTNN   30  56  30 30  hàm số đoạn 0; ; max f  t   f 1  16 f  t   f     min  30  30  2 0;       0;          Suy log 14   y   y    log 16  ,    x  1  x  1 Thay vào P  Từ suy ta có   t  y   y  1 ,  y  log 11  x  y   y  x  Xét 2 biểu thức P  16 yx  x  y    y  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn Câu 47.40: Cho hai số thực x , y thỏa mãn  x  P Khi giá trị T   4m  M  bao nhiêu? A 16 B 18 C 17 D 19 Lời giải Chọn A Ta có log 11  x  y   y  x    x  y   log 11   x  y     Đặt t  x  y ,  t  11 Phương trình trở thành: 2t  log 11  t    1 Xét hàm số f  t   2t  log 11  t   khoảng  0;11 Có y    , t   0;11 Do hàm số f  t  đồng biến 11  t Dễ thấy 1 có nghiệm t  Do t  nghiệm 1 Suy x   y Khi 1  y  P  16 y  1  y  y    y   y  y  y   1 Xét hàm số g  y   y  y  y  0;  , có  2  1 g   y   12 y  10 y   , y   0;   2 Trang 729 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Do đó, g  y   g    , max g  y   g 1   1 0;   1  0;    Suy m  , m  Vậy T  4.3   16 Trang 730 ... cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x  2020 log  3x  3  x  y  y ? A 2019 B C 2020 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình mũ, logarit Phương. .. x Số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình t   m   t  m2   (3) Phương trình (3) có nghiệm    3m  12 m    m  Do có số nguyên m thỏa mãn Câu 47.4: Có số nguyên m để phương. .. nghiệm phương trình t 7  Xét t  : t  49    49 nên vế trái phương trình ln dương, nên phương trình vơ 3 nghiệm t 7  Xét t  :  49    49 nên vế trái phương trình ln âm, nên phương trình