skkn hướng dẫn học sinh giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số thpt xuan tho

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị : Trường THPT Xuân Thọ Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Người thực hiện: ĐỖ THỊ YÊN Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học mơn: TỐN  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm: Các sản phẩm in SKKN  Mơ hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2013 - 2014 BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: ĐỖ THỊ YÊN Ngày tháng năm sinh: 08 / 03 / 1987 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: Ấp Thọ Hòa , Xuân Thọ, Xuân Lộc, Đồng Nai Điện thoại: 0613 731 769 Fax: (CQ)/ ĐTDĐ: 0938.560.211 E-mail: doyen8793@gmail.com Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao: giảng dạy môn Toán lớp 10C2; 11A1; 11A9; chủ nhiệm lớp 10C2 Đơn vị cơng tác: Trường THPT Xn Thọ II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo: sư phạm Toán III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Giảng dạy chủ nhiệm Số năm có kinh nghiệm: 03 - Các sáng kiến kinh nghiệm có 03 năm gần đây: BM03-TMSKKN HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ,HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I/ LÝ DO CHỌN ĐỂ TÀI Giải phương trình, hệ phương trình tốn thường gặp chương trình phổ thơng, từ THCS học sinh tiếp cận cách giải phương trình hệ phương trình đơn giản Lên THPT học sinh tìm hiểu kĩ thêm phương trình hệ phương trình Tuy nhiên gặp phương trình, hệ phương trình khơng mẫu mực học sinh lúng túng thực khó khăn giải tốn, thường dẫn đến sai lầm khơng tìm hướng giải Để giải phương trình, hệ phương trình có nhiều phương pháp giải, Tuy nhiên tơi trình bày phương pháp giải phương trình, hệ phương trình ứng dụng tính đơn điệu hàm số nhằm giúp học sinh giải phương trình, hệ phương trình ngắn gọn đơn giản Đó lí tơi chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình, hệ phương trình phương pháp hàm số” II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN: Trong chương trình lớp 10, lớp 11 học sinh học nhiều cách giải phương trình, hệ phương trình khơng mẫu mực phương pháp thế, phương pháp cộng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp bình phương vế… Nhưng chương trình 12 học sinh ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào việc giải phương trình, hệ phương trình thuận tiện nhiều, sử dụng tính đơn điệu học sinh tiếp cận nên nhiều lúng túng Trong giải phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực, gặp trường hợp phải bình phương học sinh dẫn đến bình phương mà khơng tính đến vấn đề vế phương trình khơng âm, nhiều lúc bình phương dẫn đến phương trình bậc cao khó tìm nghiệm, số phương trình hệ phương trình phải sử dụng đến tính nghiệm giải học sinh hoang mang hướng giải vấn đề Từ việc sử dụng tính chất hàm số vào giải số phương trình hệ phương trình đơn giản hơn, phương trình hệ phương trình mà yêu cầu phải đặt ẩn phụ thực số tính tốn phức tạp khiến cho học sinh khó tìm hướng giải tiếp theo, chưa kể đến số tốn biến đổi cịn khó khăn, với phương pháp hàm số học sinh sử dụng kết tính đơn điệu hàm số vào giải dẫn đến toán giải cách dễ dàng nhiều Đề tài viết bao gồm nội dung: Giải phương trình ẩn Giải hệ phương trình hai ẩn III/ TỒ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP 1/ Giải phương trình ẩn: Trong phần tơi hướng dẫn học sinh sử dụng định lí tính đơn điệu hàm số để giải phương trình qua bước sau: • Phân tích đề • Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình, TĨM TẮT LÝ THUYẾT: Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến , hàm số đồng biến ta có: Kí hiệu K khoảng, đoạn, nửa khoảng Giả sử hàm số y = f ( x) xác định K • Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đồng biến K với cặp x1 , x2 thuộc K thì: f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇔ x1 = x2 x1 > x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) • Nếu hàm số y = f ( x) liên tục nghịch biến K với cặp x1 , x2 thuộc K thì: f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇔ x1 = x2 x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x2 ) Từ cho ta ứng dụng vào tốn giải phương trình , hệ phương trình Cụ thể ta có thề ứng dụng tính chất tính liên tục đồng biến hàm số vào việc giải phương trình , hệ phương trình qua phương pháp sau: a) Phương pháp 1: Ta nhận thấy sử dụng phương pháp hàm số sau:  Nếu nhận thấy : f ( x) = a  Nhận xét : f ( x) hàm số đơn điệu x = x0 f ( x0 ) = a  Nếu x > x0 f ( x) > f ( x0 ) Nếu x < x0 f ( x) < f ( x0 )  Vậy f ( x0 ) = a ta có x0 nghiệm phương trình Do ta sử dụng phương pháp cho phương trình trên: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: − x = x + + ( Bài tập 7b SGK đại số 10 trang 63 ) Giải: Cách 1: Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Với điều kiện ta bình phương vế phương trình:  −2 ≤ x ≤ ⇔  3 − x = x + + x + +   −2 ≤ x ≤ ⇔   x + = −x   −2 ≤ x ≤ ⇔  x + = x   −2 ≤ x ≤  −2 ≤ x ≤  ⇔ ⇔   x = −1(n)  x − x − =    x = 2(l )  Vậy x = −1 nghiệm phương trình  Đối với tốn học sinh sai lầm sau: Khi chuyển phương trình dạng: x + = − x học sinh tiếp tục bình phương mà khơng biết đưa phương trình phương trình hệ ⇔ x + = −x ⇔ x + = x2 ( sai lầm học sinh sử dụng dấu ‘‘ ⇔ ’’ ) x = ⇔  x = −1 So sánh với điều kiện ban đầu phương trình có nghiệm x = −1 x = Khi nhận nghiệm x = −1 x = nhận thừa nghiệm ngoại lai phương trình, số sai lầm mắc phải học sinh Cách 2: Điều kiện: −2 ≤ x ≤ đó: − x = x + + ⇔ − x − x + = Đặt f ( x) = − x − x + với : −2 ≤ x ≤ Phương trình trở thành : f ( x) = Xét hàm số : f ( x) = − x − x + −2 ≤ x ≤ −1 − < với −2 < x < Vậy f '( x) = 3− x x + Do f ( x) hàm số nghịch biến −2 ≤ x ≤ Nhận thấy f (−1) = Mà f ( x) = f (−1) = ⇔ x = −1 x= -1 nghiệm phương trình  Nhận xét: Như học sinh giải phương pháp, ẩn x bậc nên bình phương vế bậc x lên bậc giải chương trình lớp 10 Tuy nhiên phải ý bình phương có nhiều lúc đưa phương trình phương trình hệ quả, cuối phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai  Đối với phương pháp hàm số học sinh khơng lấy thừa nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình sau: − x + x − + x − x = Giải: Cách 1: Điều kiện: + x − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Gọi f ( x) = − x + x − + x − x Đặt t = x − x Suy f (t ) = + t − − t với −3 ≤ t ≤ phương trình: f (t ) = Xét hàm số : f (t ) = + t − − t −3 ≤ t ≤ 1 f '(t ) = + > với −3 < t < 2 3+t 2 −t Do f (t ) hàm số đồng biến −3 ≤ t ≤ nhận thấy f (1) =  1+ x = 2 Mà f (t ) = f (1) ⇔ t = từ ta suy : x − x − = ⇔   1− x =  1+ 1− ; } Vậy phương trình có tập nghiệm: S = { 2 Cách 2: Điều kiện: + x − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤  − x + x2 = a ≥  Đặt :   + x − x2 = b ≥  a − b =  Vậy ta có hệ phương trình:  2 từ ta đưa hệ phương trình đối a + b =  xứng loại sau giải hệ phương trình để tìm a b a = + b a = + b a − b = a = + b     ⇔ ⇔ ⇔  b = 1(n)  2 2 a + b = 2b + 2b − = (1 + b) + b =     b = −2(l )  Với b= suy a =  1+ x = 2 Do : x − x − = ⇔   1− x =  1+ 1− ; } Phương trình có tập nghiệm: S = { 2  Nhận xét: Đối với cách giải tương tự song với cách đưa hệ phương trình em phải nhận định : − x + x + + x − x = sau đưa hệ phương trình để giải, giải phương trình học sinh nghĩ đưa hệ phương trình để giải tốn thơng thường học sinh chuyển vế bình phương vế ví dụ Như dẫn đến tốn khó giải b) Phương Pháp 2:  Ta nhận thấy thực đưa phương trình dạng : f (u ) = f (v)  Sau xét hàm số : y = f (t ) dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu  Khi đó: f (u ) = f (v) ⇔ u = v  Sau giải tốn đơn giản tốn ban đầu Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x + + = x3 + 3x + x ( HSG toán 10 trường THPT Cao Lãnh – Đồng Tháp) Giải: Cách 1: Giải pt: x3 + 3x + x −1 = x + (1) Phương trình (1) ⇔ ( x + 1) + x + = x + + x + (*) Xét hàm số đặc trưng: f (t ) = t + t với ∀t ∈¡ Ta có : f '(t ) = 3t + > ∀x ∈¡ Hàm số f (t ) hàm số đồng biến R Mà phương trình (*) có dạng: f ( x + 1) = f ( x + 3) Vậy : ⇔ x +1 = 2x + ⇔ ( x + 1) = x + 3 ⇔ x3 + 3x + x − = ⇔ ( x + ) ( x + x −1) =   x = −2  −1 + ⇔ x =   −1 −  x =  Cách 2: tốn giải cách đặt ẩn phụ khơng hồn tồn sau: Đối với tốn ta biến đổi đưa dạng phương trình sau: ( x + 1) = x + + x + (*) Đặt: a + = x + : ( a + 1) = x + (1) (vì sau lập phương dùng số bước biến đổi rút thừa số chung) Với : a + = x + thay vào phương trình (*) ta được: ( x + 1) = a + + x + (2) Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được: 3 ( a + 1) − ( x + 1) = x − a ⇔ ( a − x ) ( a + 1) + ( a + 1) ( x + 1) + ( a + 1) + 1 = 2   a − x = ⇔ ( a + 1) + ( a + 1) ( x + 1) + ( a + 1) + =  Nếu : 2 a−x=0 ⇔ a = x ⇔ x + = x + ⇔ x + 3x + x − =   x = −2  −1 + ⇔ x =   −1 −  x =  Ta dễ dàng chứng minh được: nghiệm (vì ln ln số dương) Vậy phương trình có nghiệm phân biệt 2 ( a + 1) + ( a + 1) ( x + 1) + ( a + 1) + = vô  Nhận xét: Đối với cách học sinh biết cách đặt ẩn phụ khơng hồn tồn, phần tính tốn phải tính xác , yêu cầu học sinh phải từ giỏi giải toán này, việc giải theo cách khó phức tạp Đối với cách học sinh giải toán cách dễ dàng nhiều Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x −1 − x − x = ( x −1) (Đại học Thủy Lợi năm 2001-2002) Giải: Nhận xét : Ta đưa phương trình dạng: f (u ) = f (v) Rồi sau sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải tốn dễ dàng Vậy : x −1 − x − x = ( x − 1) ⇔ x −1 + x − = x − x + x − x (1) Xét hàm số: f (t ) = 2t + t Ta có: f '(t ) = 2t ln + > ∀t ∈¡ 2 Do hàm số f (t ) hàm số đồng biến R Mà từ phương trình ban đầu ta lại có: f ( x −1) = f ( x − x) ⇔ x − = x − x ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x=1 Ví dụ 3: 3 Giải phương trình sau: 32 x − x + − 3x +2 x + x3 − 3x + = Giải: Nhận xét : ta hồn tồn đưa phương trình dạng: f (u ) = f (v) Rồi sau sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán Vậy : 3 32 x − x + − 3x +2 x + x3 − 3x + = 3 ⇔ 32 x − x +2 + x3 − x + = 3x + x + x3 + x Xét hàm số: f (t ) = 3t + t Ta có: f '(t ) = 3t ln + > ∀t ∈¡ Do hàm số f (t ) hàm số đồng biến R Mà từ phương trình ban đầu ta lại có: f (2 x3 − x + 2) = f ( x3 + x) ⇔ x3 − x + = x3 + x ⇔ x3 − 3x + = ⇔ ( x −1)2 ( x + 2) = x =1 ⇔  x = −2 Vậy phương trình có nghiệm : x=1 x=-2 c) Phương pháp 3:  Ta chuyển phương trình dạng: f ( x) = g ( x )  Dùng lập luận khẳng định rằng: f ( x) g ( x) có tính chất trái ngược (tính đồng biến nghịch biến trái ngược khoảng xác định phương trình ) hàm số đơn điệu tập xác định hàm số hàm  Đồng thời xác định số x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 )  Vậy kết luận x0 nghiệm phương trình Ví dụ1: Giải phương trình sau: log3 ( x − 4) + x = log3 (27 x + 54) Giải: Điều kiện: x>2 Phương trình: ⇔ log3 ( x − 4) − log ( x + 2) = − x x2 − ⇔ log3 = − x ( x > 2) x+2 ⇔ log3 ( x − 2) = − x Đặt f ( x) = log ( x − 2) g ( x) = − x với x>2 Ta có : f ( x) = log ( x − 2) suy f '( x) = ( x − 2)ln > với x>2 Vậy f(x) hàm số đồng biến với x>2 Đồng thời: g ( x) = − x hàm số nghịch biến với x>2 Để phương trình: f ( x) = g ( x) mà có nghiệm nghiệm phải nghiệm phương trình Dễ dàng thấy với x= f (3) = g (3) = Vậy x=3 nghiệm phương trình Ví dụ 2: x Giải phương trình: + = 3x ( ) Giải: Vì 3x ≠ nên chia vế phương trình cho 3x x x 1   ÷ = (*) Phương trình tương đương:  ÷ +  3  ÷   Nhận xét: với x=2 thỏa mãn phương trình x=2 nghiệm phương trình Ta nhận thấy theo phương trình (*) : x x x x  8 1   1 < hàm số nghịch + Hàm số y =  ÷ +  ÷ ⇒ y ' =  ÷ ln +  ÷ ln  ÷ 3  ÷ 3     biến R + Hàm số y=1 hàm số Nếu x>2 VT2 khơng nghiệm PT Nếu x1 cịn VP=1 nên x ∀t > hàm số f(t) hàm số đồng biến Ta có: f '(t ) = t Mà đó: f (2 − x) = f (2 + x) ⇔ − x = + x ⇔ x = Vậy x=0 nghiệm phương trình  Nhận xét: Bài tốn học sinh giải nhiều phương pháp, giúp học sinh củng cố thêm cách giải phương trình phương pháp hàm số, nhiều cách giải phương trình khơng mẫu mực Bài tập tự luyện: Giải phương trình sau: 1) − x − + x = x3 + x 2) 3x + = x3 + 3x + x − 3) x3 + 3x + x + = + − x 4) + ( ) = x x 2/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN Có nhiều cách để giải hệ phương trình, nhiên giới hạn đề tải hướng dẫn học sinh phương pháp giải hệ phương trình:là vận dụng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình Có nhiều người sử dụng phương pháp này, sau số nhận định phương pháp hàm số việc giải hệ phương trình Ta ứng dụng tính liên tục đơn điệu hàm số vào việc giải hệ phương trình, giúp giải tốn cách đơn giản hơn: Sơ lược cách giải hệ phương trình hai ẩn: Ta thực theo bước sau:  Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho biểu thức hệ ( Nếu có)  Bước 2: Rút từ hệ phương trình ( hai phương trình hệ phương trình hệ nhận sau phép biến đổi đại số từ hệ phương trình)  Bước 3: Áp dụng phương pháp hàm số vừa nhận  Bước 4: Sử dụng kết phép biến đổi vừa làm bước kết hợp với bước để giải hệ phương trình  Bước 5: Suy nghiệm hệ phương trình 11  x3 + = x − x + y  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:   y +1 = y − y + 2x  Cách 1:  x3 − x + x + = y  f ( x) = y  ⇔ Ta có: hệ phương trình tương đương:   y − y + y +1 = 2x  f ( y) = x  Xét hàm số : f (t ) = t − 2t + 2t + ∀t ∈¡ Suy : f '(t ) = 3t − 4t + ta thấy f '(t ) > ∀t ∈¡ Do đó: Nếu : x > y ⇒ f ( x) > f ( y) ⇒ y > x ⇒ y > x ( mâu thuẫn ) Nếu : x < y ⇒ f ( x) < f ( y ) ⇒ y < x ⇒ y < x ( mâu thuẫn ) Vây x=y ta giải phương trình: x3 − x + x + = x ⇔ x3 − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x −1) =  x =1  1+ ⇔ x =   1−  x =   1+ 1+   1− 1−  ; ; ÷;  ÷ ÷ 2 ÷     Vậy hệ phương trình có nghiệm sau: ( 1;1) ;   Ta thấy hệ phương trình hồn tồn giải cách giải hệ phương trình đối xứng loại Cách 2:  x3 − x + x − y + = (1)  x3 − x + x + = y   ⇔ Hệ phương trình :  2  y − y + y +1 = 2x  y − y + y − x + = (2)   Lấy ( 1) – ( 2) vế theo vế phương trình ta được: ⇒ ( x3 − y ) − ( x − y ) + ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y − x − y + ) =  x − y = (3) ⇔  x + xy + y − x − y + = (4)  Từ ( ) ta có : với x=y thay vào ( 1) suy : 12 ⇔ x3 − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1) =   x =1⇒ y =1  1+ 1+ ⇔ x = ⇒ y=  2  1− 1−  x = ⇒ y =  2 Từ ( 4) ta có : x + xy + y − x − y + = 1 ⇔ ( x + xy − x − y + y + 1) + ( y − y + 1) + y + = 4 2 1   1  ⇔  x + y − 1÷ +  y − 1÷ + y + = vơ nghiệm 2   2   1+ 1+   1− 1−  ; ; ÷;  ÷ 2 ÷ 2 ÷     Vậy hệ phương trình có nghiệm sau: ( 1;1) ;    Nhận xét:  Với cách giải hệ phương trình đối xứng loại cách vừa nêu ta thấy 2 khó khăn phải phương trình : x + xy + y − x − y + = vô nghiệm, việc học sinh tách thành tổng bình phương số phức tạp, yêu cầu kĩ phải thành thạo, phải tách thành bình 2   1  phương gồm  x + y −1÷ +  y − 1÷ + y + =   2   Cách học sinh sử dụng tính chất hàm số nhằm giải toán nhanh đơn giản nhiều, học sinh khơng phải đánh giá khó khăn  x3 − x = y − y (1)  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  (2) x + y =1  x ≤1  Cách 1: Từ (2):   −1 ≤ x ≤ Giải: ⇒  −1 ≤ y ≤ Xét hàm số : f (t ) = t − 6t với t ∈  −1;1 suy : f '(t ) = 3t − = 3(t − 2) <    y ≤1  Do f(t) hàm số nghịch biến [-1;1] Mà (1): f ( x) = f ( y) ⇔ x = y  −1 + ( n) x = x=y thay vào (2): x + x −1 = ⇔   −1 − (l ) x =  13   x = −1 + ⇒ y = −1 + −1 + 2 ⇔ Với : x =  −1 + −1 +  ⇒ y=− x = − 2  Vậy tập nghiệm hệ phương trình:  −1 + −1 +   −1 + −1 +   ÷;  − ÷ ; ;−  ÷  ÷ 2 2     x ≤1  −1 ≤ x ≤  Cách 2: Ta thấy :  ⇒   y ≤  −1 ≤ y ≤  (*) x = y ( x − y ) ( x + xy + y − ) = ⇔  Từ (1):  x + xy + y − = (**)   −1 + ( n) x =  + (*) x=y thay vào (2): x + x −1 = ⇔  −1 − (l )  x2 =    x = −1 + ⇒ y = −1 + −1 + 2 ⇔ Với x =  −1 + −1 +  ⇒ y=− x = − 2   −1 ≤ x ≤ (**) x + xy + y − =  nên suy x + xy + y − = vô nghiệm  −1 ≤ y ≤ Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:  x3 − 3x − x + 22 = y + y − y   2 x + y − x + y =  ( Đại học khối A năm 2012 ) Giải: Cách 1: Dùng phương pháp hàm số việc giải hệ phương trình trên: ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1) (1)  2 ⇔   1  1  x − ÷ +  y + ÷ = (2) 2  2   Ta nhận thấy phương trình (2) 1 1 Tập hợp ( x;y ) điểm thuộc đường trịn tâm I  ; − ÷ bán kính R=1 2 2 1 Nên: −1 ≤ x − ≤ ⇔ − ≤ x − ≤ −1 ≤ y + ≤ ⇔ − ≤ y + ≤ 2 2 2 14  3 Xét hàm số: f (t ) = t −12t  − ;   2  3 2 Ta có: f '(t ) = 3t −12t = ( t − ) < ∀t ∈  − ;   2  3 Vậy f(t) hàm số nghịch biến  − ;   2 Mà f ( x −1) = f ( y + 1) ⇔ x −1 = y + ⇔ x = y + (*) Thay x = y + vào phương trình ( ) ta được: 2 1  1   y + − ÷ +  y + ÷ =1     ⇔ y2 + y + =  y = −2 ⇔ y = −3   3 1 Vậy với y = − ⇒ x = hệ phương có nghiệm  ; − ÷ 2 2 2 1 3 Với y = − ⇒ x = hệ phương có nghiệm  ; − ÷ 2 2 2 3 1 1 3 Hệ phương trình có nghiệm:  ; − ÷ ;  ; − ÷ 2 2 2 2 Cách 2: Học sinh giải hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ lớp 10 nhiên với cách học sinh phải tính tốn khó khăn phức tạp ( x − y ) − ( x + y ) − ( x − y ) + 22 =  x3 − 3x − x + 22 = y + y − y  ⇔   1 2 x + y − x + y = ( x + y ) − ( x − y ) =   a = x + y Thông thường học sinh đặt  sau tìm nghiệm x, y định b = xy lí viet Nhưng đặt ẩn phụ mà phải đặt a = x − y  b = xy Khi hệ phương trình: ( x − y ) − ( x + y ) − ( x − y ) + 22 = ⇔  2 ( x + y ) − ( x − y ) =  ( x − y ) + 3xy ( x − y ) − ( x − y ) − xy − ( x − y ) + 22 = ⇔  ( x − y ) + xy − ( x − y ) =  15 a = x − y Đối với ta đặt:  b = xy hệ phương trình trở thành:  a + 3ab − 3a − 6b − 9a + 22 = (1) ⇔  (2)  a + 2b − a =  −2a + 2a + thay vào phương trình (1) ta được: ( −2a + 2a + 1) − 3a − ( −2a + 2a + 1) − 9a + 22 = ⇔ a + 3a 4 ⇔ 4a3 − 6a3 + 6a + 3a − 12a + 12a − 12a − − 36a + 88 = ⇔ −2a3 + 6a − 45a + 82 = ⇔ ( a − ) ( a − 2a + 41) = Từ (2) ta rút được: b = a − = ⇔  a − 2a + 41 = Với a = ⇒ b = − x = y +  x − y = x = y +     x = y +  y = − ⇒ x = ⇔ ⇔ ⇔ Vậy  3 2 4 y + y + =   xy = − ( y + ) y = −     y = − ⇒ x =   2  Với a − 2a + 41 = phương trình vơ nghiệm 3 1 1 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm:  ; − ÷ ;  ; − ÷ 2 2 2 2  Nhận xét: cách học sinh dễ dẫn đến sai lầm khó tính tốn nhiều  Đối với phương pháp hàm số học sinh cần xem xét điều kiện cho x y sau sử dụng đạo hàm để nhận định x = y + đơn giản Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  x2 − y + x −1 − 2 y −1 = e2 y − e x    y − 3xy + y + x =  ( Bài tập violet ) Giải: x ≥1  Điều kiện:  y ≥  16  x + x − + e x = ( y ) + 2 y − + e y (1) ⇔   y − 3xy + y + x = (2)  Xét hàm số : f (t ) = t + t −1 + et với t ≥ 1 + et > ∀t ≥ t −1 Vậy f(t) hàm số đồng biến 1; +∞ ) mà ta có: f ( x) = f (2 y ) ⇔ x = y  Suy : f '(t ) = 2t + x = 2y ⇔   y − 3xy + y + x =  x = 2y ⇔  y − y + 4y − =  x = 2y ⇔  ( ) ( y − 1) y + =  x = ⇔  y =1 Vậy nghiệm hệ phương trình: (2;1) 2x + x = + y  Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  y 2 + y = + x  Như toán ta cộng vế theo vế hai phương trình hệ để phương trình hệ quả:  x + x = + y (1)  Hệ phương trình :  y 3 + x = + y ( )  Lấy (1)+(2) vế theo vế phương trình hệ: Ta được: x + 3x + = y + y + Xét hàm số : f (t ) = 2t + 3t + suy f '(t ) = 2t ln + > ∀t ∈¡ Vậy f(t) hàm số đồng biến R Mà f ( x) = f ( y) ⇔ x = y x = y x = y  ⇔ x Khi hệ phương trình trở thành:  x  = − x (*) 2 + x = + y    x = − x có Ta thấy : PT: (*) Vế trái phương trình (*) hàm số đồng biến Vế phải phương trình (*) hàm số nghịch biến Mà dễ thấy x=1 nghiệm phương trình (*) nên suy x=1 nghiệm phương trình (*) x =1 Vậy :  hệ phương trình có nghiệm : ( 1; )  y =1 17  x + + x −1 − y + = y  Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:  2  x + x ( y − 1) + y − y + =  ( Đại học khối A năm 2013 ) Giải: Điều kiện: x ≥1  x + + x −1 = y + + y ⇔   x + x ( y − 1) + y − y + =   x + + x − = y + + y (1) ⇔  ( x + y −1) = y (2)  Từ ta có: y ≥ Ta có: đặt x −1 = u ≥ suy x = u + Vậy phương trình (1 ) hệ: u + + u = y + + y 4t f '(t ) = + > ∀t ≥ Xét hàm số f(t) = t + + t với t ≥ suy t4 + Vậy f(t) hàm số đồng biến D Mà f (u ) = f ( y) ⇔ u = y ⇔ x −1 = y ⇔ x = y + (*) Thay (*) vào phương trình (2) hệ ta được: y =0 2 ( y + y ) = y ⇔ y  y ( y + 1) − 4 = ⇔  y y3 + − =      ( )  Với: y=0 suy x= Với: y ( y + 1) − = ⇔ y + y + y − = (3) g ( y) = y + y + y − = ∀y ≥ Xét hàm số: g '( y ) = y + y + > ∀y ≥ suy ra: Mà g(1)=0 nên g(y)=0 có nghiệm y=1 Vậy y=1 suy x=2 Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( 1; 0) (1; 2) Ví dụ 7: ( x + 1) x + ( y − 3) − y =  Giải hệ phương trình sau:  4 x + y + − x =  ( Đại học khối A năm 2010) Giải:  x ≤  Điều kiện:  y ≤   2 x = u  − v2 y= Đặt:  suy :  5−2y = v ≥  18 Ta thay vào phương trình (1 ) hệ phương trình được:  u  − v2 u + 1) + v  − 3÷= (   3 ⇔ u +u −v −v = ⇔ ( u − v ) ( u + uv + v + 1) = u − v = ⇔ 2 u + uv + v + =  0 ≤ x ≤  Với u=v suy x = − y ⇔   y = − x (*)   Thay (*) vào phương trình (2)ta có:  − x2  ⇔ 4x +  ÷ + − 4x =   25 ⇔ x4 − x2 + + − x = 25 3  Xét hàm số: g ( x) = x − x + + − x  ≤ x ≤ ÷ 4  4 = x ( x − 3) − < với ≤ x ≤ Ta có: g '( x) = 16 x −12 x − − 4x − 4x Vậy g(x) hàm số nghịch biến ≤ x ≤ 1 Ta thấy g  ÷ = ⇒ x = nghiệm phương trình 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y)= ( ½; 2) Bài tập tự luyện:  x − y + x − − y − = e3 y − e x  1)Giải hệ phương trình sau:   y − xy + y + x =   x5 + xy = y10 + y  2) Giải hệ phương trình:  ( HSG toán 12 Đồng nai)  4x + + y + =   x3 − y + y + 3x − y + =  3) Giải hệ phương trình:   x + y − −2 x + y + + 3x − 14 y + =  ( Thi thử đại học THPT Long Khánh- Đồng Nai) 5 x − y = y − x  4) Giải hệ phương trình:  2  x + xy + y = 12  19 IV/ HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : Trong năm học 2013 – 2014 này, với việc triển khai giảng dạy cho học sinh số tự chọn ôn thi, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu sử dụng thành thạo kĩ sử dụng tính đồng biến nghịch biến hàm số , học sinh biết cách sử dụng đạo hàm nhiều tốn giải phương trình hệ phương trình, giúp học sinh tự tin chuẩn bị cho kì thi đại học cao đẳng giáo dục tổ chức tới Với việc hướng dẫn cho học sinh sử dụng thành thạo tính đồng biến nghịch biến tính chất hàm số việc giải phương trình, hệ phương trình, em hứng thú tiếp cận V/ ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Trong kì thi đại học cao đẳng diễn có tốn giải phương trình, hệ phương trình nhiều phương pháp Tuy nhiên học sinh biết cách sử dụng tính chất đơn điệu hàm số tập xác định giúp học sinh giải toán nhanh hiệu Trường THPT Xuân Thọ trường học sinh đầu vào thấp nhiên việc hướng dẫn cho học sinh giải phương trình hệ phương trình phương pháp hàm số giúp phần cho em kì thi đại học cao đẳng tới Đề tài hướng dẫn học sinh giải phương trình hệ phương trình khơng phải đề tài mới, việc tham khảo nghiên cứu lượng lớn tập qua kinh nghiệm giảng dạy trình bày vấn đề nhỏ giải phương trình hệ phương trình Vì khả cịn hạn chế nên trình bày đề tai khơng tránh khỏi sai sót , mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo trước, bạn đồng nghiệp bạn đọc để giúp thân hiểu góp phần vào việc giúp em học sinh giải phương trình hệ phương trình tốt VI/ TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa 10, 11, 12 – Nhà xuất giáo dục - 2008 Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn tốn 12- Lê Hồng Đức- Vương Ngọc- Nguyễn Tuấn Phong- Lê Viết Hòa- Lê Đức Ngọc- NXB đại học quốc gia Hà Nội 18 chủ đề giải tích 12 – Nguyễn Tất Thu- Nguyễn Văn Dũng- NXB đại học quốc gia Hà Nội Một số đề - đáp án thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Bộ giáo dục đào tạo Một số tài liệu Internet 20 VII/ PHỤ LỤC Bài tập khảo sát: Bài 1: Giải phương trình sau: x + − − x + x + x − 22 =  x3 + 3x + x − y + y − y + =  Bài 2: Giải hệ phương trình:   − x − y +1 +1 =  Đáp án : Câu 1: Học sinh giải theo cách sau: Cách 1: Dùng phương pháp hàm số: Điều kiện: − ≤ x≤5 2 x + − − x + x + x − 22 = ⇔ x + − − x = − x − x + 22 (1) Xét hàm số: f ( x) = x + − − x với − ≤ x ≤ 1 + > với − < x < f ( x) hàm Ta có: f '( x) = 2x +1 − x số đồng biến Xét hàm số g ( x) = − x − x + 22 ⇒ g '( x) = −2 x −1 ≤ g ( x) hàm số nghịch biến − ≤ x ≤ Mà với x = thì: f (4) = g (4) x = nghiệm phương trình Cách 2: Điều kiện: ⇔ ( − ≤ x≤5 ) x + − − ( − x − 1) + x + x − 20 = 2x − 4− x − + ( x − ) ( x + 5) = x +1 + − x +1   ⇔ ( x − 4)  + + x + 5 = − x +1  x +1 +  x − = ⇔  + + x + = (*)  x +1 + − x +1  ⇔ Với x − = ⇔ x =  + > 0 + + x+5> − x +1  ⇒ 2x +1 − x +1 2x +1  x+5>  21 ( với − ≤ x ≤ ) Vậy pt (*) vơ nghiệm x=4 nghiệm phương trình Câu 2: x ≤ Cách 1: Điều kiện:   y ≥ −1  x3 + 3x + x − y + y − y + =  ⇔  − x − y +1 +1 =  ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) (1) ⇔  (2)  − x − y +1 +1 =  Từ (1) Xét hàm số đặc trưng: f (t ) = t + 3t ⇒ f '(t ) = 3t + > ∀t ∈ ¡ Hàm số f (t ) đồng biến Mà f ( x + 1) = f ( y −1) ⇔ x + = y −1 ⇔ x = y − Với: x = y − thay vào (2) : − y − y + + = (*) Xét hàm số g ( y) = − y − y + + với −1 ≤ y ≤ Suy : g '( y ) = − 1 − < với −1 < y < 4 − y y +1 Ta thấy : g (3) = y = nghiệm PT (*) Với y = ⇒ x = So sánh với điều kiện hệ phương trình có nghiêm ( 1;3) x ≤ Cách 2: Điều kiện:   y ≥ −1 ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) (1) ⇔  (2)  − x − y +1 +1 =  Từ (1) ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) 3 ⇔ ( x − y + ) ( x + 1) + ( x + 1) ( y − 1) + ( y − 1) + 1 =   x − y + = ⇔ 2 ( x + 1) + ( x + 1) ( y − 1) + ( y − 1) + =  2 22 Với: x = y − thay vào (2) : − y − y + + = (*) ⇔ − y +1 = y +1  −1 ≤ y ≤ ⇔  4 − y + − y + = y +   −1 ≤ y ≤ ⇔   4− y = y −2  2 ≤ y ≤ 2 ≤ y ≤   ⇔ ⇔   y = 0(l )  y − 3y =    y = 3(n)  Vậy y = ⇒ x = Với: 2 ( x + 1) + ( x + 1) ( y −1) + ( y −1) + = 2   ⇔  x + + ( y − 1)  + ( y − 1) + = vô nghiệm   Do hệ phương trình có nghiệm (1;3) • Qua khảo sát 40 học sinh tự chọn ôn thi đại học cao đẳng: Thấy đa số học sinh làm theo cách 1, hầu hết học sinh biết cách giải hứng thú làm tập theo phương pháp hàm số cịn số sai sót nhỏ • Kết khảo sát có 70% học sinh làm điểm cho giải • Cịn số học sinh giải theo cách có học sinh chưa tìm hướng giải quyết, số lấy dư nghiệm cho câu giải hệ phương trình NGƯỜI THỰC HIỆN ( Ký tên ghi rõ họ tên) ĐỖ THỊ YÊN 23 24 ... “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình, hệ phương trình phương pháp hàm số? ?? II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN: Trong chương trình lớp 10, lớp 11 học sinh học nhiều cách giải phương trình, hệ phương. .. trình có nhiều phương pháp giải, Tuy nhiên tơi trình bày phương pháp giải phương trình, hệ phương trình ứng dụng tính đơn điệu hàm số nhằm giúp học sinh giải phương trình, hệ phương trình ngắn gọn... 2/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN Có nhiều cách để giải hệ phương trình, nhiên giới hạn đề tải hướng dẫn học sinh phương pháp giải hệ phương trình: là vận dụng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình