Giáo án giải tích lớp 12 chuyên đề 4 bài 3 phương trình bậc hai với hệ số thực

CHUYÊN ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức  Kĩ + Giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Vận dụng định lý Vi-ét vào giải số toán chứa nhiều biểu thức đối xứng hai nghiệm phương trình + Biết cách giải phương trình quy phương trình bậc hai hệ số thực + Vận dụng kiến thức học để giải số tốn tổng hợp TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z  w gọi bậc hai w Nhận xét: Tìm bậc hai số phức w  w số thực +) Số có bậc hai + Nếu w  w có hai bậc hai i  w i  w w  w + Nếu w  w có hai bậc hai  w  a  bi  a, b    , b  +) Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối (khác 0) Nếu z  x  iy bậc hai w  x  iy   a  bi  x2  y  a Do ta có hệ phương trình:  2xy  b Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Chú ý: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az  bz  c   a, b, c  ; a   Ta có   b  4ac  b Nếu   phương trình có nghiệm thực x   2a  Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1   Mọi phương trình bậc n: A0 z n  A1 z n 1   An 1 z  An  ln có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt) với n nguyên dương b   b   ; x2  2a 2a Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1  b  i  2a ; x2  b  i  2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax  bx  c   a  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thực phức) b   S  x1  x2   a  P  x x  c  a TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Cho phương trình bậc hai ax  bx  c   a, b, c  ; a     b  4ac 0 0 0 Phương trình có hai nghiệm Phương trình có Phương trình có hai nghiệm thực phức phân biệt nghiệm thực phân biệt x1  b  i  2a ; x2  b  i  x 2a b 2a x1  b   b   ; x2  2a 2a b   S  x1  x2   a Hệ thức Vi-ét  P  x x  c  a II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm Phương pháp giải Cho phương trình: az  bz  c   a, b, c  ; a    Giải pương trình bậc hai với hệ số thực Ví dụ: Xét phương trình z  z   a) Giải phương trình tập số phức b) Tính z1  z2 Hướng dẫn giải  Áp dụng phép tốn tập số phức để a) Ta có:  '    4   2i  biến đổi biểu thức Phương trình có hai nghiệm là: z1   2i ; z2   2i b) Ta có z1  z2  22  22  2 Suy z1  z2  2  2  Ví dụ mẫu Ví dụ Tất nghiệm phức phương trình z   TOANMATH.com Trang A 5 B 5i C  5i D  Hướng dẫn giải  z  5i Ta có phương trình: z    z  5  z  5i    z   5i Vậy phương trình cho có hai nghiệm phức z1  5i z2   5i Chọn C Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z   Giá trị biểu thức A  z1  z2 A B C D Hướng dẫn giải Ta có   7   7i  nên phương trình có hai nghiệm là: 7 z  i; z   i 4 4 2 Suy A  z1  z2  Chọn B Ví dụ Trong số sau, số nghiệm phương trình z   z A  3i B 1 C  z   ? 1 D  2i Hướng dẫn giải 1  3i  Ta có z   z  z     z  2.z      z    4 2  2   3i  3i z   z  2     3i   3i z   z   2  Chọn A Ví dụ Phương trình z  az  b   a, b    có nghiệm phức  4i Giá trị a  b A 31 B C 19 D 29 Hướng dẫn giải Cách 1: Do z   4i nghiệm phương trình z  az  b  nên ta có: Chú ý: Nếu z0   4i  nghiệm phương  a   4i   b    3a  b     4a  24  i  trình bậc hai với hệ số thực z0 TOANMATH.com Trang 3a  b   a  6   4a  24  b  25 nghiệm phương trình Do a  b  19 Cách 2: Vì z1   4i nghiệm phương trình z  az  b  nên z2   4i nghiệm phương trình cho  z1  z2   a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có   z1.z2  b   4i     4i    a a  6    a  b  19 b  25   4i   4i   b Chọn C Ví dụ Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z  z  34  Giá trị z0   i A 17 B 17 C 17 D 37 Hướng dẫn giải Ta có  '  25   5i  Phương trình có hai nghiệm z  3  5i ; z  3  5i Do z0  3  5i  z0   i  1  4i  17 Chọn A Ví dụ Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z   Tọa độ điểm biểu diễn số phức A P  3;   4i mặt phẳng phức z1 B N 1; 2  C Q  3; 2  D M 1;  Hướng dẫn giải  z   2i Ta có z  z      z   2i Theo yêu cầu toán ta chọn z1   2i Khi đó:  4i  4i   4i 1  2i      2i z1  2i 12  22 Vậy điểm biểu diễn số phức P  3;  Chọn A Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị biểu thức  z1  1 2019   z  1 2019 A 21009 TOANMATH.com B 21010 C D 21010 Trang Hướng dẫn giải  z1   i Xét phương trình z  z     z    1    z2   i Khi ta có:  z1  1   1  i  1  i   1  i   2i  1009   2i  1009  1009 2019   z2  1 2019   1  i  1  i   1  i  2019  1  i  2019  1009  1  i   2i  1009  1  i   1  i     2i  1010  i2  505 21010  21010 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Nghiệm phương trình z  z   tập số phức A z  3  i; z   i 2 2 B z   i ; z   i C z  3  i; z   i 2 2 D z   3i ; z   3i Câu 2: Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z  z  10  Tính giá trị biểu thức P  z1  z2 A P  20 B P  40 C P  D P  10 Câu 3: Phương trình z  z  10  có hai nghiệm z1 , z2 Giá trị z1  z2 A B C D Câu 4: Biết số phức z  3  4i nghiệm phương trình z  az  b  , a, b số thực Giá trị a  b A –31 B –19 C D –11 Câu 5: Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z   Hỏi điểm điểm biểu diễn số phức iz0 ? 1 3 A M  ;  2 2 3 1 B M  ;   2 3 1 C M  ;   2 2  3 D M   ;   2 Câu 6: Cho z nghiệm phức phương trình x  x   Giá trị biểu thức P  z  z  z A 1  i B 1  i C 2i D Câu 7: Kí hiệu z0 số phức có phần ảo âm phương trình z  z  37  Tọa độ điểm biểu diễn số phức w  iz0 TOANMATH.com Trang 1  A  2;   3    B   ; 2    1  C  2;   3    D   ;    Câu 8: Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  3z   Giá trị z1  z2 A B C D 10 Câu 9: Kí hiệu z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z   Giá trị z1   6i A B C 73 D 73 Câu 10: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị biểu thức 1  z1 z2 A B C D Câu 11: Ký hiệu z1 , z2 nghiệm phương trình z  z  10  Giá trị z1 z2 A 5 B C 10 D 20 Câu 12: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z   Giá trị biểu thức z1  z1.z2 A B 10 C 15 D Bài tập nâng cao Câu 13: Phương trình z  3z   có hai nghiệm phức z1 , z2 Giá trị z1.z2 A 27 B 64 C 16 D Câu 14: Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z  z   Môđun z13 z24 A 81 C 27 B 16 D Câu 15: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình az  bz  c   a, b, c    Giá trị biểu thức M  z1  z2   z1  z2    z1  z2 A c a B 4 c a  C c 4a D 4 c a Câu 16: Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z   Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w  i 2019 z0 ? A M  2;1 B M  2;1 C M  2; 1 D M  2; 1 Câu 17: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z  13  A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 , z2 mặt phẳng tọa độ Oxy Diện tích tam giác OAB A 13 TOANMATH.com B 12 C 13 D Trang ... nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Chú ý: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az  bz  c   a, b, c  ; a   Ta có   b  4ac  b Nếu   phương trình có nghiệm thực. .. Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1  b  i  2a ; x2  b  i  2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax  bx  c   a  0 có hai nghiệm... TRỌNG TÂM Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z  w gọi bậc hai w Nhận xét: Tìm bậc hai số phức w  w số thực +) Số có bậc hai + Nếu w  w có hai bậc hai i  w i