CHUYÊN ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức Kĩ + Giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Vận dụng định lý Vi-ét vào giải số toán chứa nhiều biểu thức đối xứng hai nghiệm phương trình + Biết cách giải phương trình quy phương trình bậc hai hệ số thực + Vận dụng kiến thức học để giải số tốn tổng hợp TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z w gọi bậc hai w Nhận xét: Tìm bậc hai số phức w w số thực +) Số có bậc hai + Nếu w w có hai bậc hai i w i w w w + Nếu w w có hai bậc hai w a bi a, b , b +) Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối (khác 0) Nếu z x iy bậc hai w x iy a bi x2 y a Do ta có hệ phương trình: 2xy b Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Chú ý: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az bz c a, b, c ; a Ta có b 4ac b Nếu phương trình có nghiệm thực x 2a Nếu phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 Mọi phương trình bậc n: A0 z n A1 z n 1 An 1 z An ln có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt) với n nguyên dương b b ; x2 2a 2a Nếu phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 b i 2a ; x2 b i 2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax bx c a 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thực phức) b S x1 x2 a P x x c a TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Cho phương trình bậc hai ax bx c a, b, c ; a b 4ac 0 0 0 Phương trình có hai nghiệm Phương trình có Phương trình có hai nghiệm thực phức phân biệt nghiệm thực phân biệt x1 b i 2a ; x2 b i x 2a b 2a x1 b b ; x2 2a 2a b S x1 x2 a Hệ thức Vi-ét P x x c a II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm Phương pháp giải Cho phương trình: az bz c a, b, c ; a Giải pương trình bậc hai với hệ số thực Ví dụ: Xét phương trình z z a) Giải phương trình tập số phức b) Tính z1 z2 Hướng dẫn giải Áp dụng phép tốn tập số phức để a) Ta có: ' 4 2i biến đổi biểu thức Phương trình có hai nghiệm là: z1 2i ; z2 2i b) Ta có z1 z2 22 22 2 Suy z1 z2 2 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Tất nghiệm phức phương trình z TOANMATH.com Trang A 5 B 5i C 5i D Hướng dẫn giải z 5i Ta có phương trình: z z 5 z 5i z 5i Vậy phương trình cho có hai nghiệm phức z1 5i z2 5i Chọn C Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z z Giá trị biểu thức A z1 z2 A B C D Hướng dẫn giải Ta có 7 7i nên phương trình có hai nghiệm là: 7 z i; z i 4 4 2 Suy A z1 z2 Chọn B Ví dụ Trong số sau, số nghiệm phương trình z z A 3i B 1 C z ? 1 D 2i Hướng dẫn giải 1 3i Ta có z z z z 2.z z 4 2 2 3i 3i z z 2 3i 3i z z 2 Chọn A Ví dụ Phương trình z az b a, b có nghiệm phức 4i Giá trị a b A 31 B C 19 D 29 Hướng dẫn giải Cách 1: Do z 4i nghiệm phương trình z az b nên ta có: Chú ý: Nếu z0 4i nghiệm phương a 4i b 3a b 4a 24 i trình bậc hai với hệ số thực z0 TOANMATH.com Trang 3a b a 6 4a 24 b 25 nghiệm phương trình Do a b 19 Cách 2: Vì z1 4i nghiệm phương trình z az b nên z2 4i nghiệm phương trình cho z1 z2 a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có z1.z2 b 4i 4i a a 6 a b 19 b 25 4i 4i b Chọn C Ví dụ Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z z 34 Giá trị z0 i A 17 B 17 C 17 D 37 Hướng dẫn giải Ta có ' 25 5i Phương trình có hai nghiệm z 3 5i ; z 3 5i Do z0 3 5i z0 i 1 4i 17 Chọn A Ví dụ Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z z Tọa độ điểm biểu diễn số phức A P 3; 4i mặt phẳng phức z1 B N 1; 2 C Q 3; 2 D M 1; Hướng dẫn giải z 2i Ta có z z z 2i Theo yêu cầu toán ta chọn z1 2i Khi đó: 4i 4i 4i 1 2i 2i z1 2i 12 22 Vậy điểm biểu diễn số phức P 3; Chọn A Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z Giá trị biểu thức z1 1 2019 z 1 2019 A 21009 TOANMATH.com B 21010 C D 21010 Trang Hướng dẫn giải z1 i Xét phương trình z z z 1 z2 i Khi ta có: z1 1 1 i 1 i 1 i 2i 1009 2i 1009 1009 2019 z2 1 2019 1 i 1 i 1 i 2019 1 i 2019 1009 1 i 2i 1009 1 i 1 i 2i 1010 i2 505 21010 21010 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Nghiệm phương trình z z tập số phức A z 3 i; z i 2 2 B z i ; z i C z 3 i; z i 2 2 D z 3i ; z 3i Câu 2: Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z z 10 Tính giá trị biểu thức P z1 z2 A P 20 B P 40 C P D P 10 Câu 3: Phương trình z z 10 có hai nghiệm z1 , z2 Giá trị z1 z2 A B C D Câu 4: Biết số phức z 3 4i nghiệm phương trình z az b , a, b số thực Giá trị a b A –31 B –19 C D –11 Câu 5: Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z z Hỏi điểm điểm biểu diễn số phức iz0 ? 1 3 A M ; 2 2 3 1 B M ; 2 3 1 C M ; 2 2 3 D M ; 2 Câu 6: Cho z nghiệm phức phương trình x x Giá trị biểu thức P z z z A 1 i B 1 i C 2i D Câu 7: Kí hiệu z0 số phức có phần ảo âm phương trình z z 37 Tọa độ điểm biểu diễn số phức w iz0 TOANMATH.com Trang 1 A 2; 3 B ; 2 1 C 2; 3 D ; Câu 8: Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z 3z Giá trị z1 z2 A B C D 10 Câu 9: Kí hiệu z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z z Giá trị z1 6i A B C 73 D 73 Câu 10: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z z Giá trị biểu thức 1 z1 z2 A B C D Câu 11: Ký hiệu z1 , z2 nghiệm phương trình z z 10 Giá trị z1 z2 A 5 B C 10 D 20 Câu 12: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z z Giá trị biểu thức z1 z1.z2 A B 10 C 15 D Bài tập nâng cao Câu 13: Phương trình z 3z có hai nghiệm phức z1 , z2 Giá trị z1.z2 A 27 B 64 C 16 D Câu 14: Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z z Môđun z13 z24 A 81 C 27 B 16 D Câu 15: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình az bz c a, b, c Giá trị biểu thức M z1 z2 z1 z2 z1 z2 A c a B 4 c a C c 4a D 4 c a Câu 16: Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z z Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w i 2019 z0 ? A M 2;1 B M 2;1 C M 2; 1 D M 2; 1 Câu 17: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z z 13 A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 , z2 mặt phẳng tọa độ Oxy Diện tích tam giác OAB A 13 TOANMATH.com B 12 C 13 D Trang ... nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Chú ý: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az bz c a, b, c ; a Ta có b 4ac b Nếu phương trình có nghiệm thực. .. Nếu phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 b i 2a ; x2 b i 2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax bx c a 0 có hai nghiệm... TRỌNG TÂM Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z w gọi bậc hai w Nhận xét: Tìm bậc hai số phức w w số thực +) Số có bậc hai + Nếu w w có hai bậc hai i w i