BÀI 4 PHƯƠNG TRÌNH mũ bất PHƯƠNG TRÌNH mũ

BÀI PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ MỤC TIÊU Kiến thức: - Biết cách giải số dạng phương trình mũ - Biết cách giải số dạng bất phương trình mũ Kĩ năng: - Giải số phương trình mũ bất phương trình mũ đơn giản phương pháp đưa số, lơgarit hóa, đặt ẩn phụ, tính chất hàm số - Nhận dạng loại phương trình mũ bất phương trình mũ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình mũ a x  b + Nếu b >0 phương trình có nghiệm x  loga b + Nếu b < phương trình vơ nghiệm • Đặc biệt: Phương trình a x  a y  x  y (biến đổi số) • Dạng 1: Phương trình có dạng a f ( x )  a g ( x ) + Nếu a = a f ( x )  a g ( x ) nghiệm với x + Nếu  a  f  x   g  x  • Dạng 2: Phương trình có dạng a f ( x )  b ( với  a  1, b  ) a f ( x )  b  f ( x)  log a b Bất phương trình mũ • Dạng 1: Phương trình có dạng a f ( x )  a g ( x ) (1) + Nếu a  (1)  f ( x)  g ( x) + Nếu a=1 (1) nghiệm x  + Nếu < a < (1)  f ( x)  g ( x) • Dạng 2: Bất phương trình có dạng a( x )  b( vói b  0) (2) + Nếu a  thi (2)  f ( x)  loga b + Nếu  a  (2)  f ( x)  loga b • Dạng 3: Bất phương trình có dạng a *  b (3) + Nếu b  (3) nghiệm x  + Nếu b > 0, a > (3)  f ( x)  loga b + Nếu < a < (3)  f ( x)  loga b Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Phương trình mũ Bài tốn Biến đổi dạng phương trình ►Ví dụ mẫu Ví dụ Tổng tất nghiệm phương trình x A Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có x B 2  x4   x4  16 C D x  1  x  x   log  x  x    16 16 x  Vậy tổng tất nghiệm phương trình Trang x   24  x  x   4  x  x    x  Vậy tổng tất nghiệm phương trình Chọn D Cách 2: Ta có: x  x4 x 12  25   27   Ví dụ Tổng nghiệm phương trình 0,       125  A -8 B C Hướng dẫn giải x  25  Ta có: 0,     x x12  27  3      125  5 x  3   5 x  3   5 24  x  3  3     5  5 Vậy tổng nghiệm x 5   3 24  x  x 2 x  24 3   5 D x  3     2 x  x  24    x   5  Chọn B Ví dụ Tổng tất nghiệm thực phương trình 3.5x2 x A  Hướng dẫn giải Ta có: 3.5 x  x 1 B 2 x  x 1  5.3  5x 2 x 1  5.32 x  x 1 C  2 1 2 x  x 1 5    3 2 x  x 1  D x   2 x  x     x   Vậy tổng nghiệm Chọn D Ví dụ Gọi T tích tất nghiệm phương trình (3  2) x Tìm T A T  Hướng dẫn giải B T  2  x2  (3  2) x 2  (3  2) x  x2 C T  1 Nhận xét: (3  2)(3  2)    2  (3  2) x 2  (3  2) x 2 D T   (3  2) 1 , nên 3 2  x2  (3  2) 2 x x   x  x2  2 x  x  x  x     x  1   Do tích tất nghiệm Chọn A Bài tốn Phương trình theo hàm số mũ 3 Trang ►Phương pháp giải Chú ý: Ta đặt ẩn phụ sau đưa phương trình chứa hàm số mũ Ta thường gặp dạng sau: • m  a2 f ( x )  n  a f ( x )  p  • m  a f ( x )  n  b f ( x )  p  0, a.b  Đặt t  a f ( x ) , t  0, suy b f ( x )  t a • m  a2 f ( x )  n  (a  b) f ( x )  p  b2 f ( x )  Chia hai vế cho b2 f ( x ) đặt   b f ( x)  t  • Ấn phụ khơng hồn tồn: Đặt a x  t phương trình chứa x t Ta coi t ẩn; x tham số, tìm mối quan hệ x t ► Ví dụ mẫu Ví dụ Số nghiệm thực phân biệt phương trình 4x   2x   A B C Hướng dẫn giải 2 D Ta có: x  5.2 x     22   5.2 x      x2 x2 2 2x   x2  x   5.2       x  x  x     2 x2 Chọn A Đưa phương trình ban đầu dạng phương trình bậc hai ẩn x Ví dụ Phương trình 31 x  31 x  10 có hai nghiệm x1; x2 Khi giá trị biểu thức P=x1  x2 +2 x1x A Hướng dẫn giải B -6 Ta có: 31 x  31 x  10  3.3x  C -2 D 2  10   3x   10.3x   0x 3x  x   x 1  Vậy P  2 3  x     Chọn C Đưa phương trình ban đầu dạng phương trình bậc hai ẩn 3x Ví dụ Tích nghiệm phương trình (  1) x  (  1) x  2  A Hướng dẫn giải B -1 Ta có (  1)(  1)     C D 1 nên phương trình thành 1 x   x x    (  1)  2   (  1)  2  (  1) x        1  (  1) x   x    x (  1)    x  1 Vậy tích nghiệm phương trình -1 Chọn B Trang Nhận xét: (  1)(  1)   1  1 Đưa phương trình ban đầu dạng phương trình bậc ẩn (  1) x Ví dụ Gọi S tổng tất nghiệm phương trình 3.4x1 11.6x  2.9x  Tìm S A S   log2 B S   log3 C S   2log 2 D S=1 Hướng dẫn giải Ta có: 3.4x1 11.6x  2.9x   12.4x 11.6x  2.9x  2x x 6x 9x 3 3  12  11 x   x       11    12  4 2 2   x     x  log  x   log 2       x x  x         2   Vậy S   log 2 Chọn C x 3 Chia vế cho x đưa phương trình bậc hai ẩn   2 Ví dụ Phương trình (3  5) x  (3  5) x  3.2 x có hai nghiệm x1, x2 Giá trị biểu thức A  x12  x22 Bằng ? A Hướng dẫn giải B 13 C D 1 3 3 3  3  Nhận xét (3  5)(3  5)    1    2 2   x x 2x x  3   3   3   3  Do đó:                                 x       x     x  1 x           Vậy A = Chọn D Chú ý: 3  3  Ta có      1 x  3  Chia vế cho đưa phương trình bậc hai ẩn     x Trang Ví dụ Tổng tất nghiệm thực 3.4 x  (3x  10)  x   x  S  log a a , với phân số tối b b giản Giá trị a  b A B Hướng dẫn giải D C 3.4 x  (3x  10)  x   x     x   (3x  10)  x   x  Đặt 2x  t (t  0) , phương trình trở thành 3t  (3x 10)t   x  Ta xem phương trình bậc hai theo ẩn t  x tham số x   x t   Giải phương trình theo tham số x ta  3   x    x(*) t   x Giải phương trình (*), ta có: 2x  x   Đặt f ( x)  2x  x  3, f  ( x)  2x ln   0, x  nên phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mà f 1  nên phương trình f  x   có nghiệm x=1 1 Tóm lại phương trình có nghiệm x1  log ; x2  nên S  log   log 3 Do a  2, b  suy a  b  Chọn D Bài toán Lấy lôgarit hai vế ►Phương pháp giải Cho  a  x, y  ta có x  y  loga x  loga y 0  a  1, b  • Phương trình a f ( x )  b    f ( x)  log a b • Phương trình a f ( x )  b g ( x )  log a a f ( x )  log a b g ( x )  f ( x)  g ( x)  log a b logb a f ( x )  logb b g ( x )  f ( x)  logb a  g ( x) ►Ví dụ mẫu Ví dụ Gọi S tổng tất nghiệm thực phương trình x  3 x  Tìm S A S  log7 B S  log3 C S  log2 D S  log3 2 Hướng dẫn giải   Ta có: x  3 x   log3 x  3 x  log  log x  log 3 x  2 x   x  log3  x   x  x log  1     x   log log  Vậy tổng nghiệm S  log7 Chọn A Lấy lôgarit số số hai vế Ví dụ Phương trình 3x  x 1 x  15 có nghiệm dạng x   log a b , với a,b số nguyên dương lớn nhỏ Giá trị P = a+2 b bao nhiêu? A P  B P  C P  13 Hướng dẫn giải D P  Trang Ta có  x x 1 x x 1 x 5  15  3.5 x x 1   x 1 x x 1 x  x 1 xx1    log      x 1  log3  x x     ( x  1)  1  log      x   x   log3  log3 x 1  log3   x 1  Vậy a  3, b  , suy a  2b  13 Chọn C Bài toán Đặt nhân tử chung ►Ví dụ mẫu Ví dụ Tổng tất nghiệm thực phương trình 2.11x  253x  23x  A B C Hướng dẫn giải D Ta có 2.11x  253x  23x   2.11x  11x.23x  23x    11x  1  23x 11x  1     23x 11x  1   vi  3x    11x     x0  x    Chọn A Ví dụ Phương trình 2x A Hướng dẫn giải Ta có 2x  2x x x   2x x x  4.2x B x  22 x   có số nghiệm nguyên dương C D  22 x    2x x  22 x   2x    22 x     22 x      22 x    x x x   22 x   1   22 x  2 x  x     x x  x  x  x   Vậy phương trình có nghiệm ngun dương Chọn B Bài tốn Phương pháp hàm số ►Phương pháp giải Sử dụng tính đơn điệu hàm số: Tính chất Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) (a; b) có tối đa nghiệm phương trình f  x   k  a; b  f  u   f  v   u  v , u, v  (a; b) Tính chất Nếu hàm số y  f  x  liên tục đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số y  g  x  liên tục nghịch biến (hoặc đồng biến D số nghiệm D phương trình f  x   g  x  khơng nhiều Tính chất Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến D bất phương trình f  u   f  v   u  v ( u  v ), u, v  D Trang ►Ví dụ mẫu Ví dụ Phương trình 3x   x có nghiệm? A B C Hướng dẫn giải Ta có 3x   x  3x  x   Đặt f ( x)  3x  x  5, ta có f  ( x)  3x ln   0, x  D nên phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mà f 1  nên phương trình f  x   có nghiệm x = Vậy phương trình có nghiệm Chọn C Ví dụ Phương trình 2x  5x   5x có nghiệm? A B C Hướng dẫn giải Ta có 2x  5x   5x  5x  2x  5x   D Đặt f ( x)  5x  2x  5x  2, ta có f  ( x)  5x  ln  2x  ln  Xét f  ( x)   5x  ln  2x ln   Ta có f  ( x)  5x ln  2x ln 2  0, x  nên phương trình f  ( x)  có tối đa nghiệm Vì lim f  ( x)  5 lim f  ( x)   nên phương trình f  ( x)  có nghiệm x=x x  x  Do đó, phương trình f  x   có tối đa hai nghiệm  f (1)  Mà  nên phương trình có hai nghiệm x =0 x =  f (0)  Chọn D Ví dụ Tổng nghiệm phương trình 223x  2x  210 x  23x3  10 x2  x gần số đây? A 0,35 B 0,40 C 0,50 D 0,45 Hướng dẫn giải Ta có 223x  2x  210 x  23x3  10 x2  x  223x  x  23x3  x  210 x  10 x2 3 Đặt f (t )  2t  t, ta có f  (t )  2t  ln   0, t  x  Mà f  23x  x   f 10 x  nên 23 x  x  10 x    x   23 10 Vậy tổng nghiệm phương trình 23 Chọn D Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3 3m  27 3m  27.2 x  x có nghiệm thực? A B Hướng dẫn giải Ta có C Vô số D Không tồn m 3m  27 3m  27.2 x  x  27 3m  27.2 x  23 x  3m (1) Đặt 2x  u, điều kiện: u  3m  27.2 x  v  v  3m  27.u (2) (1) trở thành u3  27v  3m (3) Trang Từ (3) (2) suy u  27v  v3  27u  (u  v)  u  uv  v  27   u v  3v  Do u  uv  v    u  v    27  0, u, v    , nên u  27u 3m  27u  u  m  , với u  u  27u vói u  Xét hàm số f (u )  Ta có f  (u )   3u  27  ; f  (u )   u  u  Suy (0; ) f (u )  54 Do có vơ số giá trị ngun m để phương trình có nghiệm thực Chọn C Bài tốn Phương trình chứa tham số ► Phương pháp giải Bước Đặt t  a x (t  0) , chuyển phương trình ban đầu phương trình ẩn t Bước Sử dụng định lý Vi-ét điều kiện có nghiệm mối quan hệ nghiệm để giải Ví dụ Cho phương trình 4x  m  2x1  2m  Biết m  m0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 +x =3 Mệnh đề sau đúng? A m0 số nguyên âm C m0 số lẻ B m0 số nguyên tố D m0 số phương Hướng dẫn giải Ta có: x  m  x 1  2m    x   2m  x  2m  (1) Đặt t  2x , t  , phương trình thành t  2mt  2m  (2) Ta thấy ứng với giá trị t >0 ta tìm nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm x1; x2 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t >t1 >0 đồng thời x1  x2   x1  x2  23  t1  t2  Từ đó, ta có    m  8m    m4 Điều kiện  S   2m  P   2m    Vậy m0  số phương Chọn D Bài tốn: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thuộc  x1 ; x2  ta giải sau: Bước Đặt t= t  a x , t  0, x   x1 ; x2   t   a x1 ; a x2  Bước Chuyển phương trình ẩn t , cô lập m chuyển dạng f  t   m Bước Xét hàm f  t  : tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên đưa kết luận Ví dụ Tìm m để phương trình 9x  2.3x   m  có nghiệm thuộc (0; ) Trang Đặt 3x  t,(t  0) Vì x  (0; ) nên t  (1; ) Phương trình trở thành: t  2t   m   m  t  2t  Xét hàm số f (t )  t  2t  khoảng (1; ) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy m >2 thỏa mãn yêu cầu đề ► Ví dụ mẫu Ví dụ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 4x  m  2x  2m   có hai nghiệm trái dấu? A Vơ số B C D Hướng dẫn giải Ta có x  m  x  2m     x   m  x  2m   Đặt t  2x , t  0, phương trình thành t  mt  2m   (2) Đặt f (t )  t  mt  2m  Nhận xét với giá trị t  ta tìm nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm x1 0 đồng thời t1   t2  vi x1  20  x2  Từ đó, ta có:   m  8m  20  m  4(2 m  5)       P   m    m      m   S  m  m  1 f (1)  1.(1  m  2m  5)    m   Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa đề Chọn C Ví dụ Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình 2x   m 4x  1(*) có nghiệm nhất? A Hướng dẫn giải B Vô số C Đặt t  2x , t  , phương trình (*)  t   m t   m  Xét hàm số f (t )  Ta có f  (t )  t t 3 t2 1  3t  1 D t 3 t2 1 (1) xác định tập D  (0; ) , Cho f  (t )    3t   t  t2 1 Trang 10 Ta thấy (  2)(  2)     (  2) 1 nên bất phương trình thành 2x (  2) x 1  (  2)  x (1) Vì số a    (0;1) nên (1)   1  x  2x 2x x2  x  x  x0 0  x 1 x 1 x 1 x  Chọn D Bài tốn Bất phương trình theo hàm số mũ ►Ví dụ mẫu Ví dụ Bất phương trình 5.4x  2.25x  7.10x  có nghiệm nguyên? A B C D Hướng dẫn giải Ta có: 5.4x  2.25x  7.10x  2x   2 x 25x 10 x 5 5     2   7    x x 4 2 2 x 5        x  2 Vậy bất phương trình có hai nghiệm nguyên Chon A Ví dụ Tổng tất nghiệm phương trình 42 x  5.4x A B C Hướng dẫn giải Ta có: 42 x  5.4 x 2 x    5.4          5.4    42 x 1   x x2  x x2 x x 2 x  42 x1  D 0 x3  x 4x  x   x2  x     x  x  x  x  x  x    x  1  x  2 Vậy tổng nghiệm phương trình Chọn A Ví dụ Bất phương trình A Hướng dẫn giải x  3.2 x 1   có nghiệm nguyên âm? x 1  B -1 C D x   6.2 x   x  3.2 x 1  0 0 Ta có: x 1  2.2 x  Trang 16 Lập bảng xét dấu f (t )  t  6t  x ,  t 2.t  Từ bảng xét dấu ta có: 2  x  6.2 x  2x  x   ∣  x 2.2  2 2  1  x  Vậy bất phương trình khơng có nghiệm ngun âm Chọn C 1 Ví dụ Bất phương trình x 1 có tập nghiệm dạng S = S  (a; b]  (a; )    5x với a >0 Giá trị tổng a + b A B C D x Hướng dẫn giải 1 1  x  5.5 x  Ta có: x 1      0   5x 5.5 x   x  5.5x  1    5x   Lập bảng xét dấu f (t )   x  5.5 x   6.5 x   0  5.5x  1    5x   5.5x  1    5x  t  6t ,5x  t (5.t  1)(5  t ) Từ bảng xét dấu ta có 5 x  x   6.5x   1  x x x     1  x  5.5  1  5    Vậy a  1, b   a  b  Chọn D Đưa vế trái dạng ẩn chứa 5x sau xét dấu Bài tốn Lấy lơgarit hai vế ►Phương pháp giải Cho  a  x, y>0 ta có: + Nếu  a  x  y  loga x  loga y + Nếu a  x  y  loga x  loga y Trang 17 1 Ví dụ: Tập nghiệm bất phương trình    3 x2 1    3   C S    ;1   Hướng dẫn giải x2 1    3 1  B S   ;    (1; ) 3  1  D S   ;   3  A S  (1; ) 1 Ta có:   3 x1 x 1 1  log    3 x2 1  log    3 x 1  3x2  2x 1   x    x   1  Vậy S   ;    (1; ) 3  Chọn B ► Ví dụ mẫu 1 Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình   3 3 x  32 x 1 1  B S   ;    (1; ) 3  1  D S   ;   3  A S  (1; )   C S    ;1   Hướng dẫn giải 1 Ta có   3 3 x  32 x 1  33 x  32 x 1  log 33 x  log 32 x 1 2  3x  x  1    x 1   Vậy S    ;1   Chọn C 1 Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình   2 A S  (;1)  (2; )  x2 5 x C S  D S  (2; ) \{1;2} Hướng dẫn giải 1 Ta có   2  x2 5 x 1   4 x 1 1    4 B S  (;1) x 1 1   2  x2 5 x 1   2 x2 Trang 18 1  log   2  x2 5 x 1  log   2 x2   x2  5x  x    x  3x    x  3x   x   x  Vậy S  (;1)  (2; ) Chọn A Ví dụ Nghiệm bất phương trình  3  x  A  x   4  x  2 C  x  Hướng dẫn giải x x2  36.32 x   log  x  2 B  x    log 18  x  2 D  x  x4 x x 4 Ta có: x   36.32 x  x   34 x  log x   log 34 x  x4  log  log   x  ( x  4)   1  x2  x2  x   x    x   x       log  log   x 1    x  x2     x  x     x    x   log 18  x   log 18  x  2 0   x2 x     log 18  x  2 Chọn D Ví dụ Bất phương trình  x 2x x1  10 có tập nghiệm (; b)  (a; a) Khi b – a B  log52 A log2 C D  log2 Hướng dẫn giải 2x x 1  x 1 xx 11       log     log Ta có    x 1    ( x  1)  log    ( x  1)   log  0 x 1 x 1   x 2x x 1 5  10  2.5 x x 1 x 1 x 1 Trang 19  ( x  1)  x  log5  log5  1 x 1  Bảng xét dấu: Từ bảng xét dấu ta có ( x  1)  x.log  log  1  1  x  0 x 1    x   log 10 a   b  a  log Do  b  log 10 Chọn A Bài toán Đặt nhân tử chung ►Phương pháp giải Phân tích để xuất nhân tử đặt nhân tử chung Ta có AB  AC  A( B  C ) Với phức tạp đặt ẩn phụ để giải ►Ví dụ mẫu Ví dụ Tập nghiệm S bất phương trình 3.3x  3.2x  24  6x có dạng S=[a ; b] Giá trị tổng a  b C  B  A Hướng dẫn giải D Ta có 8.3x  3.2x  24  6x  8.3x  3.2x  2x.3x  24   3x    x     x      x    3x    2 x  x   x x  3  x x       3    x  1 x   8 x    x   3  x  Vậy a  1, b  nên a  b  Chon A Ví dụ Nghiệm bất phương trình 52 A  x  B 0