Bài 4 PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRÒN mở RỘNG

CHƯƠNG 1: CƠ HỌC BÀI 4: PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRÒN MỞ RỘNG Mục tiêu  Kiến thức + Nêu cách vận dụng đường tròn mở rộng để giải tốn dao động điều hồ  Kĩ + Vận dụng phương pháp đường tròn mở rộng để giải toán thời gian số lần dao động điều hoà A MỞ RỘNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRỊN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ngồi li độ, có nhiều đại lượng khác dao động điều hoà biến thiên điều hoà, ta biểu diễn chúng đường trịn Vận tốc biến thiên điều hoà theo thời gian theo biểu thức v  v cos  t  v  với biên độ v0  A Gia tốc biến thiên điều hoà theo thời gian theo biểu thức a  a cos  t  a  với biên độ a  A2 Lực kéo biến thiên điều hoà theo thời gian theo biểu thức F  ma  m2 x  F0 cos  t  F  với biên độ lực F0  m2 A Một số đại lượng khác động năng, năng, công suất,… biến thiên điều hồ, biểu diễn đường trịn Ta vận dụng đường trịn để giải toán liên quan đến đại lượng biến thiên điều hoà giống toán li độ II CÁC DẠNG BÀI TẬP Phương pháp giải Bước 1: Xác định phương trình đại lượng dao động điều hoà cần biểu diễn (nếu đề chưa cho biết cụ thể) Bước 2: Biểu diễn vị trí đường trịn Trang Bước 3: Từ đường trịn, xác định góc quay  tương ứng với yêu cầu đề Bước 4: Từ góc quay  rút đại lượng đề yêu cầu   Ví dụ: Một vật nhỏ dao động điều hồ theo phương trình x  A cos  4t   , với t tính s Tính thời 2  gian ngắn nhất, từ lúc t = 0, để vận tốc vật nửa vận tốc cực đại? Hướng dẫn giải Bước 1: Từ phương trình li độ ta suy phương trình vận tốc: v  v cos  4t  Bước 2: Biểu diễn vị trí đường trịn: Bước 3: Từ đường tròn ta thấy thời gian ngắn từ lúc t = 0, để vận tốc vật nửa vận tốc cực đại tương ứng với chất điểm quay từ M0 đến M1 góc    Bước 4: Thời gian ngắn cần tìm:   t   s  4 12 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với chu kì 0,1 (s), biên độ cm Khoảng thời gian ngắn để vận tốc vật có giá trị từ –40 cm/s đến 40 cm/s là: A  s 120 B  s 20 C  s 60 D  s 40 Hướng dẫn giải Tần số góc dao động:   2  20 rad/s T Vận tốc cực đại dao động: vmax  A  80 cm/s Biểu diễn dao động vật tương ứng đường tròn: sin 1  v1    1  (rad) v max sin 2  v2    2  (rad) v max Trang Dựa vào hình vẽ ta thấy khoảng thời gian ngắn tương ứng với góc quay:   1  2   (rad)    Khoảng thời gian tương ứng: t    (s)  20 40 Chọn D Ví dụ 2: Một lắc lị xo dao động điều hồ với chu kì T biên độ cm Biết chu kì khoảng thời gian để vật nhỏ có độ lớn gia tốc khơng nhỏ 100 cm/s2 A 0,67 Hz B 0,76 Hz T Tần số dao động là: C 1,5 Hz D Hz Hướng dẫn giải  a  100  T Trong chu kì thời gian gia tốc có độ lớn khơng nhỏ 100 cm/s2  a  100    t  a  100   Suy thời gian từ vị trí có gia tốc a = 100 cm/s2 đến vị trí biên dương: t1  t T 2 T    1  t1   12 T 12 Dựa vào hình vẽ ta thấy cos 1  100 100 200  a max   (cm/s2)  a max cos Lại có a max  A.2    4,8  f    0, 76 Hz 2 Ví dụ 3: Cho chất điểm dao động điều hoà với tần số 0,5 Hz Lấy gần 2  10 Trong chu kì, thời gian để gia tốc chất điểm lớn –10 cm/s2 đồng thời nhỏ 10 cm/s2 1s Tốc độ cực đại trình dao động A cm/s B 2 cm/s C cm/s D 4 cm/s Hướng dẫn giải f  0,5 Hz     rad/s Trong 1T: Khoảng thời gian để gia tốc thoả mãn 10  a  10 1s suy ra:   t         Từ hình vẽ ta có:  10 cos   a max   sin   cos   10  a max Trang Thay ngược lại  a max  a 10  20 cm/s2  v max  max  2 (cm/s)   cos Chọn B Bài tập tự luyện Câu 1: Trong dao động điều hồ có chu kì T thời gian ngắn để vật từ vị trí có gia tốc cực đại đến vị trí có độ lớn gia tốc nửa gia tốc cực đại là: A T 12 B T C T D T Câu 2: Cho chất điểm dao động điều hoà, quãng thời gian hai lần liên tiếp gia tốc chất điểm có độ lớn m/s2 s Lấy gần 2  10 Tốc độ cực đại chất điểm trình dao động là: A 1 m/s m/s 2  B C 1 m/s m/s  2 D m/s m/s  2 m/s m/s 2  Câu 3: Cho chất điểm dao động điều hồ với chu kì T Trong chu kì dao động, thời gian vận tốc T chất điểm lớn 4 cm/s , quãng thời gian mà gia tốc chất điểm nhỏ 162 cm/s2 2T Chu kì dao động A s B s C s D s Câu 4: Cho vật nhỏ dao động điều hoà Biết quãng thời gian hai lần liên tiếp vật đạt tốc độ 4 cm/s 0,25 s Tính tốc độ trung bình vật chu kì dao động? A cm/s B cm/s C cm/s D cm/s Câu 5: Cho chất điểm dao động điều hoà với biên độ cm, chu kì 0,5 s Trong chu kì, tính thời gian mà tốc độ chuyển động vật lớn 12 cm/s? A s B s C s D s 12 Câu 6: Cho chất điểm dao động điều hoà với biên độ cm tần số Hz Trong chu kì, tính thời gian mà vận tốc chuyển động nhỏ 8 cm/s? A s 12 B s C s 12 D s 2   Câu 7: Một chất điểm dao động điều hoà trục Ox với x  cos  t   cm Lấy   10   Tính thời điểm mà gia tốc chất điểm đạt giá trị 20 cm/s2 lần thứ 9? A 45 s B 49 s C 37 s D 49 s 12 Trang   Câu 8: Một chất điểm dao động điều hoà trục Ox với x  cos  2t   cm Tính số lần chất 6  điểm có vận tốc 4 cm/s 3,75 s đầu tiên? A lần B lần C lần D lần   Câu 9: Một chất điểm dao động điều hoà trục Ox với x  cos  t   cm Tính số lần chất 3  điểm đạt tốc độ  cm/s 6,5 s đầu tiên? A 12 lần B 13 lần C 14 lần D 16 lần Câu 10: Một chất điểm dao động điều hoà trục Ox với phương trình li độ   x  5cos  0,5t   cm Tính thời điểm mà lực kéo đạt giá trị cực đại lần thứ ba? 4  A 10,5 s B s C 10 s D 8,5 s B PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRÒN HỖN HỢP I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho dao động điều hoà: x1  A1 cos  t  1  x  A cos  t  2  Có cách để biểu diễn dao động đường tròn  Phương pháp đường trịn đa điểm (đơn trục) mơ tả hình bên Mỗi dao động biểu diễn điểm đường tròn Cách biểu diễn thường vận dụng để giải toán liên quan đến việc xác định thời điểm toán so sánh hai dao đồng điều hoà tần số  Phương pháp đường tròn đa trục (đơn điểm) sử dụng đồng thời hai trục Ox1 Ox2, trục ứng với dao động Do x2 sớm pha  so với x1 nên trục Ox2 phải quay lệch góc  chiều kim đồng hồ so với Ox1 Cả hai dao động biểu diễn chung điểm M đường trịn Hình chiếu điểm M xuống trục Ox1 thể vị trí x1 dao động thứ Hình chiếu điểm M xuống trục Ox2 thể vị trí x2 dao động thứ hai Cách biểu diễn thường vận dụng để giải toán liên quan Trang đến việc xác định khoảng thời gian toán so sánh hai dao động điều hoà tần số Phương pháp đường tròn đa điểm đường tròn đa trục tương đương với nhau, nhiên tuỳ theo dạng tốn mà vận dụng khéo léo giải toán phức tạp cách dễ dàng tiện lợi Dưới thử biểu diễn đại lượng li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo dao động điều hoà lên đường tròn đa điểm Các đại lượng thuộc dao động nên có mối liên hệ pha x  A cos  t      v  v cos  t     , v  A 2  a  a cos  t      , a  A2 F  F0 cos  t      , F0  ma  mA2 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đường tròn đa điểm Phương pháp sử dụng để giải toán liên quan đến việc xác định thời điểm toán so sánh hai dao động điều hoà tần số Phương pháp giải Bước 1: Tìm giá trị cực đại đại lượng cần biểu diễn trục Bước 2: Xác định vị trí đại lượng thời điểm biểu diễn chúng đường tròn Bước 3: Xác định góc quay tương ứng thoả mãn điều kiện đề đường tròn Bước 4: Rút đại lượng cần tìm   Ví dụ: Một chất điểm dao động điều hồ theo phương trình x  cos  2t   cm Xác định thời điểm 6  vận tốc chất điểm đạt giá trị 2 cm/s kể từ thời điểm ban đầu? Hướng dẫn giải Xác định “thời điểm”  dùng đường tròn đa điểm với trục x, v Bước 1: Ta có: A  cm, vmax  4 cm/s Bước 2: Thời điểm ban đầu li độ MOX Do vận tốc nhanh pha  so với li độ  Thời điểm ban đầu Trang vận tốc MOv, đứng trước MOx góc  Vận tốc 2 cm/s tương ứng với M1 M2 đường tròn (OM1 OM2 hợp với trục Ov góc  ) Ta biểu diễn điểm đường tròn sau: Bước 3: Thời điểm vận tốc chất điểm đạt giá trị 2 cm/s kể từ thời điểm ban đầu tương ứng với góc quay từ M0V tới M2     17 rad Từ hình vẽ ta có   2        12 Bước 4: Suy t   17  s  24 Ví dụ mẫu   Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hồ theo phương trình x  cos  t   , với x tính cm t 3  tính giây Thời điểm vận tốc chất điểm đạt giá trị 2 cm/s lần thứ là: A 6,5 s B 4,5 s C 2,5 s D 6,75 s Hướng dẫn giải Xác định “thời điểm”  dùng đường tròn đa điểm với trục x, v: Ta có: A  cm, vmax  4 cm/s Thời điểm ban đầu li độ MOx Do vận tốc nhanh pha  so với li độ  Thời điểm ban đầu vận tốc MOv, đứng trước MOx góc  Trang Vận tốc 2 cm/s tương ứng với M1 M2 đường tròn Tách số lần N   3.2  lần    3.2   T  t  3T   6,5 s Chọn A Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động điều hoà trục Ox với biên độ cm tần số 0,5 Hz Tại thời   điểm t, chất điểm qua li độ cm theo chiều âm Tính vận tốc chất điểm thời điểm  t  s  ?   A 4 cm/s B 4 cm/s C 4 cm/s D 4 cm/s Hướng dẫn giải Ta có tần số góc:   2f   rad/s Vận tốc cực đại: v0  8 cm/s 5 rad Độ lệch pha hai thời điểm:   .t    6 Trạng thái chất điểm thời điểm t: A   x1  cm  biểu diễn điểm Mx1   v1  5   Tại thời điểm  t  s  chất điểm quay góc đến vị trí Mx2   Vận tốc nhanh pha li độ góc  nên thời điểm Từ hình vẽ ta thấy M v2ON  2   5        v  v0 cos  4 cm/s 3    t  s  vận tốc biểu diễn điểm Mv2   Chọn B Ví dụ 3: Hai chất điểm dao động điều hoà trục Ox với phương trình x1  cos  2t  cm   x  cos  2t   cm Tính vận tốc chất điểm (1) chất điểm (2) qua li độ cm theo chiều 3  âm? A 4 cm/s B 4 cm/s C 4 cm/s D 4 cm/s Trang Hướng dẫn giải Từ phương trình dao động ta thấy: Độ lệch pha hai dao động:    rad Vận tốc cực đại chất điểm (1): v01  4.2  8 cm/s Tại thời điểm chất điểm (2) có trạng thái: A   x  1cm  2 biểu diễn điểm Mx2   v  Khi chất điểm (1) nhanh pha chất điểm (2) góc  nên biểu diễn điểm Mx1 Vận tốc chất điểm (1) nhanh pha li độ chất điểm (1) góc  nên biểu diễn điểm Mv1 hình vẽ Từ hình vẽ ta thấy NOM v1     v1   v01 cos   v01  4 cm/s 6 Chọn B Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đường tròn đa trục Phương pháp giải Bước 1: Tìm giá trị cực đại đại lượng cần biểu diễn trục Bước 2: Xác định vị trí đại lượng thời điểm biểu diễn chúng đường tròn Bước 3: Xác định góc quay tương ứng thoả mãn điều kiện đề đường tròn Bước 4: Rút đại lượng cần tìm Ví dụ: Một vật nhỏ dao động điều hoà trục Ox với biên độ cm tần số Hz Lấy gần 2  10 Thời gian ngắn tính từ thời điểm vật có vận tốc 4 cm/s đến thời điểm vật có gia tốc 1,6 m/s2 A s B s 12 C s 24 D s 18 Hướng dẫn giải Xác định “khoảng thời gian”  dùng đường tròn đa trục Trang Bước 1: Tần số góc dao động:   2f  4 rad/s Các giá trị cực đại: A  cm, v0  8 cm/s, a  3, m/s2 Bước 2: Vận tốc v  4  v0 biểu diễn điểm M1 M2 Gia tốc a  1, m/s  a0 biểu diễn điểm N1 N2 Bước 3: Ta thấy từ thời điểm vật có vận tốc 4 cm/s đến thời điểm vật có gia tốc 1,6 m/s2 theo cung M1N1, M1N2, M2N1, M2N2  Như khoảng thời gian ngắn ứng với cung M1N1, min  M1ON1  Bước 4: Suy khoảng thời gian ngắn cần tìm: t  min  s  24 Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hoà trục Ox với biên độ cm tần số Hz Tính tốc độ trung bình khoảng thời gian mà vận tốc chất điểm lớn 8 cm/s? A 12 cm/s B 24 cm/s C 12 cm/s D 24 cm/s Hướng dẫn giải Ta có:   2f  4 rad/s Vận tốc cực đại: v0  A  16 cm/s Trang 10 Vị trí vận tốc chất điểm v  8  v0 biểu diễn hai điểm M1 M2 đường tròn Vận tốc chất điểm lớn 8 cm/s vật quay góc  từ M1 đến M2 Ta có      t   s  Khi chất điểm có vận tốc 8 cm/s vị trí     x  A cos    cos  cm   Khi chất điểm từ M1 đến M2 ứng với từ vị trí  x đến x nên quãng đường được: s  2x  cm s Vậy tốc độ trung bình khoảng thời gian này: v tb    24 cm/s t Chọn B Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động điều hoà trục Ox với biên độ cm tần số 0,5 Hz Lấy gần 2  10 Trong chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ 2 cm/s gia tốc lớn 10 cm/s2 bằng: A s 24 B s 12 C s 12 D s 24 Hướng dẫn giải Ta có tần số góc dao động:   2f   rad/s Các giá trị cực đại: A = cm, v0  2 cm/s, a  20 cm/s2 Trang 11 Khi vật có vận tốc v  2 cm/s  nhỏ v0 biểu diễn hai điểm M1 M2 nên vật có vận tốc 2 cm/s ứng với cung lớn M1M2 a0 biểu diễn hai điểm N1 N2 nên vật có gia tốc lớn 10 cm/s2 ứng với cung nhỏ N1N2 Khi vật có gia tốc a = 10 cm/s2  Từ hình vẽ ta thấy cung N2M1 thoả mãn điều kiện v a:   N 2OM1    7   12 Suy khoảng thời gian cần tìm: t    s  12 Chọn C   Ví dụ 3: Cho hai chất điểm dao động tần số trục Ox với phương trình x1  cos  t   cm 6    x  cos  t   cm Thời gian ngắn tính từ thời điểm chất điểm thứ có li độ cm 2  đến thời điểm chất điểm thứ có li độ A s 24 B s cm C s D s 12 Hướng dẫn giải Xác định khoảng thời gian  dùng đường trịn đa trục Từ phương trình x1 x2 ta thấy x2 nhanh pha x1 góc      rad Chất điểm thứ có li độ x1  cm biểu diễn hai điểm M1 M2 Chất điểm thứ hai có li độ x  cm biểu diễn hai điểm N1 N2 Từ thời điểm chất điểm thứ có li độ cm đến thời điểm chất điểm thứ có li độ cm ứng với cung: M1N1, M1N2, M2N1, M2N2 Trang 12 Như khoảng thời gian ngắn tính từ thời điểm chất điểm thứ có li độ cm đến thời điểm chất điểm thứ có li độ cm ứng với cung M N    Suy khoảng thời gian cần tìm: t   rad 12   s  12 Chọn D Bài tập tự luyện Câu 1: Một vật nhỏ dao động điều hoà trục Ox với biên độ cm tần số Hz Tính vận tốc gia tốc vật qua li độ cm theo chiều âm? A v  8 cm/s, a  322 cm/s2 B v  8 cm/s, a  322 cm/s2 C v  8 cm/s, a  322 cm/s2 D v  8 cm/s, a  322 cm/s2 Câu 2: Một lắc lò xo nằm ngang kích thích dao động điều hồ với phương trình x  6sin 5t (cm) (O vị trí cân bằng, Ox trùng với trục lị xo) Vectơ vận tốc gia tốc chiều dương Ox khoảng thời gian (kể từ thời điểm ban đầu t = 0) sau đây? A 0,3s  t  0, 4s B 0s  t  0,1s C 0,1s  t  0, 2s D 0, 2s  t  0,3s Câu 3: Một vật dao động điều hồ theo phương trình x  A cos  t    Khoảng thời gian kể từ lúc vật qua vị trí có toạ độ A T 12 v A theo chiều dương đến lúc vật đạt vận tốc max lần 2 B 5T 36 C T D 5T 12 Câu 4: Một vật nhỏ dao động điều hoà theo quỹ đạo thẳng dài 16 cm với chu kì s Từ thời điểm vật qua vị trí có li độ cm theo chiều dương đến gia tốc vật đạt giá trị cực đại lần thứ hai, tốc độ chuyển động trung bình vật A 15,6 cm/s B 22,5 cm/s C 17,0 cm/s D 16,7 cm/s   Câu 5: Một chất điểm dao động điều hồ với phương trình gia tốc tức thời a  162 cos  2t   3  cm/s2 Tính từ thời điểm ban đầu t = 0, chất điểm qua vị trí có vận tốc 4 cm/s lần thứ 17 thời điểm A 8,25 s B 8,46 s C 6,58 s D 7,45 s Câu 6: Một vật nhỏ dao động điều hoà trục Ox với biên độ cm tần số Hz Khoảng thời gian ngắn tính từ thời điểm vật có vận tốc 12 cm/s đến thời điểm vật có gia tốc 962 cm/s2 A s 12 B s 16 C s 24 D s 48 Câu 7: Một vật nhỏ dao động điều hoà trục Ox với biên độ cm tần số Hz Trong khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ 3 cm/s gia tốc lớn 102 cm/s2, tốc độ trung bình vật nhỏ A 12,5 cm/s B 10 cm/s C 15 cm/s D 20 cm/s Trang 13 Câu 8: Một vật nhỏ dao động điều hoà trục Ox với biên độ cm chu kì 0,5 s Trong chu kì thời gian vật có li độ nhỏ 3 cm gia tốc lớn 48 32 cm/s2 A s 12 B s C s D s 24   Câu 9: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x  cos  2t   , với x tính cm t 6  tính giây Tính từ thời điểm ban đầu t = 0, khoảng thời gian 2,5 s đầu tiên, chất điểm đạt vận tốc 3 cm/s lần? A B C D   Câu 10: Một chất điểm dao động điều hồ theo phương trình x  3cos  5t   , với x tính cm t 6  tính giây Tính từ thời điểm ban đầu t = 0, khoảng thời gian 1,7 s đầu tiên, chất điểm có gia tốc 35,52 cm/s2 lần? A B C D ĐÁP ÁN BÀI TẬP A MỞ RỘNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRỊN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ 1-C 2-C 3-A 4-C 5-B 6-A 7-B 8-D 9-C 10 - A 6-D 7-C 8-A 9-B 10 - A B PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRÒN HỖN HỢP 1-A 2-A 3-A 4-A 5-B Trang 14 ... TẬP A MỞ RỘNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRỊN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HỒ 1-C 2-C 3-A 4- C 5-B 6-A 7-B 8-D 9-C 10 - A 6-D 7-C 8-A 9-B 10 - A B PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRÒN HỖN HỢP 1-A 2-A 3-A 4- A 5-B Trang 14 ... CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đường tròn đa điểm Phương pháp sử dụng để giải toán liên quan đến việc xác định thời điểm toán so sánh hai dao động điều hoà tần số Phương pháp giải... s B PHƯƠNG PHÁP ĐƯỜNG TRÒN HỖN HỢP I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho dao động điều hoà: x1  A1 cos  t  1  x  A cos  t  2  Có cách để biểu diễn dao động đường tròn  Phương pháp đường tròn