BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN MỤC TIÊU Kiến thức: - Trình bày cách viết phương trình tổng quát đường tròn - Nhận biết dạng phương trình đường trịn - Trình bày điều kiện để xác định vị trí tương đối hai đường trịn, điểm với đường trịn - Trình bày cách viết phương trình tiếp tuyến đường trịn Kỹ năng: - Viết phương trình đường trịn tâm l(a;b) bán kính R - Xác định tâm bán kinh đường trịn biết phương trình đường trịn - Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tọa độ tiếp điểm I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn (C) có tâm I  a; b  , bán kính R (C): ( x  a)2  ( y  b)2  R2 x2  y2  2ax  2by  c  R  a2  b2  c Chú ý: Phương trình tiếp tuyến Cho điểm M  x0 ; y0  nằm đường trịn (C) Phương trình tiếp tuyến với (C) M  :  x0  a  x  x0    y0  b  y  y0   Chú ý: CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Nhận dạng phương trình đường trịn Xác định tâm, bán kính đường trịn Bài tốn Nhận dạng đường trịn Phương pháp giải Cách Đưa phương trình dạng (C) : x2  y2  2ax  2by  c  Xét dấu biểu thức M  a  b2  c • Nếu M  (1) phương trình đường trịn • Nếu M  (1) khơng phải phương trình đường trịn Trang Cách Đưa phương trình dạng (C) : ( x  a)2  ( y  b)2  M • Nếu M > (2) phương trình đường trịn • Nếu M  (2) khơng phải phương trình đường trịn Ví dụ: a) x2  y2  2x  y   Phương trình có dạng: x2  y2  2ax  2by  c  với a  1, b  1 c  Ta có M  a2  b2  c  (1)2  (1)2   1  Vậy phương trình khơng phải phương trình đường trịn b) x2  6x  y2  y   Ta có x2  6x  y2  y    ( x  3)2  ( y  2)2  20 Vậy phương trình phương trình đường trịn Ví dụ mẫu Ví dụ Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường tròn? a) x2  y2  2x  y 15  b) 2x2  y2  8x  y 14  Hướng dẫn giải 2a  a  1   a) Ta có 2b   b  3  M  a2  b2  c  (1)2  (3)2  (15)  25  c  15 c  15   Vậy phương trình phương trình đường trịn b) Ta có 2x2  y2  8x  y 14   x2  y2  4x  y   2a  a  2   Khi 2b  2  b  c   c    M  a2  b2  c  (2)2 12   2  Vậy phương trình khơng phải phương trình đường trịn Lưu ý: Khi xét phong trình có phải phương trình đường trịn, trước tiên ta quan sát hệ số x2và y Hệ số x2và y khác phương trình khơng phương trình đường trịn Ví dụ Phương trình sau phương trình đường trịn? (I) x  y  x  15 y  12  (II) x  y  3x  y  20  (III)2 x  y  x  y   A Chỉ (I) Hướng dẫn giải B Chỉ (II) C Chỉ (III) D Chỉ (I) (III) 289  15  0 (I) có a  b  c      12    2 Trang 55    4  (I) có a  b  c        20    2   (III)  x  y  x  y   phương trình có 2 2   11 a  b2  c        2 Vậy (I) (II) phương trình đường trịn Chọn D Ví dụ Để x2  y2  ax  by  c  1 phương trình đường trịn, điều kiện cần đủ A a  b2  c  B a  b2  c  C a  b2  4c  Hướng dẫn giải Ta có: x2  y  ax  by  c  1 D a  b2  4c  2 a b a b a b  x    x     y2    y       c  2 4 2 2 2 a  b a b2   x   y     c 2  2 4  Vậy điều kiện để (1) phương trình đường trịn là: a b2   c   a  b2  4c  4 Chọn C Bài toán Xác định tâm bán kính đường trịn Phương pháp giải • Phương trình đường trịn dạng ( x  a)2  ( y  b)2  R2 có tâm I  a; b  R bán kính • Phương trình đường trịn dạng x2  y2  2ax  2by  c  có tâm I  a; b  R bán kính R  a2  b2  c Chú ý: Những tốn khơng cho phương trình đường trịn dạng tường minh ta phải tìm bán kính tâm thơng qua yếu tố hình học Ví dụ: a) ( x  2)2  ( y 1)2  16 Ta có tâm I  2; 1 bán kính R  16  b) x2  y2  2x  y 1  Ta có a = 1;b = 1; c =1 nên tâm I 1;1 bán kính kính R  12  12 1  Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn sau: a)( x  1)  ( y  2)  25 b) x  y  x  11y  10  c)4 x  y  16 x  40 y  80  Trang Hướng dẫn giải a) Đường tròn ( x 1)2  ( y  2)2  25 có tâm I  1;  bán kính R  25    2a  7  b) Ta có 2b  11  c  10     a    11 b   c  10   2 130  11     11  Vậy tâm I  ;  bán kính R  a  b2  c        10  2  2    A B Mẹo: Phương trình đường trịn dạng x2  y2  Ax  By  C  đường trịn có tâm I  ;   2 2  c) Ta có 4x2  y2 16x  40 y  80   x2  y2  4x 10 y  20  2a  4 a     2b  10  b  5 c  20 c  20   Vậy tâm I  2; 5 bán kính R  a  b2  c  22  (5)2  20  Chú ý: Trước tìm yếu tố đường tròn cần đưa hệ số x2 ; y Ví dụ Tâm đường trịn qua ba điểm A  0;0 , B  0;6 , C 8;0 A (0;0) B (4:0) C (0;3) Hướng dẫn giải Bước Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB, AC: D (4:3) Trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm (0;3) nhận AB  0;6  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  d1  : y  Trung trực đoạn thẳng AC qua trung điểm (4;0) nhận AC 8;0  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  d2  : x  Bước Xác định giao điểm hai trung trực tâm đường trịn: y   I (4;3) Tọa độ giao điểm hai đường trung trực thỏa mãn:  x  Chú ý: Tâm đường trịn qua ba điểm khơng thẳng hàng tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác với ba đình ba điểm cho Ví dụ Cho  Cm  : x2  y  2(m  1) x  4(m 1) y   m  Tìm điều kiện m để  Cm  đường trịn Khi đó, tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn Hướng dẫn giải 2a  2(m  1) a  m    Ta có 2b  4(m  1)  b  2(m  1) c   m c   m   Xét biểu thức M  a2  b2  c  (m 1)2  [2(m 1)]2  (5  m)  5m2  5m Trang m  Để  Cm  đường trịn M   5m2  5m   5m(m  1)   m  Khi đó, đường trịn  Cm  có tâm I(m+1;2(m-1)) bán kính R  5m2  5m Ví dụ Cho  Cm  : x2  y  (m  2) x  (m  4) y  m   a) Chứng minh  Cm  họ đường trịn b) Tìm tập hợp tâm  Cm  m thay đổi c) Chứng minh họ đường trịn  Cm  ln qua hai điểm cố định m thay đổi Hướng dẫn giải m2  a    2a  m   m    a) Ta có: 2b  (m  4)  b  c  m    c  m     m2  m4 Xét biểu thức M  a  b  c        (m  1)     2 2 m2  4m  (m  2)2    0m 2 Vậy  Cm  họ đường tròn m thay đổi  b) Tâm I có tọa độ m2   xI   m  2 xI    2 xI   yI   xI  yI    m  y  m   I y   I Vậy tập hợp tâm đường tròn  Cm  m thay đổi đường thẳng, x  y   c) Gọi M  xM ; yM  điểm cố định mà họ  Cm  qua Khi xM2  yM2  (m  2) xM  (m  4) yM  m   với m   xM  yM  1  m  xM2  yM2  2xM  yM   với m  x  yM    xM  1 x      M2  M  xM  yM  xM  yM    yM   yM   Vậy  Cm  qua hai điểm cố định M1 1;2 M  1;0 Bài tập tự luyện dạng Câu Phương trình sau phương trình đường tròn? A x2  y2  2x  y  20  B 4x2  y2 10x  y   C x2  y2  4x  y 12  D x2  y2  4x  y 1  Câu Phương trình sau khơng phải phương trình đường trịn? A x2  y2  x  y   B x2  y2  y  C x2  y2   Câu Mệnh đề sau đúng? D x2  y2 100 y 1  Trang (I) Đường tròn  C1  : x2  y  2x  y   có tâm I 1; 2  , bán kính R = 5 3  có tâm I  ;   bán kính R= 2 2 A Chỉ (I) B Chỉ (II) C (I) (II) D Khơng có 2 Câu Đường tròn x  y 10x 11  có bán kính (II) Đường trịn  C2  : x  y  x  y  A B C 36 D Câu Đường tròn 2x  y  8x  y 1  có tâm điểm điểm sau đây? A  2;1 B  4; 2 C  4;2 D  2; 1 Câu Đường tròn 3x2  y2  6x  y   có bán kính bao nhiêu? 25 D 2 Câu Cho đường tròn (C): x  y  8x  y   Mệnh đề sau sai? A B 25 C A (C) khơng qua điểm O(0;0) B (C) có tâm I  4; 3 C (C) có bán kính R = D (C) qua điểm M  1;0  Câu Giá trị m để phương trình x2  y2  2mx  4(m  2) y   m  phương trình đường trịn? A m  m  B  m  C m  m  D  m  2 Câu Xác định m để phương trình x  y  2mx  y   khơng phải phương trình đường tròn A m  B 2  m  C m  2 D m  2 m  Câu 10 Cho phương trình 2x  y  8mx  4(m 1) y 14  0(1) Giá trị m để phương trình (1) phương trình đường trịn có bán kính A B C khơng có D 3,5 Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-A 3-C 4-A 5-D 6-C 7-D 8-C 9-B 10 - B 2 Hướng dẫn giải Câu Phương trình x2  y2  2mx  4(m  2) y   m  phương trình đường trịn a  b2  c  m   m2  [2(m  2)]2  (6  m)   m2  4(m  2)2   m   5m2  15m  10    m  Vậy m (;1)  (2; ) thỏa mãn yêu cầu tốn Câu Ta có x2  y2  2mx  y   (1)  x2  2mx  m2  y2  2.2  y  22  m2  22    ( x  m)2  ( y  2)2  m2  Vậy điều kiện để (1) khơng phải phương trình đường trịn: m2    2  m  Câu 10 Xét 2x2  y2  8mx  4(m 1) y 14   x2  y2  4mx  2(m 1) x   Trang m  4m  (m  1)    5m  2m      m  7  2 Dạng Lập phương trình đường trịn Phương pháp giải Cách • Tìm tọa độ tâm I  a; b  đường trịn (C) • Tìm bán kính R đường trịn (C) • Viết phương trình (C) theo dạng: ( x  a)2  ( y  b)2  R2 Cách Giả sử phương trình đường trịn (C) có dạng x2  y2  2ax  2by  c  với a  b2  c  • Từ điều kiện đề bài, lập hệ phương trình ba ẩn a,b,c • Giải hệ phương trình tìm nghiệm a,b,c thay thay vào (1) để có phương trình đường trịn (C) Ví dụ: Viết phương trình đường trịn (C) trường hợp sau: a) Có tâm I  1;1 bán kính R = Phương trình đường trịn (C) có tâm I  1;1 bán kính R = (C) : ( x 1)2  ( y 1)2  b) Đi qua ba điểm A 1; 3 , B  2;4 C  4; 2  Giả sử phương trình đường trịn (C) có dạng x2  y2  2ax  2by  c  với a  b2  c  Theo ra, ta có A(1  3)  (C )  12  (3)2  2a 1 2b  (3)  c   2a  6b  c  10 Tương tự, ta có: B(2;4)  (C )  4a  8b  c  20(2) C (4; 2)  (C )  8a  4b  c  20(3)  a     Từ (1), (2) (3) suy b  (thỏa mãn)  c  10   2 Vậy (C): x  y  3x  y 10  Ví dụ mẫu Ví dụ Viết phương trình đường trịn (C) trường hợp sau a) Có tâm I 1;4 qua gốc tọa độ b) Nhận AB làm đường kính với A  2;5 B  4;1 c) Có tâm I nằm đường thẳng d : x  y   qua hai điểm A  1;2 B  2; 2 d) Ngoại tiếp ∆OAB với A  2;0 B  2;1 e) Nội tiếp ∆OAB với A 8;0 , B  0;6 Hướng dẫn giải Trang a)(C) qua gốc tọa độ nên O(0;0)  (C )  IO  R Ta có R  10  12  42  17 Vậy phương trình đường tròn (C) ( x 1)2  ( y  4)2  17 b) Ta có AB đường kính nên trung điểm I  1;3 AB tâm đường tròn (C) IA  (2  1)2  (5  3)2  13 bán kính (C) Vậy phương trình đường trịn (C) ( x 1)2  ( y  3)2  13 c) Tâm I  d : x  y   nên I (t;  t )  d Vì A, B   C  nên IA  IB  IA2  IB2  (1 t )2  (2   t )2  (2  t )2  (2   t )2 19  14t  19  t  14  19  I ;   14 14  2 19    725   R  IA   1        14   14  98  2 2  725  19   Vậy phương trình đường trịn (C)  x     y    14  98  14   Cách khác Vì tâm nằm đường trung trực đoạn thẳng AB nên I   AB Do ta viết phương trình đường thẳng AB tìm giao điểm I d AB d) Đường tròn (C) đường tròn ngoại tiếp OAB   C  qua ba điểm O,A,B Giả sử (C) có dạng: x2  y2  2ax  2by  c  với a  b2  c  Theo ra, ta có hệ phương trình:  c  c     a  (thỏa mãn)   2a   c  (2)2  12  2a  (2)  2b 1  c    b   2 Vậy phương trình đường trịn (C) là: x  y  2x  y  e) Ta có OA  8, OB  AB  OA2  OB2  10 OA  OB  AB   10 OA  OB   r với p    12 r bán kính đường trịn nội tiếp 2 OAOB OAB  r  2 2p Mặt khác (C) có tâm I thuộc phân giác góc phần tư thứ x  y  có bán kính r = Lại có nên I  2;  Vậy phương trình đường tròn nội tiếp ∆OAB (C): ( x  2)2  ( y  2)2   x  1  2cos t (t  ) Tập hợp điểm M Ví dụ Cho điểm M  x; y  có   y   2sin t Trang A Đường tròn tâm I 1; 2  , bán kính R = B Đường trịn tâm I  1;2 , bán kính R = C Đường trịn tâm I  1;2 , bán kính R= D Đường tròn tâm I 1   , bán kính R = Hướng dẫn giải   x   2cos t ( x  1)2  4cos t  x  1  2cos t  Ta có    2  y   2sin t ( y  2)  4sin t  y   2sin t    ( x  1)2  ( y  2)2  4cos2 t  4sin t  ( x  1)2  ( y  2)  sin t  cos t   ( x  1)2  ( y  2)2  Vậy tập hợp điểm M phương trình đường trịn có tâm I  1;  bán kính R= Chọn B Chú ý: Bài toán trường hợp đặc biệt Các em mở rộng thành tốn lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác nhọn  x   4sin t (t  ) phương trình đường trịn có Ví dụ Phương trình   y  3  4cos t A tâm I  2;3 bán kính R = B tâm I  2; 3 , bán kính R = C tâm I  2;3 , bán kính R = 16 D tâm I  2; 3 , bán kính R = 16 Hướng dẫn giải   x   4sin t ( x  2)2  16sin t  x   4sin t  Ta có    2  ( y  3)  16cos t   y   4cos t  y  3  4cos t  ( x  2)  ( y  3)  16sin t  16 cos t  ( x  2)  ( y  3)  16  sin t  cos t   ( x  2)  ( y  3)  16  x   4sin t (t  ) phương trình đường trịn có tâm I   3 , bán kính R=4 Vậy   y  3  4cos t Chọn B Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3x  y  d2 : 3x  y  Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với d1 , A cắt d , B,C cho ∆ABC vng B Viết phương trình (C) biết diện tích ∆ABC điểm A có hồnh độ dương Hướng dẫn giải Điểm A  d1 , nên A(t; t 3) với t  Vì ∆ABC vng B nên AC đường kính đường trịn (C) Đường thẳng AC qua A vng góc với d1 nên có phương trình x  y  4t  Trang   x  y  4t   x  2t Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình :     3x  y   y  2 3t   C(2t; 2 3t ) Đường thẳng AB qua A vng góc với d , nên có phương trình x  y  2t  Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình:  t   x  y  2t   x   t t    B  ;    2  3x  y   y  t   Ta có: S ABC     2  3  BA  BC  t   A  ; 1 C  ; 2  2     AC  1 3  1 Đường trịn (C) có tâm I trung điểm AC  I  ;  kính R  2  2   3  Vậy (C ) :  x    y   1 3    Bài tập tự luyện dạng Câu Đường tròn tâm I  3; 1 bán kính R = có phương trình A ( x  3)2  ( y 1)2  B ( x  3)2  ( y 1)2  C ( x  3)2  ( y 1)2  D ( x  3)2  ( y 1)2  Câu Đường tròn tâm I  1;  qua điểm M  2;1 có phương trình A x2  y2  2x  y   B x2  y2  2x  y   C x2  y2  2x  y   D x2  y2  2x  y   Câu Đường tròn tâm I 1;  qua điểm B  2;6 có phương trình A ( x 1)2  ( y  4)2  B ( x 1)2  ( y  4)2  C ( x  1)2  ( y  4)2  D ( x 1)2  ( y  4)2  Câu Cho hai điểm A(5 ;-1), B(-3 ; 7) điểm M thỏa mãn AMB  900 Khi điểm M nằm đường trịn sau đây? A x2  y2  x  y 1  B x2  y2  x  y 1  C x2  y2  5x  y 11  D x2  y2  5x  y 11  Câu Cho hai điểm A 1; 1 , B  3;7  Đường trịn đường kính AB có phương trình A x2  y2  2x  y  22  B x2  y2  2x  y  22  C x2  y2  2x  y 1  D x2  y2  6x  y 1  Câu Phương trình đường trịn qua điểm O(0 ; 0), A(a ; 0), B(0 ; b) A x2  y2  2ax  by  B x2  y2  ax  by  xy  C x2  y2  ax  by  D x2  y2  ay  by  Trang 10 Câu Đường tròn (C) qua hai điểm A 1;3 , B  3;1 có tâm nằm đường thẳng d : x  y   có phương trình A ( x  7)2  ( y  7)2  102 B ( x  7)2  ( y  7)2  164 C ( x  3)2  ( y  5)2  25 D ( x  3)2  ( y  5)2  25 Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-A 3-D 4-A 5-B 6-C 7-B Hướng dẫn giải Câu Tâm I đường tròn trung điểm AB nên I (1;3) 1 (3  5)  (7  1)  Bán kính R  AB  2 Vậy phương trình đường trịn ( x 1)2  ( y  3)2  32  x2  y2  2x  y  22  Câu Gọi phương trình cần tìm có dạng (C) : x2  y2  mx  ny  p  ma  p  a m   a   Do A, B, O  (C) nên ta có hệ nb  p  b  n  b p   p   Vậy phương trình đường trịn x2  y2  ax  by  Câu Đường trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm M(2;2) nhận AB (2;-2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( x  2)  ( y  2)   x  y  2 x  y    x  7   I (7; 7) Tọa độ tâm đường tròn thỏa mãn   y  7 x  y  Bán kính đường tròn (7  1)2  (7  3)2  164 Do phương trình đường trịn ( x  7)2  ( y  7)2  164 Dạng Vị trí tương đối điểm, đường thẳng với đường trịn Bài tốn Vị trí tương đối Phương pháp giải Sử dụng kiến thức hình học học trung học sở để giải tốn Nhắc lại: Cho đường trịn (C) tâm I , bán kính R • Vị trí tương đối điểm A đường tròn (C): +) IA  R : Điểm A nằm đường tròn +) IA  R : Điểm A nằm đường tròn +) IA  R : Điểm A nằm ngồi đường trịn • Vị trí tương đối đường thẳng (d) đường tròn (C): Gọi h khoảng cách từ tâm đến đường thẳng (d) +) h  R : Đường thẳng cắt đường tròn hai điểm +) h  R : Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn +) h  R : Đường thẳng khơng cắt đường trịn • Cho đường trịn  C1  có tâm I1 , bán kính R1 , đường trịn  C2  có tâm I bán kính R2 : Trang 11 +) R1  R2  I1I  R1  R2 hai đường tròn cắt hai điểm )I1I2  R1  R2 I1I  R1  R2 hai đường tròn tiếp xúc  ) I1I2  R1  R2 : hai đường tròn rời I1I  R1  R2 đường tròn chứa đường trịn cịn lại Ví dụ mẫu Ví dụ: Xác định vị trí điểm A 1;  với đường tròn (C) : x2  y2  25  Hướng dẫn giải Đường tròn (C) : x2  y2  25  có tâm I  0;0  bán kính R  Xét IA  (1  0)2  (2  0)2   Do điểm A nằm phía đường trịn  C  Ví dụ Toạ độ giao điểm đường tròn (C) : x2  y2  25  đường thẳng  : x  y   A  3;4 B  4;3 C  3;4  4;3 D  3;4  4;3 Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm đường thẳng đường tròn (C) : x2  y2  25  thỏa mãn  x   x  y   x   y y     2  x  2 y  14 y  24   x  y  25     y  Chọn đáp án C Ví dụ Xác định vị trí tương đối hai đường trịn: C1  : x2  y2   C2  : ( x 10)2  ( y 16)2  A Khơng có điểm trung C Tiếp xúc Hướng dẫn giải B Cắt D Tiếp xúc 2   x2  y   x  y   Xét hệ hai phương trình:  vơ nghiệm  2 2 ( x  10)  ( y  16)   x  y  20 x  32 y  355   Do hai đường trịn khơng có điểm chung Chọn đáp án A Cách Gọi I1; I2 tâm hai đường tròn Nếu I1I  R1  R2  C1   C2  khơng có điểm chung Ví dụ Đường trịn (C) : x2  y2  2x  y 1  cắt đường thẳng d : x  y   theo dây cung có độ dài bao nhiêu? A B C D 2 Hướng dẫn giải Đường tròn (C): x2  y2  2x  y 1  có tâm I 1;1 bán kính R = Khoảng cách từ tâm I(1;1) đến đường thẳng d : x  y   h  |1   | 12  12 0 Do I   d  hay đường thẳng (d) qua gốc tọa độ Vậy (d) cắt đường trịn theo dây cung đường kính có độ lớn 2R  Trang 12 Chọn đáp án B Ví dụ Bán kính đường trịn tâm I  2;1 tiếp xúc với trục hoành A B C D Hướng dẫn giải Vì đường trịn tiếp xúc với trục hồnh Ox nên độ dài bán kính khoảng cách từ tâm đến Ox Do R  2  1 Chọn đáp án B Ví dụ Đường tròn (C) tâm I  2;1 cắt đường thẳng  : y   theo dây cung Có độ dài Bán kính đường trịn A Hướng dẫn giải Ta có: d (I; )  B 73 C D 25 |1  | 3 02  12 Gọi độ dài bán kính đường trịn R  R  0 8 Khi R  d  I ;       R  16   25  R  ( R  ) 2 Chọn đáp án A Ví dụ Cho đường trịn (C): x2  y2  6x  y   đường thẳng d qua điểm A  4;2 , cắt (C) 2 hai điểm M,N cho A trung điểm MN Phương trình đường thẳng d A x  y   B x  y  34  C x  y  30  D x  y  35  Hướng dẫn giải Đường tròn (C): x2  y2  6x  y   có tâm I  3;1 Theo đề ta có đường thẳng d qua A nhận IA  1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  d  :  x  y   Chọn đáp án A Ví dụ Cho đường tròn (C) : x2  y2  4x  y   Đường thẳng d qua A  3;2 cắt (C) theo dây cung ngắn có phương trình A x  y   C x  y   B x  y   D x  y   Hướng dẫn giải Đường tròn (C) : x2  y2  4x  y   có tâm I  2;3 bán kính R  Ta thấy IA  12  02   R nên điểm A nằm đường tròn Để d cắt (C) theo dây cung ngắn khoảng cách h từ tâm đến đường thẳng d lớn Mà h  IA nên IA  d thỏa mãn đề Phương trình đường thẳng qua A  3;2 nhận IA 1; 1 làm vectơ pháp tuyến có phương trình  d  : x  y 1  Chọn đáp án B Bài tốn Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn Phương pháp giải Trang 13 Cho đường tròn (C) tâm I  a; b  bán kính R Nếu biết tiếp điểm M  x0 ; y0  tiếp tuyến qua M nhận vectơ IM   x0  a; y0  b  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  x0  a  x  x0    y0  b  y  y0   Nếu khơng biết tiếp điểm dùng điều kiện: đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) d  I,d   R để xác định tiếp tuyến - Ví dụ mẫu Ví dụ Cho (C) : ( x  2)2  ( y 1)2  25 a) Xác định tâm bán kính (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M 1;3 c) Lập phương trình tiếp tuyến (C), song song với đường thẳng () : x  12 y   d) Lập phương trình tiếp tuyến (C), vng góc với đường thẳng () : 3x  y  11  e) Lập phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua E  3; 6 Hướng dẫn giải a) (C) có tâm I  2; 1 bán kính R = b) Tiếp tuyến  d1  (C) M (5;3) có vectơ pháp tuyến n  MM  (3;4)  d1  : 3( x  5)  4( y  3)    d1  : 3x  y  27  Tiếp tuyến  d2  / /() : 5x  12 y     d2  : 5x  12 y  C  0(C  2) Mà  d2  tiếp xúc (C) nên d  I;  d   R  | 5.2  12.1  C |  12 2 C  67  | C  | 65   (thỏa mãn) C  63 Vậy  d2  : 5x  12 y  67   d2  : 5x  12 y  63  d) Tiếp tuyến  d3  vng góc với đường thẳng () : 3x  y  11    d3  : 4x  y  C    d3  tiếp xúc (C )  d I;  d3   R  | 4.2   (1)  C | 42  33  | C  | 25  C  20 hay C  30 Vậy  d3  : 4x  y  20  hay  d3  : x  y  30  e) Tiếp tuyến  d4  qua E(3; 6)   d4  : A( x  3)  B( y  6)    d4  : Ax  By  A  6B   d4  tiếp xúc (C)  | A  B  A  6B | A B A   10 AB  24 A     A  5B  12 Với A = 0, chọn B    d4  : y   2  |  A  5B | A2  B Trang 14 Với A   5B chọn B  12  A    d5  : 5x 12 y  87  12 Vậy có hai tiếp tuyến  d4  : y    d5  : 5x 12 y  87  Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn sau: C1  : x2  y  y   C2  : x2  y2  6x  y  16  Hướng dẫn giải Đường tròn  C1  có tâm I1  0;2 bán kính R1  Đường trịn  C2  có tâm I  3; 4  , bán kính R2  Gọi tiếp tuyến chung hai đường trịn có phương trình  : ax  by  c  với a  b2  ∆là tiếp tuyến chung  C1   C2  | 2b  c | a  b2  d  I1 ,       d  I ,     3a  4b  c  a  b2   a  2b Suy | 2b  c || 3a  4b  c |  c  3a  2b  Trường hợp Nếu a = 2b chọn a  2, b  thay vào (*) ta được: c  2  nên ta có hai tiếp tuyến 2x  y    0;2x  y    Trường hợp 3a  2b Nếu c  thay vào (*) ta được: | 2b  a | a  b2  a  3a  4b  +) Với a   c  b , chọn b  c  ta  : y   +) Với 3a  4b   c  3b Chọn a  4, b  3, c  9 ta  : x  y   Vậy có bốn tiếp tuyến chung hai đường tròn là: 2x  y    0, y 1  0,4x  y   Bài tập tự luyện dạng Câu Một đường trịn có tâm I  3; 2  tiếp xúc với đường thẳng  : x  y   Hỏi bán kính đường trịn bao nhiêu? 26 13 Câu Đường trịn có tâm I  12 qua điểm M  2;1 có bán kính 13 A B 26 C D A 10 B C 10 D Câu Cho đường tròn x2  y2  5x  y   Khoảng cách từ tâm đường tròn tới trục Ox A B C 3,5 D 2,5 2 2 Câu Tọa độ giao điểm hai đường tròn  C1  : x  y    C2  : x  y  4x  y   A ( 2; 2) ( 2;  2) B (0; 2) (0; 2) C (2; 0) (0; 2) D (2; 0)  2;0  Trang 15 Câu Đường tròn x2  y2 1  tiếp xúc với đường thẳng sau đây? A 3x  y   B x  y   C x  y  D 3x  y   Câu Với giá trị m đường thẳng x  y  m  tiếp xúc với đường tròn x2  y2   0? A m  15 B m   C m  3 D m  Câu Đường tròn (C) qua điểm A  2;4 tiếp xúc với trục tọa độ có phương trình A ( x  2)2  ( y  2)2  ( x 10)2  ( y 10)2  100 B ( x  2)2  ( y  2)2  ( x 10)2  ( y 10)2  100 C ( x  2)2  ( y  2)2  ( x 10)2  ( y 10)2  100 D ( x  2)2  ( y  2)2  ( x 10)2  ( y 10)2  100 Câu Đường trịn (C) có tâm I  1;3 tiếp xúc với đường thẳng d : 3x  y   có phương trình A ( x 1)2  ( y  3)2  B ( x 1)2  ( y  3)2  C ( x 1)2  ( y  3)2  10 D ( x 1)2  ( y  3)2  Câu Có đường tròn qua hai điểm A 1;2 , B  3;4 tiếp xúc với đường thẳng d : 3x  y   Khi A phương trình đường trịn x2  y2  3x  y   B phương trình đường trịn x2  y2  8x  y   C phương trình đường tròn x2  y2  3x  y 12  D Khơng có đường trịn thỏa mãn tốn Câu 10 Cho đường trịn (C) : ( x  3)2  ( y 1)2  10 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm A  4;4 A x  y   B x  y   C x  y  16  D x  y  16  Câu 11 Cho đường tròn (C) : ( x  2)2  ( y  2)2  Phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm M  5; 1 A x  y   yà x  y   B x  y  1 C x  y   3x  y   D 3x  y   x  y   Câu 12 Cho đường tròn (C): x2  y2  6x  y   đường thẳng d : x  (m  2) y  m   Với giá trị m d tiếp tuyến (C)? A m  B m  15 C m  13 D m  m  13 Câu 13 Cho đường tròn (C): x  y  2x  y  23  điểm M 8; 3 Độ dài đoạn tiếp tuyến 2 (C) xuất phát từ M (với hai đầu mút M tiếp điểm) A 10 B 10 C 10 D 10 Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-A 3-C 4-C 5-A 6-A 7-A 8-D 9-B 11 - B 12 - D 13 - D Hướng dẫn giải Câu Phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB ( x  2)  ( y  3)   x  y   Đường tròn qua hai điểm A, B nên có tâm I (t;5  t )  x  y   Trang 16 10 - D Vì đường trịn tiếp xúc với d: 3x + y  = nên ta có R = I A = d(I ;(d)) IA  (t  1)2  (3  t )2  2t  8t  10 d ( I ;(d ))  | 3t   t  | 32  12  | 2t  | 10 t  | 2t  | 2 2t  8t  10   20t  80t  100  4t  8t   16t  88t  96    t  10  Do đó: Với t = ta có I (4;1) R = 10 nên ta có phương trình đường trịn ( x  4)2  ( y 1)2  10  x2  y2  8x  y   3 7 Với t =1 ta có I  ;  R  nên ta có phương trình đường trịn 10 2 2 2 3  7  2  x     y     x  y  3x  y  12  2     Câu 10 (C) có tâm I (3; 1)  IA  (1;3) vectơ pháp tuyến tiếp tuyến d Suy d :1( x  4)  3( y  4)   x  y  16  Câu 11 (C) có tâm I(2 ; 2) bán kính R = n  ( A; B) vectơ pháp tuyến nên d: A(x  5) + B(y + 1) = d tiếp tuyến (C) d ( I , d )  R  | A(2  5)  B(2  1) | A2  B A    A B    B  Với A = chọn B   y  1 Với B = chọn A   x  Câu 12 (C) có tâm I (3; -1) bán kính R  d tiếp tuyến (C) d (I, d )  R  |6m2m7|  (m  2) m    m  16m  39     m  13 Câu 13 Đường tròn (C): x2  y2  2x  y  23  có tâm I (1-4) bán kính R= 40 Ta có IM  72  12  50 Do độ dài đoạn tiếp tuyến cần tìm 50  40  10 Trang 17 ... phương trình A x2  y2  2x  y  22  B x2  y2  2x  y  22  C x2  y2  2x  y 1  D x2  y2  6x  y 1  Câu Phương trình đường trịn qua điểm O(0 ; 0), A(a ; 0), B(0 ; b) A x2  y2  2ax...  2) 2  ( x 10 )2  ( y 10 )2  100 B ( x  2) 2  ( y  2) 2  ( x 10 )2  ( y 10 )2  100 C ( x  2) 2  ( y  2) 2  ( x 10 )2  ( y 10 )2  100 D ( x  2) 2  ( y  2) 2  ( x 10 )2  ( y 10 )2. ..  ( x  3 )2  ( y  2) 2  20 Vậy phương trình phương trình đường trịn Ví dụ mẫu Ví dụ Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường tròn? a) x2  y2  2x  y 15  b) 2x2  y2  8x  y