Giáo án giải tích 12 bài 2 các phép toán trên tập hợp số phức

CHUYÊN ĐỀ BÀI CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết phép toán cộng, trừ hai số phức; phép nhân số phức; phép chia hai số phức  Kĩ + Thành thạo phép toán cộng, trừ hai số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Thành thạo phép nhân hai số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Thành thạo phép toán chia hai số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Vận dụng phép toán học để giải số toán tổng hợp TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phép cộng số phức Ví dụ: Định nghĩa   4i     2i    2i Tổng hai số phức z  a  bi, z   a  bi  a, b, a, b    số phức z  z   a  a   b  b  i Tính chất Ví dụ: Với z, z , z    ta có: Tính chất kết hợp:  z  z    z   z   z   z  ; 2 z   i có số đối  z  5  i 7 Tính chất giao hốn: z  z   z   z; Cộng với 0: z    z  z; z    z     z   z  Phép trừ số phức Hiệu hai số phức z  a  bi, z   a  bi  a, b, a, b    : z  z  z    z     a  a    b  b  i Phép nhân số phức Ví dụ:   4i     2i    6i Ví dụ: Định nghĩa Tích hai số phức z  a  bi, z   a  bi  a, b, a, b      4i   2i   15  8  12  10  i  23  2i số phức zz   aa  bb   ab  ab  i Tính chất Chú ý: Với z, z , z    ta có: • Tính chất giao hốn: zz  z z; • Tính chất kết hợp:  zz   z  z  zz   ; • Nhân với 1: 1.z  z.1  z; • Ta thực phép cộng phép nhân số phức theo quy tắc phép toán cộng nhân số thực ° Các đẳng thức số thực • Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: số phức z  z   z   zz   zz  Ví dụ: z   z   2i    z  2i  z  2i  Phép chia cho số phức khác Số nghịch đảo số phức z  kí hiệu z 1 , số phức thỏa mãn zz 1  1, , hay z 1  z z Thương phép chia số phức z cho số phức z khác 0, TOANMATH.com Ví dụ: z   2i có số phức nghịch đảo 1    2i    i z 13 13 13 Ví dụ: Trang kí hiêu  4i   4i   2i   22i 22     i  2i   2i   2i  13 13 13 z zz  z z 1  z z SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Tính chất phép cộng số phức Phép cộng số phức Với z, z , z   ta có Tổng hai số phức z  a  bi  z  z  z  z   z  z ; z  a  bi  a, b, a, b    z  z   z   z; số phức z  z   a  a   b  b  i z    z  z; z    z     z   z  Phép trừ số phức CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC Hiệu hai số phức z  a  bi z  a  bi  a, b, a, b    số phức z  z   a  a    b  b  i Tính chất phép nhân số phức Với z, z , z   ta có zz  z z; Phép nhân số phức  zz z  z  zz  ; Tích hai số phức z  a  bi z  a  bi  a, b, a, b    số 1.z  z.1  z; z  z   z   zz   zz  phức zz   aa  bb   ab  ab  i Phép chia số phức khác Số nghịch đảo số phức z  kí hiệu z 1 số phức thỏa mãn zz 1  hay z 1  z z Thương phép chia số phức z cho số phức z  , kí hiệu TOANMATH.com z z z  z z 1  z z Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thực phép toán số phức Phương pháp giải Cho hai số phức z  a  bi z  a  bi , Ví dụ: a, b, a, b   Khi đó: Hai số phức z1   7i, z2   3i có  z  z '  a  a '  b  b  i; z1  z2       7  3 i   4i;  z  z '   a  a '    b  b  i; z1  z2       7  3 i  1  10i;  zz   aa  bb   ab  ab  i; z1 z2   3.4   7  3   3.3   7   i  33  19i;  z z z  z z z1   7i   3i  37     i z2   3i    3i  25 25 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hai số phức z1   3i, z2  4  5i Số phức z  z1  z2 A z  2  2i B z  2  2i C z   2i D z   2i Hướng dẫn giải z  z1  z2   3i   4  5i   2  2i Chọn A Ví dụ 2: Cho hai số phức z1   2i, z2   3i Số phức w  z1  z2 A w  3  8i B w  5  i C w  3  8i D w  3  i Hướng dẫn giải Ta có w  z1  z2   2i    3i   3  8i Chọn C Ví dụ 3: Cho hai số phức z    i Số phức w   z  z 2 A  3i B C D   i 2 Hướng dẫn giải     w      i      i   2 2     Chọn C Chú ý: Các đẳng thức số thực dùng số phức Ví dụ 4: Tất số phức z thỏa mãn z  1  i   iz   3i TOANMATH.com Trang A z   i 5 B z   2i C z   i 5 D z   2i Hướng dẫn giải Ta có: z  1  i   iz   3i    i  z  10  z  10  z   2i 2i Chọn D Ví dụ 5: Cho hai số phức z  1  i  1  2i  Số phức z A 4  2i B 4  2i C  2i D  2i Hướng dẫn giải Ta có: z  1  i  1  2i   2i 1  2i   4  2i Do đó: z  4  2i Chọn B Ví dụ 6: Cho số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z   3i  z i  Giá trị S  a  3b A S   B S  C S  3 D S  Hướng dẫn giải Ta có z   3i  z i  a    a   b   a  b2 i    2 b   a  b   a  1  a  1    b  3   S  b     b    b2    Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hai số phức z1   7i z2   3i Số phức z  z1  z2 A z   10i B z   4i C z   10i D z   3i Câu 2: Cho hai số phức z1   2i z2   4i Số phức z1  z2  z1 z2 số phức sau đây? A 10i B 10i C 11  8i D 11  10i C z   3i D z  2  3i Câu 3: Số phức z thỏa mãn z    i  z   5i A z   3i B z  2  3i Câu 4: Cho hai số phức z1   2i , z2  3  3i Khi số phức z1  z2 A 5  5i B 5i C  5i D 1  i Câu 5: Cho số phức z   2i Số phức w  z  z TOANMATH.com Trang A w  3  2i B w   3i C w   2i D w  2  3i Bài tập nâng cao Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn 1  z 1  i    i  Số phức w   z A 1  3i B  3i C 2  3i D  3i Câu 7: Cho số phức z   i Số phức w  iz  z A w  B w   i C w  10  i D 10 Câu 8: Cho z1   4i, z2   5i Số phức w  z1.z2 A 152  4i B 152  4i C 152  4i D 152  4i Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: z 1  2i   z.i  15  i Số phức z A z  3  4i B z   4i C z   4i Câu 10: Có số phức z thỏa mãn z   3i  A B Vô số D z  3  4i z số ảo? z2 C D Dạng 2: Xác định yếu tố số phức qua phép toán Bài tốn Tìm phần thực, phần ảo số phức Phương pháp giải  Số phức z  a  bi có phần thực a phần ảo Ví dụ: Phần thực số phức z thỏa mãn   i  z   17i b Chú ý: Học sinh thường nhầm phần ảo số phức z   12i 12i A B 3 C D 2 Hướng dẫn giải   i  z   17i  z   17i   3i 5i Phần thực số phức z Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  14  2i Tổng phần thực phần ảo z A 14 B C 2 D 14 Hướng dẫn giải Ta có: 1  i  z  14  2i  z  14  2i  z   8i  z   8i 1 i Suy ra, z có phần thực phần ảo TOANMATH.com Trang Do tổng phần thực phần ảo z 14 Chọn A Ví dụ 2: Cho hai số phức z   2i z  a   a  11 i Tất giá trị thực a dể z  z  số thực A a  3 B a  C a  a  3 D a  13 a   13 Hướng dẫn giải Ta có: z  z    2i  a   a  11 i   a   a   i  a  3 z  z  số thực a     a  Chọn C Ví dụ 3: Cho số phức z  1  i  1  2i  Số phức có phần ảo A C 2 B D 2i Hướng dẫn giải Ta có: z  1  i  1  2i   1  2i  i  1  2i   2i 1  2i   2i  4i  2i  Vậy số phức z có phần ảo Chọn A Bài tốn Tìm số phức liên hợp, tính mơđun số phức Phương pháp giải  Số phức z  a  bi có z  a  bi z  a  b Chú ý: Nếu z  a  bi z  z  2a; z.z  a  b Ví dụ: Số phức liên hợp số phức z    3i   2i  A z  12  5i B z  12  5i C z  12  5i D z  12  5i Hướng dẫn giải Ta có z    3i   2i    5i  6i  12  5i  z  12  5i Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   i   13i  Mô đun số phức z A z  34 TOANMATH.com B z  34 C z  34 D z  34 Trang Hướng dẫn giải Ta có: z   i   13i   z   13i   5i 2i Do z  32   5   34 Chọn C Ví dụ 2: Cho số phức z1   2i, z2   5i Số phức liên hợp số phức z  6z1  5z A z  51  40i B z  51  40i C z  48  37i D z  48  37i Hướng dẫn giải Ta có: z  6z1  5z    2i     5i   48  37i Suy z  48  37i Chọn D Ví dụ 3: Gọi z1 , z2 có điểm biểu diễn M N mặt phẳng Oxy hình bên Khi z1  z2 A 29 B 20 C D 116 Hướng dẫn giải Từ hình vẽ ta có điểm M  3;  biểu diễn số phức z1   2i, điểm N 1; 4  biểu diễn số phức z2   4i Ta có z1  z2   2i  z1  z2      2  2  Chọn C Ví dụ 4: Cho số phức z  a  bi, với a, b số thực thỏa mãn a  bi  2i  a  bi    i, với i đơn vị ảo Môđun    z  z A   229 C   229 B   13 D   13 Hướng dẫn giải a  2b  4 a  Ta có a  bi  2i  a  bi    i    Suy z   3i b  2a  b  3 Do    z  z  2  15i Vậy    2    15 2  229 Chọn A Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z  A w  TOANMATH.com  3i Môđun số phức w  i.z  z 1 i B w  C w  D w  2 Trang Hướng dẫn giải Ta có: z   3i  1  2i 1 i  z  1  2i  w  i  1  2i    1  2i   3  3i  w  3   3 2  18  Chọn C Ví dụ 6: Cho z1 , z2 số phức thỏa mãn z1  z2  z1  z2  Giá trị biểu thức P  z1  z2 B P  A P  C P  D P  Hướng dẫn giải Đặt z1  a1  b1i; a1 , b1  , z2  a2  b2i; a2 , b2   Suy a12  b12  a22  b22  z1  z2   a1.a2  b1.b2  1 Ta có: z1  z2  2a1  a2   2b1  b2  i  z1  z2   2a1  a2    2b1  b2  2 2 a 1  b12    a22  b22    a1a2  b1b2  Suy P  z1  z2  Chọn A Bài toán Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Điểm biểu diễn số phức z  A  3; 2   3 B  ;   13 13   3i C  2;3 Hướng dẫn giải z D  4; 1 độ điểm biểu diễn số phức, ta cần viết số phức dạng  3i    i  3i   3i   3i  13 13 Suy điểm biểu diễn số phức z  Chú ý: Để xác định tọa z  a  bi  a, b     3 là:  ;   3i  13 13  Chọn B TOANMATH.com Trang Ví dụ 2: Gọi z1 , z2 có điểm biểu diễn M , N mặt phẳng phức (hình bên) Khi phần ảo số phức A z1 z2 14 17 C  17 B  D Hướng dẫn giải Dựa vào hình vẽ ta có z1   2i, z2   4i  z1  2i 14     i z2  4i 17 17 Chọn A Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  11  3i Điểm M biểu diễn cho số phức z mặt phẳng tọa độ A M  4; 7  B M 14; 14  C M  8; 14  D M  7; 7  Hướng dẫn giải Ta có: 1  i  z  11  3i  z  11  3i   7i 1 i Suy điểm biểu diễn cho số phức z M  4; 7  Chọn A Ví dụ 4: Cho A, B, C điểm biểu diễn số phức  3i, 1  2i  i, Số phức có điểm i biểu diễn D cho ABCD hình bình hành A z  6  4i B z  6  3i C z   5i D z   2i Hướng dẫn giải Ta có A điểm biểu diễn số phức  3i nên A  4; 3 B điểm biểu diễn số phức 1  2i  i  2  i nên B  2;1  i nên C  0; 1 i   Điều kiện để ABCD hình bình hành AD  BC C điểm biểu diễn số phức  xD  x A  xC  xB  xD  xC  x A  xB     D  6; 5   z   5i  yD  y A  yC  yB  yD  yC  y A  yB  5 Chọn C TOANMATH.com Trang 10 ... b 22  z1  z2   a1.a2  b1.b2  1 Ta có: z1  z2  2a1  a2   2b1  b2  i  z1  z2   2a1  a2    2b1  b2  2 ? ?2 a 1  b 12    a 22  b 22    a1a2  b1b2  Suy P  z1  z2 ... Ví dụ: Số phức liên hợp số phức z    3i   2i  A z  12  5i B z  ? ? 12  5i C z  ? ? 12  5i D z  12  5i Hướng dẫn giải Ta có z    3i   2i    5i  6i  12  5i  z  12  5i Chọn... 5i Số phức z  z1  z2 A z  ? ?2  2i B z  ? ?2  2i C z   2i D z   2i Hướng dẫn giải z  z1  z2   3i   4  5i   ? ?2  2i Chọn A Ví dụ 2: Cho hai số phức z1   2i, z2   3i Số phức