TOANMATH com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 7 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường.
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững khái niệm vectơ phương đường thẳng, góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng + Trình bày vận dụng cơng thức tính khoảng cách, góc + Trình bày cách viết phương trình tham số đường thẳng + Trình bày vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng đường thẳng với mặt cầu Vận dụng cơng thức để xét vị trí tương đối hai đường thẳng; đường thẳng với mặt phẳng đường thẳng với mặt cầu Kĩ + Biết cách viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng + Biết cách tính khoảng cách, tính góc + Biết cách xét vị trí tương đối hai đường thẳng, vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường thẳng Vectơ phương đường thẳng Chú ý: Cho đường thẳng Vectơ u gọi vectơ phương + Nếu u vectơ phương đường thẳng giá song song trùng với k u k vectơ Cho đường thẳng qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương + Nếu đường thẳng qua hai điểm phương u a; b; c A, B AB vectơ phương Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng có dạng x x0 at y y0 bt , t (1) z z ct Cho đường thẳng có phương trình (1) + u a; b; c vectơ phương + Với điểm M M x0 at; y0 bt ; z0 ct t giá trị cụ thể tương ứng với điểm M Phương trình tắc Nếu a, b, c phương trình tắc đường thẳng có dạng x x0 y y0 z z0 a b c 2 Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng qua M , có vectơ phương u điểm M Khi để tính khoảng cách từ M đến ta có cách sau: MM , u Cách 1: Sử dụng công thức: d M , d u Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng P qua M vng góc với + Tìm giao điểm H P với + Khi độ dài MH khoảng cách cần tìm Cách 3: + Gọi N d , suy tọa độ N theo tham số t TOANMATH.com Trang + Tính MN theo t + Tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo qua M có vectơ phương u qua M 0 có vectơ phương u Khi khoảng cách hai đường thẳng tính theo cách sau: u , u M M 0 Cách 1: Sử dụng công thức: d , u , u Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung MN Khi độ dài MN khoảng cách cần tìm Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng P chứa qua song song với Khi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm đến P Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng x x0 y y0 z z0 qua M x0 ; y0 ; z0 có a b c vectơ phương u1 a; b; c , d1 : x x0 y y0 z z0 qua M x0 ; y0 ; z0 có a b c vectơ phương u2 a; b; c d2 : Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học a1 a2 a3 u1 / / u2 + d1 trùng d b1 b2 b3 M d M1 d u1 , u2 + d1 / / d u1 , M 1M a1 a2 a3 u1 || u2 b1 b2 b3 M d M1 d2 u1 , u2 + d1 cắt d u1 , u2 M 1M TOANMATH.com Ta dùng phương pháp đại số để xét vị trí tương đối: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Chú ý trường hợp vô nghiệm + Nếu u1 ; u2 phương d1 //d + Nếu u1 ; u2 khơng phương d1 ; d chéo Trang + d1 chéo d u1 , u2 M 1M Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian : Ax By Cz D Oxyz, có cho mặt phẳng Phương pháp đại số vectơ pháp tuyến Xét hệ phương trình 1 2 3 4 x x0 at n A; B; C đường thẳng d : y y0 bt qua z z ct M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương ud a; b; c x x0 at y y0 bt z z0 ct Ax By Cz D Để xét vị trí tương đối d ta sử dụng phương Thay (1), (2), (3) vào (4), ta A x0 at B y0 bt C z0 ct D * pháp sau: Phương pháp hình học u n Nếu d d M x0 ; y0 ; z0 ud n Nếu d // M x0 ; y0 ; z0 Nếu ud n phương ud k n với k d Nếu ud n ; ud n không phương d cắt +) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm t d // +) Nếu phương trình (*) có nghiệm t d cắt +) Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm t d Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng d mặt phẳng ta giải phương trình (*), sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm x; y; z Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt cầu x x0 at có phương trình là: d : y y0 bt , t z z ct S : x a y b z c 2 Để xét vị trí tương đối R2 d ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học Phương pháp đại số Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I S đến d thay x, y, z từ phương trình tham số d vào Bước 2: phương trình S , ta phương trình TOANMATH.com Trang + Nếu d I , d R d khơng cắt S bậc hai theo t Biện luận số giao điểm + Nếu d I , d R d tiếp xúc S d + Nếu d I , d R d cắt S bậc hai theo t S theo số nghiệm phương trình Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm x; y; z Góc Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn Góc hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d có vectơ pháp tuyến u1 , u2 Góc d1 d bù với góc u1 u2 u1.u2 Ta có: cos d1 , d cos u1 , u2 u1 u2 Góc đường thẳng mặt phẳng Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn phương ud mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n Góc đường thẳng d mặt phẳng góc đường thẳng d với hình chiếu d ud n Ta có: sin d , cos ud , n ud n TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương u a; b; c Đi qua Phương trình đường thẳng Tham số: x x0 at y y0 bt , t z z ct u Chính tắc: Nếu a, b, c x x0 y y0 z z0 a b c ĐƯỜNG THẲNG Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng MM , u d M , u Khoảng cách đường thẳng chéo , u , u M M 0 d , u , u Giữa hai đường thẳng d d cos d1 , d cos u1 , u2 TOANMATH.com Vị trí tương đối Góc đường thẳng d mặt phẳng sin d , cos ud , n Hai đường thẳng d1 , d u1 / / u2 u1 / / u2 ; d1 d ; d1 / / d M d M d d1 cắt d u1 , u2 0; u1 , u2 M 1M d1 chéo d u1 , u2 M 1M Khoảng cách Đường thẳng d mặt phẳng d ud n ; M x0 ; y0 ; z0 d // ud n ; M x0 ; y0 ; z0 d cắt ud n , ud , n khơng phương Góc Đường thẳng d mặt cầu S I , R d không cắt S d I , d R d tiếp xúc S d I , d R d cắt S d I , d R Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Bài tốn 1: Xác định vectơ phương đường thẳng Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ vectơ phương đường thẳng có phương trình x 1 3y z ? A a 3; ;1 B a 9; 2; 3 C a 3; 2;1 D a 3; ;1 Hướng dẫn giải Ta có x 1 3y z x 1 y z 3 Vậy vectơ phương đường thẳng a 9; 2; 3 Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng vng góc với mặt phẳng có phương trình x z Một vectơ phương là: A a 1; 0; B b 2; 1;0 C v 1; 2;3 D u 2;0; 1 Hướng dẫn giải Vì vng góc với mặt phẳng nên vectơ phương vectơ pháp tuyến mặt phẳng Chọn A Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OA 2i j 5k ; OB 2 j 4k Tìm vectơ phương đường thẳng AB A u 2;5; 1 B u 2;3; 5 C u 2; 5; 1 D u 2;5; 9 Hướng dẫn giải Ta có OA 2i j 5k A 2;3; 5 ; OB 2 j k B 0; 2; 4 Suy AB 2; 5;1 Suy đường thẳng AB có vectơ phương u 2;5; 1 Chọn A Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng tìm vectơ phương điểm thuộc đường thẳng Phương pháp giải TOANMATH.com Trang Đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương a a1 ; a2 ; a3 có phương trình x x0 a1t tham số y y0 a2t t z z a t Đường thẳng d qua hai điểm A, B: Một vectơ phương d AB Đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 ; z0 song song với đường thẳng cho trước: Vì d // nên vectơ phương vectơ phương d Đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 ; z0 vng góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d P nên vectơ pháp tuyến P vectơ phương d Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng P , Q Cách 1: Tìm điểm vectơ phương Tìm toạ độ điểm A d cách giải hệ phương trình mặt phẳng P , Q với việc chọn giá trị cho ẩn Tìm vectơ phương d : a nP , nQ Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 ; z0 vng góc với hai đường thẳng d1 , d : Vì d d1 , d d nên vectơ phương d là: u ud1 , ud2 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, phương trình tắc đường thẳng qua điểm M 2; 1;3 có vectơ phương u 1; 2; 4 A x 1 y z 1 B x 1 y z 1 C x y 1 z 4 D x y 1 z 4 Hướng dẫn giải Phương trình tắc đường thẳng qua điểm M 2; 1;3 có vectơ phương u 1; 2; 4 x y 1 z 4 Chọn D Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A 1; 2;3 mặt phẳng P có phương trình 3x y z Đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng P có phương trình TOANMATH.com Trang x t A y 4 2t t z 3t x 3t B y 4t t z 7t x 3t C y 4t t z 7t x 4t D y 3t t z 7t Hướng dẫn giải Gọi u vectơ phương đường thẳng thỏa mãn yêu cầu tốn Ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng P : nP 3; 4;7 P u nP 3; 4; Vì nên phương trình tham số A A 1; 2;3 x 3t y 4t t z 7t Chọn B Ví dụ Cho điểm A 1; 2;3 hai mặt phẳng P : x y z 0, Q : x y z Phương trình đường thẳng d qua A song song với P Q A x 1 y z 1 4 B x 1 y z 6 C x 1 y z D x 1 y z 2 6 Hướng dẫn giải Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n P 2; 2;1 Mặt phẳng Q có vectơ pháp tuyến nQ 2; 1; Đường thẳng d có vectơ phương ud Do đường thẳng d song song với P Q nên ud n P ud n P , nQ 5; 2; 6 ud n Q Suy đường thẳng d qua A 1; 2;3 có vectơ phương ud 5; 2; 6 Phương trình tắc d x 1 y z 2 6 Chọn D Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A 1; 4; 1 , B 2; 4;3 , C 2; 2; 1 Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC TOANMATH.com Trang x A y t z 1 2t x B y t z 2t x C y t z 1 2t x D y t z 1 2t Hướng dẫn giải Gọi đường thẳng qua điểm A song song với BC Ta có: BC 0; 2; 4 Do song song với BC nên vectơ phương u 0;1; x Vậy phương trình tham số đường thẳng y t z 1 2t Chọn A Ví dụ Đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng x z x y z có phương trình A x y 1 z 1 B x y 1 z 1 C x y 1 z 1 1 D x y 1 z 1 Hướng dẫn giải Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n1 1; 0;1 Mặt phẳng Q có vectơ pháp tuyến n2 1; 2; 1 Ta có n1 , n2 2; 2; 2 Gọi u vectơ phương u n1 u n2 Suy u phương với n1 , n2 Chọn u 1;1; 1 Lấy M 2;1;3 thuộc mặt phẳng P Q Đường thẳng qua M 2;1;3 có vectơ phương u 1;1; 1 Vậy phương trình là: x y 1 z 1 1 Chọn C Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A 2;1; 1 , B 2;3;1 C 0; 1;3 Gọi d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ABC Phương trình đường thẳng d A x 1 y 1 z 1 TOANMATH.com B x 1 y z 1 Trang 10 ... Suy đường thẳng AB có vectơ phương u 2;5; 1 Chọn A Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng tìm vectơ phương điểm thuộc đường thẳng Phương pháp giải TOANMATH.com Trang Đường thẳng. .. vectơ Cho đường thẳng qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương + Nếu đường thẳng qua hai điểm phương u a; b; c A, B AB vectơ phương Phương trình tham số đường thẳng Phương trình. ..I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường thẳng Vectơ phương đường thẳng Chú ý: Cho đường thẳng Vectơ u gọi vectơ phương + Nếu u vectơ phương đường thẳng giá song song trùng