Giáo án đại số lớp 12 chuyên đề 4 bài 4 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững định nghĩa số phức phép toán cộng, trừ hai số phức; phép nhân số phức; phép chia hai số phức + Nắm vững toán cực trị liên quan yếu tố: Điểm, đường tròn, đường thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình trịn, … + Nắm vững bất đẳng thức liên quan đến môđun số phức bất đẳng thức Cauchy – Schwarz  Kĩ + Biết thực thành thạo định nghĩa, phép toán số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Biết thực thành thạo việc chuyển đổi ngôn ngữ số phức sang ngôn ngữ hình học + Giải thành thạo tốn cực trị liên quan yếu tố: Điểm, đường tròn, đường thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình trịn, … + Vận dụng linh hoạt bất đẳng thức liên quan đến môđun số phức bất đẳng thức Cauchy – Schwarz vào giải tốn max, mơđun số phức TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các bất đẳng thức thường dùng a Cho số phức z1 , z2 ta có: +) z1  z2  z1  z2 (1)  z1  Đẳng thức xảy   z1  0, k  , k  0, z2  kz1 +) z1  z2  z1  z2 (2) z  Đẳng thức xảy   z1  0, k  , k  0, z2  kz1 b Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho số thực a, b, x, y ta có: ax  by  a  b  x  y  Đẳng thức xảy ay  bx Một số kết biết a Cho hai điểm A, B cố định Với điểm M có bất đẳng thức tam giác: +) MA  MB  AB , dấu “=” xảy  M nằm hai điểm A, B +) MA  MB  AB , dấu “=” xảy  B nằm hai điểm A, M b Cho hai điểm A, B nằm phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA  MB  AB , dấu “=” xảy  Ba điểm A, M , B thẳng hàng +) Gọi A điểm đối xứng với A qua d , ta có MA  MB  MA  MB  AB , dấu “=” xảy  Ba điểm A, M , B thẳng hàng c Cho hai điểm A, B nằm khác phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA  MB  AB , dấu “=” xảy  M nằm hai điểm A, B +) Gọi A điểm đối xứng với A qua d , ta có MA  MB  MA  MB  AB , dấu “=” xảy  Ba điểm A, M , B thẳng hàng d Cho đoạn thẳng PQ điểm A không thuộc PQ , M điểm di động đoạn thẳng PQ , max AM  max  AP, AQ Để tìm giá trị nhỏ AM ta xét trường hợp sau: +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ nằm đoạn PQ AM  AH +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ không nằm đoạn PQ AM   AP; AQ e Cho đường thẳng  điểm A không nằm  Điểm M  có khoảng cách đến A nhỏ hình chiếu vng góc A  TOANMATH.com Trang f Cho x, y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A1 A2 An Khi giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức F  ax  by ( a, b hai số thực cho không đồng thời ) đạt đỉnh miền đa giác SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với số thực a, b, x, y ta có ax  by  Dấu “=” xảy a  b  x  y  a b  x y Các bất đẳng thức thường dùng Bất đẳng thức tam giác z1  z2  z1  z2 Dấu “=” xảy z1  kz2  k   z1  z2  z1  z2 Dấu “=” xảy z1  kz2  k   z1  z2  z1  z2 Dấu “=” xảy z1  kz2  k   z1 z2 z1 Dấu “=” xảy z1  kz2  k   z2 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp hình học Phương pháp giải Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn     2 z  z  i z  z Giá trị nhỏ z  3i A B C D Hướng dẫn giải Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ toán số phức Giả sử z  x  yi  x, y     z  x  yi Khi sang ngơn ngữ hình học 2 z  z  i z  z   yi   x 2i  y  x     Gọi M  x; y  ; A  0; 3 điểm biểu diễn TOANMATH.com Trang cho số phức z; 3i z  3i  MA Bước 2: Sử dụng số kết biết để giải tốn hình học Parabol y  x có đỉnh điểm O  0;  , trục đối xứng đường thẳng x  Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng parabol, nên ta có: MA  OA  Suy ra, MA  M  O Bước 3: Kết luận cho toán số phức Vậy z  3i  , z  Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  Môđun lớn Nhận xét: OI  r  OM  z  OI  r số phức z A B C D Hướng dẫn giải Gọi M  x; y  , I  3;  điểm biểu diễn cho số phức z;3  4i Từ giả thiết z   4i   MI  Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I  3;  , bán kính r  Mặt khác z  OM Mà OM đạt giá trị lớn OI  r , M giao điểm đường thẳng OM với đường tròn tâm I  3;  , bán  18 24  kính r  Hay M  ;  5  Do đó, max z  OI  r    , z  18 24  i 5 Chọn B TOANMATH.com Trang Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z   4i  z  2i , số phức z Nhận xét: Trong tất đoạn thẳng kẻ từ điểm O đến đường có mơđun nhỏ A z   2i B z   i C z   2i D z   i thẳng d , đoạn vng góc OM ngắn Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi  x, y    Khi z   4i  z  2i  x  y   d  Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng d Do z  OM nhỏ M hình chiếu O d Suy M  2;  hay z   2i Chọn C Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 Giá trị nhỏ z A B C D Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi F1  3;  , F2  3;0  , có trung điểm O  0;  Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến z  OM  Ta có MF12  MF2   MF  MF2  MF12  MF2 F1 F2  Với số thực a, b ta có bất đẳng thức: a  b  2  50 a  b 2 Đẳng thức xảy  M  4;0   MF1  MF2 50 36   z   4 ,   MF1  MF2  10  M  4;  Khi z  4i z  4i Cách 2: Gọi F1  3;  , F2  3;0  , M  x; y  ;  x, y    điểm biểu diễn số phức 3;3; z Ta có F1 F2  2c   c  Theo giả thiết ta có MF1  MF2  10 , tập Với điểm M nằm elip, đoạn OM ngắn đoạn nối O với giao điểm trục bé với elip hợp điểm M đường elip có trục lớn 2a  10  a  ; trục bé TOANMATH.com Trang 2b  a  c  25   Mặt khác OM  z nhỏ z  4i z  4i Vậy giá trị nhỏ z Chọn B Ví dụ 4: Xét số phức z thỏa mãn z  i  z  i  10 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z A 60 49 B 58 49 C 18 D 16 Hướng dẫn giải Gọi A  0; 1 , B  0;1 , đoạn thẳng AB có trung điểm O  0;  Điểm M biểu diễn số phức z Theo công thức trung tuyến z  OM  MA2  MB AB  Theo giả thiết MA  3MB  10 Đặt MA  a  MB  10  4a Khi MA  MB  10  a 16  AB   6  10  a    a  7  10  4a   5a    36 Ta có MA2  MB  a       Do  36 24 576 nên  5a      5a    7 49  z 1  MA2  MB      260  81 MA  MB  z   z    49  49  Đẳng thức z  z   24 9  i Đẳng thức z  z  i 25 25 7 Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z 16 Chọn D TOANMATH.com Trang Ví dụ 5: Cho z số phức thay đổi thỏa mãn z   z   Trong mặt phẳng tọa độ gọi M , N điểm biểu diễn số phức z z Giá trị lớn diện tích tam giác OMN A B C D 2 Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi  x, y     z  x  yi Gọi F1  2;0  , F2  2;0  , M  x; y  , N  x;  y  điểm biểu diễn số phức 2; 2; z; z Do M , N điểm biểu diễn số phức z z nên suy M , N đối xứng qua Ox Khi S OMN  xy Ta có F1 F2  2c   c  Theo giả thiết ta có MF1  MF2  , tập hợp điểm M thỏa điều kiện elip có trục lớn 2a   a  2 ; trục bé 2b  a  c     b  Nên elip có phương trình  E  : Do  x2 y2  1 xy x2 y x2 y  2   S OMN  xy  2 8 2  x  Đẳng thức xảy   y  Chọn D Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z  i  z   i Giá trị nhỏ P   i  1 z   2i A B C D Hướng dẫn giải Gọi z  x  yi  x, y    ; M  x; y  điểm biểu diễn số phức z Ta có z  i  z   i  x   y  1 i  x    y  1 i TOANMATH.com Trang ... lớn 2a  10  a  ; trục bé TOANMATH.com Trang 2b  a  c  25   Mặt khác OM  z nhỏ z  4i z  4i Vậy giá trị nhỏ z Chọn B Ví dụ 4: Xét số phức z thỏa mãn z  i  z  i  10 Tổng giá trị. .. MB  z   z    49  49  Đẳng thức z  z   24 9  i Đẳng thức z  z  i 25 25 7 Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z 16 Chọn D TOANMATH.com Trang Ví dụ 5: Cho z số phức thay đổi thỏa mãn... O Bước 3: Kết luận cho toán số phức Vậy z  3i  , z  Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  Môđun lớn Nhận xét: OI  r  OM  z  OI  r số phức z A B C D Hướng dẫn giải