CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC Mục tiêu Kiến thức + Nắm vững định nghĩa số phức phép toán cộng, trừ hai số phức; phép nhân số phức; phép chia hai số phức + Nắm vững toán cực trị liên quan yếu tố: Điểm, đường tròn, đường thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình trịn, … + Nắm vững bất đẳng thức liên quan đến môđun số phức bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Kĩ + Biết thực thành thạo định nghĩa, phép toán số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Biết thực thành thạo việc chuyển đổi ngôn ngữ số phức sang ngôn ngữ hình học + Giải thành thạo tốn cực trị liên quan yếu tố: Điểm, đường tròn, đường thẳng, đoạn thẳng, tia, miền đa giác, hình trịn, … + Vận dụng linh hoạt bất đẳng thức liên quan đến môđun số phức bất đẳng thức Cauchy – Schwarz vào giải tốn max, mơđun số phức TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các bất đẳng thức thường dùng a Cho số phức z1 , z2 ta có: +) z1 z2 z1 z2 (1) z1 Đẳng thức xảy z1 0, k , k 0, z2 kz1 +) z1 z2 z1 z2 (2) z Đẳng thức xảy z1 0, k , k 0, z2 kz1 b Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho số thực a, b, x, y ta có: ax by a b x y Đẳng thức xảy ay bx Một số kết biết a Cho hai điểm A, B cố định Với điểm M có bất đẳng thức tam giác: +) MA MB AB , dấu “=” xảy M nằm hai điểm A, B +) MA MB AB , dấu “=” xảy B nằm hai điểm A, M b Cho hai điểm A, B nằm phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB AB , dấu “=” xảy Ba điểm A, M , B thẳng hàng +) Gọi A điểm đối xứng với A qua d , ta có MA MB MA MB AB , dấu “=” xảy Ba điểm A, M , B thẳng hàng c Cho hai điểm A, B nằm khác phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB AB , dấu “=” xảy M nằm hai điểm A, B +) Gọi A điểm đối xứng với A qua d , ta có MA MB MA MB AB , dấu “=” xảy Ba điểm A, M , B thẳng hàng d Cho đoạn thẳng PQ điểm A không thuộc PQ , M điểm di động đoạn thẳng PQ , max AM max AP, AQ Để tìm giá trị nhỏ AM ta xét trường hợp sau: +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ nằm đoạn PQ AM AH +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ không nằm đoạn PQ AM AP; AQ e Cho đường thẳng điểm A không nằm Điểm M có khoảng cách đến A nhỏ hình chiếu vng góc A TOANMATH.com Trang f Cho x, y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A1 A2 An Khi giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức F ax by ( a, b hai số thực cho không đồng thời ) đạt đỉnh miền đa giác SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với số thực a, b, x, y ta có ax by Dấu “=” xảy a b x y a b x y Các bất đẳng thức thường dùng Bất đẳng thức tam giác z1 z2 z1 z2 Dấu “=” xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 Dấu “=” xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 Dấu “=” xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 Dấu “=” xảy z1 kz2 k z2 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp hình học Phương pháp giải Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn 2 z z i z z Giá trị nhỏ z 3i A B C D Hướng dẫn giải Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ toán số phức Giả sử z x yi x, y z x yi Khi sang ngơn ngữ hình học 2 z z i z z yi x 2i y x Gọi M x; y ; A 0; 3 điểm biểu diễn TOANMATH.com Trang cho số phức z; 3i z 3i MA Bước 2: Sử dụng số kết biết để giải tốn hình học Parabol y x có đỉnh điểm O 0; , trục đối xứng đường thẳng x Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng parabol, nên ta có: MA OA Suy ra, MA M O Bước 3: Kết luận cho toán số phức Vậy z 3i , z Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 4i Môđun lớn Nhận xét: OI r OM z OI r số phức z A B C D Hướng dẫn giải Gọi M x; y , I 3; điểm biểu diễn cho số phức z;3 4i Từ giả thiết z 4i MI Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I 3; , bán kính r Mặt khác z OM Mà OM đạt giá trị lớn OI r , M giao điểm đường thẳng OM với đường tròn tâm I 3; , bán 18 24 kính r Hay M ; 5 Do đó, max z OI r , z 18 24 i 5 Chọn B TOANMATH.com Trang Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z 4i z 2i , số phức z Nhận xét: Trong tất đoạn thẳng kẻ từ điểm O đến đường có mơđun nhỏ A z 2i B z i C z 2i D z i thẳng d , đoạn vng góc OM ngắn Hướng dẫn giải Đặt z x yi x, y Khi z 4i z 2i x y d Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng d Do z OM nhỏ M hình chiếu O d Suy M 2; hay z 2i Chọn C Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z z 10 Giá trị nhỏ z A B C D Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi F1 3; , F2 3;0 , có trung điểm O 0; Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến z OM Ta có MF12 MF2 MF MF2 MF12 MF2 F1 F2 Với số thực a, b ta có bất đẳng thức: a b 2 50 a b 2 Đẳng thức xảy M 4;0 MF1 MF2 50 36 z 4 , MF1 MF2 10 M 4; Khi z 4i z 4i Cách 2: Gọi F1 3; , F2 3;0 , M x; y ; x, y điểm biểu diễn số phức 3;3; z Ta có F1 F2 2c c Theo giả thiết ta có MF1 MF2 10 , tập Với điểm M nằm elip, đoạn OM ngắn đoạn nối O với giao điểm trục bé với elip hợp điểm M đường elip có trục lớn 2a 10 a ; trục bé TOANMATH.com Trang 2b a c 25 Mặt khác OM z nhỏ z 4i z 4i Vậy giá trị nhỏ z Chọn B Ví dụ 4: Xét số phức z thỏa mãn z i z i 10 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z A 60 49 B 58 49 C 18 D 16 Hướng dẫn giải Gọi A 0; 1 , B 0;1 , đoạn thẳng AB có trung điểm O 0; Điểm M biểu diễn số phức z Theo công thức trung tuyến z OM MA2 MB AB Theo giả thiết MA 3MB 10 Đặt MA a MB 10 4a Khi MA MB 10 a 16 AB 6 10 a a 7 10 4a 5a 36 Ta có MA2 MB a Do 36 24 576 nên 5a 5a 7 49 z 1 MA2 MB 260 81 MA MB z z 49 49 Đẳng thức z z 24 9 i Đẳng thức z z i 25 25 7 Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z 16 Chọn D TOANMATH.com Trang Ví dụ 5: Cho z số phức thay đổi thỏa mãn z z Trong mặt phẳng tọa độ gọi M , N điểm biểu diễn số phức z z Giá trị lớn diện tích tam giác OMN A B C D 2 Hướng dẫn giải Đặt z x yi x, y z x yi Gọi F1 2;0 , F2 2;0 , M x; y , N x; y điểm biểu diễn số phức 2; 2; z; z Do M , N điểm biểu diễn số phức z z nên suy M , N đối xứng qua Ox Khi S OMN xy Ta có F1 F2 2c c Theo giả thiết ta có MF1 MF2 , tập hợp điểm M thỏa điều kiện elip có trục lớn 2a a 2 ; trục bé 2b a c b Nên elip có phương trình E : Do x2 y2 1 xy x2 y x2 y 2 S OMN xy 2 8 2 x Đẳng thức xảy y Chọn D Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z i z i Giá trị nhỏ P i 1 z 2i A B C D Hướng dẫn giải Gọi z x yi x, y ; M x; y điểm biểu diễn số phức z Ta có z i z i x y 1 i x y 1 i TOANMATH.com Trang ... lớn 2a 10 a ; trục bé TOANMATH.com Trang 2b a c 25 Mặt khác OM z nhỏ z 4i z 4i Vậy giá trị nhỏ z Chọn B Ví dụ 4: Xét số phức z thỏa mãn z i z i 10 Tổng giá trị. .. MB z z 49 49 Đẳng thức z z 24 9 i Đẳng thức z z i 25 25 7 Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z 16 Chọn D TOANMATH.com Trang Ví dụ 5: Cho z số phức thay đổi thỏa mãn... O Bước 3: Kết luận cho toán số phức Vậy z 3i , z Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 4i Môđun lớn Nhận xét: OI r OM z OI r số phức z A B C D Hướng dẫn giải