Giáo án đại số lớp 12 bài 3 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

BÀI GIÁ TRN LỚN NHẤT, GIÁ TRN NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Biết hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số + Biết phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng, đoạn + Nhận biết mối liên hệ hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  f   x   Kĩ + Biết lập, đọc bảng biến thiên hàm số để từ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ + Tính đạo hàm hàm số hợp, nhận biết mối liên hệ hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  f   x  + Biết chuyển tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều khảo sát hàm biến số + Tìm GTLN, GTNN hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , y  f  u  x    h  x  … biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f  x   y  f   x   TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hàm số y  f  x  xác định tập D +) Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y  f  x  tập D f  x   M với x  D tồn x0  D cho f  x0   M Kí hiệu: M  max f  x  D +) Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y  f  x  tập D f  x   m với x  D tồn x0  D cho f  x0   m Kí hiệu: m  f  x  D SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y  f  x  tập D f  x   M với x  D tồn x0  D cho f  x0   M Kí hiệu: M  max f  x  D Cho hàm số y  f  x  xác định tập D Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y  f  x  tập D f  x   m với x  D tồn x0  D cho f  x0   m Kí hiệu: m  f  x  D TOANMATH.com Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN hàm số y = f(x) khoảng Phương pháp giải Ta thực bước sau Ví dụ: Giá trị nhỏ hàm số y  x3  x  khoảng (0; 2) A B C D -1 Hướng dẫn giải Hàm số liên tục khoảng (0; 2) Ta có y   x  Bước Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng) Bước Tính y   f   x  ; tìm điểm mà đạo hàm không không xác định  x  1 y    3x    x  Vì ta xét hàm số khoảng (0; 2) nên ta loại giá trị x  1 Xét bảng biến thiên hàm số khoảng (0; 2) Bước Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy giá trị nhỏ hàm số y  1 đạt x   0;  Bước Kết luận Chọn D Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải Bước Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  f  x  miền (a; b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE (MODE lập bảng giá trị) Bước Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn xuất max, giá trị nhỏ xuất - Ta thiết lập miền giá trị biến x Start a End b Step ba (có thể làm tròn để Step đẹp) 19 TOANMATH.com Trang Chú ý: Khi đề liên có yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính chế độ Radian Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số f  x    x  x5  x  x  Khẳng định sau đúng? A max f  x   17 30 B max f  x   C max f  x   67 30 D Hàm số không tồn giá trị lớn    47 30 Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có f   x   2 x5  x  x     x  1  x  1 Khi f   x      x  1  x  1   x  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f  x    47 x  30 Chọn B Ví dụ Gọi a giá trị lớn hàm số f  x   Khi giá trị biểu thức P  A 22 B  8x khoảng  ; 1 x2   8a a2  13 C  58 65 D  74 101 Hướng dẫn giải Hàm số liên tục khoảng  ; 1 Ta có f   x   x  12 x  x TOANMATH.com  1 Trang  x    ; 1  Khi f  x    x  12 x      x     ; 1  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy max f  x    P    ; 1  8a 58  a 1 65 Chọn C Ví dụ Cho hàm số y  f  x   x2  x  Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? x2  x  1 A f  x   B f  x   C f  x   D Hàm số khơng có giá trị nhỏ    Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có  x  x  1  x  x  1 2x 2x2  y  f  x    y    2 x  x 1  x2  x  1  x  x  1 Do y    x    x  1 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f  x    x  Bài tập tự luyện dạng TOANMATH.com Trang Câu 1: Giá trị nhỏ hàm số y  A y  x2 (2; 6) x2 B y   2;  C y   2;  Câu 2: Giá trị nhỏ hàm số y  A y   2;   2;  x2  x  khoảng 1;    x 1 B y  1;   D y  C y  1;   1;   Câu 3: Mệnh đề sau với hàm số y  x 1 x2  D y  1;   tập xác định nó? A Hàm số khơng có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ B Hàm số khơng có giá trị lớn có giá trị nhỏ C Hàm số có giá trị lớn có giá trị nhỏ D Hàm số có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ Câu 4: Giá trị nhỏ hàm số y  x  A không tồn   1 x  khoảng  0;    C 1  B -3 D ĐÁP ÁN 1-A 2-A TOANMATH.com 3-D 4-B Trang Dạng 2: Tìm GTLN GTNN hàm số đoạn Phương pháp giải Bước Tính f   x  Bước Tìm điểm xi   a; b  mà f   xi   f   xi  khơng xác định Bước Tính f  a  , f  xi  , f  b  Bước Tìm số lớn M số nhỏ m số Khi M  max f  x  m  f  x   a ; b a ; b Chú ý: max f  x   f  b  +) Hàm số y  f  x  đồng biến đoạn [a; b]  min f  x   f  a  max f  x   f  a  +) Hàm số y  f  x  nghịch biến đoạn [a; b]  min f  x   f  b  Bài toán Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y   x3  x  Gọi M, m giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số [0; 3] Giá trị M  m TOANMATH.com Trang A B 10 C D Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục [0; 3]  x    0; 3 Ta có y    3 x  x     x    0; 3 Khi y    2, y    6, y  3  Vậy M  6; m   M  m  Chọn A Ví dụ Giá trị lớn hàm số y   x  3x  [-1; 2] A 29 B C D 13 D 89 Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục [-1; 2]   x    1; 2  Ta có y   4 x  x  x  x  3  y     x    1; 2    x    1;      13 13 Vì y    1; y  y   ; y    3; y  1  nên max  1;     Chọn D Ví dụ Cho hàm số y  A 16 x2 Giá trị x 1 B 45 2  y    max y   2; 3   2; 3      C 25 Hướng dẫn giải Ta có y   3  x  1  0, x  , hàm số nghịch biến khoảng  ; 1 ; 1;     Hàm số nghịch biến [2; 3] Do y  y  3  ; max y  y    2; 3 2; 3 2 89 5 Vậy  y    max y      42  2; 2;         2 Chọn D TOANMATH.com Trang Ví dụ Giá trị lớn hàm số f  x   A 15 B x2  8x đoạn [1; 3] x 1 7 C 3 D 4 Hướng dẫn giải x2  8x liên tục [1; 3] x 1 Hàm số f  x   f  x   x  8 x  1  x  x x  x   2  x  1  x  1  x   1; 3 f   x    x2  2x      x  4  1; 3 7 15 ; y  3  ; y    4 Ta thấy y 1  Vậy max f  x   1; 3 7 Chọn B Ví dụ Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số y  x   x Giá trị biểu thức P  M  m A   1 B   1 C 1 D 1 Hướng dẫn giải Tập xác định D   2; 2 Ta có y    x  x2   x2  x  x2 , x   2;   x  y    x2  x    x  2   2;  y  2    2; y   0; y    2; y  2   2 Vậy M  2, m  2  P  2     1 Chọn A Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y  x3  x  m đoạn [0; 5] m A B 10 C D Hướng dẫn giải Hàm số xác định liên tục D   0; 5 TOANMATH.com Trang x   D Ta có y    x  x     x  1 D f    m; f 1  m  1; f    175  m Dễ thấy f    f    f 1 , m   nên f  x   f 1  m  0; 5 Theo đề f  x    m    m  0; 5 Chọn A Ví dụ Gọi A, B giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y  giá trị thực tham số m để A  B  x  m2  m đoạn [2; 3] Tất x 1 13 A m  1; m  2 B m  2 C m  2 D m  1; m  Hướng dẫn giải Hàm số cho liên tục đoạn [2; 3] Ta có y     m  m  1  x  1  0, m  A  y  3  m2  m  ; B  y    m2  m  2 Do A  B  m2  m  13 13   m2  m   2 m   3m  m      m  2 Chọn A Ví dụ Biết hàm số y  x3  3mx   2m  1 x  (với m tham số) đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn Các giá trị tham số m A m  B m  C m  D m  1 Hướng dẫn giải Ta có y   x  6mx   2m  1   x  2mx  2m  1  x  1 y     x   2m Vì y  2   1; y    theo max y  nên giá trị lớn không đạt x  2; x  Do  2; 0 giá trị lớn đạt y  1 y 1  2m  Ta có y  1  3m  3, y 1  2m   1  2m   m    TOANMATH.com Trang 10 - Trường hợp 1: Xét 3m    m  1  x  1   2; 0 Thử lại với m  1 , ta có y     nên m  1 giá trị cần tìm  x    2; 0 1  2m 2  m    1  2m 2  m      - Trường hợp 2: Xét   1 2   2m   m 2 Vì 1  m   m    1  2m   m    nên (1) vô nghiệm 2 Chọn D Bài tốn Tìm GTLN – GTNN hàm số y = |f(x)| đoạn [a; b] Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y  x  x  đoạn [-1; 1] a, b giá trị a  b A B C D Hướng dẫn giải Xét hàm f  x   x  x   f   x   x  f  x  2x    x  Bước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f  x  đoạn  a; b  , giả sử thứ tự M, Suy max y  f  1  1; y  f 1  3  1; 1 m  1; 1 Do giá trị lớn y  3   a  x  giá trị nhỏ y   b  x   Bước +) Tìm max y  max  M ; m  a ; b +) Tìm y a ; b - Trường hợp 1: M m   y  a ; b - Trường hợp 2: m   y  m  a ; b - Trường hợp 3: M   y  M   M a ; b Vậy giá trị a  b    Chọn B Bước Kết luận Ví dụ mẫu Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y  x3  x  24 x  68 đoạn [-1; 4] TOANMATH.com Trang 11 A 48 B 52 C -102 D Hướng dẫn giải Bảng biến thiên hàm số y  x3  x  24 x  68  1; 4 Suy bảng biến thiên hàm số y  x3  x  24 x  68 đoạn  1; 4 Vậy giá trị nhỏ hàm số y  x3  x  24 x  68 đoạn  1; 4 48 Chọn A Cách khác: Theo trường hợp M  48   y  48 Bài tốn Tìm tham số để GTLN hàm số y = |f(x)| đoạn [α, β] k Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y x  mx  m đoạn [1; 2] x 1 Số phần tử tập S A B C D Hướng dẫn giải Bước Tìm max f  x   max  A ; B   ;   Xét hàm số y  f  x    ;   Ta có y   TOANMATH.com x2  2x  x  1 x  mx  m x 1  x   1; 2 0  x  2  1; 2 Trang 12 Mặt khác f 1  2m  3m  ; f  2   2m  3m   ; Do max y  max   1; 2   - Trường hợp 1: Bước Xét trường hợp +) A  k tìm m, thử lại giá trị m +) B  k tìm m, thử lại giá trị m  m  2m  max y  2 1; 2 m    +) Với m  3m  17    (loại) +) Với m   3m     (thỏa mãn) - Trường hợp 2:  m  3m  max y  2 1; 2  m   10  +) Với m  2m     (thỏa mãn) +) Với m   10 2m  17    (loại) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn Bước Kết luận Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ Gọi S tập giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số f  x   x  14 x  48 x  m  30 đoạn [0; 2] không vượt 30 Tổng phần tử S A 108 B 120 C 210 D 136 Hướng dẫn giải Xét hàm số g  x   x  14 x  48 x  m  30 đoạn [0; 2]  x  6   0; 2  Ta có g   x   x  28 x  48  g   x     x    0; 2   x    0; 2  g    30  m  30  30 Để max g  x   30      m  16 0; 2 m   14 30 g  30       m  0;1; 2; ; 15; 16 TOANMATH.com Trang 13 Tổng phần tử S 136 Chọn D Ví dụ Biết giá trị lớn hàm số y   x2  x   m 18 Mệnh đề sau đúng? A  m  B 10  m  15 C  m  10 D 15  m  20 Hướng dẫn giải Xét hàm số g  x    x  x  Ta có g   x   x  x2 liên tục tập xác định [-2; 2]   g x   x  x2   0, x   2;  x    x2  x    x    2;  2 4  x  x g  2    ; g    1 24 Do max g  x    2; 2 Theo ; g  2  5 x  2 , suy giá trị lớn hàm số  m 2  m  18  m  15,5 Vậy 15  m  20 Chọn D Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN hàm số y = |f(x) + g(m)| đoạn [a; b] đạt GTNN Phương pháp giải Thực bước sau Ví dụ: Biết giá trị lớn hàm số y  x  x  m  đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị tham số m A B C D Hướng dẫn giải Đặt f  x   x  x Bước Tìm   max f  x  ;   f  x  a ; b  a ; b Ta có f   x   x  2; f   x    x  1   2; 1 f  2   0; f 1  3; f  1  1 Do max f  x   3; f  x   1  2; 1 TOANMATH.com  2; 1 Trang 14 Suy max y  max  m  ; m    2; 1 Bước Gọi M giá trị lớn  y  f  x   g  m    m  m 1 2 Dấu xảy  M  max   g  m  ;   g  m   m   m 1   g  m    g m    m   m   m  (thỏa mãn)    m  m  1    g  m     g  m  Dấu xảy   g  m    g  m Áp dụng bất đẳng thức    g  m     g  m   g  m    g m 2    Dấu xảy   g  m       g  m    Bước Kết luận M  g  m  Chọn B      Ví dụ mẫu Ví dụ Để giá trị lớn hàm số y  A m  B m  x  x  3m  đạt giá trị nhỏ m C m  D m  Hướng dẫn giải Tập xác định D   0; 2 Đặt f  x   x  x , x  D Ta có f   x   1 x 2x  x2  f  x   x  f    0; f    0; f 1  Suy P  max y  max  3m  ; 3m    D TOANMATH.com 3m   3m  Trang 15   3m  3m    3m   3m  Dấu xảy    m  (thỏa mãn)   3m  3m    Suy giá trị lớn hàm số nhỏ m  Chọn A Bài tốn Tìm tham số để GTNN hàm số y = |ax2 + bx + c| + mx đạt GTLN Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số y  f  x, m   x  x   mx đạt giá trị lớn A B C D Hướng dẫn giải Ta có f  x, m   f  0, m   5, m   Xét m  ta có f  x,   x  x   x  x  x   x  5, x   Dấu xảy x  Suy f  x,   5, x   min f  x, m   5, m   Do   max  f  x, m    , đạt m  min f  x,   5, x   Chọn B Tổng quát: y  ax  bx  c  mx Trường hợp 1: a.c   max  y   c Đạt m  b Ví dụ Giá trị nhỏ hàm số f  x, m   x  x   mx đạt giá trị lớn A B -7 C D Hướng dẫn giải Phương trình x  x   ln có hai nghiệm trái dấu x1   x2 Trường hợp 1: Nếu m  Ta có f  x, m   f  x, m   mx1  0, m   Xét m  ta có f  x,   x  x   0, x   Dấu xảy x  x1, Suy f  x,   0, x   min f  x, m   0, m   Do   max  f  x, m    m  min f  x,   0, x   Trường hợp 2: Nếu m  Ta có f  x, m   f  x2 , m   mx2  0, m    max  f  x, m    TOANMATH.com Trang 16 So sánh hai trường hợp max  f  x, m    m  Chọn C Trường hợp 2: a.c   max  y   Đạt m  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f  x   x5  x  x3  đoạn  1; 2 Khi M  m có giá trị A -6 B 12 C -12 D x2  x   7 Câu 2: Trên đoạn   ;  hàm số f  x   đạt giá trị lớn x 1  3 A x0   B x0  C x0  D x0  Câu 3: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x   x   x  3; 6 Tổng M  m có giá trị A -12 B -6 C 18 D -4 Câu 4: Giá trị nhỏ hàm số f  x   x   x tập xác định A  B -1 C D   Câu 5: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x   x  cos x đoạn  0;   4 A max f  x   ; f  x   1   0;   0;  B max f  x     D max f  x      4 C max f  x     0;    4  ; f  x   0;    4   0;      0;    Câu 6: Với giá trị tham số m hàm số f  x   ; f  x     0;     1  ; f  x    0;   4 mx  đạt giá trị lớn đoạn 1; 3 xm 2? A m  B m  3 C m  7 D m  Câu 7: Giá trị nhỏ hàm số f  x    x3  x  m đoạn  1; 1 A m  B m  12 C m  Câu 8: Với giá trị tham số m hàm số f  x    2;3 D m  x 1 đạt giá trị lớn đoạn x  m2 ? A m  2 TOANMATH.com B m  C m  1 D m  2 Trang 17 Câu 9: Giá trị lớn hàm số f  x   x3  x  72 x  90  m đoạn [-5; 5] 2018 Trong khẳng định khẳng định đúng? A 1600  m  1700 B m  1600 C m  1500 D 1500  m  1600 Câu 10: Để giá trị lớn hàm số y  f  x   x3  x  2m  đoạn  0; 2 nhỏ giá trị m thuộc khoảng đây? A  0; 1 B  1;  C 1;  D  2;  1 Câu 11: Gọi M giá trị lớn hàm số y  x3  x  x  m đoạn  2; 4 , m0 giá trị tham số m để M đạt giá trị nhỏ Mệnh đề đúng? A  m0  B 7  m0  5 C 4  m0  D m0  8 Câu 12: Có số nguyên m để giá trị nhỏ hàm số y  x  38 x  120 x  4m đoạn 0; 2 đạt giá trị nhỏ Khi giá trị tham số m A 26 B 13 C 14 D 27 Câu 13: Biết giá trị lớn hàm số y  x  38 x  120 x  4m đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ Khi giá trị tham số m A -12 B -13 C -14 D -11 Câu 14: Xét hàm số y  x  ax  b với a, b tham số Gọi M giá trị lớn hàm số đoạn  1;3 Khi M nhận giá trị nhỏ a  2b A B -4 C D -3 Câu 15: Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y  x3  x  x  m đoạn  2; 4 16 Số phần tử S A B C D Câu 16: Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y  x  x  m đoạn [0; 2] Số phần tử S A B C D Câu 17: Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y  x3  x  m đoạn  2; 4 50 Tổng phần tử tập S A B 36 C 140 D Câu 18: Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m cho giá trị lớn hàm số 19 y  x  x  30 x  m  20 đoạn  0; 2 không vượt 20 Tổng phần tử S A 210 B -195 C 105 D 300 Câu 19: Cho hàm số f  x   x  x  x  a Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho đoạn  0; 2 Có số nguyên a thuộc đoạn  3; 2 cho M  2m ? A TOANMATH.com B C D Trang 18 Câu 20: Giá trị nhỏ hàm số y  f  x, m   x  2020 x  2019  mx đạt giá trị lớn tham số m A 2020 B 2019 C D 2018 Câu 21: Giá trị nhỏ hàm số y  f  x, m   x  x  10  mx đạt giá trị lớn A B -6 C D 10 ĐÁP ÁN 1-B 2-C 3-B 4-A 5-C 6-A 7-D 8-C 9-A 10-A 11-D 12-D 13-B 14-B 15-D 16-B 17-A 18-C 19-D 20-A 21-C TOANMATH.com Trang 19 Dạng 3: TÌM GTLN-GTNN cho đồ thị - bảng biến thiên Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ Giá trị lớn hàm số  A max y    B max y  1  C max y  D max y    Hướng dẫn giải Dựa vào bảng biên thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn x   Chọn D Ví dụ Hàm số y  f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình bên Biết f  4   f   , giá trị nhỏ hàm số cho  A B f  4  C f   D -4 Hướng dẫn giải Từ bảng biến thiên ta có f  x   f  4  , x   ; 0 f  x   f   , x   0;    Mặt khác f  4   f   suy x   ;    f  x   f   Vậy f  x   f    Chọn C TOANMATH.com Trang 20 ... Câu 3: Mệnh đề sau với hàm số y  x 1 x2  D y  1;   tập xác định nó? A Hàm số khơng có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ B Hàm số khơng có giá trị lớn có giá trị nhỏ C Hàm số có giá trị lớn. .. tham số Gọi M giá trị lớn hàm số đoạn  1 ;3? ?? Khi M nhận giá trị nhỏ a  2b A B -4 C D -3 Câu 15: Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho giá trị lớn hàm số y  x3  x  x  m đoạn  2; 4 16 Số. .. m có giá trị A -6 B 12 C -12 D x2  x   7 Câu 2: Trên đoạn   ;  hàm số f  x   đạt giá trị lớn x 1  3? ?? A x0   B x0  C x0  D x0  Câu 3: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f