Nội dung bài viết Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn cả (giới thiệu tôpô học) cung cấp cho bạn một số kiến thức về bài toán về bảy chiếc cầu; Bài toán về số mặt, số cạnh, và số đỉnh của một đa diện. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
RỘNG HẸP NHỎ TO VỪA VẶN CẢ (GIỚI THIỆU TÔPÔ HỌC) Nguyễn Hữu Việt Hưng (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQG - Hà Nội) Có vấn đề hình học, lại khơng phụ thuộc vào kích cỡ to nhỏ, rộng hẹp, dài ngắn đối tượng liên quan Những vấn đề thuộc lĩnh vực gọi Tôpô học (Topology1 ) Trong vấn đề thuộc loại này, chuyện mảnh đất rộng hay hẹp, vng hay méo chẳng quan trọng (Thế có lạ khơng!) Vì thế, người bn đất, buôn bất động sản nên học Tôpô Nếu tị mị mà họ học, họ thể nhà Tôpô học kẻ điên, hâm hấp Cao đàm khoát luận dễ dẫn đến tư biện, mù mờ, dễ sinh nói nhảm Để tránh chuyện đó, ta bắt đầu vài ví dụ Đơi khi, vài ví dụ thực chất đẻ lý thuyết, có cịn đẻ ngành học Leonhard Euler (1707 - 1783), nhà toán học vĩ đại người Thuỵ Sĩ, xem cha đẻ ngành Tơpơ học, ơng người nghiên cứu hai toán sau Bài toán by chic cu Kăonigsberg l mt thnh ph c thuc Vương quốc Phổ nước Đức 1945 Sau Đại chiến Thế giới II, thuộc Liên Xơ (cũ) Nga, gọi Kaliningrad Chỉ có ớt du tớch ca Kăonigsberg cũn sút li ngy Kaliningrad thnh ph Kăonigsberg, cú chic cu Chúng nối hai bờ sông, bờ sông hai cù lao, nối hai cù lao Xem đồ sau đây: Tất liên kết Ban Biên tập 47 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Từ xưa, c dõn Kăonigsberg ó t cõu hi: Liu cú thể lần qua tất cầu mà khơng có cầu phải lặp lại hay khơng? Khơng cần để tâm nhiều đến vị trí cụ thể cầu Điều quan trọng mà người ta quan sát từ toán sau: Đây vấn đề hình học, không phụ thuộc vào độ lớn yếu tố tham dự (dịng sơng rộng hay hẹp; cầu dài hay ngắn, to hay bé; cù lao lớn nhỏ nào) Vấn đề phụ thuộc hình dáng vị trí tương đối yếu tố Khơng có chứng cịn lại chứng tỏ Euler ó ti Kăonigsberg Tuy nhiờn, nm 1735 ụng ó chứng minh mong muốn tìm cách qua cầu “một lần, không lặp lại” khơng thể thực Chúng ta thử tìm hiểu lời giải Euler cho toán cầu Trờn bn Kăonigsberg hóy thay mi b sụng, mi cù lao điểm, gọi đỉnh, thay mối cầu đường nối đỉnh, gọi cạnh Hình thu gọi đồ thị Bài toỏn v cỏi cu Kăonigsberg thc cht l chuyện cố gắng “vẽ nét” đồ thị sau đây: Bài toán quen thuộc với trẻ em qua trị chơi “vẽ hình nét” Có thuở thiếu thời lại chẳng đau đầu với câu đố vẽ phong bì nét? 48 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Hãy bắt đầu với nhận xét đơn giản sau đây: Mỗi ta qua đỉnh, có cạnh (2 cầu) xuất phát từ đỉnh qua: Cạnh tới, cạnh khỏi đỉnh Như thế, lần qua đỉnh, số cạnh nối với đỉnh mà ta chưa qua giảm Cho nên, đỉnh có số cạnh nối tới số chẵn (gọi tắt đỉnh chẵn) lần tới ta ln cịn đường để ngồi Cịn đỉnh lẻ, chẳng hạn có (2k C 1) đường nối với đỉnh đó, sau k lần qua, tới lần (k C 1) ta hết đường để khỏi đỉnh Như vậy, đỉnh lẻ cản trở cho việc “đi qua” mà dừng lại Chiến thuật ta không xuất phát từ đỉnh chẵn (nếu cịn đỉnh lẻ), xuất phát từ đỉnh chẵn, khỏi đỉnh đó, biến đỉnh chẵn thành đỉnh lẻ phần trò chơi Ta cần xét đồ thị liên thông, nghĩa đồ thị mà đỉnh có đường nối (Việc vẽ đồ thị không liên thông hiển nhên qui vẽ thành phần liên thơng nó.) Dựa nhận xét đỉnh chẵn đỉnh lẻ nói trên, ta chứng minh: (1) Trong đồ thị, số đỉnh lẻ số chẵn, (2) Một đồ thị liên thơng khơng có đỉnh lẻ nào, cần tối thiểu nét vẽ (3) Một đồ thị liên thơng có 2n đỉnh lẻ (n > 0), cần tối thiểu n nét vẽ Cách vẽ sau: Xuất phát từ đỉnh lẻ (nếu có), vẽ tuỳ ý khơng vẽ Khi ta gặp đỉnh lẻ khác Nét vẽ vừa khử bớt đỉnh lẻ (là điểm đầu điểm cuối nét vẽ) Lặp lại trình khơng cịn đỉnh lẻ Trường hợp khơng có đỉnh lẻ nào, xuất phát từ đỉnh chẵn bất kỳ, vẽ tuỳ ý không vẽ dược Khi ta gặp lại đỉnh xuất phát Chúng không sâu vào chi tiết chứng minh khẳng định Cái phong bì có đỉnh, góc đỉnh lẻ Vì thế, khơng thể vẽ phong bì nét Cần 4=2 D nét để vẽ phong bỡ Trong bi toỏn cõy cu Kăonigsberg, cú bốn đỉnh, đỉnh lẻ Do đó, khơng thể vẽ đồ thị nét Tối thiếu cần 4=2 D nét Đó lý suốt chiều dài lịch sử, không người dân Kăonigsberg cú th i mt ln qua tt c cỏc cầu mà không cầu bị lặp lại 49 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Bài tốn số mặt, số cạnh, số đỉnh đa diện L Euler chứng minh định lý sau đây, nhìn tưởng trị chơi trẻ con: Trong đa diện lồi nào, số mặt trừ số cạnh cộng với số đỉnh Hãy lấy vài ví dụ Trong tứ diện, số mặt m D 4, số cạnh c D 6, số đỉnh d D 4; Ta có m c C d D C D Trong hình hộp chữ nhật, số mặt m D 6, số cạnh c D 12, số đỉnh d D 8; Ta có m c C d D 12 C D Vì lại có chuyện lúc lấy dấu “cộng”, lúc lại lấy dấu “trừ” định lý trên? Xin thưa: Mặt yếu tố chiều, đỉnh chiều, yếu tố chẵn chiều mang cộng; cạnh yếu tố chiều, tức số chiều lẻ, nên mang dấu trừ Giống toán cầu, toán vấn đề hình học, khơng phụ thuộc vào độ lớn yếu tố Thật vậy, đa diện dù bé hạt đậu hay to trái đất số mặt, số cạnh, số đỉnh khơng thay đổi Nhận xét gợi ý cho suy luận sau đây: Hãy tưởng tượng đa diện lồi làm cao su Ta thổi phồng đa diện lồi thành bóng hình cầu 50 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Các mặt, cạnh, đỉnh đa diện biến thành mặt (cong), cạnh (cong), đỉnh mặt cầu Như thế, định lý Euler chất định lý mặt cầu: Trong cách phân mặt cầu thành hình đa giác cong, số mặt trừ số cạnh cộng số đỉnh Hơn nữa, hình thu từ mặt cầu phép biến đổi liên tục (tương tự co dãn màng cao su) nghiệm định lý Chúng ta vừa đạt bước tiến quan trọng cách nghĩ: Bài toán Euler ban đầu xét nhiều đối tượng, đa diện lồi Rút cuộc, tốn đối tượng nhất, mặt cầu Đạt bước tiến sử dụng lập luận biển đổi kiểu “co dãn cao su” Người ta gọi phép biến đổi tơpơ Bây giờ, thay cho mặt cầu nói trên, lấy mặt xuyến (cái săm ơtơ) làm thí nghiệm Có thể phân chia săm đường (c D 2), đường cắt theo vết măng-xông, đường cắt dọc toàn chiều dài xăm Hai đường cắt điểm (d D 1) Bị cắt hai đường đó, săm trở thành mặt hình chữ nhật (m D 1) Vậy, số mà Euler quan tâm mặt xuyến (săm) m c C d D C D 51 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Tiếp theo, lấy mặt “xuyến kép”, có cách dính săm ôtô vào Bạn tự chọn cách chia mặt “xuyến kép” thành mặt giống hình vuông (cong), cạnh (cong), đỉnh Chẳng hạn, ta chọn cách chia mơ tả hình vẽ Các đường đỏ vàng cắt điểm (1 điểm nhìn thấy, điểm hình chiếu thẳng đứng điểm nhìn thấy), d D Các đường đỏ vàng đỉnh chia làm cạnh (4 nửa đường tròn), cộng thêm đường mầu xanh, c D Sau cắt theo đường mặt xuyến kép bị chia thành hình chữ nhật, m D Ta có m c C d D C D Như thế, số Euler xuyến kép Ta dính nhiều săm ơtơ với để tạo thành mặt xuyến có g lỗ Số mà Euler quan tâm mặt m c C d D 2.g 1/ Trong tôpô đại, định lý Euler tổng quát hoá sau: Nếu chia vật thể n chiều thành phần “giống đa diện”, tổng số phần với chiều chẵn trừ tổng số phần với chiều lẻ số, gọi đặc số Euler, vật thể Như thế, vật thể tổng hoà nhịp nhàng hai phần âm dương, chẵn lẻ nội nó, khơng thể thay đổi Đặc số Euler, gọi đặc số Euler – Poincaré (bởi Poincaré (1854-1912) người ý thức chuyện trường hợp số chiều tuỳ ý), vật thể loại “bản thể”, loại “chứng minh thư”, “ID Card” vật thể Hệ là, hai vật thể có đặc số Euler khác nhau, chúng khơng thể biến thành sau phép biến đổi thuận nghịch liên tục (kiểu co dãn cao su) Người ta nói hai vật thể khơng kiểu tôpô Như thế, mặt cầu, mặt xuyến, mặt xuyến kép khơng kiểu tơpơ, chúng có đặc số Euler khác (tương ứng 2, 0, 2) Về mặt trực giác, chúng khơng kiểu tơpơ? Lý thật đơn giản: Mặt cầu khơng có lỗ nào; mặt xuyến có lỗ (là chỗ người ta chui vào để biến săm thành phao bơi); cịn mặt xuyến kép có lỗ Các nhà tơpơ bảo mặt xuyến có lỗ, nên có giống (genus) 1; mặt xuyến kép có lỗ, nên có giống 2; mặt cầu khơng có lỗ nào, nên có giống À thế, phải có lỗ giống khơng bị triệt tiêu Các nhà tơpơ thật giỏi ỡm Riemann cịn chứng minh định lý thật thâm thuý: Mọi mặt chiều trơn (tức mịn màng), bị chặn (có thể giữ phịng), có hướng (tức phân biệt phía ngồi da, phía thịt) xác định mặt tôpô cách đếm số lỗ Chà chà, phải mời Picasso đến Những chuyện kể dẫn đến gì? Sau kết luận thật khó tin Khẳng định: Dù có nhào nặn cục bột, hình bánh mì, kỹ đến mức nào, miễn hình cục bột lúc đầu thơi nặn bánh mì, nặn xong lại để bánh vào chỗ cũ, ln ln có hạt bột mì khơng thay đổi vị trí Thật vậy, sau phép biến đổi liên tục chiều, cục bột hình bánh mì biến thành hình cầu B Gọi S mặt cầu bao quanh B Khẳng định chứng minh bước suy luận sau đây: 52 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 1) Khơng có phép biến đổi biến B thành S giữ nguyên điểm S (Ý chứng minh: Giả sử tồn phép biến đổi Trước phép biến đổi, S biên B, sau phép biến đổi S phải biên S Điều vô lý.) 2) Giả sử phản chứng, sau nhào nặn khơng có hạt bột mì giữ ngun vị trí Giả sử hạt bột mì x biến thành f x/ sau nhào nặn Nửa đường thẳng nối f x/ với x (kéo dài) cắt mặt cầu S điểm nhất, ký hiệu g.x/ Phép biến đổi x thành g.x/ phép biến hình liên tục, biến B thành S giữ nguyên điểm S (Nếu x nằm S, nửa đường thẳng nối f x/ với x cắt S x.) Điều mâu thuẫn với điểm 1) Mâu thuẫn bác bỏ giả thiết phản chứng Hai toán Euler nghiên cứu nói ví dụ đơn giản vấn đề hình học kích cỡ khơng quan trọng, có hình dáng vị trí tương đối đóng vai trị định Ngành toán học nghiên cứu vấn đề ngày gọi Tôpô học (Topology) Ngẫm cho kỹ chuyện kích cỡ khơng quan trọng tạo hố trì ngun lý hàng đầu, đóng vai trị “đảm bảo an ninh” khơng cho xã hội loài người, mà cho toàn giống loài tự nhiên Nếu người mua nhầm đôi giầy, chật hay rộng quá, tức người gặp vấn đề kích cỡ, đem đổi Thế nhưng, người lấy vợ, gặp vấn đề kích cỡ, địi đổi, nguy hiểm vơ Và nhiều người sau lấy vợ gặp vấn đề kích cỡ thế, cần phải đổi, xã hội chắn sinh loạn Bà chúa thơ nơm Hồ Xn Hương (1772–1822) nhà Tôpô học Việt Nam, người trực cảm tuyệt vời phát biểu tường minh ý tưởng táo bạo tôpô từ 200 năm trước Khơng nghiên cứu tốn cầu hay toán số mặt số cạnh số đỉnh đa diện, tiếp cận đầy mẫn cảm, bà nhận chuyện từ xưa Bà viết thật nhân văn: “Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn Ngắn dài khuôn khổ nhau” Hai câu thơ trích “Dệt cửi” bà: “Thắp đèn lên thấy trắng phau Con cò* mấp máy suốt canh thâu Hai chân đạp xuống năng nhắc, Một suốt đâm ngang thích thích mau, 53 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn Ngắn dài khuôn khổ Cô muốn tốt ngâm cho kỹ Chờ đến ba thu dãi màu.” Như thế, Hồ Xuân Hương (1772–1822) độc lập gần đồng thời với L Euler (1707-1783), phát biểu tường minh quan điểm tôpô học Nữ sĩ họ Hồ khởi đầu đầy sinh khí cho đám hậu sinh làm tơpơ Việt Nam, có kẻ học trị viết này: “Mát mặt anh hùng tắt gió Che đầu quân tử lúc sa mưa” Theo Hồ nữ sĩ khó May sao, "Mỏi gối chồn chân muốn trèo" Vậy mà lại bảo nhà Tôpô hâm nghe quái được, hở giời Vĩ thanh: Lão Cò-nhà-đất đọc xong cười phá lên, mà rằng: “Có mảnh đất khơng biết to hay bé, vuông hay méo, lại bảo tuốt Thế nghèo suốt đời phải Bọn tơpơ xem lo chuyện giống 54 ... số đỉnh đa diện, tiếp cận đầy mẫn cảm, bà nhận chuyện từ xưa Bà viết thật nhân văn: ? ?Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn Ngắn dài khn khổ nhau” Hai câu thơ trích “Dệt cửi” bà: “Thắp đèn lên thấy trắng phau... xuống năng nhắc, Một suốt đâm ngang thích thích mau, 53 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Rộng hẹp nhỏ to vừa vặn Ngắn dài khuôn khổ Cô muốn tốt ngâm cho kỹ Chờ đến ba thu dãi màu.” Như thế, Hồ Xuân... trọng mà người ta quan sát từ to? ?n sau: Đây vấn đề hình học, khơng phụ thuộc vào độ lớn yếu tố tham dự (dịng sơng rộng hay hẹp; cầu dài hay ngắn, to hay bé; cù lao lớn nhỏ nào) Vấn đề phụ thuộc hình