Đặc trưng và chướng ngại tri thức luận của khái niệm vô cực trong toán học

Nghiên cứu này trình bày một phân tích tri thức luận làm rõ quá trình hình thành và phát triển của khái niệm vô cực và xác định các đặc trưng tri thức luận của nó.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 65 (5/2019) No 65 (5/2019) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: https://tapchikhoahoc.sgu.edu.vn ĐẶC TRƯNG VÀ CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VƠ CỰC TRONG TỐN HỌC An epistemological analysis of infinity in Mathematics TS Nguyễn Ái Quốc Trường Đại học Sài Gịn TÓM TẮT Vơ cực xuất nhiều hình dạng hình thức Tốn học Các điểm vơ cực hình học xạ ảnh khác với đại lượng vô hạn vô bé xuất giải tích phi chuẩn, số siêu hạn lý thuyết tập hợp, vô hạn liên quan đến tiến trình giới hạn Nghiên cứu trình bày phân tích tri thức luận làm rõ trình hình thành phát triển khái niệm vô cực xác định đặc trưng tri thức luận Từ khóa: vơ cực, vơ cực tiềm năng, vô cực thực tế, đặc trưng tri thức luận, phân tích tri thức luận lịch sử ABSTRACT Infinity occurs in many shapes and forms in mathematics The points at infinity in projective geometry are very different from the infinite and infinitesimal quantities that occur in nonstandard analysis, or the transfinite numbers in set theory, or the infinity involved in a limiting process This study presented the epistemological analysis that could clarify the emergence and development of concept of Infinity and determine the epistemological characteristics of this knowledge object Keywords: infinity, potential infinity, actual infinity, epistemological characteristic, historical epistemological analysis khảo sát tiến hành học sinh (HS) lớp 10 HS lớp 11 Trường trung học phổ thơng Hùng Vương Vì thời điểm cuối học kỳ nên HS lớp 10 kết thúc môn đại số, HS lớp 11 kết thúc mơn đại số giải tích Khảo sát nhằm tìm hiểu xem HS hiểu khái niệm vơ cực Tốn học Nội dung thực nghiệm thứ HS lớp 10 bao gồm câu hỏi sau: “Cho hệ thức sau: Đặt vấn đề 1.1 Sự cần thiết nghiên cứu khái niệm vô cực Khái niệm vô cực diện nhiều lĩnh vực khác Toán học lý thuyết tập hợp, giải tích, hình học, đại số, tơpơ học Nhiều khái niệm toán học xây dựng gắn liền với khái niệm vơ cực, cho thấy vai trị quan trọng tri thức việc thiết lập tảng Tốn học 1.2 Tờn tại những quan niệm sai của học sinh về khái niệm vô cực Cuối tháng năm 2019, hai thực nghiệm Email: nguyenaq2014@gmail.com a/  =  + 1; 43 b/  -  = 1; ∞ c/ ∞ = SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 65 (5/2019) Em cho biết hệ thức hay sai? Vì sao?” Câu trả lời mong đợi: a/ đúng; b/ sai; c/ sai Nội dung thực nghiệm thứ hai HS lớp 11 bao gồm câu hỏi sau: “Trong giới hạn hàm số, em cho biết dạng sau gọi dạng vô định: ∞ a/  - ; b/ 0; c/ ∞ ?” lượng tiến dần đến 0, nên xác định giá trị biểu thức Đối với câu c/, HS giải thích tương tự câu a/ giá trị biểu thức lớn, nhỏ Như vậy, thực nghiệm thứ nhất, tồn HS lớp 10 quan niệm “vơ cực số lớn”, nên áp dụng quy tắc biến đổi với số thực Trong thực nghiệm thứ hai, đa số HS gặp khó khăn việc hiểu ý nghĩa ký hiệu vơ cực gắn liền với tiến trình giới hạn Mặc dù có HS thấy tính khơng xác định giá trị biểu thức chưa đưa số trường hợp cụ thể thấy biểu thức lấy nhiều giá trị khác tiến trình giới hạn Sau cùng, HS xem ký hiệu  biểu đạt cho đại lượng, triệt tiêu toán trừ, hay đơn giản nhân tử toán nhân hay chia 1.3 Sự cần thiết của phân tích tri thức luận Việc xác định loại sai lầm người học học Toán nguồn gốc chúng nhiệm vụ đặt nhà nghiên cứu Didactic Toán trước đưa giải pháp để giúp người học loại bỏ sai lầm Theo [1]: - Nghĩa tri thức, vấn đề mà tri thức cho phép giải - Những quan niệm gắn liền với tri thức Khái niệm vơ cực Tốn 10 11 Khái niệm vơ cực khơng định nghĩa tường minh chương trình Toán 10 11 Trong Sách giáo khoa Đại số 10, khái niệm vô cực xuất lần đầu “Tập hợp phép Toán tập hợp” Câu trả lời mong đợi: Vì câu hỏi liên quan đến ý nghĩa đại lượng vô lớn biểu thị ký hiệu , nên câu trả lời mong đợi nêu số trường hợp cụ thể thấy xác định xác giá trị biểu thức Kết thực nghiệm: Trong thực nghiệm thứ nhất, HS trả lời cho câu a/, HS giải thích cộng vơ cực với số dương phải vơ cực, HS cịn lại giải thích cộng vơ cực với số thực vô cực Như vậy, HS quan niệm vô cực số lớn Đối với câu b/, có HS cho giải thích hệ thức câu b/ tương đương với hệ thức câu a/, HS lại cho sai vơ cực trừ cho vơ cực Đối với câu c/, HS kết luận đúng, HS cho đơn giản tử mẫu cho vơ cực 1, HS lại cho hệ thức tương đương với hệ thức  =  Trong thực nghiệm thứ hai, có HS giải thích biểu thức cho vơ định “Sách giáo khoa quy định dạng vơ định” Chỉ HS giải thích biểu thức câu a/ khơng xác định hiệu hai vơ cực số lớn, nhỏ Đối với câu b/, HS giải thích giới hạn nên đại 44 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN có lượng hữu hạn sử dụng [7, tr 12] Tuy nhiên, người Hy Lạp, khái niệm vô cực áp đặt họ giới vật chất ba quan sát truyền thống: thời gian dường khơng có hồi kết; khơng gian thời gian chia nhỏ không ngừng; không gian không bị ràng buộc Với định lý cho số lượng số ngun tố khơng bị chặn cần đến số có độ lớn khơng xác định, người Hy Lạp phải đối mặt với viễn cảnh vô tận Aristotle né tránh tính thực tế vơ cực cách xác định vô cực nhỏ nhất, không đưa số tự nhiên mới, đủ gây nhiều khó khăn cho định lý Định nghĩa vô hạn tiềm năng, vô hạn thực tế, vô hiệu làm hài lịng nhà tốn học triết gia hai thiên niên kỷ Vì vậy, số nguyên vơ hạn tiềm ln thêm để có số lớn hơn, tập hợp vô hạn số không tồn Aristotle lập luận hầu hết đại lượng chí khơng thể vơ hạn tiềm năng, cách thêm đại lượng liên tiếp, vượt giới hạn vũ trụ Nhưng vũ trụ vơ hạn tiềm theo nghĩa bị chia nhỏ nhiều lần Thời gian vô hạn tiềm theo hai hướng Phản ánh suy nghĩ người Hy Lạp, Aristotle nói vơ hạn khơng hồn hảo, chưa hồn thành khơng thể tưởng tượng Trong hình học, Aristotle thừa nhận điểm nằm đường điểm không bao hàm đường thẳng tính liên tục khơng thể tạo thành từ rời rạc Nổi tiếng tác phẩm Hy Lạp cổ đại vô hạn nhà triết học Zeno of Elea (495-435 B.C.E.) Zeno người phát ngôn hàng đầu Trường phái triết học Eleatic Ông cảm thấy khoa chương “Mệnh đề Tập hợp” Khái niệm vô cực đưa vào để giới thiệu khoảng (- ; +), (a ; +), [a ; +), (- ; b), (- ; b], không định nghĩa hay mô tả cách tường minh Trong Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11, khái niệm vơ cực đưa vào tiến trình giới hạn không định nghĩa hay mô tả cách tường minh Phân tích tri thức luận lịch sử khái niệm vô cực 3.1 Sự mở đầu ý tưởng về vô cực Những ý tưởng ban đầu vô cực gắn liền với người Hy Lạp cổ đại Ban đầu từ “apeiron” có nghĩa khơng giới hạn, vơ hạn, khơng rõ ràng khơng xác định Đó từ tiêu cực, chí miệt thị Đối với người Hy Lạp, hỗn loạn ban đầu mà giới hình thành “apeiron” Aristotle nghĩ vơ hạn thiếu thốn khơng hồn hảo Đó vắng mặt giới hạn Những người theo trường phái Pythagoras1 không làm việc với khái niệm vô cực Tất thứ giới họ số Thật vậy, họ liên kết thiện, ác với hữu hạn vơ hạn Mặc dù chưa hiểu rõ vào thời điểm đó, phát họ đối tượng vô ước đo được, chẳng hạn √2, đòi hỏi khái niệm rõ ràng hiểu biết vô hạn Những người theo trường phái Pythagoras cảm thấy có số lượng hữu hạn số tự nhiên Aristotle lập luận chống lại điều thực vô hạn, tin vào vô hạn tiềm Trong ông không tin vào vô hạn, ông tin nhóm hữu hạn nào, có nhóm hữu hạn lớn Chỉ có số hữu hạn số tự nhiên viết hình thành Nếu L số lớn hình thành, chuyển sang L + L, 45 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 65 (5/2019) gán cho số nguyên tố” Số phù hợp với niềm tin Aristotle vô hạn tiềm Tương ứng, định nghĩa tác phẩm “Cơ sở” Euclid phản ánh hình ảnh rõ ràng khái niệm Trong I, định nghĩa điểm đường đưa sau: Định nghĩa Một điểm khơng có phần Định nghĩa Một đường thẳng đường kéo dài với điểm Trong “Cơ sở” Euclid, định nghĩa “Một điểm khơng có phần”, gợi ý tưởng tính phân chia vơ hạn khơng gian tình khác, Euclid tránh vơ hạn định nghĩa đường cách nói mở rộng đến mức cần thiết Tiên đề đường song song đòi hỏi đường phải kéo dài vô tận Bằng chứng mối quan hệ diện tích hình trịn đường kính q trình giới hạn đối số hữu hạn thông qua phương pháp vét cạn2 Sau người Hy Lạp, người Ả Rập trở thành người trơng coi di sản Hy Lạp kiến thức tốn học tiên tiến nói chung, đặc biệt đại số Họ làm việc tự với đối tượng vô tỷ không kiểm tra chặt chẽ chất chúng điều phải chờ thêm ngàn năm 3.2 Ý tưởng về vô hạn trở nên rõ ràng Theo sau người Ả Rập, nhà toán học châu Âu nghiên cứu số vơ tỷ, có số nhầm lẫn với tính vơ hạn Thánh Augustine chấp nhận quan điểm Plato Thiên Chúa vơ hạn có suy nghĩ vơ hạn Thánh Thomas Aquinas thừa nhận tính vơ hạn Thiên Chúa phủ nhận ông làm điều không giới hạn học vật lộn với thực tế trừ tính đến cách thức vô hạn dường xuất nơi tự nhiên Ông biết đến với nghịch lý làm thứ di chuyển qua vơ số điểm khoảng thời gian hữu hạn Một nghịch lý ông thảo luận đua Achilles, người chạy theo huyền thoại rùa, rùa khởi hành trước Zeno nói Achilles khơng thể bắt kịp rùa Ơng lý luận vào thời điểm Achilles bắt đầu chạy, rùa trước khoảng cách Vào thời điểm Achilles đạt đến điểm mà rùa Achilles bắt đầu chạy, rùa di chuyển xa Khi Achilles đến điểm này, rùa lại tiếp tục di chuyển Điều tiếp tục mãi, ngăn Achilles không bắt kịp Nghịch lý này, người khác ủng hộ Zeno, đề cập ý tưởng tiếp tục mãi Trường phái triết học Eleatic người biết ước tính diện tích hình trịn cách cắt thành hình tam giác đo diện tích hình tam giác Khi số lượng hình tam giác tăng lên kích thước hình giảm, ước tính trở nên gần với diện tích thực tế Để có diện tích thực tế, người phải tạo vơ số hình tam giác nhỏ vô hạn Họ hỏi làm số lượng vơ hạn khơng thêm vào giống vịng trịn? Euclid, giống Aristotle, không xem xét đến vô hạn thực tế Ơng ghi nhận chứng minh, khoảng 300 B.C.E., có vơ số số ngun tố Tuy nhiên, tuyên bố thực tế ông “số nguyên tố nhiều đại lượng 46 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN Sciences” (1638), ơng thảo luận ý tưởng tốn học đối thoại Salviati - người thơng minh Simplicius người đơn giản Salviati giải thích nhiều khía cạnh vơ cực cho Simplicius “Vơ hạn thứ chia tách vượt qua hiểu biết hữu hạn chúng ta, thứ vĩ đại chúng, sau nhỏ bé chúng Hãy tưởng tượng chúng kết hợp lại với nhau” [7, tr 19] Galilei phân biệt “vô hạn tiềm năng” “vô hạn thực tế” Ông thiết lập tương ứng một-một số tự nhiên bình phương chúng Ơng suy luận phải có nhiều số phương số tự nhiên Ông cố gắng suy luận nghịch lý tập hợp tập hợp Ơng viết, bạn lấy tập hợp số đếm, trừ tập hợp số phương có kích thước với tập số đếm, bạn cịn tập hợp vơ hạn số khơng phương Theo hướng thực tế hơn, Leonardo Pisa gọi Fibonacci, chứng minh phương trình bậc ba giải thuộc bối cảnh số thảo luận Euclid (đó số có dạng, √√𝑎 ± √𝑏, với a b số hữu tỷ) Hơn nữa, nhầm lẫn hiển nhiên việc hiểu chất số vô tỷ mối liên kết với vơ hạn Trong sách “Arithmetica Integra” năm 1544, Michael Stifel (1487-1567) thực quan sát sau số vơ tỷ: có số vơ tỷ chúng hoạt động chứng minh hình hình học; chúng có hình dạng cố gắng đưa biểu diễn thập phân chúng lẫn trốn, chạm tay vào chúng Do đó, số vơ tỷ khơng phải số thực sự, mà nằm ẩn Nicolas Cusa (1401 - 1464), kỷ 15, tin vũ trụ vơ hạn Ơng nói ngơi cách xa mặt trời Vào thời điểm đó, Giáo hội Công giáo cố gắng loại bỏ tất dị giáo không xem trái đất trung tâm vũ trụ Nicolas đưa đến trước Tòa án dị giáo Ơng bị tra chín năm nỗ lực để làm cho ơng nói vũ trụ hữu hạn Ông từ chối, bị thiêu cháy năm 1600 Nhiều nhà toán học Hy Lạp cổ đại tin thực phép cầu phương compa thước, Nicolas nghĩ thực điều ơng tin đường tròn đa giác với số cạnh lớn Ơng so sánh vơ hạn q trình vơ hạn với việc đạt chân lý thiên ân, kiểu nghịch lý nảy sinh tư thời trung cổ Điều hiểu vịng trịn lớn nên có nhiều điểm vòng tròn nhỏ hơn, chúng đặt tương ứng một-một Năm 1600, Galileo Galilei (1564 1642) đề xuất việc đưa vào vô số khoảng trống nhỏ vô hạn Nhưng ông hiểu vấn đề sử dụng lý luận hữu hạn vào thứ vơ hạn Ơng nói, “thật sai lầm nói đại lượng vô hạn số lớn nhỏ số kia" Với nhìn sâu sắc thiên tài, ông tuyên bố vô cực khái niệm không quán, mà tuân theo quy tắc khác Sự hiểu biết người vô hạn nâng cao nhiều tác phẩm Galilei Ông có nhiều điều để nói hơn, nhận thức số phận Nicholas làm ông cẩn thận với nói Trong tiểu luận “On Two New 47 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 65 (5/2019) đám mây vô cực Điều đánh dấu cảm giác bối rối, không chắn nhà toán học chuyên nghiệp, minh họa mối liên hệ với vô Bản chất vô cực không làm rõ năm 1874, với báo Georg Cantor Trong thời gian chuyển tiếp, tính tốn giải tích đời phát triển đầy đủ thành lĩnh vực quan trọng toán học Steven Simon (1548-1620), kỹ sư thương mại, nhà toán học sớm từ bỏ lập luận doule reductio ad absurdum (suy luận phản chứng kép) người Hy Lạp cổ đại tiếp nhận tiến trình giới hạn Đây chấp nhận giới hạn tiến trình vơ hạn khơng địi hỏi mêtric hóa Trong nghiên cứu, Simon chứng minh trung tuyến hình tam giác chia thành hai hình tam giác có diện tích Ơng hồn thành điều lập luận phân chia liên tiếp thành hình chữ nhật ước tính phần thừa Ông nhà toán học/kỹ sư thực tiễn, người muốn thiết lập kết theo cách dễ hiểu truyền bá phương pháp thập phân Phần giới hạn lập luận ông, 2𝑛 phép quy nạp thiết lập rằng: 3.3.5.5.7.7.9 … = 𝜋 2.4.4.6.6.8.8 … Sự mở rộng vô hạn cho , lần đầu tiên, minh họa rõ ràng cho q trình vơ hạn mà không cần biện minh Năm 1655, Wallis đưa biểu tượng  cho vơ cực Ơng chọn biểu tượng đường cong khép kín vạch vô hạn lần Biểu tượng xuất báo “Tract on Conic Sections” (Miền phần Conic) biểu thị đường cong khơng có kết thúc Vài tháng sau, ông sử dụng biểu tượng lần tác phẩm có ảnh hưởng lớn “Arithmetica infinitorum” (Vô hạn số học) [7, tr 20] Giống Wallis, Newton, Leibnitz, Bernoulli, Euler người khác phát minh sau theo đuổi phép tính mới, khơng thực xem xét nghiêm túc cho chứng minh lý thuyết giới hạn vơ hạn Vì thế,  xuất tính tốn coi nghịch lý Giải tích Isaac Newton (1643 – 1727) Leibniz (1646 – 1716) phát triển Giải tích chia thành phép tính vi phân phép tính tích phân chúng đảo ngược Cả hai liên quan đến việc chia số lượng hữu hạn thành vô hạn lần nhiều phần nhỏ vô hạn Leonard Euler (1707-1783) khơng cải thiện tình trạng lý thuyết Ơng theo đuổi giải tích với việc bỏ qua điều mà Newton Leibnitz quan tâm Chẳng hạn, ta xét hai chuỗi Euler nghiên cứu: = − 2𝑥 + 3𝑥 − 4𝑥 + ⋯ (∗) (𝑥 + 1)2 = + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ (∗∗) 1−𝑥 Thay x = – vào (*),  = + + 3+4+… tiến đến n tiến đến , mà ông tự cho hiển nhiên 3.3 Sự xuất của giải tích John Wallis (1616-1703) cho nhà toán học quan trọng Anh kỷ 17 ngoại trừ Newton, giáo sư hình học Savilian3 Oxford (ban đầu nghiên cứu thần học) Trong tác phẩm “Arithmetica Infinitorum” (vơ hạn số học), ơng mở rộng cơng trình Torricelli (1608-1647) Cavalieri (1598-1647) “indivisiles”4 (các đối tượng chia tách được) bước nhảy vọt 48 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Thay x = vào (**), –1 = + + 4+8+… kỳ bên khoảng Daniel Bernoulli (1700-1782) đưa ý tưởng xa cách tuyên bố tất đường cong mới, đường cong xác định biểu thức, biểu diễn chuỗi lượng giác Điều bị từ chối d’Alembert Euler Euler cho hàm số liên tục khơng liên tục Tình trạng chưa giải gần kỷ Jean Baptiste Joseph de Fourier (1768-1830) áp dụng chuỗi lượng giác cho toán nhiệt Chuỗi lượng giác tương tự chuỗi phương trình sóng, địi hỏi tính liên tục điều kiện ban đầu không yêu cầu, dựa sở vật lý dây rung Bài báo năm 1807 bị từ chối không Legendre, Laplace Lagrange, sau cơng trình nghiên cứu tiếp tục ơng khuyến khích Fourier trở lại việc giải thích hệ số chuỗi Fourier diện tích, trái ngược với nguyên hàm Ta xem xét chuỗi hàm sin: Chuỗi thứ hai có số hạng lớn chuỗi thứ Do đó, −1 > ∞ Những loại tính tốn phổ biến giải tích ngày gọi nghịch lý Bằng cách thay 𝑥 = −1 vào (**), Euler lưu ý rằng: =1−1+1−1+⋯ Euler tự cho phép 0/0 có giá trị xác định, mà có ảnh hưởng việc tiến đến “tỷ lệ số khơng”: Khơng có nghi ngờ đại lượng bị giảm đến mức tan biến hồn tồn biến Nhưng đại lượng nhỏ vơ hạn khơng khác đại lượng tan biến đó, [6, tr 429] Sau đó, ơng tiếp tục giải thích làm dy/dx 0/0, có giá trị xác định Trích dẫn từ sách giáo khoa Euler, tổng thể có ảnh hưởng tích cực to lớn việc tổ chức giải tích thành nghiên cứu chặt chẽ biểu thức giải tích 3.4 Các nguồn gốc của vô cực Jean d’Alembert (1717-1783) rút phương trình sóng đại cho dây rung cho thấy chuỗi lượng giác sử dụng để giải Đây khởi đầu đáng lưu ý chuỗi lũy thừa, mà hầu hết nhà toán học hiểu giới hạn tính hợp lệ Mặt khác, chuỗi lượng giác khó phân tích D’Alembert tự giới hạn điều kiện ban đầu hàm tuần hồn, giúp cho việc phân tích dễ dàng Euler sau cho phép điều kiện ban đầu hàm số khơng nhảy đoạn Ơng bảo đảm tính tuần hồn cách mở rộng theo chu ∞ 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛 sin(𝑛𝑥) 𝜋 𝑏𝑛 = 𝑛=1 ∫ 𝑓(𝑠) sin(𝑛𝑠) 𝑑𝑠 𝜋 Fourier cho hàm biểu diễn chuỗi lượng giác Câu hỏi đặt là: Phân loại hàm số mà chuỗi Fourier hội tụ Câu hỏi đơn giản có tác động sâu sắc đến phát triển giải tích theo nghĩa đen buộc phải nghiêm ngặt chủ đề, trước cho ý tưởng tính liên tục, sau định nghĩa tích phân cuối khái niệm tập hợp Điều buộc nhà tốn học đối đầu với vơ cực Đây mối liên hệ 49 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 65 (5/2019) gây tò mò lịch sử tốn học 3.5 Vơ cực Cantor Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) người thực cơng trình nghiên cứu lớn mặt khác vô cực Đến nay, hầu tưởng lĩnh vực xuất phát từ ông [7, tr 22] Cantor học trò Dedekind thừa hưởng từ người vấn đề thành lập lớp hàm số có chuỗi Fourier hội tụ Tiếp nối thầy mình, Cantor bắt đầu nghiên cứu họ hàm số có chuỗi Fourier hội tụ phân loại theo điểm đặc biệt chúng Đó sau ý tưởng hội tụ, Cantor mở rộng số điểm đặc biệt mà hàm số có có chuỗi Fourier hội tụ ngoại trừ điểm Nỗ lực ơng vào năm 1872 tính đến vơ số điểm đặc biệt trả lời cho câu hỏi Riemann Cantor xét tập hợp vơ hạn điểm Ơng định nghĩa tập dẫn xuất S S, tập hợp điểm giới hạn S; định nghĩa tập dẫn xuất S S, gọi tập hợp dẫn xuất thứ hai S, v.v nghĩa 𝑆 (∞)là điểm 𝑆 (𝑛) với n hữu hạn, ta tiếp tục áp dụng phép tốn dẫn xuất nhận tập điểm sau: 𝑆 (0) , 𝑆 (1) , …, 𝑆 (∞), 𝑆 (∞+1) , …, 𝑆 (∞.2) , ∞ …, 𝑆 (∞.4) , … , 𝑆 (∞ ) , …, 𝑆 (∞ ) , … Số  xuất tự nhiên ngữ cảnh Các số +1, +2 xuất Như vậy, nguồn gốc số vô hạn nhằm đạt đến việc giải tốn giải tích Năm 1882, Cantor giới thiệu vô cực mới, phân biệt số với bậc, số đếm với số thứ tự, chẳng hạn một, hai, ba khác với thứ nhất, thứ hai, thứ ba Ơng muốn nói (𝑎1 , 𝑎2 , … ) (𝑏2 , 𝑏3 , … 𝑏1 ) có số hay lực lượng thứ tự chúng khác Bộ thứ có bậc  thứ hai có bậc +1 Đối với tập hữa hạn, có bậc đưa phần tử hốn vị Do đó, số thứ tự số đếm đồng Tuy nhiên, Cantor dành thời gian cho khía cạnh lý thuyết tập hợp nỗ lực mình, từ bỏ số vấn đề toán chuỗi Fourier Đầu tiên ơng dành thời gian để phân biệt tập hợp hữu tỷ tập số thực Năm 1874, ông thiết lập tập hợp số đại số đặt thành tương ứng một-một với số tự nhiên Nhưng tập hợp số thực đặt vào tương ứng Định lý Tập hợp số hữu tỷ tương ứng – với số tự nhiên 𝑚 Chứng minh Đặt 𝑟𝑚,𝑛 = 𝑛 số ∞ = ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑥) + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝑥) 𝑛=1 Cantor chuỗi lượng giác hội tụ số không, ngoại trừ tập điểm có tập dẫn xuất hữu hạn thứ k, với k hữu hạn, 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 = 0, 𝑛 = 1, 2, … Hơn nữa, ông cho thấy tồn tập với n Cantor chắn nhận thức q trình dẫn xuất thực vô hạn Sử dụng ký hiệu 𝑆 (𝑛) tập dẫn (𝑛+1) hữu tỷ biểu diễn dạng tối giản Định nghĩa mối liên hệ 𝑟𝑚,𝑛 → 2𝑚 3𝑛 Điều cho tương ứng số hữu tỷ với tập số tự nhiên, tương ứng với (𝑛) ′ xuất thứ n S, 𝑆 = (𝑆 ) tập (𝑛) dẫn xuất 𝑆 Bằng cách này, định 50 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN số tự nhiên Chứng minh Sắp xếp tất số hữu tỷ bảng đếm số theo mũi tên cho số không nằm tập hợp {𝑎𝑛 }∞ 𝑛=1 , kết chứng minh Chứng minh thứ hai (năm 1874) Ta chứng tỏ với dãy số 𝑣1 , 𝑣2 , … số thực có số khơng nằm dãy khoảng tùy ý số thực (a ; b) Trước hết, đặt a1 b1 số hạng dãy (a ; b) với a1 < b1 Gọi a2 b2 số hạng dãy nằm (a1 ; b1) với a2 < b2, tiếp tục Do a1, a2, … dãy tăng, b1, b2, … dãy giảm Có ba trường hợp Nếu dãy hữu hạn, số nằm bên khoảng chọn sau thỏa yêu cầu Giả sử dãy vô hạn chúng hội tụ giới hạn, a b Nếu chúng nhau, giá trị thỏa yêu cầu Nếu không, giá trị khoảng mở (a ; b) thỏa yêu cầu Tìm kiếm tập đếm được, Cantor xem xét khái niệm tô pô cho tập hợp dẫn xuất Ta nói tập S(a ; b) trù mật S(a ; b) Ta nói S đóng SS=S Ta nói S cách ly S=; S đầy đủ S=S Đáng lưu ý Cantor chứng tỏ tập đầy đủ phải đếm Một tập đầy đủ tiếng gọi tập phần ba trung tâm định nghĩa phần dư khoảng mở (0 ; 1) cách loại bỏ phần ba giữa, tức bỏ (1/3 ; 2/3) Tiếp theo loại bỏ phần ba hai khoảng lại phần ba bốn khoảng cịn lại sau đó, tiếp tục Tập ví dụ tập Lebesgue đo khơng đếm có độ đo khơng Lúc đó, ơng đề cập đến hai kiểu vơ hạn, vơ hạn đếm khơng thể đếm Không thể xác định vô hạn giữa, ông đưa chứng minh Hình Phương pháp đường chéo Cantor Cách đếm đặt số hữu tỷ thành tương ứng với số tự nhiên Lưu ý có số trùng lặp các số hữu tỷ Vì vậy, để kết thúc, cần loại bỏ Ngoài ra, xây dựng bảng với số hữu tỷ theo thứ tự thấp Chứng minh cho số đại số phức tạp chút Chứng minh kết khác, số thực đưa vào tương ứng địi hỏi lập luận thơng minh: phương pháp đường chéo Cantor Lập luận áp dụng thành công cho nhiều kết khác Định lý Tập hợp số thực đưa vào tương ứng – với số tự nhiên Chứng minh thứ (năm 1891) Thu gọn tập số thực khoảng (0 ; 1) Giả sử chúng đếm tập {𝑎𝑛 }∞ 𝑛=1 , viết khai triển thập phân chúng sau: a1 = 0, d1,1d1,2d1,3… a2 = 0, d2,1d2,2d2,3… a3 = 0, d3,1d3,2d3,3… … Trong d chữ số từ đến Ta định nghĩa số: a = 0.d1d2d3… cách chọn d1d1,1, d2d2,2, d3d3,3, … Điều 51 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 65 (5/2019) tập hợp điểm đường thẳng đặt tương ứng một-một với số tự nhiên số thực Chứng minh ông khơng xác, tìm kiếm ơng biết đến ngày gọi giả thuyết liên tục Năm 1938, Kurt Godel chứng minh giả thuyết liên tục bị bác bỏ sở nguyên tắc lý thuyết tập hợp mà chấp nhận ngày Hơn nữa, vào năm 1963, Paul Cohen xác định khơng thể chứng minh nguyên tắc Điều có nghĩa liên tục khơng thể giải Năm 1879, Cantor đề cập đến lực lượng vơ hạn, xác định hai tập hợp có lực lượng chúng đặt vào tương ứng một-một Sử dụng phương pháp đường chéo mình, ơng chứng minh bậc lực lượng vô hạn bậc Năm 1895, Cantor định nghĩa lũy thừa số đếm Sử dụng thuật ngữ 0 để ký hiệu số số tự nhiên, ông định nghĩa 20 cho số số thực Với 1 (và tổng quát  ký hiệu số thứ ) số lớn 0, giả thuyết liên tục viết 20 = 1 3.6 Lý thuyết tập hợp Theo Cantor, tập hợp M “một tập hợp thành toàn bộ, theo định nghĩa, đối tượng phân biệt (gọi phần tử) M theo nhận thức suy nghĩ chúng ta” Chẳng hạn, số {1, 2, …, 10} tạo thành tập hợp Tập hợp số nguyên tố 100 Bậc phần tập hợp không quan trọng Do đó, tập hợp {1, 2, 3} {3, 2, 1} Do đó, hai tập M N chúng có số phần tử Quan điểm nhấn mạnh Gottlob Frege (1848 - 1926), trình phát triển lý thuyết tập hợp, người chấp nhận tập vơ hạn khơng thể đếm Ơng tìm kiếm lý thuyết độc lập với việc đếm Vì vậy, ơng lấy tương ứng một-một làm tảng, không theo thứ tự tốt Nội điều khái niệm số Định nghĩa Một tập hợp M gọi tương đương với tập hợp N, ký hiệu MN, lấy phần tử N tương ứng với phần tử M cách thứ – Định nghĩa Bằng số đếm lực lượng, nói đến đại diện tùy ý M lớp tập hợp tương đương với Số đếm lực lượng tập hợp ký hiệu |𝑀| Tại điểm này, có số đếm sau: 0, 1, 2, … , 0, 1, 2, … Ba số đếm sau gọi số đếm siêu hạng Chúng ta biết làm xây dựng nhiều số đếm cách lấy tập hợp tập đại diện số đếm Định nghĩa Một tập hợp M gọi có số đếm nhỏ tập hợp N, ký hiệu |𝑀| < |𝑁|, M tương đương với tập N, N không tương đương với tập M Trong số số đếm siêu hạn, 0 nhỏ Giả thuyết liên tục khẳng định 20 = 1 Bản số tất hàm khoảng (hoặc tập hợp không đếm được) 1 3.7 Tiên đề chọn Năm 1904, Zermelo lần đưa tiên đề chọn tạp chí Tốn học, sử dụng gần hai mươi năm Thật kỳ lạ, sử dụng nhiều lần trước đây, khơng thức tun bố Nó 52 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN Hy Lạp cổ đại - Đặc trưng tiềm năng/thực tế: vô cực tiềm Aristotle thống trị toán học từ thời cổ đại đến Cantor vô cực thực tế Cantor - Đặc trưng đếm được/không đếm được: gắn liền với tập số vô hạn - Đặc trưng không xác định được: vô cực đại lượng vô lớn - Đặc trưng ký hiệu học: ký hiệu  biểu diễn cho vô cực số cụ thể 3.9 Chướng ngại tri thức ḷn Từ kết phân tích lịch sử hình thành khái niệm vô cực, xác định chướng ngại tri thức luận vô cực là: Chướng ngại trừu tượng hóa: chướng ngại sinh khó khăn mà học sinh phải đương đầu chuyển từ nghiên cứu tập hợp số cụ thể sang nghiên cứu vô cực ký hiệu  Chướng ngại gắn liền ký hiệu học: chướng ngại sinh khó khăn cho học sinh phải thao tác ký hiệu  Chướng ngại gắn liền chất tiềm năng/thực tế: vô cực thực tế gây nhiều khó khăn cho nhà tốn học q khứ, chướng ngại sinh khó khăn mà sinh viên đại học ngày phải đương đầu tiếp cận khái niệm vơ cực 3.10 Giả thuyết nghiên cứu Với hai khó khăn xác định thực nghiệm khảo sát học sinh trình bày mục 1.2: - Tồn quan niệm “vô cực số lớn”, nên áp dụng quy tắc biến đổi với số thực; - Xem ký hiệu  biểu đạt cho đại lượng, triệt tiêu toán trừ hay đơn giản nhân tử khác khơng tốn nhân hay chia, từ kết phân tích tri thức luận phần chứng minh kết khác sử dụng Ví dụ, Cantor sử dụng vào năm 1887 để hiển thị tập hợp vơ hạn có tập có số 0 Nó sử dụng tơpơ học, đại số giải tích Năm 1890, Giuseppe Peano (1858 - 1932) lập luận người ta áp dụng luật chọn thành viên lớp từ lớp số nhiều lớp với số vô hạn lần Sau xuất báo Zermelo, vấn đề chứa đựng lời gièm pha khơng Emile Borel (1871 - 1956) Felix Bernstein (1878 - 1956) Tạp chí Tốn học Những lời gièm pha gửi đến Bulletin de la Société Mathématique de France (Bảng tin Hội Toán học Pháp) năm 1905 Henri Lebesgue (1875 - 1941) Rene Baire (1874 - 1932) Hạt nhân lập luận họ là: luật xác định không rõ phần tử chọn từ tập hợp, khơng có lựa chọn thực thực tập hợp khơng thực hình thành Cụ thể, E Borel gọi iên đề chọn lựa chọn vô luật mà sử dụng hành động đức tin, điều khơng toán học chấp nhận 3.8 Đặc trưng tri thức luận của khái niệm vơ cực Từ phân tích lịch sử hình thành khái niệm vơ cực dựa tài liệu tham khảo [5], [6], [7], rút đặc trưng tri thức luận khái niệm vô cực sau: - Đặc trưng trừu tượng: vô cực khái niệm dùng để mô tả vô hạn, vô tận đối tượng tốn học - Đặc trưng triết học: vơ cực hình thành từ tư tưởng mang tính triết học 53 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 65 (5/2019) mục 3.1 đến 3.8, xây dựng giả thuyết H khó khăn học sinh tiếp cận khái niệm vô cực sau: H1 “Tồn hai khó khăn hầu hết học sinh tiếp cận khái niệm vơ cực khó khăn có nguồn gốc từ chướng ngại tri thức luận: chướng ngại trừu tượng hóa, chướng ngại gắn liền ký hiệu học” Kết luận Khái niệm vô cực đời nhằm giải tốn giải tích liên quan đến tập dẫn xuất tập có vơ số phần tử nghiên cứu Cantor Khái niệm vô cực nảy sinh từ ý tưởng triết học Hy Lạp cổ đại nhận thức giới xung quanh, phải trải qua thời gian dài để định nghĩa thức Wallis vào năm 1655 Vơ cực tiềm thống trị tư tưởng nhà toán học theo quan niệm Aristotle suốt nhiều kỷ vô cực thực tế nhận thấy số nhà khoa học Cantor người khai sinh thức vơ cực thực tế qua nghiên cứu lý thuyết tập hợp Hiểu trình hình thành khái niệm vơ cực tốn học giúp giáo viên hiểu chướng ngại khó khăn mà học sinh phải đương đầu tiếp cận tri thức Để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu H mục 3.10, nghiên cứu tiếp theo, tiến hành thực nghiệm để làm rõ hai khó khăn học sinh tiếp cận khái niệm vơ cực phân tích ngun nhân dẫn đến khó khăn Các kết nghiên cứu trình bày chi tiết viết khác Chú thích: Pythagoras xứ Samos triết gia Hy Lạp sống từ khoảng năm 570 đến năm 490 TCN Ơng có phát triển quan trọng toán học, thiên văn học lý thuyết âm nhạc Pythagoras dành phần lớn đời để nghiên cứu tốn thành lập trường học đặc biệt nơi thành viên tuân theo quy tắc nghiêm ngặt, chẳng hạn không ăn thịt Pythagoras tin thứ giới giải thích số trường học ông làm việc chăm để cố gắng học đủ số để hiểu vũ trụ “Phương pháp vét cạn” toán học kỹ thuật phát minh người Hy Lạp Cổ chứng minh mệnh đề liên quan đến diện tích thể tích hình hình học Mặc dù tiền thân phép tính tích phân, phương pháp vét cạn không sử dụng giới hạn luận chứng đại lượng vơ bé Thay vào đó, quy trình logic chặt chẽ, dựa tiên đề đại lượng cho trước tạo nhỏ đại lượng cho trước khác cách giảm nửa liên tiếp số lần hữu hạn Từ tiên đề chứng minh diện tích hình trịn tỷ lệ với bình phương bán kính Thuật ngữ vét cạn đưa châu Âu sau thời Phục hưng áp dụng cho quy trình nghiêm ngặt Hy Lạp chứng minh đương thời cơng thức diện tích cách vét cạn diện tích hình với xấp xỉ đa giác liên tiếp [6, tr 201] Vị trí Giáo sư Hình học Savilian thành lập Đại học Oxford vào năm 1619 Nó thành lập (cùng lúc với Giáo sư Thiên văn học Savilian) Sir Henry Savile, nhà toán học học giả cổ điển, Warden Merton College, Oxford Provost Eton College, phản ứng với nhà tốn học kỷ 20 mơ tả "tình trạng tồi tệ nghiên cứu toán học Anh" vào thời điểm [6, tr 525] 54 NGUYỄN ÁI QUỐC TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN Trong Hình học, phương pháp khơng thể chia tách được, hay gọi nguyên lý Cavalier, phương pháp tính diện tích thể tích Nguyên lý Cavalier phát biểu sau: “Một bề mặt đặt kề đường thẳng song song Đối với Cavalier, đường thẳng song song đoạn thẳng song song hay cung đường tròn đồng tâm Mỗi đường gọi không chia tách bề mặt để thực phép cầu phương Nếu hai bề mặt bao gồm đường có độ dài, chúng có diện tích Một ngun tắc tương tự tồn cho thể tích phát biểu thể tích hai đối tượng mặt cắt ngang tương ứng trường hợp Hai mặt cắt ngang tương ứng chúng phần giao vật thể với mặt phẳng cách mặt phẳng sở cho trước” [4, tr 118-124] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Brousseau, Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques, Recherches en didactique des mathématiques, 4(2), 165-198, 1983 [2] J W Dauben, Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory, Scientific American, 248 (6), 122-154, 1983 [3] J W Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton, NewYork, Princeton University Press, 1990 [4] H Eves, Two Surprising Theorems on Cavalieri Congruence, The College Mathematics Journal, 22 (2), 118-124, 1991 [5] V J Katz, A History of Mathematices – An Introduction, 3rd Edition, Pearson Education, Inc., 2009 [6] M Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, NewYork, 1972 [7] Whinston, A Finite History of Infinity, Portland State University, 2009 Ngày nhận bài: 10/4/2019 Biên tập xong: 15/5/2019 55 Duyệt đăng: 20/5/2019 ... [5], [6], [7], rút đặc trưng tri thức luận khái niệm vô cực sau: - Đặc trưng trừu tượng: vô cực khái niệm dùng để mô tả vô hạn, vô tận đối tượng tốn học - Đặc trưng tri? ??t học: vơ cực hình thành từ... lượng vô lớn - Đặc trưng ký hiệu học: ký hiệu  biểu diễn cho vô cực số cụ thể 3.9 Chướng ngại tri thức ḷn Từ kết phân tích lịch sử hình thành khái niệm vô cực, xác định chướng ngại tri thức luận. .. học sinh tiếp cận khái niệm vơ cực khó khăn có nguồn gốc từ chướng ngại tri thức luận: chướng ngại trừu tượng hóa, chướng ngại gắn liền ký hiệu học? ?? Kết luận Khái niệm vô cực đời nhằm giải tốn