Chuyển hóa sư phạm khái niệm hàm số liên tục trong chương trình toán bậc THPT ở hoa kỳ và ở việt nam

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010 _ CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN BẬC THPT Ở HOA KỲ VÀ Ở VIỆT NAM TRẦN ANH DŨNG * TĨM TẮT Trên sở phân tích khoa học luận khái niệm hàm số liên tục, báo cáo trình bày nghiên cứu chuyển hóa sư phạm khái niệm chương trình sách giáo khoa Hoa Kỳ Việt Nam Với quan điểm so sánh tri thức hệ thống dạy học khác nhau, báo cáo làm rõ ràng buộc mà Yves Chevallard đưa lý thuyết chuyển hóa sư phạm vài kết luận sư phạm có ý nghĩa thực tiễn việc thiết kế nội dung liên quan đến khái niệm hàm số liên tục sách giáo khoa ABSTRACT Didactic transformation of the concept of continuous functions in the secondary high school Mathematic curricula in the USA and in Vietnam Based on epistemological analyses of the notion of continuous functions, this writing is about the research on the didactic transformations of this notion in the secondary high school mathematic curricula and the textbooks in the USA and in Vietnam To distinguish the differences in knowledge between the two educational systems, this writing not only clarifies the ties in Yves Chevallard’s theory of didactic transformation but also presents some realistic didactic conclusions about designing the contents concerned with the notion of continuous functions in the textbooks Mở đầu Tri thức nhân tố quan trọng hệ thống dạy học theo quan điểm lí thuyết tình Tri thức đích đến chủ thể học tập, đồng thời nội dung mà thầy giáo mong muốn chuyển giao cho học sinh qua việc tạo dựng môi trường để học sinh chiếm lĩnh tri thức Tuy nhiên, từ tri thức khoa học đến tri thức dạy học trình biến đổi phức tạp mà Yves Chevallard (1989) gọi chuyển hóa sư phạm Báo cáo trình bày phân tích chuyển hóa sư phạm đối tượng tri thức chương trình tốn học bậc trung học phổ thơng: khái niệm hàm số liên tục (HSLT) Cụ thể, thực nghiên cứu khái niệm qua phân tích sách giáo khoa toán nâng cao bậc THPT Texas (Hoa Kỳ) sách giáo khoa * ThS, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 52 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trần Anh Dũng _ tốn Việt Nam thuộc chương trình chỉnh lí hợp chương trình tốn nâng cao hành - Các thuật ngữ làm sở cho phân tích Y Chevallard phân biệt ba kiểu khái niệm khác nhau: + Khái niệm “tiền tốn học” (protomathématique): khái niệm khơng có tên, khơng có định nghĩa, chúng diện ngầm ẩn công cụ giải vấn đề; + Khái niệm “cận toán học” (paramathématique): khái niệm có tên chưa có định nghĩa, chúng cơng cụ tốn học đối tượng nghiên cứu; + Khái niệm “tốn học” (mathématique): có tên, có định nghĩa, chúng vừa đối tượng, vừa công cụ hoạt động toán học R Douady (1986) phân biệt ba chế hoạt động khác khái niệm toán học: + Cơ chế công cụ ngầm ẩn: khái niệm sử dụng ngầm ẩn chủ thể chủ thể khơng thể trình bày hay giải thích việc sử dụng này; + Cơ chế công cụ tường minh: khái niệm vận dụng chủ thể chủ thể trình bày, giải thích việc sử dụng chúng; + Cơ chế đối tượng: đối tượng nghiên cứu toán học.[5] Tiếp cận tổng thể, tiếp cận địa phương khái niệm: Tiếp cận tổng thể khái niệm (hay khái niệm có đặc trưng tổng thể) đối tượng gắn liền với khái niệm xét phương diện tồn thể khơng phương diện địa phương, rời rạc Chẳng hạn: đường cong, quỹ đạo, hàm số xét tồn thể khoảng, tập liên thơng Nếu xét thời điểm trình hay số điểm rời rạc tập hợp số, ta nói khái niệm tiếp cận địa phương (hay có đặc trưng địa phương) Chẳng hạn: khái niệm đạo hàm, liên tục hàm số điểm Tiếp cận trực giác hình học, tiếp cận số khái niệm: Một khái niệm tiếp cận trực giác hình học (hay có đặc tính hình học) xem xét, mơ tả phương diện trực giác hình học Một khái niệm tiếp cận số (được số hóa, hay có đặc tính số) xem xét, mơ tả ngơn ngữ tốn học Tổng hợp kết phân tích khoa học luận khái niệm hàm số liên tục Theo nghiên cứu Habiba El Bouazzaoui (1988), lịch sử hình thành phát triển khái niệm HSLT phân thành giai đoạn sau đây.[9]  Giai đoạn 1: Từ Hy Lạp cổ đại đến đầu kỷ XVII Cho đến đầu kỷ XVII, khái niệm hàm số cịn ngầm ẩn Nó thể 53 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 21 năm 2010 _ qua biểu diễn hình vẽ nhiều lúc qua phát biểu lời Khái niệm HSLT xuất ngầm ẩn qua khái niệm liên tục – khái niệm diện dựa trực giác định lượng biến thiên cách liên tục theo thời gian đường đi, quĩ đạo Cụ thể hơn, giai đoạn có quan niệm nguyên thủy (QNNT) liên tục: Khái niệm liên tục có chế tiền tốn học, có tính tổng thể ngầm ẩn Nó chưa có tên, chưa định nghĩa xuất công cụ ngầm ẩn cho phép giải vấn đề tính diện tích, thể tích phạm vi hình học Trong phạm vi vật lí, tác động ngầm ẩn qua việc biểu diễn tương quan vận tốc, thời gian qng đường Nó ln gắn liền với đối tượng vật lí đường đi, quĩ đạo  Giai đoạn 2: Thế kỷ XVII, XVIII Giai đoạn bắt đầu với quan niệm hình học Descartes (QHD), trội hết quan niệm hàm số liên tục Euler (QHE) kỉ XVIII Trong QHD, khái niệm HSLT có chế cận toán học, tiếp cận tổng thể dựa trực giác, sử dụng công cụ ngầm ẩn Trong đó, theo QHE hàm số liên tục có tính tổng thể, có đặc tính hình học đặc tính số học Quan niệm cho thấy tiến triển rõ ràng so với quan niệm hình học Descartes nhà tốn học thời với Newton Tuy nhiên, thời kì trước khái niệm liên tục diện với chế cận toán học  Giai đoạn 3: Từ kỷ XIX đến Trong nửa đầu kỷ XIX, Bolzano Cauchy số hóa khái niệm HSLT: tính liên tục hàm số xem tính chất địa phương, khác quan niệm Euler (tính liên tục gắn với đặc trưng tổng thể) Trong quan niệm số hóa Cauchy (QSC), khái niệm hàm số liên tục lấy chế toán học, trong quan niệm Euler có chế cận tốn học Đó bước tiến quan trọng khái niệm hàm số liên tục lịch sử tiến hóa Trong nửa cuối kỷ XIX, với Weierstrass Darboux, định nghĩa tính liên tục hàm số thoát khỏi trực giác chuyển động ngầm ẩn định nghĩa Cauchy Weierstrass Darboux loại bỏ việc sử dụng khái niệm vô bé định nghĩa tính liên tục Bước tiến hóa chuyển định nghĩa tính liên tục thành định nghĩa hình thức Trong quan niệm số hóa Weirstrass (QSW), khái niệm HSLT có đặc trưng địa phương, số học, có chế tốn học áp dụng hàm Trong giai đoạn này, xuất quan niệm HSLT Baire (QSB) dựa phân loại hàm số với biến số thực Từ đầu kỷ XX, tôpô học xuất với tư cách lĩnh vực tốn học 54 Trần Anh Dũng Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ chuyên tìm hiểu nghiên cứu quan hệ liên tục phạm vi toán học Khái niệm liên tục thể tính chất khơng gian thời gian Do đó, có ý nghĩa nịng cốt cho việc nhận thức Tơpơ học có mặt lĩnh vực tốn học Quan niệm tơpơ (QT) HSLT quan niệm tiến hóa cao Bảng tóm tắt tiến triển đặc trưng khái niệm liên tục HSLT Giai đoạn Hy Lạp cổ đại đến đầu Thế kỷ XVII XVIII QNNT QHD QHE Descartes Các nhà toán học Hy Newton Euler Lạp cổ đại Leibniz Từ kỷ XIX đến kỷ XVII Quan niệm Đại diện Tổng thể hay địa phương Công cụ Phạm vi tác động Tổng thể QSW QSB QT Cauchy Weierstrass Baire Hausdorff Địa phương Tổng thể Ngầm ẩn Hình học Đối tượng gắn liền khái niệm HSLT Đại lượng Cơ chế khái niệm HSLT Tiền toán học QSC Quỹ đạo Tường minh Hình học Số học Đường cong, hàm số với biến số thực Cận tốn học Giải tích Hàm số biến số thực Hàm số tùy ý Tơpơ Hàm khơng gian tơpơ Tốn học Khái niệm hàm số liên tục sách giáo khoa Mỹ Chương trình bậc THPT Mỹ quan quản lí giáo dục bang qui định phần khung Ở bang, giáo viên tùy chọn sách giáo khoa thích hợp để giảng dạy Chúng tơi trình bày khảo sát thực sách giáo khoa chương trình tự chọn nâng cao Texas Đó sách giáo khoa Pre-calculus (SGK-P) tác giả Michael Sullivan Michael Sullivan III (Nxb Pearson Prentice Hall, 2008) 4.1 Nội dung SGK-P SGK-P bố cục thành 13 chương chương ôn tập sau [10] Chương 1: Đồ thị Chương 8: Tọa độ cực; vectơ Chương 2: Hàm số đồ thị hàm số Chương 3: Đa thức hàm số hữu tỷ Chương 9: Hình học giải tích Chương 10: Hệ phương trình bất phương trình 55 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Chương 4: Hàm số mũ hàm số lôgarit Chương 5: Hàm số lượng giác Chương 6: Lượng giác học giải tích Chương 7: Ứng dụng hàm số lượng giác Chương 11: Dãy số; quy nạp toán học; định lý nhị thức Chương 12: Phép đếm xác suất Chương 13: Nhập mơn giải tích: giới hạn, đạo hàm nguyên hàm hàm số Chương ơn tập 4.2 Tiến trình xuất khái niệm hàm số liên tục SGK-P Khái niệm HSLT khái niệm gián đoạn xuất thời điểm với đặc trưng, chế phạm vi tác động sau: Thời điểm Khái niệm Chương Hàm số liên tục Hàm số gián đoạn Chương Đặc trưng & Cơ chế Tổng thể Tiền toán học Tổng thể - địa phương Cận toán học Hàm số liên tục, gián đoạn, liên tục mảnh Tổng thể Cận toán học Chương Hàm số liên tục gián đoạn Chương 13 Hàm số liên tục gián đoạn Tổng thể Cận toán học Tổng thể - địa phương, hình học số hóa Tốn học Cơng cụ Phạm vi tác động Công cụ ngầm ẩn Đồ thị hàm số Công cụ ngầm ẩn Đồ thị hàm số cho công thức Công cụ ngầm ẩn Đồ thị hàm số cho nhiều công thức Công cụ ngầm ẩn Đồ thị hàm số, định lý giá trị trung gian Công cụ tường minh Đồ thị hàm số Giải thích: Giai đoạn cơng cụ ngầm ẩn: Khái niệm HSLT xuất chương chế công cụ ngầm ẩn – sở cho việc vẽ đồ thị hàm số cách nối điểm rời rạc thành đường liền nét Nó chưa có tên gọi chưa đối tượng nghiên cứu tốn học Nó có đặc trưng tổng thể gắn liền với đồ thị hàm số miền xác định Sau số minh chứng trích dẫn từ SGK-P (các phần in nghiêng) [10] Chương 1, trang 12, ví dụ 3: Cách vẽ đồ thị hàm số tay với điểm đánh dấu Vẽ đồ thị hàm số: y = x2 56 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Trần Anh Dũng _ Lời giải: Bảng cho số điểm đồ thị Trong hình 17, đánh dấu điểm nối chúng đường cong trơn để đồ thị hàm số (một parabol) Trong phần tập trang 22, khái niệm HSLT không xuất ngầm ẩn với hàm số bậc hai mà với nhiều đường cong khác: Trong tập 27-34, đồ thị hàm số cho sẵn (a) Tìm giao điểm đồ thị với trục (b) Xác định tính đối xứng đồ thị qua trục hồnh, trục tung hay gốc tọa độ [trang 22, SGK-P] Khái niệm gián đoạn xuất dạng công cụ ngầm ẩn Tuy nhiên, ta thấy xuất tên gọi “sự gián đoạn”, nghĩa diện với chế cận tốn học: Chúng ta có đồ thị hàm f(x) = int(x) cách đánh dấu số điểm Xem bảng giá trị Với giá trị x, -1x