Vai trò của phân tích khoa học luận lịch sử toán học trong nghiên cứu và thực hành dạy học môn toán

Thừa nhận quan điểmcủa Dorrier J-L., chúng tôi định nghĩa: Phân tích khoa học luận một tri thức là nghiên cứu lịch sử hình thành tri đó nhằm vạch rõ: - nghĩa của tri thức, những bài toán

THỰC HÀNHDẠY - HỌC MÔN TOÁN

Chủ nhiệm đề tài : TS Lê Thị Hoài Châu

Thời gian thực hiện : Từ tháng 5 - 2001 đến tháng 3 - 2003

Ngày viết báo cáo : 10 - 3 - 2003

TP.Hồ Chí Minh 2003

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

KHOA TOÁN – TIN

Cơ quan chủ trì: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

280 An Dương Vương, Quận 5, TPHCM Chủ nhiệm đề tài: TS.LÊ THỊ HOẠI CHÂU

Cán bộ giảng dạy khoa Toán-Tin, ĐHSP TP HCM Cùng tham gia nghiên cứu: TS LÊ VĂN TIẾN

Cán bộ giảng dạy khoa Toán – Tin, ĐHSP TP.HCM

MỤC LỤC

PHẦN I: 1

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 1

CHƯƠNG 1: 1

KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ 1

I Về thuật ngữ Khoa học luận 1

II Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa học 3

CHƯƠNG 2: LỢI ÍCH SƯ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN 5

A Những giả thuyết về học tập 5

B Lợi ích sư phạm của Phân tích khoa học luận 6

I Khoa học luận – đối tượng tri thức – đối tượng dạy học 6

II Khoa học luận và lý thuyết tình huống 8

III Khoa học luận và chướng ngại 10

IV Khoa học luận và quan niệm 13

V Kết luận 19

CHƯƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƯ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN 20

A Trường hợp khái niệm vectơ hình học 20

I Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành lý thuyết vectơ 20

II Những trở ngại cho sự xuất hiện khái niệm vectơ và sự phát triển của tính toán vectơ 31

III Lợi ích sư phạm của phân tích khoa học luận 33

B TRƯỜNG HỢP PHÉP BIẾN HÌNH 38

I Những điểm chủ yếu rút ra từ phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển lý thuyết các phép biến hình 38

II Lợi ích sư phạm 42

II.2 Điểm hóa các hình hình học - một chướng ngại khoa học luận Vai trò của hình học giải tích 43

C Trường hợp số phức 48

I Giai đoạn 1: Cách viết trung gian – mầm mống đầu tiên của số phức 48

II Giai đoạn 2: ký hiệu hình thức các đại lượng ảo 53

III Giai đoạn 3: Biểu diễn hình học các đại lượng 56

IV Giai đoạn 4: Đại số các số phức 61

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

PHẦN PHỤ LỤC 2

4 Kinh phí đã chi 2

PHẦN I:

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

CHƯƠNG 1: KHOA HỌC LUẬN VÀ PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

LỊCH SỬ

I Về thuật ngữ Khoa học luận

I.1 Nguồn gốc

Thuật ngữ Khoa học luận chỉ mới xuất hiện ở thế kỷ 19, được cấu tạo từ hai gốc Hy

lạp épistèmè (khoa học) và logo (nghiên cứu về) Trong Vocabulaire technique et critique de

la Phylosophie của Lalande (đầu thế kỷ 20), ta tìm thấy định nghĩa sau đây: "Từ này chỉ triết học của các khoa học nhưng với nghĩa rõ hơn một chút Nó không phải là một nghiên cứu về các phương pháp khoa học - đó là đối tượng của Phương pháp luận và là một phần của Logic học Nó cũng không phải là một sự tổng hợp hay tiên đoán các luật khoa học Về cơ bản, khoa học luận là một nghiên cứu mang tính phê phán những nguyên lý, những giả thuyết và những kết quả của các khoa học khác nhau, nhằm xác định nguồn gốc logic (chứ không phải

là nguồn gốc tâm lý), giá trị và ảnh hưởng khách quan của chúng."

Như thế, Khoa học luận xuất hiện như là một bộ phận của Triết học các khoa học Vậy thì Khoa học luận và Triết học các khoa học được phân biệt với nhau ở chỗ nào? Như J -

L Dorrier (1996) đã chỉ ra, Triết học của các khoa học hướng đến việc vạch rõ đặc trưng của những đối tượng gắn liền với tri thức khoa học và xác định tính hợp thức của tri thức Nói cách khác, hai mục đích dường như không thể tách biệt của Triết học các khoa học là:

- nghiên cứu những đặc trưng của tri thức (nhà bác học nói về cái gì, và nói như thế nào về cái đó?)

- nghiên cứu tính thực tiễn khoa học của một đối tượng tri thức (chân lý khoa học là gì? có chân lý khoa học với điều kiện nào có thể nói về chân lý khoa học trong những giới hạn nào?)

Theo nghĩa hẹp thì Khoa học luận được giới hạn ở mục đích đầu tiên, nghĩa là nó nghiên cứu những điều kiện cho phép sản sinh ra các kiến thức khoa học, quá trình hình thành và phát triển của các kiến thức đó

I.2 Các trào lưu khác nhau

Cùng với thời gian, nghĩa của thuật ngữ Khoa học luận đã tiến triển, được mở rộng và

trở nên đa dạng hơn nhiều Drouin (1991) đã phân biệt bốn trào lưu khoa học luận khác nhau, trong đó, do mục đích nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hai trào

lưu:

• Khoa học luận lịch sử: nghiên cứu quá khứ để khám phá ra quá trình hình thành nên một tri thức (những vấn đề gắn liền với nó, những trở ngại, những bước nhảy quan niệm cho

phép tri thức nảy sinh, v.v )

• Khoa học luận phát sinh: nghiên cứu các đặc trưng của tri thức khoa học và thử tìm lại những đặc trưng đó trong sự phát sinh tri thức ở trẻ em thông qua quan sát Như thế, khoa học luận phát sinh quan tâm đến sự phát triển kiến thức ở cá thể, nghiên cứu quá trình xây dựng những kiến thức "chấp nhận được" và bước chuyển từ tình trạng tháp đến tình trạng kiến thức tăng vọt Cách tiếp cận này (của Piaget) đã tách khoa học luận ra khỏi triết học, tạo nên một khoa học nhân văn và thực nghiệm

Giữa khoa học luận lịch sử và khoa học luận phát sinh có một quan điểm chung: sự phát sinh tri thức là một quá trình gồm nhiều giai đoạn

I.3 Khoa học luận trong didactic toán

Những gì đã trình bày ở trên cho ta thấy thuật ngữ khoa học luận đã được sử dụng với nhiều nghĩa khác nhau Vậy thuật ngữ này được hiểu như thế nào trong các nghiên cứu về

hoạt động dạy và học toán?

Trả lời cho câu hỏi này, J-L Dorrier nói: trong didactic1 ta quan tâm đến Khoa học

luận theo nghĩa nó nghiên cứu những điều kiện sản sinh ra các tri thức khoa học, giúp ta hiểu

rõ hơn mối liên hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà bác học với việc dạy

và học tri thức này (J-L Doưier, 1996, tr 21)

Như vậy, khoa học luận nghiên cứu những điều kiện cho phép nảy sinh tri thức khoa

học, quan tâm đến sự tiến triển của các tri thức hay kiến thức Ở đây thuật ngữ tiến triển

được hiểu theo nghĩa rộng: nó có thể liên quan đến sự biến đổi tình trạng kiến thức của một

hệ thống, một thể chế hay một cá thể Hơn thế, nó chú ý không chỉ đến những tư tưởng tiến

bộ mà còn đến cả những trì trệ, những bước lùi Các thuật ngữ tri thức và kiến thức thì được

hiểu theo nghĩa chủng loại: một kiến thức gắn liền với một cá thể, thể hiện qua những hoạt động trong một lớp tình huống xác định, và chỉ có thể trở thành tri thức sau khi đã được phi

cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa Cách hiểu này nhấn mạnh tính chất động cũng như chế độ nhiều thể chế của kiến thức và tri thức, hơn thế nữa, nó có thể thích hợp ở tất cả những nơi

mà kiến thức hay tri thức đang trên đường xây dựng, tiến triển hoặc biến đổi

Thừa nhận quan điểmcủa Dorrier J-L., chúng tôi định nghĩa: Phân tích khoa học luận một tri thức là nghiên cứu lịch sử hình thành tri đó nhằm vạch rõ:

- nghĩa của tri thức, những bài toán, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết;

- những trở ngại cho sự hình thành tri thức ;

1

"Didactic" là cách viết phiên âm của didactícs trong tiếng anh và didactique trong tiếng pháp Tùy theo ngữ cảnh, thuật ngữ này có thể được hiểu theo những nghĩa khác nhau Trong câu trên, nó có thể được dịch sang tiếng Việt là lý luận dạy-học Didactic toán có nghĩa là lý luận dạy-học môn toán

- những bước nhảy trong quan niệm, những điều kiện sản sinh ra tri thức;

- những quan niệm cóthể gắn liền với tri thức

- Phân tích khoa học luận sẽ giúp ta hiểu rõ mối liên hệ giữa quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng khoa học với việc dạy và học tri thức này

II Khoa học luận, lịch sử và phân tích khoa học luận lịch sử của một khoa học

Cách hiểu trên về thuật ngữ khoa học luận khá gần gũi với trào lưu khoa học luận lịch

sử Nó dẫn đến chỗ thừa nhận mối liên hệ khăng khít giữa khoa học luận với lịch sử các khoa học

Thoạt nhìn, có thể cho rằng Lịch sử các khoa học chỉ giới hạn ở việc liệt kê các sự kiện khoa học, cùng lắm là vạch ra những triển vọng thông qua tư tưởng tổng quát ở từng thời đại Nhưng cách nhìn này quá hạn hẹp, như G Canghuilhem đã nhấn mạnh: "Lịch sử của một khoa học không phải là bộ sưu tập đơn giản các tiểu sử, lại càng không phải là bảng niên đại được tô điểm bởi những giai thoại Nó phải là lịch sử của sự hình thành, sự biến dạng, sự chỉnh lý các khái niệm khoa học" Nghiên cứu lịch sử một khoa học không đơn giản chỉ là

mô tả các sự kiện, mà còn phải xem xét tính gắn bó nội tại chặt chẽ thể hiện qua những khái niệm, những vấn đề đưa lại nghĩa cho khoa học đó

Theo quan niệm này thì Lịch sử một khoa học không thể tách rời khỏi những câu hỏi

có tính khoa học luận Như thế, nghiên cứu lịch sử của một khoa học có mối liên hệ chặt chẽ với phân tích khoa học luận về khoa học đó Thậm chí, theo J-L Dorier (1997), nghiên cứu lịch sử và nghiên cứu khoa học luận không thể tách rời nhau, chúng chỉ có thể thiên về phía lịch sử hay về phía khoa học luận nhiều hơn mà thôi

Tuy nhiên, Khoa học luận và Lịch sử các khoa học không đồng nhất với nhau Bachelard phân biệt hai đối tượng này qua những ý kiến sau:

• "Nhà lịch sử xem các tư tưởng như là những sự kiện Nhà khoa học luận thì lại nắm lấy các sự kiện như là những tư tưởng bằng cách lồng chúng vào trong một hệ thống tư duy."

• "Lo lắng về tính khách quan, nhà lịch sử ghi vào danh mục mọi tư liệu, không đi đến chỗ đo được những biến đổi nhận thức trong sự giải thích cho cùng một bản văn Thực ra thì ở cùng một thời đại, dưới cùng một từ, có thể có những khái niệm khác nhau biết bao nhiêu Cái làm cho ta có thể nhầm lẫn chính là ở chỗ một từ được dùng đồng thời vừa để chỉ định vừa để giải thích Tên gọi là một, nhưng cách giải thích thì lại khác nhau [ ] Nhà khoa học luận phải cố gắng nắm bắt khái niệm khoa học trong quá trình tiến triển, bằng cách thiết lập các bậc thang quan niệm về mỗi khái niệm, chỉ rõ nó được hình thành như thế nào và có liên hệ ra sao với những khái niệm khác."

Để minh họa ý kiến này, chúng tôi lấy thuật ngữ "phép biến hình" làm ví dụ Như sẽ phân tích rõ ở chương 3, trong một nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm

"phép biến hình", thuật ngữ này được lấy những nghĩa khác nhau ở những giai đoạn khác nhau Chẳng hạn, vào cuối thế kỷ 16, phép biến hình chưa được định nghĩa, chỉ được mô tả

qua kết quả tác động của nó lên một đối tượng hình học Ở giai đoạn này người ta xem xét các hình hình học trong tổng thể về hình dạng, kích thước, không nhìn nó như một tập hợp

điểm, và phép biến hình được hiểu là một phép là biến đổi hình -, được sử dụng như một công

cụ ngầm ẩn để chuyển các tính chất hình học từ hình này sang hình kia, mà người ta cũng chỉ dùng nó trong nghiên cứu về các đường conic Cách hiểu này cho phép chuyển một số tính chất hình học của đường tròn vào các đường cônic ảnh, có nghĩa là từ tính chất của đường tròn mà suy ra tính chất của đường cônic, không cần một phép chứng minh mới Đến thế kỷ

18, mặc dầu được sử dụng ở một góc độ khác, khái niệm phép biến hình vẫn chưa được định

nghĩa Người ta đưa vào từ “phép biến đổi hình” như một thuật ngữ được mô tả chứ

không phải như một đối tượng của toán học Sang thế kỷ 19, phép biến hình mới được hiểu

theo nghĩa ánh xạ trong không gian vào chính nó, và ở đây không gian được xem xét với

tư cách là một tập hợp điểm

• Để phân biệt phân tích khoa học luận với nghiên cứu lịch sử một khoa học, Bachelard còn nói đến những chướng ngại: "Một sự kiện được hiểu không đúng ở một thời đại chỉ là một sự kiện đối với nhà lịch sử, nhưng lại có thể là một chướng ngại hay một ý tưởng đối lập theo cách nhìn của nhà khoa học luận Khi một tư tưởng khoa học xuất hiện như là khó khăn đã được khắc phục thì cũng có nghĩa là một chướng ngại đã được vượt qua"

(Bachelard, 1938, tr 17-18)

Phân tích khoa học luận lịch sử là một phân tích quá khứ để khám phá những mò mẫm, những lệch lạc, những hướng đi sai lầm, những chướng ngại khác nhau, những điều kiện có thể làm xuất hiện các khái niệm khoa học mới Trong phân tích khoa học luận lịch

sử, điều kiện cho sự nảy sinh một phát minh cũng quan trọng không kém bản thân phát minh

đó Theo nghĩa này thì cần phải đặt nghiên cứu của nhà toán học vào bối cảnh thời đại ông ta sống (bối cảnh khoa học là hiển nhiên, có khi còn phải tính đến bối cảnh kinh tế, xã hội, chính trị, hay văn hóa, thậm chí hoàn cảnh cá nhân của tác giả) Phân tích khoa học luận lịch

sử sẽ tạo ra một cơ sở dữ liệu cho phép ta hiểu đầy đủ hơn sự tiến triển của khái niệm, những điều kiện để khái niệm này hình thành, phát triển, và cũng cả những điều kiện đem đến khả năng hay, ngược lại, cản trở sự tiến lên

CHƯƠNG 2: LỢI ÍCH SƯ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

Sự cần thiết hay không của phân tích khoa học luận một tri thức đối với việc dạy - học tri thức đó là do quan niệm về hoạt động học quy định Vì thế, trước khi bàn về lợi ích sư phạm của phân tích khoa học luận, chúng tôi cần nói rõ quan niệm được thừa nhận ở đây về hoạt động này

A Những giả thuyết về học tập

Ngành tâm lý học dựa trên năng lực nhận thức thừa nhận quan điểm cho rằng học là làm thay đổi kiến thức Quan điểm này hướng đến việc nghiên cứu bản chất những kiến thức được thay đổi ở con người

Bộ não con người, giống như một hệ thống xứ lí thông tin, có khả năng thực hiện một

số thao tác nào đó: khả năng phân biệt, nhận dạng, tích lũy thông tin, có khả năng thu hồi thông tin, đặt chúng trong mối liên hệ với nhau, thực hiện những thao tác trí tuệ, Việc vận dụng các thao tác này sẽ khác nhau tùy theo nhiệm vụ cần thực hiện: học, lí giải, đánh giá, giải quyết một vấn đề, Mục tiêu của việc học càng đa dạng bao nhiêu thì hình thức học tập càng phong phú bấy nhiêu

Theo trường phái Piaget, chủ thể học qua hành động: sự tiếp thu kiến thức có được do chủ thể hành động và hành động đó là nguồn thông tin mới Sự kiến tạo tri thức qua hoạt động xảy ra theo kiểu thích nghi với tình huống Nếu vốn kiến thức của chủ thể đủ cho chủ thể giải quyết nhiệm vụ đặt ra trong tình huống, ta nói có một sự cân bằng giữa kiến thức của chủ thể và tình huống Trong trường hợp vốn kiến thức không cho phép chủ thể giải quyết nhiệm vụ, ta nói giữa chủ thể và tình huống có một sự mất cân bằng Để giải quyết nhiệm vụ được đặt ra, chủ thể phải xây dựng những công cụ mới Khi vấn đề được giải quyết, ta nói chủ thể đã lập lại được sự cân bằng mới Học tập là một quá trình thiết lập những sự cân bằng mới như vậy

Kế thừa quan điểm của trường phái Piaget, người ta thừa nhận những giả thuyết sau

về học tập:

• Giả thuyết tâm lí: Chủ thể học bằng cách tự thích nghi với một môi trường - môi

trường này gây ra những mâu thuẫn, khó khăn và sự mất cân bằng giữa vốn kiến thức của chủ thể với nhiệm vụ phải giả quyết

Theo giả thuyết này:

- học là một quá trình năng động trong đó người học đóng vai trò chủ động

- kiến thức được xây dựng do tương tác giữa chủ thể người học với môi trường vật lý

và xã hội của chủ thể đó

Giả thiết nhận thức: Một môi trường không có chủ ý sư phạm (tức là không được cố

ý tổ chức để dạy một tri thức) không đủ để tạo ra cho chủ thể mọi kiến thức mà xã hội muốn chủ thể đó lĩnh hội được Thầy giáo phải làm phát sinh ở học sinh những sự thích nghi mong muốn bằng cách tổ chức xác đáng cái mà ta gọi là "môi trường"

"Môi trường" có một vai trò trung tâm trong việc học, nó là nguyên nhân của những

sự thích nghi Một tình trạng kiến thức sẽ được đặc trưng bởi một trạng thái cân bằng của hệ thống học sinh - môi trường Học tập là sự xây dựng những tình trạng cân bằng mới

B Lợi ích sư phạm của Phân tích khoa học luận

Chúng ta sẽ chỉ ra vai trò của nghiên cứu khoa học luận lịch sử đối với hoạt động học toán thông qua việc phân tích những lợi ích mà nó mang lại

dạy-I Khoa học luận – đối tượng tri thức – đối tượng dạy học

I.1 Đối tượng tri thức

Sự ra đời của một "tri thức bác học" là kết quả của một hoạt động khoa học Hoạt động này gắn liền với lịch sử cá nhân nhà nghiên cứu Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề Để giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những phương pháp, những kiến thức Một số trong những kiến thức này được nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay, có thể thông báo cho cộng đồng khoa học Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức này một dạng khái quát nhất có thể được, theo quy tắc suy lý logic đang lưu hành trong cộng đồng khoa học Trong quá trình soạn thảo tri thức:

«- nhà nghiên cứu xóa đi thời kỳ khai thủy của nghiên cứu: những suy nghĩ vô ích, những sai lầm, những đường vòng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt Nhà nghiên cứu cũng bỏ đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tư tưởng của khoa học theo nhận thức của mình Chúng tôi dùng từ phi cá nhân hóa để chỉ tập hợp những sự gạt

bỏ này

- nhà nghiên cứu cũng xóa đi lịch sử trước đó đã dẫn mình đến nghiên cứu này (những mò mẫm, những con đường sai lầm), có khi còn tách nó ra khỏi bài toán đặc biệt mà lúc đầu mình muốn nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát nhất sao cho trong đó kết quả vẫn đúng Chúng tôi gọi việc làm này là phi ngữ cảnh hóa

- Nhà nghiên cứu cấu trúc và sắp xếp lại những kiến thức mình tìm thấy, lồng nó vào trong một hệ thống kiến thức gần gũi, đặt lại nó vào một cách tiếp cận mới Chúng tôi dùng

từ phi thời gian hóa để chỉ hoạt động này." (Arsac, 1989)

Hoạt động phi cá nhân hóa, phi ngữ cảnh hóa và phi thời gian hóa có hệ quả tích cực

ở chỗ nó làm cho tri thức trở thành tri thức chung, có thể sử dụng và kiểm tra bởi bất cứ ai, ít nhất là cũng bởi các thành viên của cộng đồng khoa học Nhưng nó cũng có hệ quả tiêu cực

là làm biến mất đi một phần hay toàn bộ bối cảnh của phát mình, che dấu đi những câu hỏi

ban đầu mà tri thức này là một câu trả lời, làm cho phát minh trở thành bí ẩn và bị tước mất nghĩa

I.2 Đối tượng dạy học

Trong những tri thức toán học được tích lũy qua lịch sử, các nhà lập chương trình chọn ra một số vấn đề làm đối tượng dạy học Nhiều yếu tố ảnh hưởng đến sự lựa chọn này (kiểu xã hội, kiểu tổ chức hành chính, tình trạng của hệ thống giáo dục, trình độ phát triển công nghệ, việc đào tạo giáo viên, v.v .) Để trở thành có thể dạy được cho một bộ phận công chúng nào đó, tri thức lại tiếp tục bị biến đổi

Cụ thể là sau khi đối tượng dạy học đã được chỉ ra, các nhà lập chương trình phải quay trở về với hệ thống giáo dục, tổ chức chúng lại theo một trình tự nối khớp hợp logic, đảm bảo tính gắn kết giữa các thành phần

Theo chương trình quy định, các nhà viết sách giáo khoa tìm cách trình bày lại những tri thức được chọn Việc phải chia cắt tri thức thành từng « lát» để có thể tuần tự dạy được cho một bộ phận công chúng xác định, và việc chiếm lĩnh tri thức này phải được đánh giá qua một số khả năng nào đó - đã được thu hẹp cho phù hợp với đối tượng dạy-học, là những ràng buộc đè nặng lên hoạt động soạn thảo sách giáo khoa Để cho các tri thức lập thành một tập hợp gắn kết và người học có thể lĩnh hội được, nhiều khi tác giả phải viết lại các định nghĩa, các tính chất, biến đổi các phép chứng minh, tạo ra một sự nối khớp khác Tác giả cũng có thể bị dẫn đến chỗ sáng tạo ra một số đối tượng mới Hệ quả kéo theo là nhiều khi có một sự chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học với tri thức xuất hiện trong chương trình và sách giáo khoa

I.3.Hạn chế của một nghiên cứu chỉ đóng khung trong nội tại hệ thống dạy học

Phần lớn những tri thức toán học giảng dạy trong nhà trường đều ra đời muộn nhất là đầu thế kỷ 20 Ngoài hệ thống dạy học, những tri thức này tồn tại như là công cụ cơ sở đối với người làm toán chuyên nghiệp, hay như là kỹ năng trong các thể chế sử dụng toán học, không còn được quan tâm với tư cách một đối tượng nữa Trong bối cảnh này, tri thức tồn tại

ở những dạng khác nhau và đã bị thuần hóa, bị biến đổi so với nguồn gốc ban đầu của nó Những vấn đề mà nó cho phép giải quyết đã bị lãng quên Nó có thể được trao một chức năng hoàn toàn mới, là cơ sở cho sự hình thành những tri thức khác phức tạp hơn sinh ra từ thể chế sử dụng nó

Hơn thế, những biến đổi mà tri thức phải chịu để trở thành đối tượng giảng dạy

"thường rất ít khi xuất phát từ một lý do có bản chất khoa học luận gắn liền với sự sản sinh ra tri thức này Những biến đổi đó thường mang tính chất giải pháp tình huống, chủ yếu là tuân theo các ràng buộc nội tại của thể chế dạy học" (J-L Dorrier, 1996, tr.21)

Tất nhiên, tri thức chương trình và sách giáo khoa đã được hình thành trên cơ sở lấy tri thức bác học làm tham chiếu Nhưng vẫn còn một số điểm tối trong mối liên hệ giữa tri thức với tri thức được dạy Vì thiếu những hiểu biết về lịch sử của tri thức, nhà nghiên cứu hay giáo viên không được tiếp xúc tận gốc quá trình biến đổi một tri thức thành đối tượng dạy học

(quá trình mà Chevallard gọi là chuyển đổi didactic), chỉ hình dung được những giai đoạn

gần gũi nhất

I.4 Vai trò của khoa học luận

Nếu muốn phân tích độ chênh lệch giữa một tri thức bác học và tri thức được dạy, người ta phải căn cứ vào nội dung tri thức bác học trên quan điểm khoa học luận, nghĩa là trên những yếu tố do phân tích khoa học luận mang lại: nghĩa của tri thức, những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải quyết, những trở ngại cho sự hình thành tri thức, những bước nhảy trong quan niệm, những điều kiện cho phép tri thức nảy sinh, Đây là những hiểu biết cần thiết cho việc thiết kế một môi trường để trong đó hoạt động học xảy ra

Nghiên cứu khoa học luận giúp ta "trả lại tính lịch sử cho khái niệm toán học mà việc dạy học thường có khuynh hướng trình bày nó như những đối tượng phổ biến đồng thời trong thời gian và trong không gian" (M Artigue, 1990, tr 243) Nghiên cứu này cũng giúp ta thoát khỏi ảo tưởng mà việc dạy học thường vun trồng về một sự chính xác vĩnh cửu và hoàn hảo của toán học

Trong khi trường học sống trong ảo tưởng rằng đối tượng dạy học là một bản copy,

tuy đã được đơn giản hóa nhưng vẫn trung thành, của đối tượng khoa học, thì phân tích khoa

học luận sẽ giúp nhà nghiên cứu hiểu rõ cái gì chi phối sự tiến triển của kiến thức khoa học, đâu là sự chênh lệch giữa tri thức bác học với tri thức được dạy, đâu là khoảng cách giữa hai hệ thống - toán học và dạy học

Phân tích trên giải thích sự cần thiết của một nghiên cứu khoa học luận Nghiên cứu này giúp ta vạch rõ các tham chiếu hợp thức của tri thức cần dạy, trả lại cho tri thức những nghĩa rộng hơn, phong phú hơn, điều mà việc nghiên cứu đơn thuần chương trình và sách giáo khoa không thể mang lại Những hiểu biết khoa học luận về tri thức cần dạy giúp nhà nghiên cứu và giáo viên nhìn nó ở một khoảng cách cần thiết, không hoàn toàn bị bó hẹp trong nội tại hệ thống dạy học, không chỉ xem xét nó dưới lăng kính của chương trình và sách giáo khoa Nói cách khác, phân tích khoa học luận giúp cho nhà nghiên cứu thoát ra khỏi ảo tưởng về sự « trong trẻo » của đối tượng tri thức và gạt bỏ những biểu tượng sai lầm

về mặt khoa học luận mà hoạt động dạy học có thể gây nên Điều này là cần thiết nếu ta muốn tìm những tình huống cho phép học sinh nắm được nghĩa của tri thức

II Khoa học luận và lý thuyết tình huống

II.1 Nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa cho tri thức

Các nghiên cứu hoạt động dạy-học toán nói chung đều liên quan đến sự xây dựng kiến thức ở chủ thể (học sinh) Nhà nghiên cứu phải đương đầu với vấn đề thiết kế hay phân tích sự hình thành kiến thức khoa học trong một tình huống dạy-học - được gọi là sự hình thành giả tạo để phân biệt với sự hình thành lịch sử (sự hình thành đã xảy ra trong thực tế lịch sử)

Khi thiết kế hoặc phân tích một tình huống dạy-học, trước hết nhà nghiên cứu phải trả tìm cách lời những câu hỏi sau:

- Liệu có đảm bảo rằng vấn đề được đặt ra trong tình huống là đích thực đối với tri thức hay không? Từ đích thực ở đây được hiểu theo nghĩa tri thức cần dạy là tri thức hoặc không thể thiếu, hoặc đem lại một chiến lược tối ưu cho việc giải quyết vấn đề được đặt ra

- Vấn đề đó có mối liên hệ như thế nào với lý do tồn tại của đối tượng tri thức được xem là mục đích của hoạt động dạy-học

- Vấn đề ấy đưa lại cho tri thức cái nghĩa nào?

Đó là những câu hỏi mang tính chất khoa học luận

Nhằm mục đích mô hình hóa để nghiên cứu các tình huống dạy học, G Brousseau đã xây dựng nên Lý thuyết tình huống (tham khảo G Brousseau, 1999) Lý thuyết này thừa nhận giả thuyết khoa học luận sau:

"Với mỗi kiến thức đều tồn tại một họ tình huống có khả năng đem lại cho nó một nghĩa đúng" (Brousseau, 1988b) Đúng ở đây là đúng so với lịch sử của khái niệm, so với bối cảnh xã hội và so với cộng đồng khoa học

Vấn đề là phải "tái tạo" lại trong lớp một sự hình thành nên những khái niệm toán học với cái nghĩa mà ta muốn học sinh chiếm lĩnh Nói cách khác, xây dựng một tình huống cho phép xẩy ra sự "hình thành giả tạo" trong đó tri thức cần dạy phải xuất hiện như một giải pháp tối ưu được xem là mục đích của việc dạy-học

II.2 Vai trò của khoa học luận

Dựa vào đâu để kiến tạo những tình huống như vậy, khi mà nghĩa của tri thức và tình huống mang lại nghĩa đó đã bị che giấu qua những biến đổi mà tri thức phải chịu?

Việc sử dụng từ "hình thành" có thể làm cho ta lầm tưởng rằng tri thức được phát sinh theo kiểu đường thẳng và đồng đều Điều này không bao giờ xẩy ra trong toán học Thực tế thì có cả một mạng các vấn đề thuộc nhiều nguồn gốc giữ những vai trò khác nhau trong qua trình hình thành tri thức Thậm chí, trong một số trường hợp, sự tiến triển lịch sử đã vô ích đi theo một đường vòng quanh co, rồi sau đó mới xuất hiện những con đường ngắn hơn làm cho tri thức dễ dàng xuất hiện Như vậy, thực tế lịch sử không phải luôn luôn là một mô hình hoàn hảo để cho hoạt động dạy-học rập khuôn theo

Hơn thế, việc dạy-học lại phải tuân thủ những ràng buộc không thể tránh khỏi vấn đề thời gian chẳng hạn: làm thế nào để đi theo một qua trình hình thành đã trải qua nhiều thập kỷ (thậm chí hàng thế kỉ) trong vài giờ? Rồi vấn đề nhận thức: tri thức cần dạy đã được tổ chức lại theo một hệ thống không trùng với trình tự phát triển trong lịch sử, làm thế nào để lồng qua khứ học toán của học sinh vào tiến trình diễn ra trong lịch sử? Rồi thì sự khác nhau về tâm lý, về hoàn cảnh xã hội, về thể chế (thể chế tạo ra tri thức và thể chế dạy-học), v.v

Biết bao nhiêu yếu tố làm cho sự hình thành giả tạo trong lớp học không thể đồng nhất với sự

hình thành trong lịch sử

"Tuy nhiên, đối với nhà nghiên cứu, sự hình thành trong lịch sử là điểm tựa để phân tích một quá trình dạy học cụ thể, là cơ sở cho việc thiết kế một sự hình thành giả tạo" (M Artigue, 1991, tr 246)

Sở dĩ nói như vậy là vì trong phân tích hay thiết kế các tình huống dạy-học, nhà nghiên cứu nhất thiết phải đối chiếu với vấn đề nghĩa của khái niệm, mà chính những vấn đề

đã từng là lí do của việc đưa vào khái niệm này hay khái niệm kia, cũng như những vấn đề chi phối sự tiến triển của khái niệm, là cái cấu thành nên nghĩa của khái niệm này Chính vì thế mà trong nghiên cứu vấn đề dạy-học khái niệm số thập phân G Brousseau đã nói: "Để tổ chức một sự hình thành giả tạo đem lại một nghĩa phù hợp cho khái niệm số thập phân, cần phải tiến hành nghiên cứu khoa học luận để vạch rõ các dạng thức biểu thị số thập phân và cơ chế nhận thức chúng" (G Brousseau 1981, tr 48)

Hơn thế, thừa nhận những giả thuyết về học tập đã nêu ở phần đầu của chương này dẫn ta đến chỗ thừa nhận rằng vấn đề là phải làm cho học sinh đi vào hoạt động toán học Thế nhưng những quá trình tư duy nào chi phối hoạt động đó? "Chính phân tích khoa học luận ( ) là nghiên cứu trước tiên liên quan đến những câu hỏi này" (M Artigue, 1991, tr.246)

Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành tri thức cho phép vạch rõ quá trình xây dựng tri thức trong cộng đồng các nhà khoa học, sự phụ thuộc của nó vào các lĩnh vực toán học có liên quan, từ đó xác định được nghĩa của tri thức, tình huống mang lại nghĩa đó, điều kiện cho phép tri thức nảy sinh, hay ngược lại, cản trở sự tiến triển của nó, những vấn đề gắn liền với tri thức, vị trí tương đối của nó trong một tri thức tổng quát hơn, Nó sẽ dẫn nhà nghiên cứu đến với câu trả lời cho một số câu hỏi tổng thể và cơ bản sau, là cơ sở cho việc phân tích hay thiết kế các tình huống dạy-học:

- Tri thức được sinh ra nhằm giải quyết vấn đề gì?

- Tri thức có thể tồn tại dưới những dạng thức nào? Chuyển từ dạng thức này sang dạng thức kia tương ứng với sự thay đổi nào trong quan niệm?

- Phải chuyển đổi cái gì trong việc dạy-học các thành phần của tri thức này và sự tác động qua lại giữa chúng?

- Có hay không một sự chuyển đổi tối tiểu hoặc một tổ hợp chuyển đổi tối tiểu cần phải tôn trọng để không làm biến dạng cái nghĩa của tri thức này?

- Những chuyển đổi nào có thể hay cần phải phụ thuộc vào lớp công chúng được xem

là chủ thể của hoạt động học?

III Khoa học luận và chướng ngại

Vấn đề không phải là phân tích khoa học luận để rồi bằng mọi giá rút ngắn khoảng cách giữa sự hình thành tri thức trong lịch sử và sự hình thành giả tạo (tương hợp với những lựa chọn của hệ thống dạy-học), mà là để xác định những khó khăn học sinh gặp phải trong học tập một tri thức và hiểu được nguồn gốc sinh ra chúng Đó là những khó khăn, những chướng ngại gắn liền với đặc trưng của tri thức mà học sinh buộc phải vượt qua để nắm vững tri thức

III.1 Chướng ngại

Sai lầm và chướng ngại:

Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piaget, Bachellard và Brousseau, kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với tình huống -tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó

Trong một quá trình học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức được xây dựng

ở học sinh thường mang tính chất địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và có thể là không hoàn toàn chính xác

Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh:

"Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên, như cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối vớiviệc học trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội tri thức mới Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thường hay không dự đoán được Chúng tạo thành chướng ngại Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi những chủ thể này" (Brousseau, 1983, tr 171)

Như vậy, theo G Brousseau, nếu ở học sinh có những sai lầm nào đó mang tính hời hợt, hết sức riêng biệt, thì cũng còn có những sai lầm khác không phải ngẫu nhiên được sinh

ra Những sai lầm đó không nằm ngoài kiến thức, chúng chính là biểu hiện của kiến thức Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có chung một nguồn gốc

Theo cách nhìn nhận này thì một số kiến thức sai là cần thiết cho học tập: con đường

đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời) từ một số kiến thức sai, và việc ý thức được đặc trưng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của tri thức mà việc dạy-học nhắm đến Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là chướng ngại 2 khoa học luận

và nhấn mạnh vai trò của chúng trong lịch sử phát triển các kiến thức

Đặc trưng của chướng ngại:

Cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều được xem là chướng ngại Duroux

đã nêu lên những đặc trưng sau của chướng ngại:

• Một chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự thiếu kiến thức

2

Thuật ngữ này được G Brouseau sử dụng từ sự kế thừa tư tưởng của Bachelard: "Chính trong hành động nhận

biết mà sự chậm chạp và rối loạn xuất hiện dưới một dạng tất yếu của chức năng Chính ở đó mà ta sẽ chỉ ra

nguyên nhân của sự trì trệ Củng chính ở đó ta sẽ chỉ ra nguyên nhân của tính trơ ỳ mà ta gọi là chướng ngại khoa học luận" Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng Bachelard đã loại toán học ra khỏi sự quan tâm của ông khi bàn

về chướng ngại: "lịch sử toán học hoàn toàn cân đối Nó có những giai đoạn tạm dừng Nó không có những giai

đoạn sai lầm Không có chủ đề nào được xem xét trong cuốn sách này nhằm vào toán học" (Bachelard, 1938,

Sự hình thành óc khoa học, tr 13 -22)

• Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một bối cảnh nào đó mà ta thường hay gặp

• Nhưng khi vượt khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh ra những câu trả lời sai Để có câu trả lời đúng cho mọi bối cảnh cần phải có một thay đổi đáng kể trong quan điểm

• Hơn nữa, kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến thức hoàn thiện hơn Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chưa đủ để kiến thức sai này biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nó và đưa việc loại bỏ nó vào tri thức mới

• Ngay cả khi chủ thể đã ý thức được sự không chính xác của kiến thức chướng ngại này, nó vẫn tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc

G Brousseau phân biệt các chướng ngại tùy theo nguồn gốc của chúng:

• Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể: là chướng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của cá nhân học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của

nó

• Chướng ngại didactic: là chướng ngại sinh ra từ sự lựa chọn của hệ thống dạy-học

• Chướng ngại khoa học luận: là chướng ngại gắn liền với lịch sử phát triển của tri thức mà việc vượt qua nó đóng vai trò quyết định đối với quá trình xây dựng kiến thức của chủ thể Trong học tập, việc vượt qua những chướng ngại khoa học luận là điều không thể tránh khỏi, bởi đó là yếu tố cấu thành nên kiến thức

Vấn đề là trước hết phải xác định được những chướng ngại khoa học luận gắn liền với một tri thức, để rồi sau đó tạo ra những tình huống cho phép vượt qua chúng, tức là loại bỏ những kiến thức sai tạo nên chướng ngại

III.2 Vai trò của khoa học luận

Quan niệm trên về chướng ngại khoa học luận dẫn đến chỗ thừa nhận là có thể tìm thấy dấu vết của chúng trong lịch sử hình thành tri thức Để nghiên cứu các chướng ngại khoa học luận, Brousseau đã đề nghị tiến trình sau:

- Xác định những sai lầm thường xuyên tái diễn, chứng tỏ rằng chúng có thể nhóm lại quanh một quan niệm

- Nghiên cứu xem có tồn tại hay không những chướng ngại trong lịch sử xây dựng khái niệm toán học

- Đối chiếu các chướng ngại lịch sử với chướng ngại học tập để nếu có thể thì thiết lập đặc trưng khoa học luận của chướng ngại

Hiển nhiên, không phải mọi chướng ngại mà các nhà toán học gặp trước đây đều là những khó khăn mà học sinh ngày nay phải đương đầu, vì, như đã phân tích ở trên, sự hình thành giả tạo không thể giống với sự hình thành lịch sử Tuy thế, ta thường có thể tìm thấy trong lịch sử dấu vết của những khó khăn này

Qua phân tích khoa học luận lịch sử, nhà nghiên cứu có thể khơi thông một logic tổng thể, những giai đoạn chủ yếu, vai trò và sự tác động qua lại lẫn nhau của chúng Hơn thế, còn

có thể xác định những điều kiện nội tại cho sự phát triển, những vấn đề đã từng là lý do cho

sự ổn định hay sự bế tắc của một giai đoạn lịch sử, những ràng buộc chi phối các nhà khoa

học đương thời Lịch sử cung cấp những ví dụ về quá trình tiến triển của kiến thức mà phân tích khoa học luận sẽ giúp ta vạch rõ những khó khăn, những quan niệm đã từng là trở ngại cho sự hình thành và phát triển của kiến thức, những động lực, những bước nhảy trong quan niệm, những điều kiện làm nảy sinh tri thức

Như thế, vấn đề đầu tiên là chẩn đoán khó khăn, xác định những sai lầm tồn tại dai dẳng sinh ra từ cùng một quan niệm Sau đó là nghiên cứu bản chất và nguồn gốc của khó khăn dưới ánh sáng của phân tích khoa học luận Việc đối chiếu sai lầm của học sinh với những trở ngại đã từng tồn tại trong lịch sử hình thành, phát triển tri thức cho phép giải thích sai lầm một cách thỏa đáng hơn Đặc biệt, phân tích khoa học luận có thể giúp ta phân biệt những sai lầm có bản chất khoa học luận với những sai lầm ngẫu nhiên có nguồn gốc từ nhận thức hay từ sự lựa chọn của hệ thông dạy-học Từ đó, nó cung cấp phương tiện để triển khai một dự án dạy-học thích hợp

IV Khoa học luận và quan niệm

IV.1 Quan niệm

Khái niệm « quan niệm » được đưa ra nhằm đáp ứng hai nhu cầu:

- Vạch rõ một thực tế là có thể có nhiều cách nhìn nhận khác nhau về cùng một đối tượng toán học, phân biệt những thể hiện và cách thức sử dụng được kết hợp với nó, chỉ rõ sự thích ứng ít hay nhiều của những cách nhìn nhận đó đối với việc giải lớp bài toán này hay lớp bài toán kia

- Giúp nhà nghiên cứu chống lại ảo tưởng về sự đồng nhất giữa tri thức mà việc học muốn truyền thụ với những kiến thức được học sinh xây dựng trong thực tế

Thuật ngữ « quan niệm » được dùng để chỉ một tri thức địa phương, giữ vai trò nào đó trong tiến trình chiếm lĩnh một khái niệm Cụ thể hơn, G Bousseau định nghĩa quan niệm là

« một tập hợp các quy tắc, các cách thực hành động, các tri thức cho phép giải quyết tương đối tốt một lớp tình huống và vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà đối với chúng thì quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc gợi lên những câu trả lời sai, hoặc có thể đem lại kết quả nhưng rất khó khăn và trong điều kiện bất lợi »

Chẳng hạn, M Artigue và J Robinet (1982) đã tự đặt ra cho mình câu hỏi về nghĩa cần đạt được qua việc dạy «những kiến thức liên quan đến các hình đơn giản trong mặt phẳng

và trong không gian» có trong chương trình tiểu học Trong số những hình « đơn giản » này các nhà nghiên cứu chọn đường tròn Một phân tích trên hai phương diện - khoa học luận và hoạt động của lớp học - đã cho thấy quan niệm chủ đạo của học sinh là xem đường tròn như « một đường cong phẳng, đóng, có độ cong không đổi, mà những dây cung lớn nhất lấy theo mọi hướng đều có độ dài bằng nhau » Trái lại, những yếu tố đặc trưng cho hình tròn, như tâm và bán kính, thì lại vắng mặt với tư cách là những yếu tố bất biến Quan niệm này của học sinh rất có hiệu lực đối với tình huống nhận biết hình tròn trong số những hình đã cho Thế nhưng nó lại không cho phép giải bài toán dựng hình tròn

Trong một đối tượng toán học ta phân biệt:

- Khái niệm toán học như nó được định nghĩa trong bối cảnh của một thời kỳ cụ thể

- Tập hợp những cái dùng để biểu đạt được kết hợp với đối tượng

- Lớp các bài toán mà qua việc giải quyết chúng thì nghĩa của khái niệm được hình thành

- Các công cụ, định lý, kỹ thuật, thuật toán đặc trưng cho phương thức khai thác đối tượng đó

Sự phân biệt này dẫn M Artigue đến chỗ tách ra trong quan niệm của học sinh - về một đối tượng toán học - những thành phần khác nhau, đặc biệt là:

- Lớp tình huống - vấn đề đem lại nghĩa cho khái niệm đối với học sinh

- Tập hợp những cái dùng để biểu đạt mà học sinh có thể gắn vào đối tượng, đặc biệt

là các hình ảnh trí tuệ, các biểu thức ký hiệu

- Các công cụ, định lý, kỹ thuật, thuật toán mà học sinh có để thao tác trên đối tượng

Bộ ba thành phần này được xem như những yếu tố đặc trưng cho quan niệm về một đối tượng toán học

Cách hiểu này về quan niệm dẫn ta đến chỗ thừa nhận rằng ngay từ khi chưa học tri thức, học sinh đã có một số quan niệm về tri thức đó Các quan niệm này có thể được đưa vào qua dạy học, nhưng cũng có thể có nguồn gốc văn hóa hay xã hội, tức là được xây dựng ở ngoài hệ thống học đường

IV.2 Quy tắc hành động Định lý hành động

Quy tắc hành động là một mô hình được G Vergnaud xây dựng nhằm giải thích và

chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm

vụ xác định Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh Hiển nhiên, quy tắc hành động được sử dụng thể hiển quan niệm mà học sinh có về một đối tượng toán học

Chẳng hạn, đối với nhiệm vụ sắp thứ tự các số thập phân, một số nghiên cứu ở Pháp

đã chỉ ra sự gắn kết giữa những câu trả lời sai của học sinh trung học cơ sở với quy tắc hành động được phát biểu như sau: trong hai số thập phân có phần nguyên bằng nhau, số lớn hơn

là số có «số nguyên ở phần thập phân» lớn hơn Quy tắc này sinh ra từ quan niệm xem số thập phân như là một cặp số nguyên được ngăn cách bởi dấu phẩy

Trong trường hợp hai số đã cho có số chữ số ở phần thập phân như nhau thì việc áp dụng quy tắc sẽ đem lại một câu trả lời đúng, nhưng trong những trường hợp khác thì nó dẫn đến câu trả lời sai (Ví dụ: 12, 51 > 12,43 (vì 51 > 43) là câu trả lời đúng ; 7, 3 < 7, 11 (vì 3 < 11) là câu trả lời sai)

Như vậy, các quy tắc hành động - được chỉ rõ ra qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động Thông thường thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho quy tắc Những câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài lĩnh vực hợp thức của nó

Các quy tắc hành động là thể hiện của những bất biến trong việc thao tác trên các đối tượng G Vergnaud gọi các bất biến ấy là định lý hành động "Khái niệm định lý hành động

chỉ các tính chất của những mối quan hệ mà học sinh nắm hoặc sử dụng trong tình huống giải quyết vấn đề Mặc dù vậy, điều đó không có nghĩa là học sinh có khả năng nói rõ hay giải thích rõ những tính chất ấy" (G Vergnaud, 1981) Nhiều quy tắc hành động được sử dụng trong những tình huống khác nhau nhưng lại có thể cùng thuộc phạm vi một định lý hành động

Chẳng hạn, một số nghiên cứu ở Pháp đã vạch rõ những quy tắc hành động sau đây được sử dụng rất phổ biến ở học sinh các lớp trên cấp cơ sở:

Có thể cho rằng những quy tắc hành động trên đều xuất phát từ định lý hành động: f(ax + by) = a f(x) + b f(y) Nói cách khác, học sinh đã gán tính chất tuyến tính cho một lớp rất rộng các hàm số, như hàm «giá trị tuyệt đối của một số thực», «bình phương của một số thực», cũng như là các hàm lượng giác, trong khi phạm vi hợp thức của tính chất chỉ là tập hợp những hàm tuyến tính

Định lý hành động này được xem như là hệ quả của việc học tập cơ bản trước đó về toán học Trong thực tế, những phép toán trên các số nguyên (bảng cộng và nhân) học ở trường tiểu học, phép tỷ lệ học trong 4 năm ở trường trung học cơ sở để rồi từ đó nghiên cứu việc biểu diễn bằng đồ thị các hàm số f(x) = ax, f(x) = ax + b ở lớp 9, tất cả đều có tính chất tuyến tính Việc học sinh thường xuyên sử dụng tính tuyến tính ở ngoài phạm vi hợp thức của nó có thể sinh ra từ đó

Giống như các quy tắc hành động, định lý hành động có phạm vi áp dụng và phạm vi hợp thức của nó Phạm vi áp dụng của định lý hành động là tập hợp những tình huống mà định lý có thể mang lại một câu trả lời, còn phạm vi hợp thức là tập hợp những tình huống

mà nó đưa ra một câu trả lời chính xác

IV.3 Sự cần thiết của nghiên cứu quan niệm Vai trò của khoa học luận

Tính đa nghĩa của tri thức

Ta hãy trở lại với công trình của M Artigue và J Robinet (1982) về những quan niệm

có thể gán cho khái niệm đường tròn Để xác định tập hợp những quan niệm khác nhau có thể có về đối tượng toán học này, các tác giả đã xuất phát từ 11 định nghĩa có thể nêu ra cho khái niệm mà dưới đây được trích một số làm ví dụ:

• D1: Trong mặt phẳng, đường tròn tâm O, bán kính R là tập hợp những điểm cách O một khoảng R

Hầu như các cuốn sách giáo khoa ngày nay đều đưa ra định nghĩa này Nhưng khái niệm đường tròn còn có thể được định nghĩa theo những cách khác Chẳng hạn:

• D2: Đường tròn là một đường cong phẳng, đóng, có độ cong đại số không đổi

• D3 : Đường tròn là một đường cong phẳng "thuần nhất" đối với phép đẳng cự

• D4: Đường tròn là một đường cong phẳng có vô số trục đối xứng

• D5: r là một đường cong phẳng, đóng, lồi (nghĩa là nó là bờ của một miền lồi G của mặt phẳng) và tại mỗi điểm đều có một tiếp tuyến Với mỗi phương d, ký hiệu ad là cận trên của độ dài các đoạn thẳng có phương d và được chứa trong G r là một đường tròn nếu và chỉ nếu:

- với mỗi phương d, ad là độ dài của một đoạn thẳng duy nhất Dd có phương d và được chứa trong G

- mọi đoạn thẳng Dd đều có cùng độ dài

- mọi đoạn thẳng Dd đều đồng quy

•D6: Đường cong phẳng r là đường tròn nếu và chỉ nếu tồn tại một điểm O của mặt phẳng và một số thực dương d sao cho:

- r xác định trên mỗi đường thẳng đi qua O một đoạn thẳng có độ dài d

- O là trung điểm của đoạn thẳng này

•D7: Đường tròn là tập hợp những điểm M sao cho tỷ số AM/BM các khoảng cách từ

M đến hai điểm cố định A, B là không đổi

• D8: Đường tròn là một đường cong đóng mà với mỗi độ dài xác định thì phần mặt phẳng mà nó bao quanh có diện tích lớn nhất

Về mặt logic thì các định nghĩa trên tương đương với nhau và xác định cùng một đối tượng toán học Nhưng chúng tương ứng với những quan niệm khác nhau, những kiểu tri giác khác nhau về đối tượng, những cách sử dụng khác nhau các tính chất của nó, và chúng chú ý đến những yếu tố hình học khác nhau, những mối liên hệ khác nhau giữa các yếu tố Như vậy, mỗi đối tượng toán học có thể được kết hợp với nhiều nghĩa, nhiều quan niệm khác nhau

Sự tương hợp giữa quan niệm và tình huống

Thế nhưng, cái chúng ta quan tâm không phải là lập ra một danh mục thật tinh tế những quan niệm có thể có về một đối tượng toán học, mà là nghiên cứu sự nối khớp giữa các quan niệm ấy với tình huống trong một sự học tập xác định Thừa nhận tính tương hợp giữa quan niệm và tình huống làm xuất hiện tri thức là hiển nhiên, nếu ta hiểu khái niệm

"quan niệm" như đã nêu trên, cho rằng ba thành phần cơ bản của quan niệm là lớp các tình huống vấn đề đem lại nghĩa cho tri thức đối với học sinh ; tập hợp những cái biểu đạt mà học sinh có khả năng kết hợp với tri thức ; những công cụ mà học sinh có để thao tác trên tri thức

Để minh họa, chúng ta có thể lấy nghiên cứu của PhạmNgọc Bảo (2002) về khái niệm phân số được trình bày trong các sách giáo khoa toán bậc tiểu học ở Việt nam Tác giả đã chỉ

ra rằng khái niệm phân số được hình thành qua ba thời điểm khác nhau, với ba tình huống khác nhau

 Ở lớp 3, đó là tình huống chia một hình vuông, một hình tròn, thành n (2 n 12) phần bằng nhau, nhằm đưa vào phân số Trong tình huống này, phân số lấy nghĩa như

"một phần của đơn vị đã được chia thành n phần bằng nhau"

 Ở lớp 4 có tình huống chia đơn vị (một cái bánh, một hình vuông, một hình tròn, ) thành n phần bằng nhau và lấy ra p (1< p < n) phần, nhằm đưa vào phân số Với tình huống này, phân số lấy nghĩa "số phần bằng nhau rút ra từ đơn vị"

Tình huống sau đó (cũng ở lớp 4) là "chia đều 3 quả cam cho 4 em" Trong tình huống này phân số được hiểu theo nghĩa "thương của phép chia p cho n" và "là kết quả của phép chia đều mà thương không nguyên"

Ta thấy rất rõ là nghĩa của phân số phụ thuộc như thế nào vào tình huống trong đó khái niệm được đưa vào

Vai trò của nghiên cứu về những quan niệm có thể kết hợp với một tri thức

Sự phân biệt giữa một đối tượng toán học duy nhất với những quan niệm biến thiên có thể được kết hợp với nó rất quan trọng

Trước hết, nó có thể giúp thầy giáo thoát ra khỏi tính đơn giản bề ngoài của đối tượng Chẳng hạn, đối với khái niệm đường tròn, "sự giống nhau của các định nghĩa và bài tập được đưa vào các sách giáo khoa trong thực tế đã che giấu đi tính phong phú và phức tạp của những quan niệm có thể được kết hợp với đối tượng toán học này Hơn thế, trên phương diện dạy học thì nó lại áp đặt một quan điểm duy nhất - liên quan đến trạng thái tĩnh của tập hợp điểm, ưu tiên chú ý đến tâm và bán kính (như là độ đo), mà không tính đến những kiến thức trẻ em đã có trước khi phải học định nghĩa này" (M Artigue và J Robinet, 1982, tr 269)

Ở một góc độ khác, việc nghiên cứu các quan niệm khác nhau về một đối tượng tri thức sẽ mang lại cho ta một công cụ để phân tích, thiết kế các tình huống vấn đề đưa ra cho học sinh Tùy theo tình huống mà mỗi hoạt động sẽ ưu tiên ở những cấp độ khác nhau cho quan điểm này hay quan điểm kia về tri thức Chẳng hạn, như M Artigue và J Robinet (1982) đã chỉ ra, đối với hoạt động chọn trong các đối tượng đã cho những hình có hình dạng của cái đĩa thì trẻ em có thể tiến hành từ rất sớm, ngay cả khi nó chưa nắm được khái niệm khoảng cách Thế nhưng quan niệm cho phép thực hiện hoạt động đó lại không gắn liền với định nghĩa đường tròn mà ta muốn dạy cho học sinh Để làm điều đó cần phải xây dựng những kiểu hoạt động khác, bởi vì mỗi quan niệm có một mối liên hệ rất chặt chẽ với tình huống trong đó kiến thức về hình tròn can thiệp

Vả lại, trong thực tế, quá trình chiếm lĩnh một đối tượng toán học thường được chia thành nhiều giai đoạn Trong một sự học tập bằng thích nghi với tình huống, kiến thức thường mang tính chất địa phương Hơn thế nữa, trong thực hành, chính kiến thức ở các cấp

độ địa phương gắn liền với những quan điểm khác nhau về tri thức là cái được sử dụng vấn

đề là phải biết chống lại những quan niệm sai và những quan niệm cũ đã lỗi thời.Việc nghiên cứu các quan niệm mang tính địa phương được biểu hiện trong tình huống và phân tích những điều kiện cho phép chuyển từ quan niệm địa phương này vào quan niệm địa phương kia là cơ sở để triển khai các tình huống nhằm xây dựng một quan niệm tổng thể về đối tượng tri thức Trong những tình huống này quan niệm mới phải xuất hiện như là một giải pháp tối

ưu

Nghiên cứu những quan niệm khác nhau có thể được kết hợp với một tri thức còn là giúp cho ta hiểu được những khó khăn trong học tập của học sinh

Chẳng hạn, trong một nghiên cứu về quá trình học tập khái niệm diện tích các hình phẳng, R Douady và M J Perrin (1989) đã liệt kê một số khó khăn thể hiện qua những sai lầm tồn tại dai dẳng được nhiều giáo viên biết đến:

" Mặt đơn vị là mặt có một hình dạng nào đó, số đo của một hình phẳng S phụ thuộc vào khả năng phủ kín S với mặt đơn vị này [ ]

- Diện tích được gắn liền với mặt và không tách ra khỏi những đặc trưng khác của mặt này [ ]

- Mở rộng các công thức cho những tình huống trong đó công thức không còn có hiệu lực [ ]"

Giải thích những khó khăn này, các tác giả nói đến quan niệm của học sinh về diện tích:

"Một số khó khăn gắn liền với cách học sinh xử lý những bài toán về diện tích, hoặc

từ quan điểm hình, hoặc từ quan điểm số Chẳng hạn, việc giảm diện tích được hiểu như việc giảm bản thân bề mặt của hình với hình dạng của nó, và điều đó đi kèm theo việc giảm chu vi: diện tích và chu vi được kết hợp với bề mặt và gắn liền với hình dạng [ ]

Ở một cực khác, diện tích là một số: người ta đứng trên phương diện tính toán và chỉ chú ý đến những yếu tố thỏa đáng cho tính toán, chẳng hạn như các số đo chiều dài [ ] Như vậy, về vấn đề diện tích, học sinh triển khai một « quan niệm hình dạng » gắn liền với phạm

vi hình học hoặc một « quan niệm số » gắn liền với phạm vi số, hoặc cả hai, nhưng độc lập với nhau và xử lý các bài toán mà không thiết lập mối liên hệ giữa hai quan điểm."

Một ví dụ khác: ta đã có nói rằng quan niệm xem số thập phân như là một cặp số

nguyên được ngăn cách bởi dấu phẩy cho phép giải thích những sai lầm của học sinh khi giải

quyết nhiệm vụ so sánh các số thập phân Hơn thế, một số công trình nghiên cứu kiến thức về

số thực của học sinh trung học ở Pháp đã chỉ ra rằng quan niệm này còn dẫn đến nhiều kiểu sai lầm khác trong các phép tính trên các số thập phân, chẳng hạn:

1,2 + 5,9 = 6,11 (0,3)2=0,9 5,32 =25,9

√ = 2,3 Quan niệm này giúp ta hiểu được một số khó khăn trong việc hiểu các số thực

Tóm lại, thuật ngữ « quan niệm » - mà nhà nghiên cứu đã dùng để mô hình hóa kiến thức của học sinh - thể hiện một kiến thức địa phương, là kiến thức giữ vai trò nào đó trong tiến trình chiếm lĩnh một khái niệm Kiến thức địa phương hoạt động trên một số lớp con những bài toán đặc trưng cho khái niệm Một số tình huống tạo điều kiện thuận lợi cho việc xuất hiện những kiến thức địa phương này

Như vậy, lợi ích của việc nghiên cứu những quan niệm khác nhau có thể được kết hợp với tri thức không phải chỉ ở chỗ nó đem lại một công cụ để phân tích ứng xử, « giải thích »

một sai lầm ổn định, xác định những khó khăn của học sinh trong học tập, mà còn ở chỗ nó giúp ta hiểu tình trạng của kiến thức ở một thời điểm xác định

Từ đó suy ra tầm quan trọng của vấn đề đặt việc nghiên cứu quan niệm trong mối liên

hệ với những điều kiện dẫn đến sự hình thành quan niệm (đối tượng dạy học) và những tình huống mà nó có hiệu lực Nghiên cứu đó sẽ cho ta một cơ sở để thiết kế các tình huống dạy học

Vai trò của khoa học luận

Vấn đề là làm thế nào để vạch ra những quan niệm có thể được kết hợp với một tri thức toán học Theo M Artigue, việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận:

- phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh ;

- nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau

Hai phân tích này bổ sung cho nhau, chỉ thực hiện một là không đủ Điều đó nói lên tầm quan trọng của nghiên cứu khoa học luận Nếu như chỉ dựa vào những ứng xử được quan sát trực tiếp ở học sinh trong tình huống cụ thể mà suy ra quan niệm thì ta chỉ có một phân tích không đầy đủ, thiếu khách quan Việc nhúng quan niệm vào trong một nghiên cứu những quan điểm có thể có về tri thức, những lớp vấn đề có thể dẫn tới quan điểm này hay quan điểm kia dường như là một đảm bảo cần thiết Phân tích khoa học luận, đặc biệt nếu như đó

là một phân tích cắm chặt vào lịch sử phát triển của khái niệm, sẽ giúp ta phân biệt một số lượng có thể khá lớn các quan niệm khác nhau và nhóm chúng lại thành từng lớp

Tuy nhiên, cần nói rằng không phải bao giờ mọi quan niệm đã từng tồn tại trong lịch

sử cũng đều xuất hiện ở học sinh ngày nay, bởi vì luôn luôn có một khoảng cách giữa lịch sử toán học với thực tế lớp học

V Kết luận

Thừa nhận học tập được xẩy ra qua hoạt động nhằm thích nghi với tình huống dẫn đến chỗ thừa nhận sự cần thiết của một môi trường được xây dựng sao cho kết quả của sự tương tác giữa chủ thể với môi trường là chủ thể tự « phát minh » ra kiến thức mới Để xây dựng một môi trường như vậy, những hiểu biết khoa học luận về tri thức, về những khó khăn gắn liền với việc xây dựng kiến thức và về quan niệm học sinh đã có về tri thức là cần thiết Điều này giải thích vai trò quan trọng, thậm chí không thể thiếu của phân tích khoa học luận tri thức cần dạy

CHƯƠNG 3: VÍ DỤ VỀ LỢI ÍCH SƯ PHẠM CỦA PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

A Trường hợp khái niệm vectơ hình học

Như đã nói, trong một nghiên cứu khoa học luận, vấn đề không phải là liệt kê các sự kiện, kể lại quá trình hình thành và phát triển tri thức toán học đang bàn đến, mà, tùy theo mục đích sư phạm được đặt ra, cần tìm trong lịch sử những yếu tố giúp hiểu tốt hơn, sâu hơn hoạt động dạy - học tri thức đó

Giữa nhiều câu hỏi liên quan đến hoạt động dạy-học vectơ mà một số yếu tố cho phép trả lời có thể được tìm thấy qua nghiên cứu khoa học luận, chúng tôi chọn câu hỏi về những khó khăn học sinh phải đương đầu để chiếm lĩnh đối tượng toán học này Như thế, khi phân tích khoa học luận lịch sử của lý thuyết vectơ, chúng tôi sẽ cố gắng vạch ra những tư tưởng, những lý do dẫn tới sự sáng lập, sự phát triển của lý thuyết này, những trở ngại mà các nhà toán học đương thời đã gặp phải và những bước nhảy trong quan niệm cho phép họ vượt qua trở ngại đó

Ở đây thuật ngữ vectơ không được dùng theo nghĩa phần tử của không gian tuyến tính tổng quát được định nghĩa qua một hệ tiên đề Chúng tôi quan tâm đến khái niệm vectơ hình học - lớp tương đương các cặp điểm hoặc các đoan thẳng định hướng

Những nội dung trình bày trong phần này chủ yếu được rút ra từ Lê Thị Hoài Châu,

1997

I Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành lý thuyết vectơ

Tiền thân của lý thuyết vectơ được tìm thấy ở xu hướng xây dựng các hệ thống tính toán trong nội tại hình học và ở quá trình mở rộng tập hợp số trong đó những nghiên cứu tìm cách biểu diễn các đại lượng ảo (mà ngày nay được gọi là số phức) đóng vai trò quan trọng

I.1 Những hệ thống tính toán hình học đầu tiên

I.1.1 Hình học vị trí của Leibniz

Người đầu tiên có ý định xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại hình học là Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Vào năm 1637, René Descartes (1596 -1650) cho ra đời tác phẩm Discours de la Méthode trong đó ông trình bày một phương pháp mới để nghiên cứu hình học Tác phẩm này đã đặt nền móng cho hình học giải tích và tạo ra một cuộc cách mạng trong hình học Pierre de Fermat (1601 - 1655), hoàn toàn độc lập với Descartes, cũng phát triển một phương pháp

tương tự Với phương pháp giải tích của Descartes và Fermat người ta chuyển các đối tượng hình học thành đối tượng đại số, quan hệ hình học thành quan hệ đại số, và do đó mà chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số Phương pháp này nhanh chóng được các nhà toán học quan tâm, vì nó cho phép tận dụng các kỹ thuật của đại số để nghiên cứu hình học và đem lại cho lời giải khả năng khái quát cao

Thế nhưng điều đó không có nghĩa là phương pháp giải tích không bị chỉ trích Lý do chủ yếu nằm ở chỗ nó đã tạo ra một tấm màn che mất đi trực giác hình học là cái cần thiết cho quá trình tìm tòi lời giải bài toán Leibniz là một trong những người chỉ trích phương pháp giải tích mạnh nhất Ông muốn tìm một phương pháp khác vừa cho phép tận dụng các

kỹ thuật của đại số mà lại vừa bảo toàn được bản chất hình học của bài toán Ông lập luận rằng muốn thế thì phải tìm cách biểu diễn vị trí trong không gian của các đối tượng hình học Với ý đồ đó ông đã sáng tạo ra Hình học vị trí (Géometrie des situations) Hình học vị trí được xây dựng dựa trên khái niệm tương đẳng: hai cặp điểm được gọi là tương đẳng nếu giữa hai điểm của mỗi cặp đều có cùng một khoảng cách, hai bộ ba điểm được gọi là tương đẳng nếu chúng tạo thành hai tam giác thể chồng khít lên nhau, v.v Với khái niệm tương đẳng Leibniz nghiên cứu một số quỹ tích Ông chỉ ra rằng quỹ tích những điểm tương đẳng với một điểm cho trước là một không gian « vô hạn theo mọi hướng », hình cầu là quỹ tích những điểm X sao cho AX tương đẳng với AB cho trước, rồi tập hợp các điểm X sao cho AX tương đẳng với BX sẽ xác định một mặt phẳng, v.v .Ông cũng giải quyết thêm một số bài toán khá

cơ bản khác, nhưng chỉ dừng lại ở đó, không đưa ra thêm kết qua nào về sau

Rõ ràng là Hình học vị trí không đáp ứng được những mong muốn của Leibniz Lý do thất bại có thể tìm thấy ở hai điểm chủ yếu sau:

• Với khái niệm tương đẳng, Leibniz chỉ giữ lại ở cặp điểm đặc trưng độ dài Ông không xem rằng AB và BA có thể khác nhau, và do đó cũng không đi đến chỗ phân biệt các phương trong không gian Ấy vậy mà, không ý thức được thiếu sót này, trong lời mở đầu của cuốn sách ông đã nói rằng chỉ tính đến độ đo thì không đủ trong hình học, vì đại số không cho phép xác định các vị trí

• Hơn thế, trong lý thuyết của mình, Leibniz đã không định nghĩa một phép toán nào Các đối tượng hình học do đó mà không thể được cộng, trừ, nhân, trong khi ông lại mong muốn sáng lập ra một đại số mới trong đó những đối tượng này không chỉ được biểu diễn bằng ký hiệu mà còn chịu tác động của các phép toán đại số

Dù thất bại, Leibniz cũng đã có công gợi lên ý tưởng dung hoa đại số và hình học bằng cách tính đến khía cạnh trực giác của phương pháp tổng hợp trong một phương pháp có bản chất giải tích

I.1.2 Tính toán tâm tỷ cự của Mobius

August Ferdinal Mobius (1790-1866) không thực sự xây dựng một hệ thống vectơ nào, nhưng lại chiếm vị trí quan trọng trong lịch sử tính toán vectơ Ông đã xây dựng một mô hình toán học khá giống với lý thuyết vectơ ngày nay trên nhiều phương diện Mô hình đó được ông công bố năm 1827 trong tác phẩm Tính toán tâm tỷ cự (Barycentriche Calcul) khá nổi tiếng

Một trong những tư tưởng cơ bản và mới mẻ của Mobius liên quan đến việc định hướng các hình trong không gian Điểm xuất phát của ông là xem xét mối quan hệ giữa hai đường có cùng một phương Theo quan điểm này, sự thay đổi về chiều được xem như tương ứng với sự thay đổi về dấu, có nghĩa là AB = - BA Sau đó ông đưa vào phép toán cộng hai đoạn thẳng cộng tuyến Rồi ông mở rộng quy tắc dấu và quy tắc cộng cho những hình được tạo thành bởi nhiều hơn hai đỉnh Chẳng hạn, với ông, diện tích tương đối của một tam giác được định hướng theo thứ tự của ba điểm tạo nên nó, hay nói cách khác, diện tích này là một đại lượng có dấu được ký hiệu bởi ba chữ cái biểu thị ba đỉnh, cụ thể: ABC = BCA = CAB = -ACB = - BAC = - CBA Theo cùng cách đó, ông định nghĩa thể tích tương đối của một hình chóp

Năm l843, Mobius khái quát hóa phép cộng, trừ các đoạn thẳng (định hướng) cộng tuyến vào không gian Sau đó, năml862, ông đưa vào khái niệm tích hình học (multiplication géométrique) của hai đoạn thẳng (định hướng) cộng tuyến Tích này trùng với tích vectơ của chúng ta ngày nay về mặt số nhưng không đồng nhất (tích hình học là một hình bình hành định hướng chứ không phải là một đoạn thẳng định hướng) Cuối cùng ông đề cập đến tích chiếu (produit projectif) của hai đoạn thẳng định hướng Tích chiếu trùng với tích vô hướng của chúng ta ngày nay

Nghiên cứu của Mobius đánh dấu một mốc quan trọng trong lịch sử phát sinh lý thuyết vectơ Trước hết, lý thuyết Tâm tỉ cự đã chứa đựng các phép toán trên các đối tượng hình học, và những đối tượng này được xem xét không chỉ về phương diện số mà còn cả về phương diện định hướng trong không gian Tư tưởng này dường như rất sơ đẳng với chúng ta ngày nay, thế nhưng vào thời đó thì nó đã không dễ dàng xuất hiện Ta đã thây điều ấy qua thất bại của Leibniz

Thứ hai nữa, với Mobius, đây là lần đầu tiên phép nhân hai đoạn thẳng định hướng được đề cập đến Rõ ràng là so với phép cộng thì phép nhân các đoạn thẳng khó hình dung hơn Với phép cộng, mô hình tính toán trên các đối tượng hình học có cấu trúc cộng Thêm vào phép toán nhân, bản chất của cấu trúc này thay đổi Ta sẽ thấy vấn đề phép nhân quan trọng như thế nào trong qua trình xây dựng lý thuyết các vectơ sau này

Thế nhưng, có lẽ do tính phức tạp của việc xây dựng một hệ thống tính toán trên các đối tượng hình học, Mobius vẫn để lại lý thuyết của mình một số điểm mập mờ mà nguyên nhân của nó đáng để chúng ta quan tâm Chẳng hạn, ta hãy xét một công thức liên quan đến tích hình học ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ và tích chiếu AB.CD của hai đoạn thẳng định hướng đồng phẳng AB,

CD Theo định nghĩa của Mobius, về mặt số, tích ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ bằng diện tích của hình bình hành được tạo bởi AB, CD, còn về mặt hình học thì nó là một hình bình hành có thể ở bất cứ vị trí nào trong không gian, miễn là song song với mặt phẳng (AB, CD), với các quy ước về dấu như đã nêu trên Tích chiếu AB.CD thì tương đương với tích vô hướng của chúng ta ngày nay Để xét mối liên hệ giữa hai tích này, Mobius bắt đầu từ bốn đoạn thẳng (định hướng) đồng phẳng u, v, a, a' trong đó u vuông góc với v Ông viết:

a.u a'.v + ̅̅̅̅̅=0

Ta thấy, số hạng thứ nhất của tổng ở vế trái là một số, thế nhưng, vì Mobius không hề định nghĩa tích của hai hình bình hành định hướng nên việc giải thích số hạng thứ hai không được rõ ràng

Về nguồn gốc của sự mập mờ này, Grassmann đã nói:

"Không nghi ngờ gì, cái ngăn cản tác giả [ ] chính là việc thiếu thói quen kết hợp trong một đối tượng cả độ dài và phương" (Grassmann, 1844, tr.146)

Lý do này còn có thể cho phép giải thích vài khiếm khuyết khác nữa trong lý thuyết Tính toán tâm tỷ cự của Mobius, chẳng hạn như khái niệm « tổng cân bằng » của các điểm trong trong trường hợp tổng các hệ số bằng 0 (tham khảo Lê Thị Hoài châu, 1997, tr 83)

Như vậy, mặc dầu mang lại một ý tưởng mới, có thể được xem như là thuộc trào lưu xây dựng những hệ thống tính toán trong, nội tại hình học, lý thuyết Tính toán tâm tỷ cự vẫn

có vài điểm mập mờ thể hiện một khó khăn tồn tại khá lâu trong lịch sử lý thuyết vectơ: khó khăn trong việc kết hợp đặc trưng định hướng và đặc trưng vô hướng trong cùng một đối tượng hình học

I.1.3 Tính toán các tương đẳng của Bellevitis

Năm l833, nhà toán học người Ý Bellavitis công bố Tính toán các tương đẳng (Calcul des équipolences) Theo định nghĩa của ông, hai đường(3)

được gọi là tương đẳng nếu chúng

có cùng độ dài, song song và cùng chiều Mặc dầu không thực sự định nghĩa vectơ theo nghĩa lớp tương đương các tương đẳng, nhưng cách sử dụng ký hiệu "~" đã cho phép Bellavitis viết các đẳng thức và các phương trình giống như cách viết trên vectơ ngày nay

Bellavitis định nghĩa phép cộng của hai hay nhiều đường bằng cách sử dụng quan hệ tương đẳng: nối các đường đã cho theo cách điểm gốc của mỗi đường trùng với điểm ngọn của đường trước đó, tổng là đường tương đẳng với đường nối điểm gốc của đường đầu tiên

và điểm ngọn của đường cuối cùng Ông cũng nói rằng tổng không thay đổi khi ta thay một đường bởi một đường khác tương đẳng với nó Sau đó ông định nghĩa tích của một đường với một số và nói rõ là trong một phương trình (tuyến tính) chứa các đường ta có thể thực hiện các phép toán như với các phương trình đại số Định lý cơ bản của Tính toán các tương đẳng là:

"Trong tính toán các tương đẳng, các số hạng có thể được chuyển vị, biến đổi, cộng, trừ, nhân, chia, v.v Tóm lại, ta có thể thực hiện tất cả những phép toán đã được sử dụng với các phương trình đại số, và những tương đẳng nhận được luôn luôn chính xác (theo nghĩa các phép toán luôn xác định và duy nhất)" (Bellavitis, 1833, tr 247)

Bellavitis còn đưa vào khái niệm độ nghiêng (inclinaison) của một đường, đó là góc

do đường này tạo nên với phương nằm ngang lấy theo hướng từ trái sang phải Lưu ý là ở đây Bellavitis chỉ hạn chế xét trong mặt phẳng Dựa vào khái niệm này, ông định nghĩa phép nhân hai đường: tích của hai đường là một đường có độ nghiêng bằng tổng hai độ nghiêng và chiều dài bằng tích hai chiều dài

(3) Ở đây “đường” được sử dụng theo nghĩa “đoạn thẳng” mà chúng ta dùng ngày nay

Người ta thừa nhận là lý thuyết của Bellavitis chứa đựng nhiều yếu tố của cấu trúc vectơ hiện đại Ngày nay, để định nghĩa các vectơ hình học người ta vẫn sử dụng quan hệ tương đẳng này Hơn thế, phép cộng, phép nhân với một số trong lý thuyết của ông hoàn toàn đồng nhất với các phép toán vectơ tương ứng ngày nay

Ngoài ra, Bellavitis đã thành công trong việc xây dựng một cấu trúc đại số trên các đối tượng hình học mà không cần bất cứ một sự giải thích nào mang bản chất đại số Việc các đối tượng mà ông sử dụng có bản chất hình học thuần túy đem lại cho công trình của ông một nét mới mẻ rất căn bản Thậm chí, so với Mobius, sự quan tâm xử lý các đối tượng hình học như với các đối tượng đại số đem lại cho công trình của ông một tầm cỡ mới

Sau đó, Bellavitis tìm cách mở rộng hệ thống tính toán của ông vào không gian nhưng không thành công Khó khăn mà ông gặp phải là vấn đề định nghĩa phép nhân của hai đường trong không gian Rõ ràng là trong mặt phẳng thì phương và hướng của một đường hoàn toàn

có thể được xác định bởi độ nghiêng của nó Nhưng điều đó không còn đúng nữa trong không gian, và tích hai đoạn hiểu theo định nghĩa của Bellavitis là không xác định trong trường hợp này

Lịch sử chỉ ra rằng việc khái quát hóa vào không gian ba chiều các hệ thống tính toán vectơ được xây dựng trong mặt phẳng luôn luôn đụng phải một vấn đề gai góc là phép nhân Chúng ta sẽ thấy rất rõ khó khăn này trong việc mở rộng những mô hình tính toán gắn liền với vấn đề biểu diễn các số phức

I.2 Vấn đề biểu diễn hình học các số phức

Việc mở rộng các tính toán đại số, trong đó trước hết là số âm, rồi đến số phức đóng một vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành khái niệm vectơ

Ngay từ thế kỷ 16, việc mở rộng các tính toán đại số đã đòi hỏi phải đưa vào căn bậc hai của các số âm với tư cách là trung gian của các tính toán (đặc biệt là trong vấn đề giải các phương trình bậc ba) Cho đến tận thế kỷ 19, vấn đề hợp thức của căn bậc hai các số âm luôn luôn là một trong những nỗi bận lòng về phương diện triết học của toán học Người ta gọi đây

là những đại lượng ảo, xem nó là sản phẩm của trí tuệ thuần túy, là một ký hiệu hình thức, là đối tượng được lấy làm trung gian cho các tính toán đại số, và người ta quan tâm đến câu hỏi:

nó biểu diễn cho đối tượng nào của thực tế toán học? Một số nhà toán học tìm cách giải quyết vấn đề này với sự giúp đỡ của hình học Chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hình học các số phức mà họ đã tạo ra các hệ thống tính toán vectơ Điều đáng lưu ý là việc biểu diễn hình học các số phức đã được soạn thảo hoàn toàn độc lập với nhau ít nhất là bởi năm người không thực sự nổi tiếng trong cộng đồng toán học: Caspar Wessel vào 1799, Adrien Quentin Buée vào 1805, Jean Robert Argand vào 1806, Mourey và John Warren vào 1828 Các mô hình của họ khá giống nhau nên ở đây ta chỉ xét công trình của Wessel và Argand Điểm xuất phát của người thứ nhất là hình học còn của người thứ hai là đại số

Tuy nhiên, trước khi nghiên cứu chi tiết các công trình này, cần phải nói rằng ý tưởng đầu tiên về việc dùng hình học để minh họa căn bậc hai các số âm (mà lúc đó được gọi là phi

lỵ, không thể, ảo) thuộc về Wallis, vào khoảng năm 1673 Nhưng mô hình của ông không đem lại một sự giải thích thỏa đáng cho phép nhân Lý do thất bại của ông sẽ được đề cập đến

ở phần cuối của phân tích khoa học luận lịch sử hình thành lý thuyết vectơ

1.2.1 Mô hình của Wessel

Mãi đến cuối thế kỷ 19 người ta mới biết đến công trình nghiên cứu công bố năm

1797 của Caspar Wessel (1745-1818), nhưng nó được xem là khám phá đầu tiên về việc biểu diễn hình học các số phức

Wessel không trực tiếp tìm cách giải thích sự tồn tại của các số phức, mà, theo cách nói của ông là tìm cách biểu diễn các phương bằng giải tích Ông nhận thấy rằng với kỹ thuật đại số cổ điển thì một hướng chỉ có thể được biến đổi thành hướng đối của nó, đến nỗi mà khi

đã cố định một phương thì người ta chỉ có thể xét cùng lúc các đường(4)

có hai hướng đối nhau Để khắc phục thiếu sót này, Wessel tìm cách mở rộng các tính toán đại số trên mọi đường của không gian (với lưu ý về tính vô hạn của các phương), sao cho không làm thay đổi các quy tắc tính toán quen thuộc "Từ thời cổ Hy lạp người ta có thói quen chỉ lấy độ dài làm đặc trưng cho các đường Tính đến chiều như Wessel đã là một sự kiện đáng lưu ý, còn tính đến các phương - nhất là trong những phép toán đại số, thì thực sự là một đổi mới" (J-L Dorrier, 1990, tr 47)

Để xây dựng một hệ thống tính toán như vậy, đầu tiên Wessel định nghĩa phép cộng hai đường Trong định nghĩa của ông về tổng hai đường, ta tìm thấy quan niệm (ngầm ẩn) về đại diện của vectơ Ông đã mở rộng định nghĩa này cho một số hữu hạn đường tùy ý (không cần đồng phẳng) Ông cũng lưu ý rằng thứ tự các đường trong phép cộng không quan trọng Sau đó ông đưa vào phép nhân hai đường đồng phẳng Định nghĩa của ông tương tự như định nghĩa của Bellavitis: tích hai đường đồng phẳng làmột đường đồng phẳng có chiều dài bằng tích các chiều dài và độ nghiêng (còn được gọi là phương góc - direction anguilaire) bằng tổng các độ nghiêng của hai đường ban đầu

Theo quy ước của Wessel, một đường đơn vị được cố định và ký hiệu là +1 Một đường đơn vị khác vuông góc với nó và có cùng điểm gốc được ký hiệu là +δ Ông ký hiệu (-1) là đơn vị đôi của đơn vị +1 và chỉ ra rằng với phép toán đã định nghĩa như trên thì √

δ vì(+δ).(+ δ) = -l

Như vậy, Wessel đã đưa ra được một cách giải thích hình học cho √ Ông cũng chứng minh được rằng các bán kính của đường tròn đơn vị được viết ở dạng (cos v + δ sin v) hoặc (a + δb) và người ta có thể nhân, chia, nâng lên lũy thừa hữu tỷ những biểu thức như vậy

Sau đó Wessel tìm cách mở rộng hệ thống tính toán của mình ra không gian ba chiều Như ta thấy, phép cộng các đường và phép nhân với một số đã được định nghĩa cho mọi đường trong không gian vấn đề còn lại là khái quát hóa phép nhân các đường Wessell bắt đầu bằng việc xét ba đơn vị được lấy theo các phương vuông góc từng đôi một mà ông ký hiệu là +1, + δ,+μ Ông chỉ ra rằng mọi đường của không gian đều có thể biểu diễn thành một

tổ hợp tuyến tính của ba đơn vị này Tương tự như trong mặt phẳng, ông đặt δ δ = 1, μ μ =

-1

Rồi ông định nghĩa phép nhân hai đường nhờ vào phép quay xung quanh các trục Theo hướng này ông xem xét (cos u + δ sin u) và (cos v + δ sin v) - tương ứng với các phép quay quanh trục +μ với góc quay u và phép quay quanh trục + δ với góc quay v Nhưng ông không

(4)

Giống như ở Bellavitis, từ « đường » cũng được Wessel sử dụng với nghĩa « đoạn thẳng » như ta nói ngày nay

nghiên cứu phép quay quanh trục +1 Trong thực tế toán học thì trước đó đã tồn tại một khó khăn thực sự trong việc biểu diễn những phép quay như vậy, đặc biệt là phải định nghĩa các tích δμ và μδ Hẳn là Wessel đã vấp phải khó khăn này và không thể vượt qua

I.2.2 Mô hình của Argand

Năm 1806 Jean Robert Argand (1768- 1822) công bố Tiểu luận về một cách biểu diễn đại lượng ảo trong các phép dựng hình học (Esaai sur une manière de représenter les quantités imaginaries dans les construction géométriques) trong đó ông còn đưa ra cách biểu diễn hình học của phép cộng và phép nhân các số phức, chứng minh được nhiều định lý của lượng giác, hình học sơ cấp và đại số

Trái với Wessel, điểm xuất phát của Argand là đại số Ông bắt đầu từ số âm mà tính hợp thức của nó cho đến lúc bấy giờ còn chưa được hoàn toàn thừa nhận Ông nêu lên hai vấn đề:

Tùy theo loại đại lượng được đếm mà số âm sẽ là thực hay là ảo

- Hai đại lượng thuộc cùng một loại có thể cho hai giá trị âm so sánh được với nhau

Tư tưởng về quan hệ giữa chúng rất phức tạp Nó bao gồm:

1) Quan hệ số, phụ thuộc vào giá trị tương ứng được xem xét một cách tuyệt đối của chúng(5)

2) Quan hệ về hướng hay chiều mà chúng thuộc vào, mối quan hệ được xem là như nhau hay đối nhau" (Argand, 1806, tr 5)

Chính từ nhận xét thứ hai này mà tư tưởng về chiều xuất hiện ở Argand, và điều đó dẫn đến chỗ đưa vào một mô hình biểu diễn các số thực trên một trục định hướng (axe orienté) Argand nói về tính hợp thức của số âm như sau:

"[ ] đại lượng âm, là ảo khi cách đánh số được áp dụng cho một đại lượng nào đó, sẽ phải là thực khi ta phối hợp theo một cách nào đấy tư tưởng về giá trị tuyệt đối với tư tưởng

về chiều" (Argand, 1806, tr 6)

Sau đó Argand tìm cách biểu diễn trung bình nhân (moyen géométrique) của hai đơn

vị có hướng đối nhau, đó là đại lượng x thỏa mãn tỉ lệ thức: +1: x:: x: -1 (nghĩa là )

Hiển nhiên ta có x.x = -1 Ông mở rộng lập luận đã sử dụng khi nói về tính hợp thức của số âm Vì đại lượng x không thể dương, cũng không thể âm nên cần có một hướng thứ ba chứa x Với tư tưởng này ông biểu diễn các số thực trên một trục, sau đó xét trục vuông góc với trục thứ nhất tại điểm gốc của nó Trên trục thứ hai, hai đại lượng đơn vị theo thứ tư đươc biểu diên bởi + √ và - √ Như thế là nguyên lý biêu diễn hình học đã được đặt ra Rồi ông đưa vào khái niệm đường định hướng (ligne dirigée):

"Đường định hướng được phân biệt với đường tuyệt đối (ligne absolue) - đường mà người ta chỉ có thể xem xét chiều dài, không quan tâm gì về hướng" (Argand, 1806, tr 11)

Để liên kết các đường định hướng với nhau, ông chỉ ra rằng những đường song song với trục thực được viết là ± a, những đường vuông góc với nó được viết là ± b √ và cuối

(5) Diễn đạt theo ngôn ngữ toán học ngày nay thì đó là quan hệ về giá trị tuyệt đối

cùng thì mọi đường của mặt phẳng được biểu diễn bởi ± a ± √ Sau đó ông thiết lập sự tương ứng giữa các số ảo với các phép dựng hình học được thực hiện trên các đường định hướng

Điều đáng quan tâm là ngay từ những phép chứng minh đầu tiên có liên quan đến các đường, tác giả đã lưu ý rằng không nhất thiết là các đường này phải được cố định ở một điểm duy nhất, mà nói chung thì KA chỉ một đại lượng bằng KA và được lấy theo cùng một hướng Khái niệm vectơ như thế là đã được xác định mặc dầu còn ngầm ẩn

Liên quan đến các phép toán Argand đã đưa ra (một cáchh ngầm ẩn) một kết quả rất đáng quan tâm: trong mặt phẳng mọi đường định hướng đều có thể được phân tích thành tổ hợp tuyến tính của hai đường không cộng tuyến cho trước và sự phân tích này là duy nhất Như vậy là Argand đã vạch ra một tính chất rất quan trọng đặc trưng cho mặt phẳng với tư cách là không gian vectơ hai chiều

Tác phẩm của Argand chìm trong im lặng, không được chú ý cho đến tận năm l813, khi Frédéric Français (1755 - 1833) công bố một bài báo trong đó ông đưa ra những nguyên

lý hình học về vị trí và dùng hình học để giải thích cho các đại lượng ảo Một cuộc tranh luận khoa học đã xẩy ra giữa Argand, Français và Servoir sau khi bài báo được công bố Thông qua cuộc tranh luận khoa học đó, Arrgand hoàn thiện nghiên cứu của mình và tìm cách mở rộng nó ra không gian với những lập luận tương tự như trong mặt phẳng

Chúng tôi sẽ không phân tích chi tiết ở đây cách thức mở rộng này (tham khảo Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr 89-91), chỉ lưu ý rằng phép lập luận tương tự được khái quát hóa từ mặt phẳng đã đưa ông đến một kết quả không chính xác (xem Artigue et Deledicq, 1992, tr 43)

Trong cuộc tranh luận đó, cũng như Argand, Franẹais và Servoir tìm cách mở rộng tính toán hình học vào không gian Chỉ có ý tưởng của Servoir được lịch sử quan tâm đến Servoir dự đoán là mỗi đường thẳng bất kỳ của không gian có thể được biểu diễn bởi một tam thức dạng (p cos α + q cos β + r cos γ), α , β, γ là các góc do đường này tạo nên với ba trục vuông góc Nhưng ông không thành công trong việc xác định bản chất các hệ số p, q, r (không phải là số thực) Như chúng ta biết, vấn đề này được Hamilton giải quyết sau đó trong

lý thuyết các quaternion của ông

Như vậy, qua các hệ thống tính toán trong nội tại hình học và cách giải thích tính hợp thức của số phức thì đoạn thẳng đã được xem xét không chỉ về độ dài mà còn cả về phương

và hướng Những đặc trrưng của vectơ trong toán học hiện đại đã được đưa ra, mặc dầu còn ngầm ẩn Các tác giả đã thao tác trên các đối tượng hình học như với các đối tượng đại số Phép cộng các đường cũng như phép nhân một số với một đường đã được định nghĩa cho mọi đường trong không gian Chúng trùng với các phép toán vectơ tương ứng mà chúng ta xét ngày nay Hơn thế, chúng thoa mãn mọi tính chất của các phép toán vetơ này

Hầu hết các giả đều cố gắng mở rộng mô hình của mình cho không gian ba chiều, nhưng thất bại Họ đều gặp phải một vấn đề gai góc là khái quát hóa phép nhân các đường

Để giải quyết vấn đề này, như chúng ta sẽ thấy, Hamilton đã sử dụng khái niệm quaternion và phải loại bỏ tính chất giao hoán của tích

I.3 Lý thuyết về các quaternion của Hamilton

Phát minh ra các quarternion (La théorie des quaternions) của Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) được đặt trong trào lưu nghiên cứu tính hợp thức của số phức

Theo quan điểm của Hamilton, đại số có thể được xem xét như là Khoa học của thời gian thuần túy (Science du Temps pur) Với nghĩa này, ông giải thích các số âm theo kiểu sự quay trở lại trong thời gian Sau đó, để trả lời cho câu hỏi về tính hợp thức của những số có bình phương là số âm, ông đã xây dựng một đại số trên các cặp mà ông gọi là instant và moment(6) Trên tập hợp các cặp này ông định nghĩa phép cộng và phép nhân với một số Sau

đó ông tìm cách định nghĩa phép nhân hai cặp Trong quá trìnhh xây dựng một định nghĩa thỏa đáng cho phép nhân hai cặp ông cố gắng giữ lại những tính chất "quen thuộc" của các phép toán đại số Theo hướng này và với tư tưởng mở rộng những trường hợp đặc biệt đã được định nghĩa, ông đi đến kết luận rằng tích của hai cặp chỉ có thể ở một dạng duy nhất là:

(a1, a2)(b1, b2) = (a1b1 - a2b2, a1b2 + a2b1)

Với định nghĩa đó về tích thì (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) và như thế là Hamilton đã đưa lại một cách giải thích về tính hợp thức cho số phức Trong một mô hình được xây dựng như vậy thì số phức được xem như là cặp hai số thực (người ta không thấy Hamilton nêu lên một cách giải thích hình học nào cho các số phức, "hẳn là ông nghĩ rằng cách này giúp đỡ về mặt trực giác nhưng không mang lại một sự biện minh thỏa đáng cho số phức" (Crowe, 1967, tr 26))

Tiếp tục theo đuổi mục đích của mình, Hamilton xây dựng một đại số trên các bộ ba Lúc này ông đã giới hạn mục đích nghiên cứu Các tính chất mà ông muốn giữ lại trong đại

số này là:

- Tính chất kết kợp của phép cộng và phép nhân ;

- Tính giao hoán của phép cộng và phép nhân ;

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

- Tính duy nhất của phép chia: với mọi bộ ba N, N' luôn luôn tồn tại một và chỉ một

bộ ba X saocho NX = N'

- Các bộ ba phải thỏa mãn quy tắc modul, nghĩa là: nếu a2 + b2 + c2 là bình phương của modul của bộ ba (a, b, c), thì bình phương của modul của tích hai bộ ba phải bằng tích các bình phương của hai modul

Hơn thế, ông còn hi vọng là có thể đem lại cho các bộ ba này một cách giải thích hình học, giống như trường hợp các số phức của mặt phẳng

Tiến trình này hoàn toàn mới mẻ và Hamilton được xem như một trong những người đầu tiên khơi thông ý tưởng về các cấu trúc đại số

Phép cộng và phép nhân với một vô hướng được xây dựng không khó khăn gì vấn đề còn lại là định nghĩa tích hai bộ ba Hamilton đã thử tìm nhiều con đường Ông đã phải thường xuyên thay đổi cách thức tiếp cận, xem xét vấn đề khi thì dưới góc độ đại số, khi thì dưới góc độ hình học Cuối cùng, chính là bằng cách xem xét những tính chất hình học của phép nhân các số phức mà ông đã có một bước tiến quyết định Ông chỉ rõ rằng phép nhân

(6) Là những danh từ chỉ thời gian, nghĩa của chúng là lúc, chốc, lát

hai số phức phải dựa trên tích các chiều dài của mỗi vectơ và góc do chúng tạo thành, cố gắng chuyển ý tưởng này vào không gian ba chiều, ông hiểu là dựa vào góc của hai vectơ thì không đủ, mà phải xét mặt phẳng trong đó góc này được vẽ nên, nói cách khác là xét phép quay cho phép chuyển từ phương này vào phương kia Thế nhưng, để xác định một phép quay thì cần phải xác định một góc (đại lượng một chiều) cùng với một phương (đại lượng hai chiều), và như vậy là cần có bốn yếu tố, "một để xác định chiều dài và ba để hoàn toàn xác định được hướng"

Phân tích này đã dẫn Hamilton đến với tư tưởng là một hệ thống tính toán hình học trong không gian ba chiều phải dựa trên các bộ bốn chứ không phải là bộ ba Sự tương tự với phép quay đưa ông đến chỗ loại bỏ tính chất giao hoán của phép nhân Cuối cùng, ông đã đi đến phát minh ra các quarternion

Để mang lại một cách giải thích hình học cho quarternion, Hamilton phân nó thành hai phần, một phần thực (partie réelle) và một phần ảo (partie imaginaire), mà ông còn gọi là phần vô hướng (partie scalaire) và phần vectơ ((partie vectorielle) Phần vectơ được biểu diễn nhờ vào đường định hướng có x, y, z là các hình chiếu lên ba trục vuông góc Ông còn giải thích rằng một vectơ là một quaternion có phần vô hướng bằng 0

Theo Crowe, "chính Hamilton là người đưa ra thuật ngữ vô hướng và vectơ với nghĩa toán học, mặc dầu người ta đã sử dụng từ những năm trước các biểu thức bán kính vectơ" (Crowe, 1967, tr 32) Tuy nhiên, vị trí quan trọng của Hamilton trong lịch sử hình thành lý thuyết vectơ không phải ở đó, mà ở chỗ khám phá ra các quaternion là điểm xuất phát cho nhiều nghiên cứu về các cấu trúc đại số trên Rn và Cn Hơn thế, tiến trình mà ông đi theo đã mang lại một cách nhìn hoàn toàn mới mẻ về bản chất của đại số Chính vì vậy mà người ta xem ông như một trong những người đầu tiên ý thức được phương diện cấu trúc của đại số

Do tri thức cần được xem xét từ một quan điểm khoa học luận ở đây là vectơ hình học, không phải là vectơ theo nghĩa tổng quát, trừu tượng của đại số tuyến tính, chúng tôi không đi sâu vào phân tích đóng góp của Hamilton đối với lịch sử hình thành và phát triển lý thuyết về các không gian vectơ Với nghiên cứu khoa học luận ở trên, chúng tôi chỉ cố gắng vạch ra những tư tưởng đã dẫn Hamilton đến với các quaternion, đặc biệt là cách tiếp cận vấn

đề định nghĩa phép nhân từ cả hai góc độ, đại số và hình học

I.4 Lý thuyết của Grassmann

Cùng thời với Hamilton, ở Đức, Hermann Grassmann (1809 - 1877) cũng có một vai trò quan trọng trong lịch sử phát triển lý thuyết vectơ Để đánh giá tầm cỡ của nghiên cứu do Grassmann công bố năm 1844 cần phải bắt đầu bằng việc phân tích phương diện phương pháp luận Thế nhưng, bình luận chi tiết phương pháp luận cũng như nội dung toán học của công trình này vượt quá phạm vi nghiên cứu khoa học luận đối tượng vectơ hình học Dưới đây ta chỉ xem xét những chi tiết chủ yếu trực tiếp liên quan đến đối tượng toán học này

Phép tương tự với hình học là nguồn gốc của sự khái quát hóa và là phương diện thực

tế của lý thuyết(7) do Grassamnn xây dựng Tư tưởng đầu tiên dẫn ông đến lý thuyết này được giải thích như sau:

"Việc xem xét số âm trong hình học đã cho tôi ý tưởng đầu tiên: tôi đã quen nhìn trong các đoạn thẳng AB và BA những đại lượng đối nhau Từ đó suy ra rằng nếu A, B, C là các điểm thuộc cùng một đường thẳng thì AB + BC = AC luôn luôn đúng, khi AB, BC được chỉ ra theo một cách giống nhau, và cả khi AB, BC đối nhau, nghĩa là C được đặt giữa A và

B Trong trường hợp sau, AB và BC không chỉ được nhìn đơn giản là các độ dài mà còn là những đại lượng đối nhau theo một phương cố định Như thế, cần phải phân biệt tổng các độ dài với tổng các đoạn thẳng được đặt trong một phương cố định Từ đó suy ra yêu cầu phải giữ nguyên quan niệm này về tổng không chỉ cho trường hợp các đoạn thẳng cùng chiều hay

có chiều đối nhau mà cho mọi trường hợp Điều đó có thể được làm theo một cách đơn giản nhất là duy trì quy tắc AB+ BC = AC, cho dù A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng (Grassmann, 1844, tr.7-11)

Đánh giá tư tưởng trên, J-L Dorrier viết: «Quy tắc này là cách phiên dịch đại số của hình bình hành lực, kiến thức đã được biết đến từ thời cổ đại Thế nhưng, giữa phương tiện biểu đồ để biểu diễn hợp của hai lực với cách giải thích đại số cho phép cộng hai vectơ là một bước nhảy quan niệm rất dài » (J-L.Dorrier, 1996, tr 36)

Với tư tưởng này ông đi đến định nghĩa một khái niệm tương ứng với khái niệm đoạn thẳng định hướng (hay vectơ buộc) trong hình học Người ta tìm thấy trong định nghĩa của ông khái niệm vectơ toán học ngày nay

Sau đó ông định nghĩa tổng hai đoạn thẳng cùng phương, rồi tổng các đoạn thẳng bất

kỳ Cách xác định tổng (đặt nối đầu nhau sao cho điểm cuối của đoạn thứ nhất trùng với điểm đầu của đoạn thứ hai, tổng là đoạn thẳng có điểm đầu là điểm đầu của đoạn thứ nhất, điểm cuối là điểm cuối của đoạn thứ hai) đã đẫn ông đến cách biểu diễn bằng ký hiệu [αβ] + [βγ] = [αγ] Chính cách viết này là cơ sở để ông đi vào phương diện hình thức hóa khi xây dựng lý thuyết của mình Ông chỉ ra rằng mối liên kết này xác định một phép cộng (của nhóm giao hoán), từ đó ông định nghĩa phép trừ, phần tử không và phần tử đối Tiếp tục theo con đường

này, ông giải thích tính hợp thức của số âm, rồi định nghĩa tích hình học (8) (produit géomtrique) của hai đường, ba đường, Không đi vào chi tiết, ta chỉ cần nói rằng

Grassmann đã đưa ra hầu hết các khái niệm chủ yếu của tính toán vectơ hiện đại, và điều quan trọng nhất ở đây là hệ thống của ông được trình bày dưới dạng có thể áp dụng cho không gian n chiều

Tóm lại:

Những hệ thống đầu tiên mang các đặc trưng của tính toán vectơ được tìm thây trong hai hướng, một hướng gắn liền với việc nghiên cứu số phức và dẫn đến khám phá ra các quaternion của Hamilton, còn hướng kia nhằm mục đích thực hiện phép toán trực tiếp trên

các đối tượng hình học mà Grassmann là người đầu tiên thành công trong không gian ba chiều, thậm chí trong không gian với số chiều lớn hơn

Nhưng các lý thuyết của Hamilton và Grasmann đã không được tiếp nhận một cách dễ dàng trong cộng đồng các nhà khoa học thời đó Đối với Hamilton, lý do nằm ở bản chất phức hợp, « không đồng chất » của các quaternion(9), còn đối với Grassmann thì đó là tính phức tạp của những tư tưởng triết học chứa đựng trong lý thuyết của ông

II Những trở ngại cho sự xuất hiện khái niệm vectơ và sự phát triển của tính toán vectơ

Phân tích khoa học luận đã chỉ cho ta thấy hai kiểu trở ngại chính mà các nhà toán học phải vượt qua Kiểu thứ nhất gắn liền với vấn đề giải thích khái niệm phương và chiều trong việc xây dựng các đại lượng hình học Kiểu thứ hai liên quan đến tính phức tạp của bản chất kép đại số - hình học của tính toán vectơ

II.1 Xung quanh vấn đề giải thích khái niệm phương và chiều

Mô hình hình học kế thừa thời Hy lạp cổ đại của Eucllide chỉ cho phép các số can thiệp trên phương diện độ đo, và do đó chỉ có các số dương được sử dụng Chẳng hạn, đoạn thẳng tương ứng với độ dài, hình phẳng tương ứng với diện tích, hình khối tương ứng với thể tích Chính theo cách thức tương ứng này mà mối quan hệ giữa số học với hình học được tổ chức

Phương pháp giải tích của Descartes và Fermat đã lật đổ sự cân bằng này, thiết lập nên những mối liên hệ mới giữa đại số với hình học Thế nhưng ở đây các phép toán vẫn luôn luôn chỉ được thực hiện trên các số

 Bước chuyển vào một hệ thống tính toán trong nội tại hình học đòi hỏi phải gắn cho các đại lượng hình học một đặc trưng khác với đặc trưng số Chính ở bước chuyển này mà các nhà toán học gặp phải trở ngại đầu tiên Lịch sử đã chỉ ra rằng ở buổi ban đầu tư tưởng về chiều và phương đã không dễ dàng xuất hiện trong những nghiên cứu nhằm xây dựng một mô hình tính toán trong nội tại hình học Sự vắng mặt của tư tưởng này là một trong những nguyên nhân chủ yếu làm cho Leibniz thất bại

 Ở đây ta nhận thấy sự xuất hiện của số âm có vai trò quan trọng Chính trong mối quan hệ biện chứng với số âm mà chiều (hướng), đặc trưng định hướng đầu tiên của các đại lượng hình học xuất hiện Ta đã thấy rõ điều đó không chỉ qua những nghiên cứu về tính hợp thức của số phức mà còn qua cả các hệ thống tính toán được xây dựng trong hình học

Mobius, trong Tính toán tâm tỉ cự công bố năm l827, đã nhìn thấy hai chiều đối nhau

trên một phương, nhưng không quản lý về phương diện đại số mối quan hệ giữa các phương khác nhau trong mặt phẳng Phải 16 năm sau ông mới vượt qua được giai đoạn này Chuyển

(9) Về điều này, nhà vật lý học Maxwell, một trong số ít người cùng thời với Hamilton có lưu ý sử dụng các quaternion trong vật lý, đã nói: « liệu người ta có thể cày ruộng với một con bò và một con lừa cùng mắc vào cày hay không? »

từ phân biệt hai chiều đối nhau trên một phương đến sự phân biệt các phương khác nhau thực

sự là một bước ngoặt quan trọng

Wallis (1616 -1703), một trong những người đầu tiên đưa ra, trong tác phẩm mang tên Đại số (Algebra) xuất bản năm 1685, một cách giải thích cho các đại lượng ảo Nhưng ông đã không thể giải thích thỏa đáng phép nhân Phương pháp của ông là khái quát hóa vào mặt phẳng mô hình cộng của những cái được và mất đã được sử dụng để giải thích các đại lượng

âm Theo thuật ngữ hiện đại thì ta có thể nói rằng đối với Walis việc mở rộng từ R vào C cũng có cùng bản chất với việc mở rộng từ N vào Z Thực ra, phép tương tự mà ông sử dụng

ở đây chỉ là sự tương tự bề ngoài, nó không tính đến cấu trúc nhân Trong thực tế, mô hình của những cái được và mất đã được dùng cho các đại lượng âm không chỉ vì nó mang lại nghĩa cho số âm mà trước hết là vì nó cho phép tính đến cấu trúc cộng của Z Thế nhưng ở đây cái liên quan đến tập hợp các số ảo không phải là cấu trúc cộng mà là cấu trúc nhân của

nó Mô hình được và mất không còn thích hợp nữa ở cấp độ này

Phải hơn một thế kỷ sau, chủ yếu là với Wessel, Argand và Bellavitis, vấn đề phép nhân mới kéo theo việc tính đến các phương khác nhau trong mặt phẳng Chẳng hạn, để định nghĩa phép nhân hai đường, Bellavitis phải đưa vào khái niệm độ nghiêng - yếu tố cho phép xác định phương của một đường trong mặt phẳng Ở Wessel, cũng như Argand, thì trung bình nhân của 1 và -1 sinh ra phương vuông góc với hai hướng đối nhau trên đường thẳng thực, rồi cũng từ việc xem xét tích của các đường mà họ đưa vào những phương khác của mặt phẳng

 Điều quan trọng cần phải nói đến ở đây là, một mặt, vấn đề chiều được tính đến trước so với vấn đề phương, mặt khác thì hai vấn đề này lại không thể tách rời nhau Ta có thể thấy rõ điều đó trong trích dẫn đã nêu trên của Grassmann, khi ông giải thích rằng chính việc xem xét số âm trong hình học là điểm xuất phát của ông Như vậy, vectơ được xây dựng với mụch đích tính toán, mà các phép toán thì lại đòi hỏi các phương được định hướng Nhưng đề định hướng các vectơ, không thể hài lòng với một quan điểm mô tả như người ta

đã làm bằng cách xác định độ nghiêng của một đường

II.2 Tính phức tạp của bản chất kép đại số-hình học của tính toán vectơ

Mong muốn của Leibniz chỉ được thực hiện với sự ra đời của lý thuyết vectơ Bằng cách xem xét trực tiếp các vị trí như đại số xem xét các đại lượng, lý thuyết này cho phép giải các bài toán hình học với công cụ của đại số, trong khi vẫn ở lại rất gần với trực giác hình học Nói cách khác, lý thuyết vectơ là một sự hợp nhất sức mạnh tính toán của đại số với sức mạnh trực giác của hình học, vì nó chứa đựng những phép toán đại số mà người ta có thể áp dụng cho các đối tượng hình học

Thế nhưng, như ta đã thấy, trong quá trình xây dựng và phát triển của lý thuyết vectơ, bản chất kép đại số - hình học này đã là nguồn gốc của những khó khăn trong quan niệm

Các đại lượng ảo(số phức) đã tìm thấy sự hợp thức của mình trong lòng hình học Nhưng mô hình biểu diễn hình học của chúng chỉ mang lại một câu trả lời gián tiếp và không đầy đủ cho nghiên cứu những hệ thống tính toán trong nội tại hình học Các tác giả đã cố gắng khái quát hóa phát minh của họ vào không gian ba chiều, song đều thất bại đối với phép nhân các đường Khó khăn này chỉ được Hamilton giải quyết nhờ một phân tích sâu sắc mối quan hệ qua lại giữa các quan điểm đại số và hình học Chúng ta đã thấy Hamilton lập luận

như thế nào để đi đến chỗ kết luận rằng tính toán hình học trong không gian ba chiều phải dựa trên các bộ bốn chứ không phải là bộ ba yếu tố Hay, để định nghĩa tích của hai cặp số ông cũng đã phải dựa trên những phân tích cả về phương diện hình học lẫn những tính chất đại số của phép toán Đây là kết quả của một quá trình suy nghĩ rất dài mà dấu vết còn lại cho chúng ta ngày nay là những quyển sổ ghi chép các phân tích theo nhiều hướng của ông, trong

đó hoạt động thay đổi phạm vi giữa phương diện đại số và hình học giữ vai trò chìa khóa

Ở Grassmann ta cũng gặp một dạng tiếp cận khác trên tính hai mặt đại số - hình học này Ông đã phải sử dụng mối quan hệ biện chứng giữa phương diện trực giác hình học với phương diện hình thức của cấu trúc đại số để định nghĩa các khái niệm chủ yếu trong lý thuyết của mình Cách nhìn nhận cơ bản này đã cho giúp ông xây dựng được một lý thuyết

«vượt lên trên phạm vi hình học [ ] Mặt khác, người ta có thể hiểu được là tư tưởng này đã làm các nhà toán học đương thời chán nản như thế nào (khi nghiên cứu lý thuyết của ông) -họ chưa sẵn sàng xem xét hình học và mối quan hệ của nó với đại số dưới góc độ này » (J-L Dorrier, 1990, tr 56)

Như vậy, rõ ràng là trong lịch sử phát triển của mình, tính toán vectơ đã theo đuổi một con đường biện chứng nối liền hai cực, đại số và hình học Tính phức tạp của bản chất kép đại số - hình học này đã là những khó khăn đối với các nhà toán học của nhiều thời kỳ, cho

dù là trong việc xây dựng hay trong việc tiếp nhận các hệ thống tính toán vectơ

Cần phải nói rõ rằng cực đại số mà chúng tôi nói đến ở đây không chỉ thu hẹp vào cấu trúc đại số của các không gian vectơ, hay nói cách khác là vào tính chất tuyến tính của tính toán vectơ Trong lý thuyết về không gian vectơ, các vectơ đại số không được xây dựng, nó được định nghĩa bằng những tiên đề về phần mình, tính toán trên các vectơ hình học được sáng tạo ra trong sự tác động qua lại giữa trực giác hình học với đại số Ta đã thấy phép nhân

có vai trò cơ bản như thế nào trong lịch sử phát sinh các vectơ hình học

III Lợi ích sư phạm của phân tích khoa học luận

Từ phân tích khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển các hệ thống tính toán vectơ, ta đã có thể đưa ra một số giả thuyết liên quan đến những khó khăn mà học sinh gặp phải trong học tập và nguồn gốc của những khó khăn đó cần phải nói rõ rằng nghiên cứu này chỉ giới hạn trong phạm vi những khó khăn liên quan đến việc hiểu vectơ với tư cách là một đối tượng toán học Khó khăn trong việc sử dụng công cụ(10)

vectơ để giải toán sẽ không được đề cập đến

(10) Một khái niệm hoạt động dưới dạng cơ chế đối tượng nếu nó được xem là một đối tượng nghiên cứu: nó được định nghĩa ra sao, có những tính chất gì, có vị trí như thế nào trong một cơ cấu tổ chức rộng hơn các tri thức văn hóa, khoa học được xã hội thừa nhận

Một khái niệm có cơ chế "công cụ" khi nó được sử dụng một cách ngầm ẩn hay tường minh như là phương tiện

để giải quyết một vấn đề, một bài toán

Liên quan đến vectơ ở cơ chế đối tượng, phân tích khoa học luận dẫn ta đến với giả thuyết về ba mức độ khó khăn trong học tập của học sinh Những giả thuyết này đã được kiểm chứng qua nghiên cứu thực nghiệm

III.1 Mức độ thứ nhất: khó khăn trong việc thoát ra khỏi cách nhìn thống trị của mô

hình métric trong hình học để tính đến đặc trưng định hướng của vectơ

Giả thuyết về sự tồn tại của khó khăn này cho phép giải thích một kiểu sai lầm rất phổ biến của học sinh: chỉ căn cứ vào độ dài để xem xét sự bằng nhau giữa các vectơ Kiểu sai lầm này đã được chỉ ra qua một số nghiên cứu được thực hiện ở những thời điểm khác nhau, với những đối tượng khác nhau

• Chẳng hạn, với bài toán:

Cho lục giác đều ABCDEF Hỏi đẳng thức sau đúng hay sai? Vi sao?

49/213 (23%) học sinh Việt nam và 27/106 (25,5%) học sinh Pháp lớp đầu cấp trung học phổ thông trả lời là « đẳng thức trên đúng », với lời giải thích rằng AB, BC, CD, DE, EF,

FA là các cạnh của lục giác đều (Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr.231)

• Kiểu sai lầm quy một vectơ về độ dài của nó cũng được Lounis tìm thấy ở học sinh trong một nghiên cứu nhằm tìm hiểu quan niệm của họ về đối tượng toán học này Ví dụ, trả lời cho câu hỏi

95 trên tổng số 172 (55%) học sinh cuối lớp l0 ở Pháp, cho rằng vì lớn

gấp 4 lần hay dài hơn 4 lần, hay A=4B

• Quan niệm chỉ lấy độ dài làm tiêu chuẩn có ảnh hưởng lớn đến mức ngay cả khi đã

có ý thức tính đến các đặc trưng định hướng của vectơ, học sinh vẫn quay trở lại với quan niệm này nếu họ được đặt trong một tình huống không quen thuộc Chẳng hạn, khi trả lời câu hỏi:

“Cách viết đúng hay sai? Vì sao”

97/213 học sinh việt nam cho rằng cách viết trên đúng “ vì | | > | | lưu ý là trong số

97 hoạc sinh này, có 61 đã tính đến đặc trưng định hướng khi được yêu cầu xét sự đúng sai của một đẳng thức vectơ Thế nhưng trước một bài toán không quen thuộc thì họ lại quay trở

về với tư tưởng "lấy quan hệ về độ dài làm căn cứ'", và, rất tự nhiên họ đưa ra quy tắc so sánh: vectơ có độ dài lớn hơn là vectơ lớn hơn

III.2 Mức độ thứ hai: khó khăn trong việc nắm vững hai đặc trưng định hướng của vectơ

Khi đã thoát ra khỏi ảnh hưởng của mô hình métric thì học sinh lại có khó khăn trong việc hiểu hai đặc trưng định hướng của vectơ Trong một chừng mực nào đó có thể cho rằng khó khăn này có liên quan đến việc sử dụng từ vựng Quả thật, khi mà khái niệm cùng hướng không được định nghĩa, chỉ mô tả rằng "chiều từ A tới B trùng với chiều từ C tới D" và minh họa trên hình vẽ thì học sinh rất dễ đem cách hiểu của cuộc sống thường ngày về các từ chiều, hướng vào áp dụng cho vectơ Và vì trong cuộc sống nhiều khi người ta không phân biệt các thuật ngữ phương, chiều, hướng nên học sinh có thể sử dụng không đúng những từ này khi nói về đặc trưng định hướng của vectơ

Tuy nhiên, không thể giải thích rằng khó khăn này chỉ đơn thuần ở mức độ từ vựng Điều đó thể hiện rất rõ khi học sinh dùng một từ duy nhất là "chiều" để nói về hai đặc trưng định hướng của vectơ Chẳng hạn, những vectơ không cùng phương vẫn có thể được học sinh xem là "bằng nhau vì có cùng độ dài và cùng chiều" Lại cũng có những học sinh để giải sự không bằng nhau của các vectơ thì nói "chúng cùng chiều nhưng không cùng phương", hoặc

"chúng không cùng chiều, cũng không cùng phương" Những câu trả lời này chứng tỏ từ chiều đã được xem xét một cách rất tùy tiện (chiều từ trên xuống dưới, từ phải qua trái, chiều quay của kim đồng hồ, v.v ) và học sinh không hiểu rằng khái niệm cùng chiều là một khái niệm tương đối, người ta chỉ nói đến sự cùng chiều hay không cùng chiều đối với các vectơ cùng phương

Việc phân tích sai lầm của học sinh được đặt dưới ánh sáng của nghiên cứu khoa học luận thực hiện ở trên cho phép ta hiểu được nguồn gốc của những sai lầm này Để thoát khỏi

mô hình métric trước hết cần phải nhìn thấy trên mỗi đường thẳng hai chiều đối nhau, sau đó lại cần thoát khỏi mô hình một phương định hướng để tính đến nhiều phương khác nhau được định hướng Học sinh có thể hiểu được khái niệm phương của một đường thẳng trong sự tách biệt với khái niệm chiều, cũng có thể hiểu được khái niệm chiều giới hạn ở một phương duy nhất, nhưng kết hợp cả chiều và phương trong cùng một mô hình thực sự là một khó khăn

Trong những sai lầm liên quan đến hai mức độ khó khăn này, ta gặp ở học sinh những kiểu trả lời sau rất đáng quan tâm:

- Cách viết đúng vì độ dài của a lớn hơn 0

- Cách viết sai vì một vectơ có thể dương hay âm

Câu trả lời thứ nhất chứng tỏ học sinh đang ở trong mô hình métric, chỉ lưu ý đến độ dài của vectơ Còn những học sinh có câu trả lời thứ hai thì đã ra khỏi mô hình métric nhưng lại đang ở trong mô hình một phương định hướng Ta có thể nêu lên giả định rằng ở đây học sinh đã đồng nhất một vectơ với độ dài đại số của nó

III.3 Mức độ thứ ba: khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của tính

toán vectơ

• Khó khăn này thể hiện trước hết ở việc hiểu vectơ- không

Trong một nghiên cứu thực nghiệm, chúng tôi nhận thấy nhiều học sinh không tính đến vectơ 1

0 khi trả lời câu hỏi:

"Qua ba điểm phân biệt A, B, C (trong đó không có điểm nào là trung điểm của hai

điểm còn lại) có thể xác định được bao nhiêu vectơ, đó là những vectơ nào?"

Cụ thể, bảng dưới đây trình bày kết quả thống kê theo những câu trả lời nhận được từ

213 học sinh Việt nam và 106 học sinh Pháp tham gia thực nghiệm

3 véctơ 6 vectơ 9 vectơ 7 vectơ Không trả lời

Bảng tổng hợp trên cho thấy 137/213 (64,3%) học sinh Việt nam và 94/106 (84,7%)

học sinh Pháp không tính đến vectơ 0 Hơn thế nữa, rất ít học sinh trả lời đúng: nếu không

"quên" thì họ lại cho rằng có bao nhiêu điểm thì có bấy nhiêu vectơ 10

Giải thích về sự không tồn tại của vectơ 10, học sinh nói:

- Một vectơ phải nối liền ít nhất hai điểm

- Một vectơ không thể có hai đầu mút trùng nhau

- Một vectơ không thể có khoảng cách bằng 0, nếu không thì các đầu mút trùng nhau

và sẽ không có vectơ nữa

- Trong mọi trường hợp đều phải có một sự dịch chuyển(11)

Phân tích khoa học luận lịch sử phát triển lý thuyết vectơ cho phép ta hiểu được căn nguyên của những quan niệm sai lầm này

Chúng ta biết là học sinh không làm việc trong không gian vectơ tổng quát mà trên một mô hình của nó Mô hình này được xây dựng từ những đôi tượng hình học: vectơ được nghiên cứu là vectơ hình học (của mặt phẳng hay không gian) được định nghĩa qua các khái niệm hình học (độ dài, phương, hướng) Trong khi đó vectơ 10 được đưa vào do là nhu cầu xây dựng các phép toán đại số Nó cần thiết cho sự tồn tại của tổng hai vectơ đối nhau và hiệu hai vectơ bằng nhau Như thế, vectơ 1

0 chỉ có nghĩa khi phương diện đại số can thiệp Một cách nhìn từ quan điểm hình học không đòi hỏi học sinh phải nghĩ đến vectơ 10 Đối với học sinh, rõ ràng là đoạn thẳng có độ dài bằng không (nếu khái niệm vectơ được giới thiệu qua đoạn thẳng định hướng) và phép tịnh tiến đồng nhất (nếu phép tịnh tiến được sử dụng để đưa vào khái niệm vectơ) không có ý nghĩa gì về mặt hình học, và do đó vectơ 10 không phải là một đối tượng quen thuộc

Chắc chắn là học sinh không đặt ra vấn đề về sự tồn tại của vectơ 10 khi thực hiện các tính toán vectơ, vì họ làm việc trên các biểu thức vectơ như với các biểu thức số Thế nhưng, khi quay trở về với các thực thể hình học thì họ lại gặp khó khăn trong việc hình dung vectơ

1

0, hoặc, ở một thái cực khác, với cách hiểu điềm là đoạn thẳng có hai đầu mút trùng nhau, họ lại cho rằng có bao nhiêu điểm thì có bấy nhiêu vectơ 10 Cả hai thái cực đều cùng biểu hiện một quan niệm thuần túy hình học, không tính đến bản chất đại số của vectơ

Khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số-hình học của vectơ còn thể hiện ở việc

học sinh không phân biệt các phép toán vectơ với các phép toán số

(11) Cách giải thích này đều do một số học sinh Pháp cung cấp Lưu ý là trong sách giáo khoa của Pháp thì véc

tơ được định nghĩa nhờ các phép tịnh tiến

Rõ ràng là khi thực hiện các phép biến đổi trên học sinh lại tách bản chất hình học của vectơ ra khỏi các phép toán đại số Việc kết hợp vào trong cùng một đối tượng cả hai phương diện đại số và hình học không phải là đơn giản Ta đã thấy rõ điều đó trong phân tích khoa học luận lịch sử phát triển của tính toán vectơ

Ba mức độ khó khăn trên gắn liền với bản chất phức tạp của đối tượng vectơ Việc những kiểu sai lầm biểu hiện các khó khăn đó tồn tại dai dẳng ở học sinh, không chỉ trong toán học mà cả trong vật lý, với học sinh trung học phổ thông cũng như sinh viên đại học, cho dù với cách định nghĩa khái niệm vectơ như thế nào đi chăng nữa (tham khảo Lê Thị Hoài Châu, 1997), và nghiên cứu lịch sử đã được tiến hành cho phép ta kết luận rằng những khó khăn này có nguồn gốc khoa học luận

Chẳng hạn, ta có thể thấy điều này qua những kiểu sai lầm sau: