Không gian sn đối xứng với cs mạng đếm được

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH THỊ PHƯỢNG KHÔNG GIAN sn-ĐỐI XỨNG VỚI cs-MẠNG ĐẾM ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH THỊ PHƯỢNG KHÔNG GIAN sn-ĐỐI XỨNG VỚI cs-MẠNG ĐẾM ĐƯỢC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 84.60.102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - Năm 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Đinh Thị Phượng i LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tác giả đọc, tìm hiểu suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn tiến độ Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo khoa tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp cao học Tốn K32- Giải tích Đại học Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Đà Nẵng, ngày 20 tháng 03 năm 2018 Tác giả Đinh Thị Phượng ii Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức sở 1.1 1.2 Không gian mêtric A Không gian mêtric Sự hội tụ không gian mêtric B Tập hợp mở phần tập hợp C Tập hợp đóng, bao đóng biên tập hợp Không gian tôpô 11 A Đại cương không gian tôpô 11 B Bao đóng tập hợp 15 C Vị trí tương đối điểm tập hợp 16 D Phần tập hợp 17 E Biên tập dẫn xuất tập hợp 19 Không gian sn-đối xứng với cs-mạng đếm 21 2.1 Các mạng không gian tôpô 21 2.2 Mối liên hệ mạng 23 2.3 Không gian sn-đối xứng với cs-mạng đếm toán S Lin, Y Ge J S Gu 28 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm sở quy P.S Alexandroff đưa vào năm 1960 Năm 1962, A.V Arhangel’skii chứng minh không gian X ảnh compact mở không gian mêtric X có sở quy theo điểm Sau đó, S Lin đưa khái niệm ánh xạ 1-phủ dãy vào năm 1996 Trong [4], Shou Lin chứng minh kết T1 -khơng gian quy rằng, khơng gian X có mạng σ -mạnh gồm cs∗ -phủ đếm X có mạng σ -mạnh gồm cs-phủ hữu hạn, X khơng gian đối xứng có sở yếu đếm Nhưng tác giả nghi ngờ kết cho trường hợp X T2 -không gian Bởi thế, Shou Lin đặt toán mở sau Bài toán ([2], Question 3.2.12) Nếu X T2 -không gian đối xứng với sở yếu đếm được, X có mạng σ -mạnh gồm cs∗ -phủ hữu hạn hay không? Đến năm 2004, Y Ge J S Gu chứng minh X T1 -khơng gian quy với sn-mạng đếm được, X có mạng σ -mạnh gồm cs-phủ hữu hạn Ngoài ra, tác giả đưa ví dụ chứng tỏ kết không T2 -không gian đặt toán mở sau Bài toán ([1], Question 3.2) Nếu X không gian sn-đối xứng với sn-mạng đếm được, X có mạng σ -mạnh gồm cs∗ -phủ hữu hạn hay khơng? Hai tốn Trần Văn Ân Lương Quốc Tuyển đưa câu trả lời khẳng định [2] Ngoài ra, [5], Lương Quốc Tuyển đặt toán mở sau, toán đến cịn mở Bài tốn ([5], Question 2.8) Nếu X khơng gian đối xứng với sn-mạng đếm được, X có mạng σ -mạnh gồm cf p-phủ hữu hạn hay khơng? Với mong muốn tìm hiểu phép chứng minh chi tiết cho lời giải toán trên, với định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Không gian sn-đối xứng với sn-mạng đếm được” làm đề tài luận văn thạc sỹ Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu: Nghiên cứu nhằm tìm hiểu làm rõ vấn đề sau: (1) Định nghĩa tính chất mạng, cs-mạng, sn-mạng, sở yếu mạng σ -mạnh (2) Định nghĩa tính chất khơng gian sn-đốixứng, sn-đối xứng Cauchy (3) Mối quan hệ tính chất mạng không gian tôpô (4) Lời giải chi tiết cho Bài toán Bài toán Nội dung: Luận văn trình bày chương • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức khơng gian tơpơ, tập mở, tập đóng, • Chương 2: Khơng gian sn- đối xứng với cs-mạng đếm Chương trình bày kết liên quan đến không gian với sn-mạng đếm được, mạng σ -mạnh gồm tính chất phủ, sn-mạng đếm địa phương, lời giải chi tiết cho Bài toán Bài toán 2, quan tâm đến Bài toán 3 Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức - Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Không gian sn-đối xứng với cs-mạng đếm được” - Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho quan tâm nghiên cứu lớp không gian sn-đối xứng Chương Kiến thức sở Chương trình bày kiến thức cần thiết cho phần sau như: không gian topo, tập mở, tập đóng, Trong tồn luận văn quy ước N = {1, 2, 3, } , ω = N ∪ {0} 1.1 Không gian mêtric A Không gian mêtric hội tụ không gian mêtric Định nghĩa 1.1.1 Không gian mêtric cặp (X, d), X tập hợp khác rỗng, d : X × X → R hàm xác định X × X thoả mãn ba tiên đề sau: (1) d(x, y) với x, y ∈ X d(x, y) = ⇔ x = y (2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Khi đó: • Hàm d gọi mêtric tập X • Mỗi phần tử X gọi điểm không gian X • d(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y Chú ý 1.1.2 Trên tập hợp khác rỗng có nhiều mêtric khác Do đó, sinh khơng gian mêtric khác Định nghĩa 1.1.3 Giả sử (X, d) khơng gian mêtric, Y ⊂ X Khi đó, hàm số dY = dY ×Y mêtric tập hợp Y Khơng gian mêtric ta suy P ∈ Pn {xi } từ lúc nằm P Do vậy, {Pn : n ∈ N} mạng σ -mạnh gồm cs-phủ X Định lí sau câu trả lời cho Bài toán Định lý 2.3.7 ([2], Question 3.2.12) Nếu X không gian sn-đối xứng với sn-mạng đếm được, X có mạng σ -mạnh gồm cs∗ -phủ hữu hạn Chứng minh Giả sử P = {Px : x ∈ X} sn-mạng đếm Suy P = {Pn : n ∈ N} Bây giờ, với m, n ∈ N∗ , ta đặt Am.n = {x ∈ X : Sn (x) ⊂ Pm } Bm,n = X \ Am,n F = {Pm , Bm,n } Ta có • Fm,n phủ hữu hạn X • Fm,n cs∗ -phủ X Thật vậy, giả sử x ∈ X , L = {xi } dãy hội tụ đến x Khi đó, Trường hợp 1: x ∈ Am,n , suy Sn (x) ⊂ Pm Mặt khác, Sn (x) lân cận dãy x nên tồn k0 ∈ N cho {x} ∪ {xi : i ≥ k0 } ⊂ Pm (2.3.1) Trường hợp 2: x ∈ / Am,n L ∩ Bm,n vơ hạn Khi tồn {xnk } ⊂ {xn } cho {xnk : k ∈ N} ⊂ L ∩ Bm,n Suy tồn dãy {xnk } ⊂ L cho {x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ Bm,n (2.3.2) Trường hợp 3: x ∈ / Am,n L ∩ Bm,n hữu hạn Suy tồn i0 ∈ N cho {xn : n ≥ i0 } ⊂ Am,n Với i ≥ i0 , ta có xi ∈ Am,n , kéo theo Sn (x) ⊂ Pm Mặt khác, xi → x, Sn (x) lân cận dãy x nên tồn n0 ∈ N cho 32 {x} ∪ {xi : i ≥ n0 } ⊂ Sn (x) Do đó, với i ≥ n0 , ta có {x, xi } ⊂ Sn (x), kéo theo d(x, xi ) < d(xi , x) < Do đó, n Suy n x ∈ Sn (xi ) ⊂ Pm Như vậy, tồn i0 ∈ N cho {x} ∪ {xi : i ≥ i0 } ⊂ Pm (2.3.3) Từ (2.3.1), (2.3.2) (2.3.3) ta suy tồn P ∈ Fm,n dãy {xnk } xn cho {x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ P Do đó, Fm,n cs∗ -phủ X Như vậy, {Fm,n : m, n ∈ N} mạng σ -mạnh X Ta phải chứng minh {St(x, Fm,n ) : m, n ∈ N} mạng x Thật vây, giả sử x ∈ U ∈ τ Khi đó, Px mạng x nên tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ U Mặt khác, P ∈ P nên tồn m0 ∈ N cho P = Pm0 Suy x ∈ Pm0 ⊂ U Do đó, tồn n0 ∈ N cho x ∈ Sn0 (x) ⊂ Pm0 , kéo theo x ∈ Am0 ,n0 Như vậy, x ∈ St(x, Fm0 ,n0 ) = Pm0 ⊂ U Bây ta đặt {Fm,n : m, n ∈ N} = {Hi : i ∈ N} , với n ∈ N, ta đặt Gn = { n i=1 Hi : Hi ∈ Hi , i ≤ n} 33 Khi đó, (1) Gn+1 mịn Gn Thật vậy, giả sử G ∈ Gn Khi đó, với i ≤ n, tồn Hi ∈ Hi cho G = n Hi Nếu ta lấy Hn+1 ∈ Hn+1 , ta suy i=1 n+1 Hi ∈ Gn+1 H= i=1 H ⊂ G Như vậy, Gn+1 mịn Gn (2) {St(x, Gn ) : n ∈ N} mạng x Thật vậy, giả sử x ∈ U với U mở X Khi đó, {Fm,n : m, n ∈ N} = {Hi : i ∈ N} mạng σ -mạnh X nên tồn i0 ∈ N cho x ∈ St (x, Hi0 ) ⊂ U Điều suy x ∈ St (x, Gi0 ) ⊂ U Như vậy, {Gn : n ∈ N} mạng σ -mạnh X (3) Mỗi Gn cs∗ -phủ hữu hạn Thật vậy, Hi hữu hạn nên ta suy Gn hữu hạn Bây giờ, ta chứng minh Gn cs∗ -phủ X Giả sử x ∈ U ∈ τ L dãy hội tụ đến x X Khi đó, H1 cs∗ -phủ nên tồn H1 ∈ H1 dãy L1 L cho L1 ⊂ H1 Mặt khác, H2 cs∗ -phủ X nên tồn H2 ∈ H2 dãy L2 ⊂ L1 cho L2 ⊂ H2 Tiếp tục trình ta suy với n ∈ N, tồn dãy Ln ⊂ Ln−1 Hn ∈ Hn n Hi , ta suy G ∈ Gn cho Ln ⊂ Hn Cuối cùng, ta đặt G = i=1 Ln ⊂ G Điều chứng tỏ L từ mạnh lúc nằm G Như vậy, Gn cs∗ -phủ X Nhận xét 2.3.8 Nhờ Định lý 2.3.7 ta thu câu trả lời khẳng định cho Bài toán 1, Bài toán 34 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, học hỏi từ số tài liệu hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển, tơi hồn thành luận văn với số kết đạt sau - Trình bày cách có hệ thơng kiến thức cần thiết cho phần sau không gian mêtric, không gian tôpô, tập mở, tập đóng, mạng, cs∗ -mạng, ánh xạ có tính chất phủ, Chứng minh chi tiết kết trình bày - Trình bày kết liên quan đến không gian với sn-mạng đếm được, không gian với mạng σ -mạnh gồm tính chất phủ - Các kết luận văn trình bày lời giải chi tiết cho Bài toán Bài tốn Ngồi ra, chúng tơi quan tâm đến việc tìm lời giải cho Bài tốn Trong khn khổ luận văn thạc sĩ, không đủ điều kiện để nghiên cứu hết đặc trưng khơng gian sn-đối xứng với tính chất phủ không gian g -hàm sn-mạng Hy vọng tương lại gần tơi hồn thành kết Trong trình làm luận văn dù cố gắng nhiều khơng tránh thiếu sót định, tơi mọng góp ý chân thành q thầy cô bạn đọc để tiếp tục nghiên cứu phát triển luận văn 35 Tài liệu tham khảo [1] T V An, L Q Tuyen (2011), On an affirmative answer to S Lin’s problem, Topology and its Applications, 158, 1567–1570 [2] T V An, L Q Tuyen (2012), On π -images of separable metric spaces and a problem of Shou Lin, Matematiˇcki Vesnik, 64, 297–302 [3] Y Ge, J S Gu (2004), On π -images of separable metric spaces, Math Sci, 10, 65-71 [4] S Lin (2002), Point-Countable Covers and Sequence-Covering Mappings, Chinese Science Press, Beijing [5] L Q Tuyen (2014), Some characterizations of spaces with locally countable networks, Matematiˇcki Vesnik, 66, 84-90 36 ... gian sn- đối xứng với cs- mạng đếm toán S Lin, Y Ge J S Gu Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm không gian đối xứng, không gian sn- đối xứng, không gian đối xứng Cauchy, không gian sn- đối xứng. .. Không gian sn- đối xứng (X, d) gọi không gian sn- đối xứng Cauchy dãy hội tụ X d-Cauchy Nhận xét 2.3.4 Đối với không gian X , khẳng định sau (1) Không gian đối xứng không gian sn- đối xứng (2) Không. .. 19 Không gian sn- đối xứng với cs- mạng đếm 21 2.1 Các mạng không gian tôpô 21 2.2 Mối liên hệ mạng 23 2.3 Không gian sn- đối xứng với cs- mạng đếm toán S