Không gian đối xứng với sn mạng σ hữu hạn địa phương

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TÔ THỊ NGỌC HUYỀN KHÔNG GIAN ĐỐI XỨNG VỚI sn-MẠNG σ-HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TÔ THỊ NGỌC HUYỀN KHÔNG GIAN ĐỐI XỨNG VỚI sn-MẠNG σ-HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả TÔ THỊ NGỌC HUYỀN LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn em suốt trình thực để em hồn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Cao học Tốn giải tích K31-KonTum nhiệt tình giúp đỡ em q trình học tập lớp Tơ Thị Ngọc Huyền MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Cơ sở sở lân cận không gian topo 1.3 Tập hợp đóng bao đóng tập hợp 10 1.4 Phần tập hợp 16 1.5 T1 -không gian T2 -không gian 19 CHƯƠNG Không gian đối xứng với sn-mạng σ -hữu hạn địa phương 21 2.1 Cơ sở yếu, sn-mạng cs-mạng 21 2.2 Không gian đối xứng, không gian g-trải mạnh ℵ-không gian 2.3 Không gian đối xứng với sn-mạng σ-hữu hạn địa phương 27 31 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Năm 2002, Y Ikeda, C Liu Y Tanaka đưa khái niệm mạng σ -mạnh xét tính chất ảnh thương khơng gian metric nhờ mạng σ -mạnh Bằng cách sử dụng mạng σ -mạnh, tác giả thu nhiều đặc trưng ảnh thương không gian mêtric (xem [4]), đặt toán sau Bài toán ([6], Question 3.2.12) Nếu X không gian đối xứng với cs∗ -mạng đếm được, X có mạng σ -mạnh gồm cs∗ -phủ hữu hạn hay khơng? Bài tốn 2([5], Question 2) Nếu X không gian đối xứng với cs-mạng σ -hữu hạn theo điểm, X có cs-mạng σ -hữu hạn theo điểm mạnh hay không? Đến năm 2006, Y Tanaka Y Ge giới thiệu khái niệm không gian g -trải mạnh mở rộng không gian trải chứng minh rằng, không gian g -trải mạnh không gian đối xứng Cauchy ℵ-không gian Các tác giả nghi ngờ chiều ngược lại kết đặt câu hỏi sau Bài tốn ([7], Question 3.5) Mỗi khơng gian đối xứng Cauchy ℵ-khơng gian có khơng gian g -trải mạnh hay không? Đến nay, L Q Tuyển đưa câu trả lời khẳng định cho Bài toán [2], Bài toán [8], cho câu trả lời riêng cho Bài toán [9] Với mong muốn tìm hiểu phép chứng minh cho Bài toán 3, nhờ định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Không gian đối xứng với sn-mạng σ -hữu hạn địa phương” làm đề tài luận văn thạc sỹ Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu mối quan hệ sở, sở yếu, sn-mạng cs-mạng • Tìm hiểu số tính chất không gian đối xứng, không gian g -trải mạnh, ℵ-không gian mối liên hệ chúng • Tìm hiểu phép chứng minh chi tiết cho Bài tốn 3 Đối tượng nghiên cứu Khơng gian đối xứng với tính chất mạng, khơng gian g -trải mạnh, ℵ-không gian mối liên hệ chúng Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mối liên hệ sở yếu, sn-mạng, cs-mạng, tìm hiểu phép chứng minh chi tiết Bài toán Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài Bằng cách thu thập báo liên quan với đề tài tác giả trước nhằm hiểu phép chứng minh chi tiết cho Bài toán Tổng quan cấu trúc luận văn Trong luận văn này, chứng minh chi tiết mối liên hệ sở, sở yếu, sn-mạng, cs-mạng; Chứng minh số tính chất khơng gian đối xứng với tính chất mạng; Chứng minh chi tiết cho Bài toán 3 Nội dung luận văn trình bày hai chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kết luận Kiến nghị, Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày mối quan hệ mạng, tính chất khơng gian đối xứng, không gian đối xứng Cauchy lời giải chi tiết cho Bài toán CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức topo đại cương, khái niệm tính chất chương chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo kiến thức topo đại cương, nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau Sau ký hiệu chúng tơi sử dụng tồn luận văn N = {1, 2, }, ω = N ∪ {0} 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp Định nghĩa 1.1.1 Giả sử τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ ; α∈Λ (c) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ Khi đó, 1) τ gọi topo X 2) Cặp (X, τ ) gọi không gian topo 3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở 4) Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 Từ Định nghĩa 1.1.1 ta suy 1) ∅, X tập hợp mở; 2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở; 3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở Định nghĩa 1.1.3 Giả sử τ1 , τ2 topo tập hợp X Ta nói τ1 mạnh τ2 hay τ2 yếu τ1 τ2 ⊂ τ1 Ví dụ 1.1.4 Giả sử X tập hợp, τ1 họ gồm tất tập X τ2 = {∅, X} Khi đó, • τ1 , τ2 topo X • τ1 mạnh τ2 • Trong (X, τ1 ), tập vừa đóng vừa mở Lúc này, ta nói τ1 topo rời rạc τ2 topo thô X Ví dụ 1.1.5 Giả sử (X, d) không gian metric τ = {A ⊂ X : A tập mở (X, d)} Khi đó, τ topo X ta nói τ topo sinh metric d Đặc biệt, X = R metric d khoảng cách thông thường R, nghĩa d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ R, ta nói τ topo thơng thường R Định nghĩa 1.1.6 Giả sử A tập khơng gian topo (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U 39 (2.1) St(x, Pn ) ⊂ Sn (x) Thật vậy, giả sử y ∈ St(x, Pn ) Khi đó, tồn P ∈ Pn cho {x, y} ⊂ P , kéo theo δ(x, y) > n Suy d(x, y) = 1 < δ(x, y) n Điều suy y ∈ Sn (x) (2.2) Sn (x) ⊂ St(x, Pn ) Thật vậy, giả sử y ∈ Sn (x), kéo theo d(x, y) < δ(x, y) > n y ∈ St(x, Pn ) Điều suy n Từ (2.1) (2.2) ta suy St(x, Pn ) = Sn (x) với n ∈ N (3) Bởi {St(x, Pn ) : n ∈ N} sở yếu x Sn (x) = St(x, Pn ) với n ∈ N nên ta suy X không gian đối xứng (4) Mọi dãy hội tụ X d-Cauchy Thật vậy, giả sử {xi } dãy hội tụ đến x X Khi đó, với ε > 0, ta chọn k ∈ N cho < ε Hơn nữa, Pk cs-phủ nên k tồn P ∈ Pk m ∈ N cho {x} {xi : i ≥ m} ⊂ P Điều chứng tỏ d(xi , xj ) < ε với i, j ≥ m 40 Như vậy, {xi } dãy d-Cauchy X (5) P cs-mạng σ -hữu hạn địa phương, X ℵ-không gian Thật vậy, hiển nhiên P họ σ -hữu hạn địa phương Bây giờ, giả sử U lân cận mở x {xi } dãy hội tụ đến x Khi đó, P mạng σ -mạnh nên tồn n ∈ N cho x ∈ St(x, Pn ) ⊂ U Mặt khác, St(x, Pn ) = Sn (x) Sn (x) lân cận dãy x nên tồn m ∈ N cho {x} ∪ {xi : i ≥ m} ⊂ Sn (x) ⊂ U Như vậy, P cs-mạng σ -hữu hạn địa phương X Từ chứng minh ta suy X không gian đối xứng Cauchy ℵ-không gian Nhận xét 2.3.3 Nhờ Định lí 2.3.2, ta thu câu trả lời khẳng định cho Bài toán 41 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau: 1) Tìm hiểu chứng minh chi tiết số tính chất mối liên hệ sở, sở yếu, sn-mạng cs-mạng 2) Chứng minh chi tiết số tính chất khơng gian đối xứng khơng gian đối xứng Cauchy 3) Chứng minh chi tiết mối liên hệ không gian đối xứng Cauchy ℵ-không gian với khơng gian g -trải mạnh Nhờ đó, chúng tơi hiểu lời giải cho Bài tốn Hướng phát triển đề tài Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu tính chất khơng gian đối xứng với cs-mạng σ -hữu hạn địa phương, không gian đối xứng với cs-mạng σ -hữu hạn theo điểm 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Tiếng Anh [1] T V An, L Q Tuyen (2011), On an affirmative answer to S Lin’s problem, Topology and its Applications 158, 1567–1570 [2] T V An, L Q Tuyen (2012), On π -images of separable metric spaces and a problem of Shou Lin, Matematiˇcki Vesnik 64, 297–302 [3] T V An, L Q Tuyen (2018), Cauchy sn-symmetric spaces with a csnetwork (cs∗ -network ) having property σ -(P ), Topology Proceedings 51, 61-75 [4] T V An, L Q Tuyen and N V Dung (2015), Stone-type theorem on b-metric spaces and applications, Topology and its Applications 185-186, 50-64 [5] I Ikeda, C Liu and Y Tanaka (2002), Quotient compact images of metric spaces, and related meters, Topology and its Applications 122, 237-252 [6] S Lin (2002), Point-Countable Covers and Sequence-Covering Mappings, Chinese Science Press, Beijing [7] Y Tanaka, Y Ge (2006), Around quotient compact images of metric spaces, and symmetric spaces, Houston Journal of Mathematics 32, 99–117 [8] L Q Tuyen (2017), On an affirmative answer to Y Tanaka’s and Y Ge’s problem, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 58, 125-129 43 [9] L Q Tuyen (2017), A partial answer to a question of Y Ikeda, C Liu and Y Tanaka, Novi Sad Journal of Mathematics 47, 61-66 ... 2.1 Cơ sở yếu, sn- mạng cs -mạng 21 2.2 Không gian đối xứng, không gian g-trải mạnh ℵ -không gian 2.3 Không gian đối xứng với sn- mạng σ- hữu hạn địa phương ... họ σ -hữu hạn địa phương Pn họ hữu hạn địa phương 2) P gọi mạng σ -mạnh gồm cs-phủ hữu hạn địa phương, P mạng σ -mạnh Pn cs-phủ hữu hạn địa phương Định nghĩa 2.2.8 ([7]) Giả sử X khơng gian topo... X B tập hữu hạn Như vậy, A tập hữu hạn X Hơn nữa, A = ∅, A ∈ τ nên X A hữu hạn Điều chứng tỏ X tập hữu hạn, mâu thuẫn 21 CHƯƠNG KHÔNG GIAN ĐỐI XỨNG VỚI sn- MẠNG σ- HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG Trong