Nguyên lý ánh xạ co một vài mở rộng và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN NHƯ MINH NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO MỘT VÀI MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 6046.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2007 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 1 : PGS.TS. Đinh Huy Hoàng Phản biện 2 : PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến Luận văn ñược bảo vệ tại hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 29 tháng 12 năm 2007. Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Th ư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài: Điểm bất ñộng là một khái niệm xuất hiện rất sớm trong Toán học. Cho một không gian X bất kỳ và một ánh xạ f từ X vào X ,hay từ một tâp con của X vào X Một ñiểm x thuộc X ñược gọi là một ñiểm bất ñộng của f nếu x = f(x). Khi X là một không gian metric ñủ và f là ánh xạ co từ X vào X thì nguyên lý ánh xạ co của Banach khẳng ñịnh sự tồn tại duy nhất ñiểm bất ñộng. Nguyên lý ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong toán học.Nó dùng ñể chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của: Hệ phương trình tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,hệ phương trình vi phân, tìm giới hạn của dãy số… Chính vì lẽ ñó, tôi chọn ñề tài nghiên cứu “Nguyên lý ánh xạ co. Một vài mở rộng và ứng dụng“, nhằm có ñiều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú thêm cho bài giảng trên lớp của mình. 2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu: ● Nghiên cứu ñiểm bất ñộng dựa trên nguyên lý ánh xạ co của Banach. ● Nghiên cứu các áp dụng của nguyên lý ánh xạ co. ● Nghiên cứu ánh xạ không dãn trên không gian Hilbert, không gian Banach. 3. Phương pháp nghiên cứu: ● Nghiên cứu lý thuyết thông qua tài liệu sẳn có và trên Internet. 4. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở ñầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo, gồm có 3 chương. * Chương 1: Nguyên lý ánh xạ co của Banach. * Chương 2: Một số bài toán mở rộng. * Chương 3: Các áp dụng. CHƯƠNG 1 : NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH 1.1. Nguyên lý ánh xạ co: 1.1.1 Ánh xạ Lipschitz: Cho 1 2 X ,X là 2 không gian metric với các metric tương ứng là 1 d và 2 d .Ánh xạ F : (X 1 ,d 1 ) → (X 2 ,d 2 ) thoả mãn d 2 (F(x),F(y)) ≤ M.d 1 (x,y), với M cố ñịnh và với mọi x,y ∈ X 1 , ñược gọi là ánh xạ Lipschitz. Số M nhỏ nhất thoả mãn bất ñẳng thức trên gọi là hằng số Lipschitz,kí hiệu là L(F) của ánh xạ F.Dĩ nhiên L(F) 0≥ . * Nếu L(F) < 1, thì F ñược gọi là ánh xạ co. * Nếu L(F) ≤ 1, thì F ñược gọi là ánh xạ không dãn. Ánh xạ Lipschitz là ánh xạ liên tục. 4 1.1.2 Dãy Cauchy : Một dãy ñiểm (x n ) trong không gian metric X ñược gọi là một dãy Cauchy, nếu : Một dãy ñiểm (x n ) trong không gian metric X ñược gọi là một dãy Cauchy, nếu : 0 0 0 m n 0, n : n n , m n d(x ,x ) ε ε ∀ > ∃ ∀ ≥ ∀ ≥ ⇒ < (hay : m n n,m lim d(x ,x ) 0 →∞ = ) 1.1.3 Không gian metric ñầy ñủ: Một không gian metric (X,d) ñược gọi là ñầy ñủ nếu mọi dãy Cauchy trong X ñều hội tụ trong X (có giới hạn trong X theo metric d). 1.1.4 Bước lặp thứ n của ánh xạ F : Cho Y là tập hợp bất kì khác rỗng và ánh xạ F : Y → Y. Với y ∈ Y, ta ñịnh nghĩa F n y bằng quy nạp như sau : F 0 (y)=y, n 1 F (y) + = n 1 F(F (y)) + và gọi n F (y) là bước lặp thứ n của y ñối với F. Tập { n F (y) , y Y ∈ , n = 0,1,2,…} gọi là quỹ ñạo của y ñối với F. 1.1.5 Nguyên lý ánh xạ co của Banach : Cho (Y,d) là không gian metric ñầy ñủ và F : Y → Y là ánh xạ co. Lúc ñó : F có duy nhất ñiểm bất ñộng u ∈ Y và n F (y) → u khi n → ∞ ,với y ∈ Y. Chứng minh: Lấy y tuỳ ý thuộc Y. Do F là ánh xạ co nên : 2 d(F(y),F (y)) = d[ F(y),F(F(y) ] ≤ α d(y,F(y)). Suy ra : d(F n (y),F n+1 (y)) ≤ n α d(y,F(y)). Lúc ñó, với mọi n và với mọi p > 0, ta có : n n p n n 1 n 1 n 2 n p 1 n p d(F (y),F (y) d(F (y),F (y)) d(F (y),F (y)) . d(F (y),F (y)) + + + + + − + ≤ + + + ≤ ( n n 1 n p 1 . + + − α + α + + α )d(F,F(y)) ≤ ( n n 1 n p 1 n p ( . ) . + + − + α + α + + α + α + )d(Fy,y) n d(y,Fy), 1 α = − α do 0 1 α ≤ < Do: 0 1≤ < α , nên lim 0 n n α →∞ = .Suy ra: { } n F (y) là một dãy Cauchy.Không gian (X,d) là ñầy ñủ, nên tồn tại u ∈ Y sao cho n n limF (y) u →∞ = .Hàm F là liên tục, nên ta có: n n 1 n n n n limF(F (y)) limF (y) F(limF (y)) F(u) + →∞ →∞ →∞ = = = Do {F n+1 (y)} là dãy con của dãy {F n (y)}, vì vậy F(u) = u hay u là ñiểm bất ñộng của ánh xạ F. Vậy : với mỗi y ∈ Y, dãy {F n (y)} tồn tại giới hạn và F n (y) → u,khi n → ∞ • Tính duy nhất : Giả sử F có 2 ñiểm bất ñộng x 0 , y 0 , x 0 ≠ y 0 , F(x 0 ) = x 0 , F(y 0 ) = y 0 . Lúc ñó : d(x 0 ,y 0 ) = d(F( 0 x ),F(y 0 )) ≤ α d(x 0 ,y 0 ) < d(x 0 ,y 0 ) : vô lý Vậy: x 0 = y 0 . 1.2 Các mở rộng của nguyên lý ánh xạ co ñã biết: 5 1.2.1 Định lý 1 : Cho (X,d) là một không gian metric ñầy ñủ và F : X → X là một ánh xạ (không cần phải liên tục). Giả sử với mỗi ε > 0, tồn tại số δ(ε) > 0 sao cho với mỗi x thuộc X, d(x,F(x)) < δ, thì F[B(x,ε)] ⊂ B(x,ε) . (với B(x, ε ) là quả cầu mở tâm x, bán kính ε). Lúc ñó, nếu d(F n (u),F n+1 (u)) → 0,khi n → ∞, với u ∈ X, thì dãy {F n (u)} hội tụ tới ñiểm bất ñộng của F. * Chứng minh : Cho u ∈ X. Ta kí hiệu F n (u) = u n , và chứng minh {u n } là dãy Cauchy. Cho trước ε > 0. Từ n n 1 d(F (x),F (x)) 0 + → ,chọn N ñủ lớn ta có: d(u n ,u n+1 ) < δ(ε) với mọi n ≥ N. Từ:d(u N ,u N+1 )<δ(ε) N 1 N N N N N d(u ,F u) d(u ,F(F(u )) d(u ,F(u )) ( ) + ⇔ = = < δ ε N N F[B(u , )] B(u , ) ⇒ ε ⊂ ε . V ậ y: u N+1 = F( N u ) ∈ B(u N , ε ) Ta ch ứ ng minh quy n ạ p k N N k N F (u ) u B(u , ), k 0 + = ∈ ε ∀ ≥ . (1) * Khi k = 0, hi ể n nhiên ta có 0 N N N F (u ) u B(u , )= ∈ ε * Gi ả s ử (1) ñ úng khi k = p 0≥ ,t ứ c là: p N N p N F (u ) u B(u , ) + = ∈ ε là ñ úng. * Ta ch ứ ng minh (1) là ñ úng khi k = p +1 Th ậ t v ậ y: Ta có p 1 p N N N F (u ) F(F u ) B(u , ) + = ∈ ε , do p N N F (u ) B(u , )∈ ε N k N k 0,u B(u , ). + ⇒ ∀ ≥ ∈ ε Do u s , u k N B(u , ), k,s N∈ ε ∀ ≥ . Ta có d(u s ,u k ) ≤ d(u s ,u N ) + d(u N ,u k ) < 2 ε ⇒ {u n } là dãy Cauchy. Do (X,d) là ñầ y ñủ nên n n limu z X →∞ = ∈ . Ta ch ứ ng minh z là ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F. Gi ả s ử ng ượ c l ạ i r ằ ng z không ph ả i là ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F, ngh ĩ a là : d(z,Fz) a 0= > Ta có th ể ch ọ n m ộ t n u a B(z, ) 3 ∈ sao cho: n n 1 a d(u ,u ) ( ) 3 + < δ .Khi ñ ó, theo gi ả thi ế t ta có: F[B( n n a a u , )] B(u , ) 3 3 ⊂ .Vì v ậ y: n a F(z) B(u , ) 3 ∈ (*). Nh ư ng ñ i ề u này không th ể ñượ c, b ở i vì: n n 2a d(F(z),u ) d(F(z),z) d(u ,z) 3 ≥ − ≥ .V ậ y: F(z) n a B(u , ) 3 ∉ . Đ i ề u này vô lý v ớ i (*).V ậ y F(z) = z. Áp d ụ ng k ĩ thu ậ t trên, ta d ẫ n ñế n các t ổ ng quát hoá nguyên lý ánh x ạ co sau ñ ây : 1.2.2 Định lý 2 : Cho (X,d) là không gian metric ñầ y ñủ và F : X → X tho ả mãn d(F(x),F(y)) ≤ [d(x,y)]ϕ , ở ñ ây φ : + + →R R là ánh x ạ không gi ả m (không c ầ n ph ả i liên t ụ c), tho ả mãn n n lim (t) 0,t 0. →∞ ϕ = > Lúc ñ ó : F có ñ i ể m b ấ t ñộ ng duy nh ấ t u và n n limF (x) u,x X →∞ = ∈ . 6 * Ch ứ ng minh : Ta ch ỉ xét (t) tϕ < (1), v ớ i m ọ i t > 0.Vì n ế u ng ượ c l ạ i thì t (t)≤ ϕ v ớ i t > 0. Do tính không gi ả m c ủ a hàm φ nên φ (t) ≤ φ [ φ (t)] = φ 2 (t) 2 t (t)⇒ ≤ ϕ . B ằ ng quy n ạ p, ta có : n t (t), n 0 t 0≤ ϕ ∀ > ⇒ ≤ : vô lý. Chúng ta s ẽ ch ứ ng minh r ằ ng : d[F n (x),F n+1 (x)] ≤ φ n [d(x,F(x))] Th ậ t v ậ y, t ừ d[F(x),F(y)] ≤ φ [d(x,y)] ⇒ d[F(x),F 2 (x)] ≤ φ [d(x,F(x))] ⇒ d(F 2 (x),F 3 (x)) ≤ φ [d(F(x),F 2 (x))] ≤ φ 2 [d(x,F(x))] ………………………………………… ⇒ d(F n (x),F n+1 (x)) ≤ φ n [d(x,F(x)] n n 1 x limd(F (x),F (x)) 0 + →∞ ⇒ = Cho ε > 0, ch ọ n δ ( ε ) = ε – φ ( ε ) >0 ,do (1) . N ế u d(x,F(x)) < δ ( ε ) thì z B(x, ) ∀ ∈ ε , ta có: d(F(z),x) d(F(z),F(x)) d(F(x),x) [d(z,x)] ( ) ( ) ( )≤ + ≤ ϕ + δ ε ≤ ϕ ε + ε − ϕ ε F(z) B(x, ) ⇒ ∈ ε Theo ñị nh lý 1, F có ñ i ể m b ấ t ñộ ng u và n n limF (x) u,x X →∞ = ∈ 1.2.3.Định lý 3 : Cho (X,d) là 1 không gian metric ñầ y ñủ và F : X → X tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n d(F(x),F(y)) (x,y)d(x,y)≤ α , v ớ i 2 :X + α → R có tính ch ấ t : V ớ i b ấ t kì ñ o ạ n [a,b] \{0}:sup{ (x,y)/a d(x,y) b} (a,b) 1 + ⊂ α ≤ ≤ = λ <R thì F có duy nh ấ t ñ i ể m b ấ t ñộ ng u X ∈ và n n limF (x) u,x X →∞ = ∈ . Ch ứ ng minh : Xét dãy u n = d(F n (x),F n+1 (x)) v ớ i m ộ t x nào ñ ó thu ộ c X. Ta có : n 1 n 2 n n 1 n n 1 n n 1 n 1 u d(F (x),F (x)) d[F(F (x),F(F (x)))] (F (x),F (x)).d(F (x),F (x)) + + + + + + = = ≤ α < n n 1 n d(F x,F x) u + = v ớ i n n 1 n a d(F x,F x) b,[a,b] R \{0} {u } + ≤ ≤ ⊂ ⇒ là dãy s ố gi ả m. H ơ n n ữ a, 0 n u ≤ n n limu p 0 →∞ ⇒ = ≥ . Ta ph ả i ch ứ ng minh r ằ ng p = 0. N ế u ng ượ c l ạ i thì n n 1 d(F (x),F (x)) [p,p 1] + ∈ + v ớ i n ñủ l ớ n. Ta ch ứ ng minh quy n ạ p n k n k 1 k n n 1 p d(F (x),F (x)) c d(F (x),F (x)) + + + + ≤ ≤ v ớ i c (p,p 1). = λ + * Khi k = 0 : n n 1 p d(F x,F x) p 1 + ≤ ≤ + . * Gi ả s ử b ấ t ñẳ ng th ứ c ñ úng v ớ i k ≥ 0, t ứ c : n k n k 1 k n n 1 k p d(F (x),F (x)) c d(F (x),F (x)) c (p 1) + + + + ≤ ≤ ≤ + .Lúc ñ ó: n k 1 n k 2 n k n k 1 n k n k 1 p d(F (x),F (x)) d[F(F (x),F(F (x)))] c.d(F (x),F (x)) + + + + + + + + + + ≤ ≤ ≤ k n n 1 k 1 c.c d(F (x),F (x)) c (p 1) + + ≤ ≤ + 7 V ậ y b ấ t ñẳ ng th ứ c trên ñ úng v ớ i m ọ i k ≥ 0. Do 0 < c < 1 nên ñ i ề u này mâu thu ẫ n, ngh ĩ a là p = 0. V ậ y : n n 1 n n n limu limd(F (x),F (x)) 0 + →∞ →∞ = = (1) Bây gi ờ , cho tr ướ c 0 ε > .Kí hi ệ u , 2 ε   λ = λ ε     và ch ọ n min , (1 ) 2 ε  δ = ε − λ     . Gi ả s ử : d(F(x),x) ,x X< δ ∈ . Ta ch ứ ng minh F[B(x, )] B(x, ).ε ⊂ ε Cho z B(x, ) d(z,x) .∈ ε ⇒ < ε Ta ch ứ ng minh d(F(z),x) < ε . Ta có : d(F(z),x) d(F(z),F(x)) d(F(x),x).(2)≤ + Ta chia ra hai tr ườ ng h ợ p sau : * Khi d(z,x) 2 ε < . Lúc ñ ó : d(F(z),x) d(F(z),z) d(z,x) 2 2 2 ε ε ε ≤ + < δ + < + = ε F(z) B(x, ).⇒ ∈ ε *Khi d(x, ) 2 ε ≤ ε < ε ,thì d(F(z),x) (z,x)d(z,x) d(F(x),x) (1 )≤ α + ≤ λε + − λ ε = ε F(z) B(x, )⇒ ∈ ε V ậ y : F[B(x, )] B(x, )ε ⊂ ε (3) K ế t h ợ p (2) và (3) và theo ñị nh lý 1 (2.1) ta kh ẳ ng ñị nh r ằ ng F có ñ i ể m b ấ t ñộ ng u và n n limF (x) u,u X →∞ = ∈ . Tính duy nh ấ t : Gi ả s ử F có 2 ñ i ể m b ấ t ñộ ng u 1 ,u 2 , t ứ c u 1 = F(u 1 ) và u 2 = F(u 2 ). Lúc ñ ó : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d(u ,u ) d(F(u ),F(u )) (u ,u )d(u ,u ) d(u ,u )= ≤ α < . Đ i ề u này vô lý. V ậ y F có duy nh ấ t ñ i ể m b ấ t ñộ ng. 1.2.4. Định lý 4 : Cho (X,d) là không gian metric ñầ y ñủ và :X + ϕ → R là hàm s ố không âm b ấ t kì (không c ầ n ph ả i liên t ụ c). Gi ả s ử : inf{ (x) (y)/d(x,y) a, x,y X} (a) ϕ + ϕ ≥ ∀ ∈ = µ > 0, a 0 ∀ > (**). Lúc ñ ó, m ỗ i dãy {x n } trong X mà n (x ) 0 ϕ → thì n x u X → ∈ . Ch ứ ng minh : Đặ t n n A {x X/ (x) (x )} = ∈ ϕ ≤ ϕ . Ta có n A ≠ ∅ vì n x X ∈ và n (x) (x ) ϕ ≤ ϕ , v ớ i m ọ i n, và v ớ i m ọ i h ọ h ữ u h ạ n có giao khác tr ố ng. Ta ch ứ ng minh ñườ ng kính n (A ) δ c ủ a A n d ầ n t ớ i 0. Cho tr ướ c 0 ε > , do n (x ) 0 ϕ → nên ch ọ n N ñủ l ớ n ñể n 1 (x ) ( ) 2 ϕ ≤ µ ε v ớ i m ọ i n N≥ . Lúc ñ ó: V ớ i m ọ i n N≥ và v ớ i m ọ i x, y thu ộ c v ề n A ta có: n (x) (x )ϕ ≤ ϕ , n (y) (x )ϕ ≤ ϕ , nên: n (x) (y) 2 (x )ϕ + ϕ < ϕ ( ) d(x,y)< µ ε ⇒ < ε . Vì v ậ y n (A ) 0.δ → Vì n n (A ) (A ) 0.δ = δ → . Theo nguyên lý Cantor v ề dãy hình c ầ u ñ óng có ñườ ng kính th ắ t d ầ n, ta có n n N A {u} ∈ = I , u duy nh ấ t. Do n n x A∈ v ớ i m ỗ i n, nên n x u→ . 8 V ớ i b ấ t k ỳ dãy { } n y tho ả mãn n (y ) 0ϕ → , ta có: n n (x ) (y ) 0ϕ + ϕ → .Theo gi ả thi ế t (**) ta có: n n d(x ,y ) 0→ . Đị nh lý sau là m ộ t h ệ qu ả hi ể n nhiên: 1.2.5. Định lý 5 : Cho (X,d) là 1 không gian metric ñầ y ñủ và F : X → X là liên t ụ c. Gi ả s ử r ằ ng hàm s ố (x) d(x,F(x))ϕ = có tính ch ấ t(**) trong ñị nh lý 4(2.4) và x X inf d(x,F(x)) 0 ∈ = . Thì F có duy nh ấ t ñ i ể m b ấ t ñộ ng . CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ RỘNG ■ Bài toán 1: Cho (X,d) là không gian metric ñầ y ñủ và F : X → X là ánh x ạ tho ả mãn F N : X → X là ánh x ạ co (v ớ i N là 1 s ố t ự nhiên nào ñ ó, F không c ầ n liên t ụ c). Ch ứ ng minh r ằ ng F có duy nh ấ t ñ i ể m b ấ t ñộ ng u và dãy {F n x} h ộ i t ụ v ề u v ớ i x X∈ . Ch ứ ng minh : * Do X ñầ y ñủ và F N : X → X là ánh x ạ co nên F N có ñ i ể m b ấ t ñộ ng duy nh ấ t u, t ứ c là N F (u) u X= ∈ . T ừ F N (u) = u N N F(F (u)) F(u) F (F(u)) F(u)⇒ = ⇔ = ⇒ F(u) là ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F N . Do tính duy nh ấ t v ề ñ i ể m b ấ t ñộ ng ñố i v ớ i m ộ t ánh x ạ co nên F(u) = u (*) hay u ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F. * Dãy F n x → u : Đặ t g(x)= F N (x). Do N F có ñ i ể m b ấ t ñộ ng u nên g n (x) u(n )→ → ∞ .V ớ i m ọ i x X∈ , ta ch ứ ng minh dãy F n (x) h ộ i t ụ v ề u. Đặ t: k k x F (x)= ,v ớ i k = 0,n 1− Do: n n limg (x) u →∞ = nên ta có: n k n limg (x ) u →∞ = , ngh ĩ a là: n k k k 0, M / n M d[g (x ),u]∀ε > ∃ ∈ ∀ > ⇒ < ε Ch ọ n M = max { } k M ,k 0,n 1= − , thì n k n M d[g (x ),u]∀ > ⇒ < ε (*). Ch ọ n: A = N(M+1) ∈  .Ta vi ế t: n = p.N + k , k < N. Lúc ñ ó: V ớ i m ọ i n > A ta có: p.N + k > N(M + 1) p.N k N.M N⇒ + > + (p M)N N k 0⇒ − > − > . Suy ra: p > M. Ta có: n p.N k p.N k p.N k F (x) F (x) F [F (x)] F (x ) + = = = = p k g (x ) . T ừ k ế t qu ả p > M và áp d ụ ng (*) ta có: p k d[g (x ),u] < ε n d[F (x),u]⇒ < ε . T ứ c dãy { } n F (x) h ộ i t ụ v ề u. 9 ■ Bài toán 2: Cho (X,d) là không gian metric ñầ y ñủ và F n : X → X là dãy các hàm liên t ụ c. Gi ả s ử r ằ ng m ỗ i F n có ñ i ể m b ấ t ñộ ng x n . (a) Cho F n → F ñề u trên X. Ch ứ ng minh : i) N ế u x n → x 0 hay n ế u F(x n ) → x 0 thì x 0 thì x 0 là ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F. ii) N ế u F là ánh x ạ co thì x n h ộ i t ụ ñế n ñ i ể m b ấ t ñộ ng duy nh ấ t c ủ a F. (b) Cho F n → F theo t ừ ng ñ i ể m, v ớ i m ỗ i F n là ánh x ạ Lipschitz và n L(F ) M≤ < +∞ , v ớ i m ọ i n. Hãy ch ứ ng minh : i) F là ánh x ạ Lipschitz v ớ i L(F) ≤ M. ii) N ế u x n → x 0 thì x 0 là ñ i ể m b ấ t ñộ ng ñố i v ớ i F. iii) N ế u M < 1 thì {x n } h ộ i t ụ ñế n ñ i ể m b ấ t ñộ ng duy nh ấ t c ủ a F. L ờ i gi ả i : Câu (a) ● Khi x n → x 0 : i). Ta có d(Fx 0 ,x 0 ) ≤ d(Fx 0 ,x n ) + d(x n ,x 0 ) = d(Fx 0 ,F n x n ) + d(x n ,x 0 ) (do n F có ñ i ể m b ấ t ñộ ng n x ) ≤ d(F n x n ,Fx n ) + d(Fx n ,Fx 0 ) + d(x n ,x 0 ) Do n F F → → nên F liên t ụ c 1 1 0 0, N / n N 3 ε ⇒ ∀ε > ⇒ > ∃ ∀ ≥ thì n 0 d(Fx ,Fx ) . 3 ε < Do n F F → → nên 2 2 n n n N / n N :d(F x ,Fx ) 3 ε ∃ ∀ ≥ < . Do n 0 3 3 n 0 x x N / n N :d(x ,x ) . 3 ε → ⇒ ∃ ∀ ≥ < Ch ọ n N = max{N 1 ,N 2 ,N 3 }. Lúc ñ ó, 0 0 n N d(Fx ,x )∀ ≥ ⇒ < ε hay x 0 là ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F. ● Khi F(x n ) → x 0 : Ta có : n n 0 n n n n 0 d(F x ,x ) d(F x ,Fx ) d(Fx ,x )≤ + 1 1 n n n 0, N : n N d(F x ,Fx ) 2 ε ∀ε > ∃ ∀ ≥ ⇒ < (do n F F → → ) 2 2 n 0 0, N : n N d(Fx ,x ) 2 ε ∀ε > ∃ ∀ ≥ ⇒ < (do n o F(x ) x→ ) Ch ọ n N = max{N 1 ,N 2 }. Lúc ñ ó : 0, n N∀ε > ∀ ≥ ta có : n n 0 d(F x ,x ) < ε hay n 0 d(x ,x ) < ε . Theo ch ứ ng minh trên thì x 0 là ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F. ii) Ta có : n 0 n n 0 d(x ,x ) d[F (x ),F(x )]= 10 n n n n 0 d[F (x ),F(x )] d[F(x ),F(x )]≤ + n n n n 0 d[F (x ),F(x )] d(x ,x )≤ + α n 0 n n n (1 )d(x ,x ) d[F (x ),F(x )] ⇒ − α ≤ Do n n n n F F 0, N/ n N:d[F (x ),F(x )] (1 ) → → ⇒ ∀ε > ∃ ∀ ≥ ≤ ε − α ( 0 1≤ α < ). n 0 n 0 d(x ,x ) x x . ⇒ ≤ ε ⇒ → Câu (b) : i) F là ánh x ạ Lipschitz v ớ i L(F) ≤ M Ta có : n n n n d[F(x),F(y)] d[F(x),F (x)] d[F (x),F (y)] d[F (y),F(x)]≤ + + Do F n là ánh x ạ Lipschitz, nên : n n d[F(x),F(y)] d[F(x),F (x) Md(x,y) d[F (y),F(y)]≤ + + L ạ i do F n h ộ i t ụ ñ i ể m ñế n F, nên chuy ể n qua gi ớ i h ạ n hai v ế ta ñượ c : d[F(x),F(y)] Md(x,y)≤ hay f là ánh x ạ Lipschitz. ii)N ế u x n → x 0 thì x 0 là ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F Ta có : 0 0 0 n 0 n 0 n n n n 0 d[Fx ,x ] d[Fx ,F x ] d[F x ,F x ] d[F x ,x ]≤ + + 0 n 0 n 0 n n n 0 d[Fx ,F x ] d[F x ,F x ] d(x ,x )= + + Do F n là ánh x ạ Lipschitz ⇒ F n là hàm s ố liên t ụ c. V ậ y khi x n → x 0 thì F n x n → F n x 0 . Do F n h ộ i t ụ v ề F theo t ừ ng ñ i ể m nên F n x 0 → Fx 0 . Chuy ể n qua gi ớ i h ạ n hai v ế , ta ñượ c Fx 0 = x 0 hay x 0 là ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F iii) N ế u M < 1 thì x n → x 0 và x 0 là ñ i ể m b ấ t ñộ ng duy nh ấ t c ủ a ánh x ạ F : Cho x n là ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F n và x 0 là ñ i ể m b ấ t ñộ ng c ủ a F.Ta có: n 0 n n 0 n n n 0 n 0 0 d(x ,x ) d(F (x ),F(x )) d(F (x ),F (x ) d(F (x ),F(x ))= ≤ + ≤ n 0 n 0 0 M.d(x ,x ) d(F (x ),F(x ))+ . Suy ra: n 0 n 0 0 1 d(x ,x ) d(F (x ),F(x )) 1 M ≤ − .T ừ ñ ó n 0 x x→ do F n h ộ i t ụ ñ i ể m v ề F và M <1. ■ Bài toán 3 : Cho (X,d) là 1 không gian metric ñầ y ñủ và {a n } là 1 dãy s ố không âm, có n n 1 a ∞ = < +∞ ∑ Cho F : X → X là ánh x ạ tho ả mãn : d(F n (x),F n (y)) ≤ a n. d(x,y), x,y X∀ ∈ . Hãy ch ứ ng minh F có duy nh ấ t ñ i ể m b ấ t ñộ ng và n F (z) u,z X→ ∈ (Weissinger – 1952) Ch ứ ng minh : T ừ n n 1 a ∞ = < +∞ ∑ . Do chu ỗ i n n 1 a ∞ = ∑ h ộ i t ụ nên s ố h ạ ng t ổ ng quát n a 0→ .Vì v ậ y v ớ i n N≥ , ta có n 0 a 1≤ < , N ∈  . 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN NHƯ MINH NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO MỘT VÀI MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN. ánh xạ co từ X vào X thì nguyên lý ánh xạ co của Banach khẳng ñịnh sự tồn tại duy nhất ñiểm bất ñộng. Nguyên lý ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong toán