Hình lồi trong không gian afin và một số vấn đề liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ MINH HỒNG HÌNH LỒI TRONG KHƠNG GIAN AFIN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội, tháng năm 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN TRẦN THỊ MINH HỒNG HÌNH LỒI TRONG KHÔNG GIAN AFIN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội, tháng năm 2019 Lời cảm ơn Trong suốt thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận, tơi nhận hướng dẫn, đạo tận tình thầy cô giáo, giúp đỡ, động viên bạn bè, đồng nghiệp, gia đình Nhân dịp hồn thành khóa luận, cho phép tơi bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô mơn tổ Hình học thầy giảng dạy tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, tơi xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, dành thời nhiều công sức, thời gian bảo tận tình để tơi hồn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ mặt thời gian hồn thành khóa luận Do điều kiện thời gian ngoại cảnh nhiều hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận nhận xét, góp ý thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Trần Thị Minh Hồng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu, tìm tòi cá nhân tơi hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Các nội dung khóa luận hồn tồn trung thực Các thơng tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Tơi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Trần Thị Minh Hồng Bảng kí hiệu A Khơng gian afin A A Không gian vectơ liên kết với không gian afin A An Không gian afin n chiều A An Không gian vectơ liên kết với không gian n chiều A An (R) Không gian afin thực n chiều A dimA Số chiều không gian afin A o G Tập điểm G ∂G Bờ G H(P0 , P1 , Pm ) m - hộp đóng (trong m + điểm Pi độc lập) o H(P0 , P1 , Pm ) m - hộp mở (trong m + điểm Pi độc lập) S(P0 , P1 , Pm ) m - đơn hình với đỉnh P0 , P1 , Pm coX Bao lồi tập X affA Bao afin tập A E Không gian Ơclit E En Không gian vectơ Ơclit n chiều E En Khơng gian Ơclit n chiều E KA Nón lồi sinh tập A N(n/A) Nón pháp tuyến tập lồi A đỉnh n Kết thúc chứng minh i Mục lục Bảng kí hiệu i Lời mở đầu 1 KHÔNG GIAN AFIN 1.1 Khái niệm 1.1.1 Không gian afin 1.1.2 Hệ điểm độc lập 1.2 1.3 Mục tiêu afin 1.2.1 Khái niệm mục tiêu afin 1.2.2 Tọa độ 1.2.3 Công thức đổi tọa độ Phẳng afin 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Phương trình m - phẳng 1.3.3 Vị trí tương đối phẳng 10 HÌNH LỒI 2.1 14 Hình lồi khơng gian afin 14 2.1.1 Tập lồi 15 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.1.2 Bao lồi Trần Thị Minh Hồng 16 2.1.3 Đơn hình 16 2.1.4 Hộp 17 2.2 Tính chất 18 2.3 Tính chất tơpơ 28 2.4 Hình đa diện 32 2.5 Hình lồi khơng gian Ơclit 33 2.5.1 Không gian Ơclit 33 2.5.2 Hình lồi khơng gian Ơclit 33 2.5.3 Bao lồi 36 2.5.4 Tập afin, Bao afin 37 2.5.5 Nón lồi 39 Một số tốn có yếu tố hình lồi 42 2.6 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng Lời mở đầu • Lý chọn đề tài Từ niên đại trước công nguyên, đời sống hàng ngày người tiếp xúc với vấn đề đo đạc, điều đòi hỏi phải có số kiến thức định hình học Sau phát triển, nghiên cứu đến ngày nay, hình học lại cho thấy rõ thú vị tầm quan trọng thực tiễn Với mong muốn nghiên cứu bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em định chọn đề tài hình học để thực nghiên cứu khoa học Sau thời gian tìm hiểu, khái quát lại kiến thức, em đặc biệt ý đến kiến thức Hình lồi trình bày chương trình Đại học Người ta có nhiều nghiên cứu hình lồi khơng gian Ơclit em xin mạnh dạn trình bày số hiểu biết hình lồi khơng gian afin Tên đề tài mà e lựa chọn để đặt cho nghiên cứu khoa học là:"Hình lồi khơng gian afin số vấn đề liên quan" • Lịch sử nghiên cứu vấn đề Tên gọi hình lồi lạ học sinh khối trung học phổ thơng, thực chúng có mặt sớm hệ thống kiến thức mà mang tên riêng biệt hình vng, hình tròn, hình chữ nhật Khi lên cấp cao hơn, hình lồi đưa vào nghiên cứu không gian afin, khơng gian Ơclit Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng • Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến hình lồi khơng gian afin, đưa số tốn có yếu tố lồi • Phương pháp nghiên cứu – Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu liên quan đến hình lồi khơng gian afin – Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xin ý kiến giáo viên trực tiếp hướng dẫn giáo viên khác để hoàn thành nội dung cấu trúc khóa luận – Phương pháp tổng hợp: Tổng kết kiến thức thân, kết hợp ý kiến giảng viên để hồn thành khóa luận • Nội dung khóa luận Nội dung khóa luận gồm hai chương sau: Chương Chương trình bày số kiến thức dùng chương sau Chương Chương trình bày số nội dung hình lồi khơng gian afin không gian Ơclit Những kiến thức trình bày để giải số tốn hình học tổ hợp Chương KHÔNG GIAN AFIN Trong chương trình phổ thơng trung học, hình học cổ điển xây dựng từ đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng tiên đề, định lý quy định mối liên hệ chúng Với cách định nghĩa hình học vậy, phù hợp với khả tiếp thu học sinh phổ thông trung học Nhưng sau thành tựu Đại số tuyến tính, người ta tìm cách trình bày hình học cổ điển đơn giản tổng quát hơn, hạn chế nhược điểm cách trình bày phổ thơng khó khăn mở rộng khơng gian nhiều chiều Từ đó, hình học afin xây dựng với hai đối tượng điểm vectơ với tám tiên đề vectơ hai tiên đề điểm (đã trình bày đại số tuyến tính) Các chứng minh hình học afin chủ yếu sử dụng thành tựu Đại số tuyến tính Nội dung trình chương chủ yếu lấy từ [1] Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng ⇒ OM1 = OM2 = OM3 ≤ √1 ⇒ O ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ⇒ F1 ∩ F2 ∩ F3 = ∅ TH2: M1 , M2 , M3 lập thành tam giác tù M2 M3 M1 I Giả sử góc M1 tù Khi đường tròn đường kính M2 M3 phủ tam giác ∆M1 M2 M3 Gọi I trung điểm cạnh M2 M3 , ta có: IM2 = IM3 > IM1 IM2 = 12 M2 M3 ≤ < √1 ⇒ I ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ⇒ F1 ∩ F ∩ F = ∅ n Từ hai trường hợp trên, áp dụng định lý Helly, suy ∩ Fi = ∅ i=1 n Giả sử O∗ ∈ ∩ F Xét hình tròn tâm O∗ bán kính i=1 ∗ Vì O ∈ Fi nên O∗ Mi ≤ √1 √1 Vậy đường tròn tâm O∗ phủ n điểm Mi , ∀i = 1, n ✷ Bài tập 3: (xem [4, tr.5]) Trên mặt phẳng có họ hữu hạn cạnh tương ứng song song với hai trục tọa độ Chứng minh hai hình chúng có giao khác rỗng Chứng minh: 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng di Fi ci Fj −1 −1 bi Lấy hệ tọa độ có trục song song với cạnh hình chữ nhật Chiếu hình chữ nhật lên trục Ox, Oy Ta có tương ứng - sau đây:    [a , b ] ⊂ Ox i i Fi ⇔   [ci , di ] ⊂ Oy Vậy họ đoạn thẳng [ai , bi ] ⊂ Ox họ đoạn thẳng [ci , di ] ⊂ Oy, ∀i = 1, n Do Fi ∩ Fj = ∅ ∀i = j i, j = 1, n [ai , bi ] ∩ aj , bj = ∅ ∀i = j i, j = 1, n Từ theo định lý Helly n [ai , bi ] = ∅ i=1 Vì thế, tồn a∗ ∈ [ai , bi ] 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng Tương tự ta chứng minh tồn n ∗ b ∈ [ci , di ] i=1 Chứng tỏ (a∗ , b∗ ) ∈ n ✷ Fi i=1 Bài tập 4: (xem [4, tr.8])Trong khu triển lãm tranh có hình dạng đa giác có cạnh không tự cắt Biết ba tường tùy ý khu triển lãm tìm thấy điểm nhìn thấy tất chúng Chứng minh khu triển lãm có điểm nhìn thấy tất tường Chứng minh: Trên cạnh đa giác ngược chiều kim đồng hồ, xét cạnh Gọi Fi nửa mặt phẳng tạo nên đường thẳng qua cạnh nằm phía bên trái theo chiều ta Cứ với nửa mặt phẳng Fi , Fj , Fk theo giả thiết, tồn điểm Mijk cho Mijk ∈ Fi ∩ Fj ∩ Fk n Như vậy, Fi ∩ Fj ∩ Fk = ∅ ∀i, j, k Theo định lý Helly Tức tồn M ∗ ∈ Fi = ∅ i=1 n ✷ Fi i=1 Bài tập (Bổ để đa giác bao): (xem [3, tr.14]) Cho n điểm không thuộc đường thẳng Chứng minh tồn đa giác lồi có đỉnh n điểm cho, cho điểm lại khơng nằm ngồi đa giác Chứng minh: 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng Vì số điểm cho hữu hạn n nên tồn đường tròn có bán kính đủ lớn chứa tất n điểm Lấy đường thẳng a nằm ngồi đường tròn Gọi A1 điểm gần d (nếu có nhiều điểm chọn A1 điểm cuối bên phải), qua A1 kẻ đường thẳng d song song với đường thẳng a Sau quay đường thẳng d ngược chiều kim đồng hồ quanh A1 gặp điểm cho, ta đường thẳng mới: d1 Gọi điểm vừa qua A2 (Nếu có nhiều điểm thuộc d chọn A2 điểm xa nhất) d2 A3 d1 A2 Am d A1 dm a Tiếp tục quay d1 ngược chiều kim đồng hồ quanh A2 làm theo cách ta đường thẳng d2 , d3 , đường thẳng qua A1 gọi dm lúc ta nhận đa giác lồi A1 A2 Am thỏa mãn đề Chú ý rằng: Ta gọi đa giác lồi tạo thành theo hai cách đa giác bao n điểm cho Từ ta chứng minh bổ đề góc bao: Cho n điểm khơng thuộc đường thẳng Chứng minh tồn góc nhỏ góc bẹt có đỉnh n điểm cho, cho điểm lại khơng thuộc miền ngồi góc 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng Giải: Lập luận tương tự ta A2 A1 Am góc phải tìm Chú ý: Ta gọi góc tạo thành theo hai cách góc bao n điểm cho Bài tập 6: (xem [3]) Chứng minh chọn bốn điểm năm điểm mặt phẳng đỉnh tứ giác lồi Giả thiết khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh: Theo tồn đa giác bao năm điểm cho Xét trường hợp: Nếu đa giác bao tứ giác (hình 6.1) ngũ giác (hình 6.2) tốn chứng minh a A M J N B Hình 6.1 Hình 6.2 C Hình 6.3 Nếu đa giác bao tam giác (hình 6.3), lúc tồn hai điểm M, N nằm tam giác ABC Trong ba điểm A, B, C có hai điểm nằm phía đường thẳng MN, giả sử A B Thế A, B, M, N điểm phải tìm Bài tập 7: (xem [3, tr.15]) Trên mặt phẳng cho điểm khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh rằng: Tồn ba điểm năm điểm cho ba đỉnh tam giác có góc: a, Nhỏ 36 độ b, Lớn 108 độ 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng Chứng minh: E C D B A Hình a a, (Hình a) Theo bổ đề góc bao, tồn điểm A, B, C năm điểm cho cho hai điểm lại D, E nằm góc ABC Nếu ABC ≤ 1080 tồn góc ABD, DBE, EBC nhỏ bằng: 1080 = 360 Chẳng hạn, ABD ≤ 360 ∆ABD tam giác phải tìm Nếu ABC > 1080 xét ∆ABC có A + C < 720 nên tồn hai góc nhỏ 720 = 360 b, Theo bổ đề đa giác bao, tồn đa giác bao năm điểm cho Xét ba trường hợp: - Đa giác ba tam giác (Hình b): Tồn điểm cho D nằm tam giác ∆ABC, tồn góc ADB, BDC, CDA lớn 1200 > 1080 , chẳng hạn ADB, ∆ADB tam giác cần tìm 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng C2 D1 A D2 A1 B2 D E1 B1 B C1 C Hình b Hình c A2 E2 hình d - Đa giác bao tứ giác (Hình c): Xét tam giác chứa điểm thứ năm E1 chứng minh - Đa giác bao ngũ giác (Hình d): Tổng góc ngũ giác bằng: (5 − 2) 1800 = 5400 tồn góc lớn bằng: 5400 = 1080 ✷ Bài tập (Bổ đề hình bình hành phủ đa giác): (xem [3, tr.8]) Cho đa giác lồi α Chứng minh tồn hình bình hành có diện tích khơng q hai lần diện tích đa giác chứa tồn đa giác Chứng minh: 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng d C Q P b D E M A B a N c Gọi a đường thẳng chứa cạnh AB đa giác Gọi C đỉnh đa giác cách xa AB Qua C kẻ đường thẳng b AB • Nếu AC đường chéo đa giác lồi Gọi D, E đỉnh đa giác cách xa AC hai phía AC Qua D kẻ đường thằng c AC, qua E kẻ đường thẳng d AC Gọi MNPQ hình bình hành tạo đường thẳng a, b, c, d, đỉnh đa giác nằm biên hình bình hành Hiển nhiên: SACD + SACE ≤ Sα Mà SACD + SACE = SM N P Q nên SM N P Q ≤ Sα • Nếu AC cạnh đa giác lồi, ta chọn chẳng hạn đỉnh E đa giác cách xa AC giải tương tự 52 ✷ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng Bài tập 9: (xem [3, tr.19]) Cho đa giác lồi có diện tích 24cm2 Chứng minh ta vẽ tam giác có diện tích khơng nhỏ 6cm2 Chứng minh: Dựa vào hình vẽ 8, ta hình bình hành MNPQ chứa đa giác, SM N P Q ≥ 24cm2 Ta có SACD + SACE = SM N P Q nên SACD + SACE ≥ 12cm2 từ suy tồn hai tam giác ∆ACD ∆ACE có diện tích lớn bằng: 12cm2 = 6cm2 ✷ Bài tập 10: (xem [3-tr.10])Cho hai điểm P, Q nằm bên đa giác lồi Chứng minh tồn đỉnh đa giác cho khoảng cách từ đỉnh đến P lớn khoảng cách từ đỉnh đến Q Chứng minh: Giả sử đa giác cho A1 A2 An A1 P ≤ A1 Q A2 P ≤ A2 Q An P ≤ An Q 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng An Q (ii) A1 (i) P A2 A3 Ta gọi d trung trực đoạn PQ, d chia mặt phẳng đa giác thành hai nửa mặt phẳng, nửa mặt phẳng chứa P (i), nửa mặt phẳng chứa Q (ii) Do A1 P ≤ A1 Q (giả thiết) nên A1 ∈ (i), tương tự đỉnh lại đa giác thuộc mặt phẳng (i) Còn Q thuộc mặt phẳng (ii), điều có nghĩa Q nằm bên đa giác, mâu thuẫn với giả thiết Vậy chứng tỏ phải tồn đỉnh Ak đa giác lồi A1 A2 An cho ✷ Ak P > Ak Q Bài tập 11: (xem [3]) Cho lục giác lồi có độ dài cạnh Chứng minh hai tam giác mà ba đỉnh chúng đỉnh khơng kề hình lồi có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn Chứng minh: Giả sử lục giác ABCDEF có độ dài cạnh Ta chứng minh hai tam giác ACE BDF có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng A F B R r t O R R C s E D Ta dùng phương pháp chứng minh phản chứng: Giả sử bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE BDF nhỏ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE Xét hai tam giác cân DCE OCE chung cạnh CE có DC = DE = 1, OC = OE < Dễ thấy hai tam giác cân chung đáy, tam giác có cạnh bên lớn góc đỉnh nhỏ Do DC < OC nên D < COE Tương tự ta chứng minh được: B < AOC, F < AOE Suy ra: B + D + F < AOC + COE + AOE (2.10) Ta lại thấy O nằm nằm cạnh tam giác ACE AOC + COE + AOE = 3600 , O nằm ngồi tam giác ACE AOC + COE + AOE < 3600 (2.11) Tương tự bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF nhỏ nên A + C + E < 3600 55 (2.12) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng Từ (2.10), (2.11) (2.12) suy A + C + E + B + D + F < 7200 Điều vơ lí, điều giả sử sai chứng tỏ hai tam giác ACE BDF có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn ✷ Bài tập 12: (xem [3]) Chứng minh đặt bên đa giác lồi có chu vi P diện tích S hình tròn có bán kính R R≤ 2S P Chứng minh: Gọi cạnh đa giác a1 , a2 , , an Gọi O tâm đường tròn bán kính R đặt đa giác lồi Nối O với đỉnh đa giác khoảng cách từ O đến cạnh h1 , h2 , , hn A3 A2 h2 h1 h3 A1 O hn An Do hi ≥ R(i = 1, 2, ,n) nên S = 21 (a1 h1 + a2 h2 + + an hn ) ≥ 12 R.(a1 + a2 + + an ) = Vậy R ≤ RP ✷ 2S P 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng Trên toán chọn lọc, đưa để thấy rõ ứng dụng hình lồi việc giải tốn hình học tổ hợp - dạng tốn khó, dành cho học sinh giỏi Đối với toán mà ta sử dụng trực tiếp tính chất tập lồi sử dụng phép lấy bao lồi cho việc giải tốn đơn giản hơn, giúp ta có thêm nhiều cách tiếp cận tốn 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Minh Hồng KẾT LUẬN Chương trình bày kiến thức chuẩn bị với vấn đề quan trọng định nghĩa không gian afin, định nghĩa hệ điểm độc lập định nghĩa phẳng không gian afin Chương trình bày định nghĩa hình lồi khơng gian afin không gian Ơclit Một nhận xét quan trọng rút ra: Khơng gian Ơclit không gian afin nên đối tượng afin đối tượng Ơclit Những định nghĩa, định lý quan trọng bao lồi định lý Helly làm cơng cụ để giải tốn hình học tổ hợp Các tốn trình bày mục 2.6 tốn điển hình coi cơng cụ để giải tốn hình học khác 58 Tài liệu tham khảo [1] VĂN NHƯ CƯƠNG - TẠ MÂN, HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLIT, NXB ĐHQG (1998) [2] PHẠM KHẮC BAN - PHẠM BÌNH ĐƠ, HÌNH HỌC AFIN VÀ HÌNH HỌC ƠCLIT TRÊN NHỮNG VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP, NXB ĐHSP (2004) [3] VŨ HỮU BÌNH, HÌNH HỌC TỔ HỢP, NXB ĐHQG Hà Nội [4] https://chuyen-qb.com/web/attachments/707NGOAI, Thư viện trung tâm ĐHQG - HCM [5] PHẠM THU TRANG, HÌNH LỒI TRONG KHƠNG GIAN ƠCLIT N CHIỀU E n , (2004) [6] PHAN HỒNG TRƯỜNG, ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH, ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 59 ... Bảng kí hiệu A Không gian afin A A Không gian vectơ liên kết với không gian afin A An Không gian afin n chiều A An Không gian vectơ liên kết với không gian n chiều A An (R) Không gian afin thực n... tài mà e lựa chọn để đặt cho nghiên cứu khoa học là: "Hình lồi không gian afin số vấn đề liên quan" • Lịch sử nghiên cứu vấn đề Tên gọi hình lồi lạ học sinh khối trung học phổ thông, thực chúng... cứu tài liệu liên quan đến hình lồi khơng gian afin, đưa số tốn có yếu tố lồi • Phương pháp nghiên cứu – Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu liên quan đến hình lồi khơng gian afin – Phương