KHÔNG GIAN PHỨC HYPEBOLIC và một số vấn đề LIÊN QUAN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CẤN THỊ THU HIỀN KHÔNG GIAN PHỨC HYPEBOLIC VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Hà Nội -2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CẤN THỊ THU HIỀN KHÔNG GIAN PHỨC HYPEBOLIC VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Nguyễn Thu Trang HÀ NỘI -2015 Lời cảm ơn Được phân công khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Phạm Nguyễn Thu Trang, thực đề tài "Không gian phức hyperbolic số vấn đề liên quan" Để hoàn thành luận văn này, xin chân thành cảm ơn đến thầy cô giáo tận tình hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện trường Đại học Sư phạm Hà Nội Xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn TS Phạm Nguyễn Thu Trang tận tình, chu đáo hướng dẫn thực khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh nhất, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định mà thân chưa thấy Tôi mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Học viên Cấn Thị Thu Hiền Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi 1.2 Không gian phức hyperbolic 1.3 Không gian phức hyperbolic đầy 1.4 Tính taut định lý Kiernan 10 1.5 Không gian phức nhúng hyperbolic 14 Không gian phức hyperbolic số vấn đề liên quan 17 2.1 Tính hyperbolic tính taut miền kiểu Hartogs 17 2.2 Tính nhúng hyperbolic 23 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích phức nói chung giải tích hyperbolic nói riêng đóng vai trò quan trọng giải tích toán học lĩnh vực toán học đại Lý thuyết không gian phức hyperbolic S Kobayashi đưa từ đầu năm 1970 mở hướng nghiên cứu giải tích phức Trong năm gần lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước Một số kết đẹp đẽ lý thuyết chứng minh M Abate, T Barth, H Gaussier, S Kobayashi, S Lang, Đỗ Đức Thái, Tính hyperbolic, tính taut, tính nhúng hyperblic tính chất quan trọng nghiên cứu miền không gian phức Vì vậy, với việc chọn đề tài "Không gian phức hyperbolic số vấn đề liên quan", mong muốn tìm hiểu nghiên cứu số đặc trưng tính chất không gian phức hyperbolic số vấn đề liên quan tới không gian phức Định hướng nghiên cứu Trước hết, luận văn cần phải trình bày số nội dung chuẩn bị không gian phức hyperbolic như: Giả khoảng cách Kobayashi; không gian phức hyperbolic; tính taut; không gian phức nhúng hyperbolic Trên sở tìm hiểu trình bày sâu số vấn đề liên quan tới không gian phức hyperbolic Phương pháp nghiên cứu Đọc dịch tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp nghiên cứu lý thuyết Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày vấn đề giải tích phức giải tích hyperbolic nhằm chuẩn bị cho chương sau: Giả khoảng cách Kobayashi; không gian phức hyperbolic; không gian phức hyperbolic đầy; không gian phức nhúng hyperbolic Chương 2: Không gian phức hyperbolic số vấn đề liên quan Đây nội dung luận văn Chương trình bày khái niệm, tính hyperbolic tính taut miền kiểu Hartogs; tính nhúng hyperbolic miền không bị chặn không gian phức Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi Giả sử ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} đĩa đơn vị mở mặt phẳng phức C ∆r = {z ∈ C : |z| < r} Dễ thấy ∆ = ∆1 Trên ∆, ta xét khoảng cách Bergman-Poincare cho ρ(0, z) = ln + |z| , với z ∈ ∆ − |z| Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian phức, p q hai điểm tùy ý X Ta gọi dây chuyền chỉnh hình γ nối p q tập hợp {a1 , a2 , , an ∈ ∆; f1 , f2 , , fn ∈ Hol(∆, X)} cho f1 (0) = p, fi (ai ) = fi+1 (0), fn (an ) = q Hol(M, N ) không gian ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức M vào không gian phức N trang bị tôpô compact mở Ta đặt n Lγ = ρ(0, ) i=1 định nghĩa dX (p, q) = inf Lγ , infimum lấy theo tất dây chuyền chỉnh hình γ nối p q Hàm dX : X × X → [0; ∞) gọi giả khoảng cách Kobayashi không gian phức X Dễ thấy dX thỏa mãn tiên đề giả khoảng cách, tức là: i) dX (p, q) ≥ 0, ∀p, q ∈ X ii) dX (p, q) = dX (q, p), ∀p, q ∈ X iii) dX (p, r) ≤ dX (p, q) + dX (q, r), ∀p, q, r ∈ X Nhận xét Ta nêu số tính chất giả khoảng cách Kobayashi i) ρ = d∆ d∆n ((zj ), (wj )) = max ρ(zj , wj ), ∀(zj ), (wj ) ∈ j=1,n n ∆ ii) (Nguyên lý giảm khoảng cách) Giả sử f : X → Y ánh xạ chỉnh hình hai không gian phức Khi dX (p, q) ≥ dY (f (p), f (q)), ∀ p, q ∈ X Từ ta suy , f : X → Y song chỉnh hình dX (p, q) = dY (f (p), f (q)), ∀ p, q ∈ X iii) Đối với không gian phức X tùy ý, hàm dX liên tục X × X Chứng minh Giả sử {(pn , qn )} ⊂ X × X {(pn , qn )} → (p, q) theo tôpô X × X Từ bất đẳng thức tam giác ta có |dX (pn , qn ) − dX (p, q)| ≤ dX (pn , p) + dX (qn , q) Do việc chứng minh lim dX (pn , qn ) = dX (p, q) thực chất đưa n→∞ việc chứng minh dX (pn , p) → pn → p Giả sử U lân cận điểm p Do dX ≤ dU U nên ta cần chứng tỏ dU (pn , p) → pn → p U Nếu p điểm quy X ta coi U = ∆n phép chứng minh suy từ tính chất i) Ta xét trường hợp p điểm kỳ dị X Giả sử tồn δ > cho dU (pn , p) ≥ δ với n > Xét dải kỳ dị π : U → U Giả sử {qn } ⊂ U cho π(qn ) = pn , ∀n ≥ Do π ánh xạ riêng nên cách lấy dãy cần thiết ta giả sử dãy {qn } hội tụ tới q ∈ U Do π ánh xạ liên tục nên π(q) = p Giả sử V lân cận đa đĩa q U Do nguyên lý giảm khoảng cách dV liên tục nên ta suy dU (pn , p) = dU (π(qn ), π(q)) ≤ dV (qn , q) → n → ∞ Điều trái với giả thiết ban đầu ta Vậy dX hàm liên tục X × X 1.2 Không gian phức hyperbolic Định nghĩa 1.2.1 Một không gian phức X gọi hyperbolic dX khoảng cách, tức dX (p, q) = p = q Nhận xét Một số tính chất không gian phức hyperbolic i) Nếu X, Y không gian phức, X × Y không gian hyperbolic X Y không gian hyperbolic ii) Giả sử X không gian phức không gian phức Y Nếu Y hyperbolic X hyperbolic Hay nói cách khác, không gian không gian hyperbolic hyperbolic Ví dụ 1.2.2 Ta có a) Đĩa ∆r đa đĩa ∆m r hyperbolic b) Một miền bị chặn Cm hyperbolic c) Cm không hyperbolic, dCm ≡ Định lí 1.2.3 (Định lý Barth) Giả sử X không gian phức hyperbolic Khi khoảng cách dX sinh tôpô không gian X Chứng minh Ta phải chứng minh ánh xạ Id : (X, τX ) → (X, τdX ) Id : (X, τdX ) → (X, τX ) liên tục Do tính chất iii) giả khoảng cách Kobayashi nên ánh xạ Id : (X, τX ) → (X, τdX ) liên tục Giả sử tồn dãy {pn } ⊂ X, lim dX (pn , p) = {pn } n→∞ p theo tôpô τX Thế tồn lân cận U, V p X tồn dãy {pnk } ⊂ {pn } cho U ⊂ V , V đẳng cấu với tập HI5 Tồn hàm độ dài H Y cho với f ∈ Hol (∆, X), ta có f ∗ H ≤ H∆ Nhận xét i) Không gian phức X hyperbolic X nhúng ii) Nếu X1 nhúng hyperbolic Y1 X2 nhúng hyperbolic Y2 X1 × X2 nhúng hyperbolic Y1 × Y2 iii) Nếu có hàm khoảng cách δ X thỏa mãn dX (p, q) ≥ δ (p, q) , ∀p, q ∈ X X nhúng hyperbolic Y 16 Chương Không gian phức hyperbolic số vấn đề liên quan 2.1 Tính hyperbolic tính taut miền kiểu Hartogs Giả sử X không gian phức ánh xạ H : X × Cm −→ [−∞; ∞) nửa liên tục cho H(z, w) 0, H(z, λw) = |λ|H(z, w) với λ ∈ C, z ∈ X, w ∈ Cm Định nghĩa 2.1.1 Đặt ΩH (X) := {(z, w) ∈ X × Cm : H(z, w) < 1} với z ∈ X, ΩH (z) := {w ∈ Cm : H(z, w) < 1} Miền ΩH (X) gọi miền kiểu Hartogs Định lí 2.1.2 Ω = ΩH (X) hyperbolic X hyperbolic hàm H thỏa mãn điều kiện sau: Nếu {zk }k≥1 dãy X với lim zk = z0 ∈ X {wk }k≥1 dãy k→∞ C m với lim wk = w0 = lim sup H(zk , wk ) = 0.(∗) k→∞ k→∞ Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta cần bổ đề sau (là kết Nhận xét 3.1.7 Mệnh đề 3.1.10 [5]) 17 Bổ đề 2.1.3 Giả sử Ω = ΩH (X) ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} Khi đó, lΩ ((z, 0), (z, w)) ≤ p(0, H(z, w)) với (z, w) ∈ Ω, p khoảng cách Poincaré lΩ (a, b) = inf {p(0, λ) : ∃ϕ ∈ Hol(∆, Ω), ϕ(0) = a, ϕ(λ) = b} hàm Lempert Ở đây, đẳng thức xảy H ∈ P SH(X × Cm ) Chứng minh định lý 2.1.2 Điều kiện cần Giả sử ΩH (X) hyperbolic Do X đẳng cấu với không gian phức đóng ΩH (X), ta suy X hyperbolic Tiếp theo, ta H thỏa mãn tính chất (*) Giả sử ngược lại, tồn {zk }k≥1 ⊂ X với lim zk = z0 ∈ X {wk }k≥1 ⊂ Cm với k→∞ lim wk = w0 = lim sup H(zk , wk ) = Không tính tổng quát, k→∞ k→∞ ta giả sử (zk , wk ) ∈ ΩH (X) Theo Bổ đề 2.1.3, ta có ≤ kΩ ((zk , 0), (zk , wk )) ≤ p(0, H(zk , wk )), ∀k ≥ Cho k → ∞, ta thấy kΩ ((z0 , 0), (z0 , w0 )) = Điều mâu thuẫn với tính hyperbolic ΩH (X) Điều kiện đủ Để chứng minh mệnh đề đảo, xét ánh xạ chiếu π : ΩH (X) → X cho π(z, w) = z Giả sử U lân cận hyperbolic z0 X Khi đó, ∪z∈U ΩH (z) tập có bị chặn Cm Thật vậy, giả sử ngược lại, tức tồn {zk }k≥1 ⊂ U, {wk }k≥1 ⊂ Cm cho lim wk = ∞ H(zk , wk ) < k→∞ Đặt wk := rk uk với uk = 1, ∀k ≥ |rk | → ∞ k → ∞ Không tính tổng quát, ta giả sử zk → z0 uk → u0 = k → ∞ Từ 18 H(zk , wk ) = |rk |H(zk , uk ) < nên lim sup H(zk , uk ) = (Mâu thuẫn với k→∞ tính chất (*)) Vì vậy, tồn R > cho ∪z∈U ΩH (z) ⊂ B(0; R) Dễ thấy rằng, π −1 (U ) ⊂ U × ∪z∈U ΩH (z) ⊂ U × B(0; R) Vì vậy, π −1 (U ) hyperbolic Theo định lý Eastwood, ta suy điều phải chứng minh Mệnh đề 3.2 [13] hệ trực tiếp Định lý 2.1.2 X miền G ⊂ Cn , H(z, w) = h(w)eu(z) , h : Cm → [−∞, ∞) nửa liên tục trên, h = 0, h(λw) = |λ|h(w), λ ∈ C, w ∈ Cm u hàm nửa liên tục trên G Ta có hệ sau: Hệ 2.1.4 (Mệnh đề 3.2 [13]) Miền Ω = ΩH (G) hyperbolic G hyperbolic, Dh := {w ∈ Cm : h(w) < 1} Cm u bị chặn địa phương G Chứng minh Điều kiện đủ để chứng minh tính chất (*) tương đương với Dh := {w ∈ Cm : h(w) < 1} Cm u bị chặn địa phương G Giả sử H(z, w) = h(w)eu(z) thỏa mãn điều kiện (*) Trước hết, ta Dh bị chặn Cm Thật vậy, giả sử ngược lại, tức tồn dãy {wk }k≥1 ⊂ Dh cho wk → ∞ Đặt wk = rk uk với uk = Khi rk → ∞ Rõ ràng ≤ H(z, wk ) = h(wk )eu(z) = |rk |h(uk )eu(z) < eu(z) < ∞ Cho k → ∞, ta có lim sup H(z, uk ) = Điều mâu thuẫn với tính k→∞ chất (*) Tiếp theo, ta u bị chặn địa phương G Thật vậy, giả sử tồn z0 ∈ G {zk }k≥1 hội tụ tới z0 cho u(zk ) → −∞ Cố định 19 w ∈ Cm , w = Ta có lim sup H(zk , w) = lim h(w)eu(zk ) = Điều k→∞ k→∞ mâu thuẫn với tính chất (*) hàm H Giả sử H(z, w) = h(w)eu(z) , Dh := {w ∈ Cm : h(w) < 1} Cm u bị chặn địa phương G Giả sử tồn dãy {zk } ⊂ G, {wk } ⊂ Cm cho zk → z0 ∈ G, wk → w0 = lim sup H(zk , uk ) = Dễ k→∞ thấy lim sup h(wk )eu(zk ) = Vì u bị chặn địa phương G, ta có k→∞ lim sup h(wk ) = Chọn dãy {rk } ⊂ R cho k→∞ (i) rk → ∞, (ii) lim sup rk h(wk ) = lim sup h(rk wk ) = k→∞ k→∞ Đặt vk := rk wk Khi {vk } ⊂ Dh với k đủ lớn vk → ∞ Mâu thuẫn xảy Sau ta chứng minh định lý luận văn, định lý thể điều kiện cần điều kiện đủ để miền kiểu Hartogs taut Định lí 2.1.5 Giả sử X không gian phức Khi đó, ΩH (X) taut X taut, ΩH (z) taut với z ∈ X logH hàm đa điều hòa liên tục Chứng minh Điều kiện cần Từ X đẳng cấu với không gian phức đóng ΩH (X), suy X taut Ta chứng minh H liên tục X × Cm Thật vậy, giả sử tồn r > 0, {zk , wk }k≥1 ⊂ X × Cm cho {(xk , wk )} → (z0 , w0 ) ∈ X × Cm H(xk , wk ) < r < H(x0 , w0 ), ∀k ≥ Với k ≥ 1, ta xác định ánh xạ chỉnh hình fk : ∆ −→ ΩH (X) cho rwk fk (λ) = (zk , ) Rõ ràng fk (0) = (zk , 0) −→ (z0 , 0) ∈ ΩH (X) Từ r 20 ΩH (X) taut, cách lấy dãy cần thiết, ta giả sử fk hội tụ địa phương ∆ tới ánh xạ f ∈ Hol(∆, ΩH (X)) Dễ thấy f (λ) = (z0 , λw0 ) Do đó, r λw0 |λ| H(z0 , w0 ) = H(z0 , ) < 1, ∀λ ∈ ∆ r r r Từ ta có H(z0 , w0 ) < , ∀λ ∈ ∆, suy H(z0 , w0 ) ≤ r Mâu |λ| thuẫn xảy Ta chứng minh ΩH (z) taut với z ∈ X Cố định z ∈ X Giả sử dãy {ϕk }k≥1 ⊂ Hol(∆, ΩH (z)) Mỗi k ≥ 1, đặt ψk : ∆ → ΩH (X) cho ψk (λ) = (z, ϕk (λ)), λ ∈ ∆ Dễ thấy, ánh xạ xác định {ψk }k≥1 ⊂ Hol(∆, ΩH (X)) Vì vậy, tính taut ΩH (X) kéo theo {ψ1k }k≥1 ⊂ {ψk }k≥1 hội tụ Hol(∆, ΩH (X)) phân kì compact Từ suy dãy {ϕ1k }k≥1 ⊂ {ϕk }k≥1 hội tụ Hol(∆, ΩH (X)) phân kì compact ta suy tính taut ΩH (z) Cuối cùng, ta logH hàm đa điều hòa Theo định lý Fornaess Narasimhan (xem [4]), cần chứng minh u(z) := logH ◦ g(z) = logH(g1 (z), g2 (z)) điều hòa với g = (g1 , g2 ) ∈ Hol(∆, X × Cm ) ∩ C(∆, X × Cm ) Giả sử ngược lại, ∃z0 ∈ X, r > hàm điều hòa h thỏa mãn h(z) ≥ u(z) với z = z0 + reiθ , ∀θ ∈ R, u(z0 ) > h(z0 ) ˜ Ta có u(z) − h(z) = logH(g1 (z), e−h(z)−ih(z) g2 (z)) ≤ 0, ∀z = z0 + reiθ u(z0 ) − h(z0 ) = ε0 > ˜ Với n ≥ 1, ta đặt ϕn (λ) := (g1 (z), e−h(z)−ih(z)−ε0 − n g2 (z)), 21 z = z0 + rλ Dễ thấy, ϕn ∈ Hol(∆, wH (X)), ϕn (∂∆) ΩH (X) n → ∞, ϕn (0) tiến đến điểm biên Điều mâu thuẫn với tính taut ΩH (X) ta có điều phải chứng minh Điều kiện đủ Ta xét ánh xạ chiếu π : ΩH (X) → X cho π(z, w) = z Lấy U lân cận taut z ∈ X Vì H liên tục, ΩH (z) taut với z ∈ X , tồn hình cầu B Cm cho π −1 (U ) = ΩH (U ) ⊂ U × B Lấy {ϕn }n≥1 ⊂ Hol(∆, ΩH (U )) Do U × B taut, {ϕn } họ chuẩn tắc Hol(∆, U × B), tức tồn dãy {ϕ1n }n≥1 ⊂ {ϕn }n≥1 dãy hội tụ chuẩn tắc Hol(∆, U × B) phân kì compact Trong trường hợp thứ hai, dãy {ϕ1n }n≥1 họ Hol(∆, ΩH (U )) nên dãy phân kì compact Với n ≥ 1, đặt ϕn = (fn , gn ), {fn }n≥1 ⊂ Hol(∆, U ), {gn }n≥1 ⊂ Hol(∆, B) Ta giả sử {ϕ1n }n≥1 hội tụ chuẩn tắc Hol(∆, U × B) Lấy hàm ϕ = (f, g) ∈ Hol(∆, U × B), K K f ∈ Hol(∆, U ), g ∈ Hol(∆, B) cho f1n =⇒ f, g1n =⇒ g n → ∞ Dễ thấy ϕ(∆) ∈ ΩH (U ) f (∆) ⊂ U Do U taut nên f (∆) ⊂ ∂U f (∆) ⊂ U Trong trường hợp thứ nhất, dễ thấy ϕ(∆) ∈ ∂ΩH (U ), suy {ϕ1n }n≥1 (là dãy Hol(∆, ΩH (U ))) phân kì compact Giả sử f (∆) ⊂ U xác định ψ := H ◦ ϕ Chú ý ψ ⊂ (C ∩ SH)(∆) ψ ≤ ∆ Theo nguyên lý cực đại cho hàm điều hòa suy ψ|∆ = ψ|∆ < Từ ta có ϕ(∆) ⊂ ∂ΩH (U ) ϕ(∆) ⊂ ΩH (U ) Do đó, {ϕ1n }n≥1 hội 22 tụ Hol(∆, ΩH (U )) phân kì compact Vì vậy, π −1 (U ) = ΩH (U ) taut Theo định lý Thai Hương (xem [14]), ta suy điều phải chứng minh 2.2 Tính nhúng hyperbolic Đầu tiên, ta nhắc lại số định nghĩa, khái niệm Giả sử X không gian phức T X không gian tiếp xúc Zariski X Hàm độ dài H X hàm H : T X → [0, ∞) thỏa mãn: (TF1) H(v) = v = 0, (TF2) Với số c ∈ C, H(cv) = |c|H(v), (TF3) H liên tục Kí hiệu ∆r đĩa bán kính r > 0, đĩa đơn vị ∆1 ∆ Định nghĩa 2.2.1 Giả sử X không gian phức x ∈ X Xét ánh xạ chỉnh hình f : ∆r −→ X thỏa mãn f (0) = x Trong hệ tọa độ chỉnh hình địa phương f xác định f (z) = f (0) + f (1) z + f (2) z3 z2 + f (3) + · · · , 2! 3! f (k) ∈ Cn với n > f (0) = x Hai mầm f f˜ gọi osculate bậc k f (0) = f˜(0) , f (1) = f˜(1) , , f (k) = f˜(k) Các lớp tương đương mầm gọi jet bậc k x ta kí hiệu tập jet bậc k x Jk (X)x Ta đặt Jk (X) = Jk (X)x x∈X 23 Giả sử ánh xạ chỉnh hình f : ∆r −→ X thõa mãn f (0) = x, ta kí hiệu jk (f )x ∈ Jk (X)x k - jet xác định mầm f x Giả sử f : ∆r −→ X ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn f (0) = x t ∈ C Ta đặt ft (z) = f (tz) xác định t.jk (f )x = jk (ft )x Sau ta nhắc lại định nghĩa k− metric Kobayashi không gian phức X Định nghĩa 2.2.2 Giả sử X không gian phức, x ∈ X ξ ∈ Jk (X)x Ta định nghĩa k KX (x, ξ) = inf | ∃f ∈ Hol(∆, X) thỏa mãn f (0) = x jk (f )x = rξ r k Hàm KX : Jk (X) −→ [0, ∞) định nghĩa gọi k - metric Kobayashi không gian phức X Ta có nhận xét sau : (M1) Giả sử X Y hai không gian phức, f ∈ Hol(X, Y ) Khi k k (x, ξ) với x ∈ X ξ ∈ Jk (X)x (f (x), fx∗ (ξ)) ≤ KX đó, KX (M2) Giả sử γ : [a, b] → X, [a, b] ⊂ R, đường cong giải tích thực Với t ∈ [a, b], tồn mầm chỉnh hình ϕt ∈ Hol(C, X) cho ϕt (0) = γ(t) γ(t + s) = ϕt (s) với ε > đủ nhỏ s ∈ (−ε, ε) Với k ≥ 1, ta xác định jk γ(t) = jk (ϕt )γ(t) ∈ Jk (X)γ(t) b LkX (γ) = k KX (γ(t), jk γ(t))dt a Nếu γ : [a, b] → X đường cong giải tích thực khúc, liên tục không gian phức X {LkX (γ)}∞ k=1 dãy tăng bị chặn số thực không âm (M3) (Định lý Venturini [21]) Với p, q ∈ X , ta có k KX (γ(t), jk γ(t))dt : γ ∈ Ωp,q , dX (p, q) = inf sup k≥1 24 Ωp,q kí hiệu tập hợp tất đường cong giải tích thực khúc liên tục nối p q Ta nhắc lại khái niệm sau: Giả sử M miền không gian phức X , X + = X ∪ {∞} compact hóa Alexandrov X (xem [6]) Kí hiệu ClX + M bao đóng M X + Ta nói M bị chặn ∞ ∈ / ClX + M M không bị chặn ∞ ∈ ClX + M Nếu M không bị chặn, ϕ hàm xác định M c số phức, ta đặt ϕ(∞) = c limz→∞ ϕ(z) = c Định nghĩa 2.2.3 Giả sử M miền không gian phức X i) Hàm ϕ gọi hàm đa điều hòa peak địa phương ∞ tồn lân cận U ∞ cho hàm ϕ đa điều hòa U ∩ M , liên tục U ∩ M thỏa mãn   ϕ(∞) =  ϕ(z) < với z ∈ (U ∩ M )\{∞} ii) Hàm ψ gọi hàm đa điều hòa antipeak địa phương ∞ tồn lân cận U ∞ cho hàm ψ đa điều hòa U ∩ M , liên tục U ∩ M thỏa mãn   ψ(∞) = −∞  ψ(z) > −∞ với z ∈ (U ∩ M )\{∞} Bổ đề 2.2.4 (xem [18]) Giả sử X không gian phức H hàm độ dài X Khi X hyperbolic p ∈ X , tồn lân cận U p số C > cho FX (ξ) ≥ CH(ξ) với ξ ∈ Tx X, x ∈ U Bổ đề 2.2.5 (xem [18], Bổ đề 3) Giả sử M miền không bị chặn X Giả sử tồn hàm điều hòa peak địa phương antipeak địa phương lân cận ∞ Khi với lân cận U ∞, tồn lân cận V 25 ∞ cho V ⊂ U ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → M thỏa mãn f (0) ∈ V f (∆1/2 ) ⊂ U Ta nhắc lại khái niệm không gian phức nhúng hyperblic Định nghĩa 2.2.6 Giả sử X không gian phức M không gian phức X Khi M gọi nhúng hyperbolic X với hai điểm phân biệt p, q ∈ M , tồn tập mở Up , Uq X cho p ∈ Up , q ∈ Uq dM (M ∩ Up , M ∩ Uq ) > Trong [18], Thai, Duc Minh chứng minh định lý sau: Định lí 2.2.7 (xem [18], Định lý 3) Giả sử M miền hyperbolic không gian phức X Giả sử với p ∈ ∂M , tồn hàm đa điều hòa peak antipeak địa phương p, xác định lân cận p X Khi M nhúng hyperbolic X Sau ta chứng minh kết luận văn Định lí 2.2.8 Giả sử không gian phức X hợp tăng miền hyperbolic Giả sử M miền không bị chặn X Giả sử tồn hàm đa điều hòa peak antipeak địa phương ∞, xác định lân cận U ∞ X U ∩ M hyperbolic Khi M nhúng hyperbolic X Chứng minh Giả sử p, q ∈ ∂M, p = q Lấy lân cận compact tương đối Up , Uq p, q X cho Up ∩ Uq = ∅ Theo Bổ đề 2.2.5 giả thiết, tồn hai lân cận U, V ∞ thỏa mãn i) V ⊂ U, U ∩ M hyperbolic (Up ∪ Uq ) ∩ V = ∅; 26 ii) Với f ∈ Hol(∆, M ), f (0) ∈ V ⇒ f (∆1/2 ) ⊂ U ∩ M Đặc biệt, với z ∈ V ∩ M ξ ∈ Tz M , ta có FM (z, ξ) ≥ FU ∩M (z, ξ) C Vì vậy, FM (z, ξ) ≥ H(z, ξ) với z ∈ V ∩ M ξ ∈ Tz M Giả sử x, y ∈ M \ V , γ(t) đường cong giải tích thực khúc liên tục M cho γ(0) = x, γ(1) = y Nếu γ(t) ∈ M \ V , ∀t ∈ [0, 1], KM (γ(t), γ (t)) ≥ KM \V (γ(t), γ (t)), ∀t ∈ [0, 1] Nếu tồn số < r < s < cho γ(r) ∈ ∂U γ(s) ∈ ∂V ta có s KM (γ(t), γ (t))dt ≥ s KM (γ(t), γ (t))dt = r C ≥ KM (γ(t), γ (t))dt r s H(γ (t))dt ≥ r C dist(∂U, ∂V ) =: C1 > Theo kết Venturini (xem [21]), ta có dM (x, y) = inf k KM (γ(t), jk γ(t))dt : γ ∈ Ωx,y sup k≥1 ≥ dM \V (x, y); C1 , ∀x, y ∈ M \ V Do X hợp tăng dần dãy miền hyperbolic nên tồn miền hyperbolic Ω M cho M \ V Ω Vì ta có dM \V (Up ∩ M, Uq ∩ M ) ≥ dΩ (Up ∩ M, Uq ∩ M ) =: C2 > Từ suy dM (Up ∩M, Uq ∩M ) ≥ C1 , dM \V (Up ∩M, Uq ∩M ) ≥ C1 , C2 > 0, đó, M nhúng hyperbolic X 27 Kết luận Trong luận văn này, trình bày kết không gian phức hyperbolic số vấn đề liên quan Do điều kiện thời gian khả thân hạn chế nên luận văn nhiều sai sót Kính mong bảo, đóng góp ý kiến quý Thầy Cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện 28 Tài liệu tham khảo [1] B Cole and R M Range, A-measure on complex manifolds and some applications, J Funct Anal 11 (1972), 393-400 [2] D Coman, The pluricomplex Green function with two poles of the unit ball of Cn , Praific J Math 194 (2) (2000), 257-283 [3] A Eastwood, À propos variété hyperboliques complètes, C R Acad Sci Paris 280 (1975), 1071-1075 [4] J Fornaess and R Narasimhan, The Levi proplem on complex spaces with singularities, Math Ann 248, (1980), 47-72 [5] M Jarnicki and P Pflug, Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, Walter de Gruyter-Berlin-New York, 1993 [6] J L Kelley, General Topology, Van Nostrand, 1955 [7] N Kerzman, Holder and Lp estimates for solutions of ∂u = f in strongly pseudoconvex domains, Comm Pure Appl Math 24 (1971), 301-379 [8] S Kobayashi, Hyperbolic Complex Spaces, Springer Verlag, Grundlehren der Mathematischen Wissenchaften 318, 1998 [9] M Kobayashi, Convergence of Invariant Distances on decreasing domains, Complex Variables 47 (2002), 155-165 [10] S Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer, New York, 1987 [11] P Lelong, Fontion de Green pluricomplex et lemmes de Schwarz dans les espaces de Banach, J Math Pure Appl 78 (1989), 319-347 29 [12] S Nivoche, The pluricomplex Green function, capacitative notions, and approximation proplems in Cn , Indiana Univ Math J 44 (2) (1995) 489-510 [13] S H Park, On hyperbolicity and tautness of certain Hartogs type domains, preprint [14] D D Thai and N L Huong, A note on the Kobayashi pseudodistance and the tautness of holomophic fiber bundles, Ann Pol Math v.LVIII (1993), 1-5 [15] D D Thai and P J Thomas, D∗ -extension property without hyperbolicity, Indiana Univ Math J 47 (1998), 1125-1130 [16] D D Thai and P V Duc, On the complete hyperbolicity and the tautness of Hartogs domains, Internat J Math 11 (2000), 103-111 [17] D D Thai and P V Duc, The Kobayashi k -metrics on complex spaces, Internat J Math 10 (1999), 917-924 [18] D D Thai, P V Duc and T H Minh, Hyperbolic imbeddedness and extensions of holomorphic mappings, Kyushu J Math 59 (2005), 231-252 [19] D D Thai and N Q Dieu, On complete hyperbolicity of Hartogs domains, Manuscript Math 112 (2003), 171-181 [20] P J Thomas and N V Trao, Pluricomplex Green and Lempert functions for equally weighted poles, Ark Mat 41 (2) (2003), 381-400 [21] S Venturini, The Kobayashi metric on complex spaces, Math Ann 305 (1996), 25-34 [22] F Wikstrom, Non-linearity of the pluricomplex Green function, Proc Amer Math Soc 129 (4) (2001), 1051-1056 30 [...]... (Định lý Kiernan) i) Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic ii) Mỗi không gian phức hyperbolic đầy M cũng là taut Các khẳng định ngược lại đều không đúng Để chứng minh định lý Kiernan, ta đưa vào một số khái niệm sau: Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của không gian phức M Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p = 0 và B = {(w1 , , wn ); |w1 |2 + · · · + |wn |2 < 1} là một lân cận của p trong... W và do đó W = 1.5 Định lý được chứng minh Không gian phức nhúng hyperbolic Định nghĩa 1.5.1 Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y Họ F được gọi là liên tục đồng đều từ x ∈ X đến y ∈ Y nếu với mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của x và lân cận W của y sao cho nếu f (x) ∈ W thì f (V ) ⊂ U, ∀f ∈ F Nếu F là liên tục đồng đều với mọi x ∈ X và. .. là nhúng hyperbolic trong Y 16 Chương 2 Không gian phức hyperbolic và một số vấn đề liên quan 2.1 Tính hyperbolic và tính taut của miền kiểu Hartogs Giả sử X là không gian phức và ánh xạ H : X × Cm −→ [−∞; ∞) là nửa liên tục trên sao cho H(z, w) 0, H(z, λw) = |λ|H(z, w) với mọi λ ∈ C, z ∈ X, w ∈ Cm Định nghĩa 2.1.1 Đặt ΩH (X) := {(z, w) ∈ X × Cm : H(z, w) < 1} và với mỗi z ∈ X, ΩH (z) := {w ∈ Cm : H(z,... trên không gian phức X Định nghĩa 2.2.2 Giả sử X là không gian phức, x ∈ X và ξ ∈ Jk (X)x Ta định nghĩa k KX (x, ξ) = inf 1 | ∃f ∈ Hol(∆, X) thỏa mãn f (0) = x và jk (f )x = rξ r k Hàm KX : Jk (X) −→ [0, ∞) được định nghĩa như vậy sẽ được gọi là k - metric Kobayashi của không gian phức X Ta có các nhận xét sau : (M1) Giả sử X và Y là hai không gian phức, f ∈ Hol(X, Y ) Khi k k (x, ξ) với mọi x ∈ X và. .. nghĩa 1.5.3 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó X được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y ∈ X, x = y , tồn tại lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho dX (X ∩ U, X ∩ V ) > 0 Định lí 1.5.4 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi đó các điều kiện sau là tương đương HI1 X là nhúng hyperbolic trong Y HI2 X là hyperbolic và nếu {xn }, {yn } là... 1.3.1 Một không gian phức hyperbolic X được gọi là không gian phức hyperbolic đầy nếu (X, dX ) là đầy Cauchy tương ứng với dX Định lí 1.3.2 (Định lý Kobayashi) Giả sử X là không gian phức hyperbolic Khi đó X là hyperbolic đầy khi và chỉ khi mỗi hình cầu đóng trong (X, dX ) là compact Chứng minh Ta cần hai bổ đề sau đây Bổ đề 1 Giả sử X là một không gian phức, r > 0 Với mỗi tập con A ⊂ X ta đặt U (A, r)... U và mọi ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → M thỏa mãn f (0) ∈ V thì f (∆1/2 ) ⊂ U Ta nhắc lại khái niệm không gian phức nhúng hyperblic Định nghĩa 2.2.6 Giả sử X là không gian phức và M là không gian phức con của X Khi đó M được gọi là nhúng hyperbolic trong X nếu với hai điểm phân biệt p, q ∈ M , tồn tại tập mở Up , Uq trong X sao cho p ∈ Up , q ∈ Uq và dM (M ∩ Up , M ∩ Uq ) > 0 Trong [18], Thai, Duc và. .. ψ(z) > −∞ với mọi z ∈ (U ∩ M )\{∞} Bổ đề 2.2.4 (xem [18]) Giả sử X là không gian phức và H là hàm độ dài trên X Khi đó X hyperbolic nếu và chỉ nếu mỗi p ∈ X , tồn tại lân cận U của p và hằng số C > 0 sao cho FX (ξ) ≥ CH(ξ) với mọi ξ ∈ Tx X, x ∈ U Bổ đề 2.2.5 (xem [18], Bổ đề 3) Giả sử M là miền không bị chặn trong X Giả sử tồn tại hàm điều hòa dưới peak địa phương và antipeak địa phương trên lân cận... là taut Theo định lý của Thai và Hương (xem [14]), ta suy ra điều phải chứng minh 2.2 Tính nhúng hyperbolic Đầu tiên, ta nhắc lại một số định nghĩa, khái niệm Giả sử X là không gian phức và T X là không gian tiếp xúc Zariski của X Hàm độ dài H trên X là hàm H : T X → [0, ∞) thỏa mãn: (TF1) H(v) = 0 khi và chỉ khi v = 0, (TF2) Với mọi số c ∈ C, H(cv) = |c|H(v), (TF3) H liên tục Kí hiệu ∆r là đĩa bán... , dM \V (Up ∩M, Uq ∩M ) ≥ min C1 , C2 > 0, do đó, M là nhúng hyperbolic trong X 27 Kết luận Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày những kết quả cơ bản về không gian phức hyperbolic và một số vấn đề liên quan Do điều kiện về thời gian và khả năng bản thân còn hạn chế nên luận văn còn nhiều sai sót Kính mong sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của quý Thầy Cô giáo cùng các bạn để bản luận văn được hoàn