Không gian afin ơclit 4 chiều

Khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của các thầy cô, cùng các bạn sinh viên để khóa luận thực sự hoàn chỉnh, có ý nghĩa trong học tập

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Đinh Văn Thủy, các thầy cô trong tổ Hình học – Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cùng các bạn sinh viên khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận  tốt  nghiệp  của mình.  Khóa  luận  không  thể  tránh  khỏi những  thiếu sót, em rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của các thầy cô, cùng các bạn sinh viên để khóa luận thực sự hoàn chỉnh, có ý nghĩa trong học tập 

và nghiên cứu Hình học và thực tiễn. 

Tôi  mong  Khóa luận  này  sẽ giúp đỡ  một  cách thiết thực cho các độc giả và xin chân thành cảm ơn những góp ý của các bạn về các thiếu sót. 

Vi Thị Thảo  

 

LỜI CAM ĐOAN

Đề cương khóa luận của tôi với chủ để: “KHÔNG GIAN AFIN – ƠCLIT BỐN CHIỀU” đã được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy, các thầy  cô  trong  tổ  Hình  học,  các  bạn  sinh  viên  khoa  Toán.  Tôi  xin  cam đoan Khóa luận của tôi không trùng lặp hoặc sao chép của bất kì ai. 

Vi Thị Thảo  

MỤC LỤC 

Trang 

MỞ ĐẦU    1 

1. Lý do chọn đề tài   1 

2. Mục đích nghiên cứu của đề tài   1 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài   1 

4. Phương pháp nghiên cứu   2 

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu   2 

6. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn   2 

NỘI DUNG   3  

Chương 1: Cơ sở lý luận   3 

  1.1. Không gian afin   3 

  1.2. m-phẳng   3 

  1.3. Siêu mặt bậc hai   4 

  1.4. Không gian Ơclit   5 

Chương 2: Không gian Ơclit 4 chiều   6 

2.1. Định nghĩa   6 

2.2. Mục tiêu trực chuẩn- tọa độ trực chuẩn   6 

2.3. Các phẳng trong không gian Ơclit E4    7 

Chương 3: Siêu mặt bậc 2 trong E4   34 

3.1. Định nghĩa  34 

3.2. Dạng chính tắc  siêu mặt bậc 2 trong En   34 

3.3. Phương trình và siêu phẳng kính chính  37 

3.4. Siêu cầu siêu phẳng đẳng phương  42 

KẾT LUẬN  49 

TÀI LIỆU THAM KHẢO  50 

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đã được học về không gian afin-ơclit 2 chiều và 3 chiều trong  trường  trung  học  phổ  thông.  Và  lên  đại  học,  ta  lại  tiếp  tục  được nghiên cứu về không gian afin-ơclit n chiều. Một vấn đề nảy sinh trong tôi là các không gian với n > 3, chẳng hạn n = 4 có điều gì giống và khác 

so với không gian 2 và 3 chiều? Do đó, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Đinh Văn Thủy tôi đã chọn: “Không gian afin - Ơclit 4 chiều” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. Đây là một đề tài mới, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được nhưng ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn. 

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 

-  Đề  tài  khóa  luận  nghiên  cứ những  đặc  trưng  cơ  bản  của không gian  afin  –  Ơclit  bốn  chiều:  các  khái niệm  cơ  bản  của  các phẳng  trong không gian afin – Ơclit bốn chiều. 

-  Xây  dựng  hệ  thống  bài  tập  trong  không  gian  afin  –  Ơclit  bốn chiều. 

3 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

-  Nghiên  cứu  lý  thuyết  của  không  gian  afin  –  Ơclit  trong  trường hợp tổng quát, áp dụng với n = 4. 

-  Chỉ  ra  dạng  của  các  phẳng  trong  không  gian  afin  -  Ơclit  bốn chiều. 

-  Nghiên  cứu  các  tính  chất  của  các  phẳng  trong  không  gian  afin oclit 4 chiều, m – phẳng trong không gian afin - Ơclit bốn chiều. 

- Xây dựng hệ thống bài tập của không gian afin - Ơclit bốn chiều. 

4 Phương pháp nghiên cứu 

- Phương pháp đọc sách. 

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Không gian afin – ơclit 4 chiều

6 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn

Khóa  luận nghiên  cứu  và  thể  hiện cụ  thể không  gian  afin  -  Ơclit bốn chiều và các tính chất của nó, bổ sung thêm các hiểu biết về không gian  afin  –  Ơclit  4  chiều,  so  sánh  với  không  gian  afin  –  Ơclit  hai,  ba chiều đã biết. Từ đó ta hiểu sâu sắc hơn về hình học nhiều chiều. 

 

NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Không gian afin

 thuộc V có duy nhất điểm NA sao cho: MN=u

. 

ii)Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta luôn có:  MNNPMP Khi đó ta nói rằng không gian afin (A,F,V) liên kết với không gian vectơ 

V trên trường K và được gọi tắt là không gian afin A trên trường K. 

A  1.2 m-phẳng

Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ Ơclit  A. Gọi 

I là một điểm của A và  là một không gian con của  A. Khi đó tập hợp 

những điểm M  A sao cho  IM   được gọi là cái phẳng Ơclit  đi qua I và có phương là . 

 = {M  E |IM

   } được gọi là cái phẳng (gọi tắt là “phẳng”) qua I và có phương là  

Nếu  có số chiều bằng m thì  gọi là phẳng m chiều hay còn gọi 

là m- phẳng. 

 

1- phẳng là đường thẳng 2- phẳng là mặt phẳng (n-1)- phẳng là siêu phẳng 1.3 Siêu mặt bậc hai

- Phương tiệm cận-đường tiệm cận

Phương  tiệm  cận:  vectơ c ( ,c c1 2, ,c n)

gọi  là  phương  tiệm  cận 

của siêu mặt bậc hai (S) với phương trình (*) nếu c  0

và c Ac    t 0Đối với siêu mặt bậc hai có tâm duy nhất, một đường thẳng đi qua tâm gọi là đường tiệm cận của siêu mặt bậc hai đó nếu phương của nó là phương tiệm cận và nó không cắt siêu mặt bậc hai. 

-  Siêu tiếp diện: Nếu B thuộc (S) và B là điểm không kì dị thì các tiếp tuyến tại B của (S) tạo thành một siêu phẳng. Siêu phẳng này gọi là siêu tiếp diện của (S) tại điểm B. 

1.4 Không gian Ơclit

Không  gian  Ơclit  là  một  loại  không  gian  afin  liên  kết  với  không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều. Kí hiệu: E 

Chương 2 KHÔNG GIAN ƠCLIT 4 CHIỀU

c) Khoảng cách giữa 2 điểm

Cho  2  điểm  M,  N  của  không  gian  Ơclit  E4.  Khoảng  cách  giữa  2 điểm đó: 

MP 

Khi i ≠ j Khi i = j 

 = {M  E | IM   } được gọi là cái phẳng (gọi tắt là “phẳng”) qua I và có phương là  

 Nếu  có số chiều bằng m thì  gọi là phẳng m chiều hay còn gọi 

là m- phẳng 

Như vậy trong không gian ơclit 4 chiều có:  

+ 0- phẳng chính là một điểm + 1- phẳng là đường thẳng + 2- phẳng là mặt phẳng + 3- phẳng là siêu phẳng 

2.3.2 Phương trình tham số của các phẳng trong E 4

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

 

3 3 3 3

a

b c d

axby c zdv e   0

 

2.3.4 Vị trí tương đối của 2 phẳng trong E 4

a) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

tức là: 

 {a a , 1}

     tức là:    { , }a a 1

        Hệ phương trình  (I) có nghiệm duy nhất 

có nghiệm  độc lập tuyến tính 

Để  tiện  cho  việc  xét  vị  trí  vuông  góc  giữa  đường  thẳng  với  siêu phẳng ta sẽ đưa phương trình tham số của đường thẳng và siêu phẳng về phương trình tổng quát bằng cách khử tham số. Khi đó phương trình của chúng cón dạng: 

s u

  Nếu:  v u    0 v u

 S V   với  dim V S=3.  Do  đó V S  bù 

vuông góc  với  d V   Và  2  cái  phẳng  bù  vuông  góc với  nhau  thì  có  một 

điểm chung duy nhất. 

d) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Xét 2 mặt phẳng () và (’) có phương trình như sau: 

chiều  bé  nhất  chứa  điểm  M(-1,0,2,2)  và  có  phương  chứa  các  vectơ a(2,1,4,4), b(0,0,7,7) 

  

(1)  (2)  (3)  (4) 

phương trình tổng quát của(): 

      

Giải:

Ta  thấy  { ,a b 

}  là  một  hệ  vectơ  độc  lập  tuyến  tính  nên  chúng  có thể dùng làm cơ sở cho phương của cái phẳng có số chiều bé nhất thỏa mãn điều kiện: 

4

1 2 1

2

1 2 3

23

1 32

(1)  (2)  (3)  (4) 

Giả  sử  các điểm  chung  nếu  có  là  các điểm  M  (x1,  x2,  x3, x4)  ứng với các giá trị tương ứng của các tham số u, v, t trong hệ phương trình sau: 

Bài 4: Trong E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước xét vị trí tương đối của 2 cái phẳng R và S lần lượt cho bởi phương trình tổng quát của chúng như sau: 

b.a = 1 – 1 + 0 + 0 = 0   ba 

c.a = 4 – 1 – 3 + 0 = 0  ca. 

d a = 2 – 1 + 0 – 1 = 0   d a 

Vậy các vectơ  b,  c,  d đều vuông góc với vectơ pháp tuyến  a của 

siêu phẳng R nên  b, c,  d  Vr với dim Vr = 3. Do đó Vr bù vuông góc 

Từ  đó  ta  kết  luận  2  mặt  phẳng  cắt  nhau  tại  một  điểm  duy  nhất (điều này không xảy ra trong E3) 

2.3.5 Khoảng cách giữa 2 cái phẳng – Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 siêu phẳng trong E 4  

a)Khoảng cách giữa 2 cái phẳng

Chứng minh:  Giả  sử  đường  vuông  góc  chung    cắt    và    lần 

Định lý: Nếu 2  cái phẳng   và    chéo nhau thì  chúng  có  đường vuông góc chung duy nhất. 

Hệ quả 1:  Nếu  điểm  I  không  thuộc  phẳng    thì qua  I  có  đưởng 

thẳng duy nhất vuông góc với  và cắt  tại J. Giao điểm J đó gọi là hình chiếu vuông góc của điểm I trên phẳng . Khi đó có d(I, ) = d(I, J). 

Hệ quả 2:  Nếu  //  tức là :    =  và  

   

 thì với I   đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với  sẽ là vuông góc chung với chung của  và . Ta có: d(, ) = d(I, ) với bất kì I  . Trong trường này qua mỗi điểm I   có một đường vuông góc chung và như vậy ta sẽ 

a x p



    n PM = 0. Với  PM  . Khi đó ta gọi n là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng  

- Tìm khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng. 

 có phương trình: a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a0 = 0 

0 4

0 1

i i i i

4 2 1

i i i

i i

a x a a

4 2 1

i i i

i i

a x a a

.  Ta  có  phương  trình  tham  số  của 

1112

x x x x

00

1

t

t t

t t t

Bây giờ ta lập phương trình siêu phẳng R chưa P và bù vuông góc với d. Như vậy R có phương chứa phương của IJ. Ta biết rằng d và R bù vuông góc sẽ có một điểm chung duy I’ là I. 

Muốn tìm tọa độ giao điểm I = d  R ta giải hệ phương trình: 

1 2 3 4

1 2

3 4

0113

x x

113232

x x x x

(IJ): 

1 2 3 4

113232

1 4

2 3

11323222

d(P,d) =  IJ  =  1 1 1 1

16 16 16 16    = 

1

2 

Bài 2:  Viết  phương  trình  đường  vuông  góc  chung  của  đường 

thẳng  AB  và  mặt  phẳng  PQR  cho  trước  trong  E4  biết  rằng  tọa  độ  các điểm đó lần lượt là: 

A(1, 1, 1, 1), B(-2, -1, 1, 3), P(2, 1, -1, 0), Q(3, 1, 0, -1), R(0, 0, -1, 1) Giải: 

Bài 3: Trong không gian E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước cho phẳng  có phương trình tổng quát là: 

 thuộc phương của  vì ta có: 

1

n XP = 0, n2 XP  = 0 

Gọi  là phẳng đi qua M (2,  -1, 3, 1) và bù vuông góc của . Ta nhận thấy  là 2-phẳng vì  là 2-phẳng (dim  + dim  = 4). 

3 4

x x

(a)  (b)  (c)  (d) 

a) Góc giữa hai vectơ

Trong E4 cho 2 vectơ  ,u v  đều  0. Ta gọi góc giữa 2 vectơ  ,u v  là 

u u

+ Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta có công thức: 

BC AB AC  AB AC C A 

c) Góc giữa 2 siêu phẳng

thẳng trực giao với  và . Khi đó góc giữa 2 đường thẳng a và b được gọi là góc giữa 2 siêu phẳng  và . 

Chú ý:  Định  nghĩa trên  không  phụ  thuộc  vào việc  chọn  cụ  thể 2 

đường thẳng a, b lần lượt trực giao với  và . Nghĩa là ta có thể chọn a’ 

  thay cho a và b’   thay cho b. 

d) Góc giữa đường thẳng và siêu phẳng

Trong  E4  cho  đường  thẳng  a  và  siêu  phẳng  .  Nếu  a      ta  nói rằng góc giữa đường thẳng a và siêu phẳng  là góc vuông. 

Nếu a không vuông góc với  thì ta lấy đường a’   và ta gọi  là góc giữa 2 đường a và a’. Khi đó góc giữa a và  được xác định là góc  

mà   0 và  = 

2



- . 

Nếu  đối  với  một  mục  tiêu  trực  chuẩn  cho  vectơ  chỉ  phương  của 

đường thẳng a là vectơ  u và ta biết vectơ pháp tuyến của  là  n thì ta có: 

1 32

1112

x x x x

Nếu  (S)  là  siêu  mặt  bậc  hai  xác  định  bởi  phương  trình  (1)  thì phương trình (1) gọi là phương trình của (S) 

3.2 Dạng chính tắc của siêu mặt bậc 2

Định lý 1: Trong không  gian  Ơclit  4

E   luôn tồn tại  một  mục tiêu trực  chuẩn  thích  hợp  sao  cho  phương  trình  của  một  siêu  mặt  bậc  2  có một  trong  3  dạng  sau  gọi  là  phương  trình  dạng  chính  tắc  của  siêu  mặt bậc 2. 

1 Dạng I: 

4 2

1

1

r r r

0

r r r X

1 1

Ví dụ:

1). Siêu mặt bậc 2 có phương trình dạng I với r = 4 và các i> 0, i 

= 1, 2, 3, 4 gọi là siêu mặt Elip soid 3 chiều và phương trình của nó có thể viết dưới dạng: 

2 2

1

x a

1

i i i

a x



Khi và chỉ khi các vectơ { , , , }e e e e   1 2 3 4  là phương chính của (S). 

x x x x

+  Phương  tiệm  cận:  Gọi c( , , , )c c c c1 2 3 4

là  phương  tiệm  cận  của siêu mặt bậc hai thỏa mãn: 

00

x x

2 2

Vậy vectơ riêng ứng với 4   là 5 v 4 (1, 1, 1,1) 

 Chuẩn hóa v v v v   1, , ,2 3 4

1 1 1 1

2 2 2 2

v v

v e v

12121212





  

12121212

C AC 

12121212



 

12121212





  

12121212

2210

 

0122

 

1022

12121212





 

12121212

0010

0005

3.4 Siêu cầu và siêu phẳng đẳng phương

4 2

1

i i

a x



  + 

4 2

1

i i

1

i i

Mệnh đề:

1 Điểm M thuộc miền trong của C(I; r) khi và chỉ khi mọi đường thẳng chứa M đều cắt C(I; r) tại 2 điểm. 

2 Điểm M thuộc miền ngoài của C(I; r) khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng chứa M mà không cắt C(I; r). 

3 Mọi siêu phẳng đi qua tâm của siêu cầu đều là siêu phẳng kính chính. 

Chứng minh: 

1 Mục tiêu trực chuẩn mà gốc là tâm I. Khi đó phương trình của siêu cầu có dạng: x12 + x22 + x32  + x42 = r2. 

(x c t) (x c t) (x c t) (x c t) r   (3.11) Hay: 

là siêu phẳng kính chính. 

3.4.3 Phương tích và siêu phẳng đẳng phương

Định nghĩa: Trong E4 với mục tiêu trực chuẩn cho siêu cầu tổng quát (C) xác định bởi phương trình: 

4 2

1

i i



Hay: xtx +2atx+a0=0 và M0( 0 0 0 0

Có là một siêu phẳng  trực giao với đường thẳng nối 2 tâm của siêu cầu. 

Chứng minh:

Giả sử {0, , , , }e e e e   1 2 3 4  là mục tiêu trực chuẩn trong E4 siêu cầu C1 

có tâm I1 (a1, a2, a3, a4), bán kính r1 và siêu cầu C2 có tâm I2(b1, b2, b3, 

b4), bán kính r2 với I1  I2. Với điểm M(x1, x2, x3, x4)  E4.  

Định nghĩa:  Siêu  phẳng    trong  định  lý  trên  được  gọi  là  siêu 

phẳng đẳng phương của 2 siêu cầu C1, C2 

3.4.4 Giao của siêu cầu với siêu phẳng

Trong En với mục tiêu trực chuẩn{0, , , , }e e e e   1 2 3 4  cho siêu cầu C(I; r) tâm I (a1, a2, a3, a4), bán kính r và siêu phẳng  có pháp dạng: 

c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + d = 0 Gọi H là hình chiếu của I lên , ta có: 

3.  d(I,  H)  >  r    Khi  đó  H  thuộc  miền  ngoài  của  C(I;  r)  và  siêu phẳng  không có điểm chung với C(I; r). 

Đây  là  siêu  cầu  của  không  gian  Ơclit  3  chiều.  Siêu  cầu  này  nằm trong siêu phẳng x    đã  cho.  Siêu  cầu  này có  tâm O(4 0 a a a   và có 1, 2, 3)

2 2

1 2 2 1 2 3 1 3 2x2 4 3 4

x x  x x  x x  x x x   o Giải:

Ta  có  đường  thẳng  (d)  có  vectơ  chỉ  phương AB (0,0,8, 8)   Ta 

có thể lấy vectơ v  (0,0,1, 1)

 làm vectơ chỉ phương của dường thẳng (d) 

Do đó phương trình đường thẳng (d) có phương trình tham số như sau: 

1 1

Vậy (d)(S) 

KẾT LUẬN 

 

Qua quá trình tìm hiểu và nghiên cứu khóa luận, em đã bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu quả. Qua đó, em cũng củng 

cố thêm cho mình kiến thức về không gian afin-ơclit 4 chiều, đồng thời thấy được sự phong phú, lý thú của toán học. Đặc biệt khóa luận này em nghiên  cứu  một  cách  khái  quát  về  định  nghĩa  không  gian  afin-ơclit  4 chiều, vị trí tương đối giữa các phẳng, các tính chất cơ bản,và các dạng siêu mặt bậc hai. Bên cạnh đó là hệ thống các bài tập minh họa cho từng phần.  Hi  vọng  tài  liệu  này  sẽ  giúp  ích  cho  các  bạn  sinh  viên  quan  tâm đến môn hình học afin-ơclit nói riêng và hình học nói chung. Mặc dù có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn sinh viên. 

 

Hà Nội, ngày tháng năm

 Sinh viên  

Vi Thị Thảo

 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

học Quốc gia Hà nội. 

Đại học Sư phạm. 

Đại học Quốc gia.