Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều

Nguyễn Quốc Tuấn, khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên nghành Toán giải tích với đề tài "Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TỪ VĂN KHANH

NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học

ThS NGUYỄN QUỐC TUẤN

Hà Nội - 2013

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầyThS Nguyễn Quốc Tuấn - người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡtôi hoàn thành bài khoá luận của mình Đồng thời, tôi xin chân thành cảm

ơn các thầy cô trong tổ Giải tích nói riêng, các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung, đã tạo điều kiện cho tôi trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

-Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình tôi và những người đãgiúp đỡ tôi, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóaluận này

Cuối cùng, trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiệnthời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên tôi tập dượt nghiên cứukhoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vìvậy, tôi kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Từ Văn Khanh

LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn, khóa

luận tốt nghiệp đại học chuyên nghành Toán giải tích với đề tài "Nguyên lý

cực trị trong không gian hữu hạn chiều" được hoàn thành bởi chính sự

nhận thức của bản thân tôi, không có sự trùng lặp với bất cứ khóa luận nàokhác

Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận, tôi đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học và có sự tham khảo một số tài liệuđược ghi trong phần tài liệu tham khảo với sự trân trọng và lòng biết ơn sâusắc

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Từ Văn Khanh

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Kiến thức cơ bản về không gian Rn 4

1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi 7

1.3 Hàm lồi địa phương 9

1.4 Các định lý tách 10

1.5 Ánh xạ đa trị 11

Chương 2 Pháp tuyến của tập hợp 12

2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 12

2.2 Phép tính các pháp tuyến suy rộng 29

Chương 3 Nguyên lý cực trị 32

3.1 Hệ cực trị 32

3.2 Các nguyên lý cực trị 37

3.3 Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều 40

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

Bảng ký hiệu và những chữ viết tắt

[x, y] đoạn thẳng nối hai điểm x, y trong không gian X

in Lý thuyết này là sự kết hợp của Giải tích không trơn và Giải tích đa trị.Các nguyên lý cực trị sử dụng nón pháp tuyến không lồi là cơ sở để xâydựng các quy tắc tính toán và các định lý cơ sở của giải tích biến phân Theo[5, trang 249], nguyên lý cực trị cho trường hợp không gian Euclide hữu hạn

chiều - dưới tên gọi là "phương trình Euler suy rộng" - đã được Kruger và

Mordukhovich [2] đưa ra năm 1980 Kết quả này có nguồn gốc trong công

trình được công bố năm 1976 của Mordukhovich [3] Tên gọi "nguyên lý

cực trị"xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1994, trong công trình [4]

Có thể coi các nguyên lý cực trị theo nghĩa Mordukhovich là các định lýtách cho hệ tập hữu hạn (không nhất thiết phải là các tập lồi)

Cho Ω1, , Ωn(n ≥ 2) là các tập con khác rỗng của không gian hữu hạnchiều Rn và điểm x ∈T n

i=1Ωi Ta nói x là một điểm cực trị địa phương (alocal extremal point) của hệ tập {Ω1, , Ωn} nếu tồn tại các dãy {aik} ⊂

Rn (i = 1, , n) sao cho aik → 0 khi k → ∞ và lân cận U của x thỏa mãnđiều kiện

n

\

i=1

(Ωi− aik) ∩U = /0,với mọi số nguyên dương k đủ lớn Khi đó, hệ {Ω1, , Ωn, x} được gọi làmột hệ cực trị (an extremal system) trong không gian hữu hạn chiều Rn

Như vậy, hệ cực trị là một hệ hữu hạn các tập hợp cùng với một điểm

xthuộc giao của chúng mà ta có thể tách rời địa phương các tập đó (tức làlàm cho giao của chúng với một lân cận cho trước của x thành tập rỗng)bằng cách làm nhiễu kiểu tịnh tiến các tập đã cho, với các phương tịnh tiến

là những véctơ có chuẩn bé hơn một số dương lấy tùy ý

Ta nói nguyên lý cực trị chính xác (the exact extremal principle) nghiệmđúng cho không gian hữu hạn chiều Rnnếu với mọi hệ cực trị {Ω1, , Ωn, x},với Ω1, , Ωn là các tập đóng trong Rn, có tồn tại các pháp tuyến x∗i ∈

N(xi; Ωi) , (i = 1, , n) sao cho

x∗1+ + x∗n = 0, kx1∗k + + kx∗nk = 1,

ở đó N (x; Ωi) ký hiệu nón pháp tuyến qua giới hạn (còn được gọi là nónpháp tuyến Mordukhovich) của Ωi tại x Ngoài nguyên lý cực trị chính xác,người ta còn xét nguyên lý cực trị xấp xỉ và nguyên lý ε-cực trị, ở đó nónpháp tuyến Fréchet và tập các ε-pháp tuyến Fréchet được sử dụng thay chonón pháp tuyến qua giới hạn

Là một sinh viên khoa Toán, tôi mong muốn tìm hiểu sâu hơn về kiếnthức Toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác của đời sống nóichung Với mục đích làm tăng thêm sự hiểu biết về các nguyên lý cực trịtrong không gian hữu chiều, cũng là để tích lũy kinh nghiệm cho bản thân

để phục vụ cho công tác học tập, giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu chocác bạn sinh viên có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn về các nguyên lý cựctrị trong không gian hữu hạn chiều

Vì những lý do trên, cùng với sự góp ý, động viên, giúp đỡ tận tình củacác thầy cô, đặc biệt là thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn và cộng thêm sự đam

mê của bản thân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài

"Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều".

Mục đích của khóa luận này là giới thiệu ba nguyên lý cực trị nói trên và tìmhiểu về cách tính nón pháp tuyến của một tập hợp (có thể là tập lồi hoặc tậpkhông lồi).

Khóa luận bao gồm lời mở đầu, ba chương, phần kết luận, và danh mụctài liệu tham khảo

Chương 1 Trình bày các kiến thức cơ bản (các kiến thức về tập lồi, hàmlồi, ánh xạ đa trị )

Chương 2 Trình bày các khái niệm ε-pháp tuyến suy rộng và nón pháptuyến qua giới hạn của tập hợp bất kỳ (có thể là không lồi) trong không gian

Rn

Chương 3 Trình bày các khái niệm về hệ cực trị, khái niệm tách các tậphợp (có thể là không lồi) và ba nguyên lý cực trị (nguyên lý cực trị chínhxác, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý ε-cực trị) trong không gian Rn.Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Quốc Tuấn -người đã tận tình hướng dẫn, giúp tôi trong suốt qua trình thực hiện khóaluận Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích,các thầy cô trong khoa Toán, gia đình tôi và những người đã giúp đỡ, độngviên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Từ Văn Khanh

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Kiến thức cơ bản về không gian R n

Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa không gian Rn) Ta gọi không gian Rn là tậptích Descartes R × R × · · · × R (gồm n thành phần) trong đó mỗi một phần

tử trong không gian Rn được gọi là điểm (véctơ) được biểu diễn bởi một bộ

và ta định nghĩa tích của điểm a với một số thực λ , ký hiệu λ a, là một điểmtrong Rn với các tọa độ là

λ a = (λ a1, λ a2, , λ an) Quy ước: ký hiệu 0 là điểm có tất cả các tọa độ bằng 0 và gọi là điểmgốc, còn − a là điểm (−1)a (tức là điểm có tọa độ ngược dấu với các tọa độđiểm a)

Định nghĩa 1.2 (Tích vô hướng) Tích vô hướng của hai véctơ a = (a1, a2, , an)

và b = (b1, b2, , bn), ký hiệu ha, bi là một bộ số xác định bởi

Nhận xét 1.1 Tích vô hướng trong định nghĩa 1.2 và chuẩn trong định

nghĩa 1.3 tương ứng được gọi là tích vô hướng và chuẩn Euclide Ngoài ra,trong Rn chúng ta còn có thể trang bị được rất nhiều các tích vô hướng vàcác chuẩn khác

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Đối với mỗi x ∈ Rn ta đặt

kxk =phx,xi =qx21+ x22+ · · · + x2

n.Khi đó, với mọi x, y ∈ Rn ta có bất đẳng thức Schwarz

|hx, yi| ≤ kxk kyk ,hay

Định nghĩa 1.4 (Tính trực giao của hai véctơ) Hai véctơ a và b trong không

gian Rn được gọi là trực giao (vuông góc) với nhau, ký hiệu a ⊥ b, nếu

ha, bi = 0

Định lý 1.2 (Định lý Pythagoras) Trong không gian Rn nếu hai véctơ a và

bvuông góc với nhau thì

ka + bk2 = kak2+ kbk2

Định nghĩa 1.5 (Định nghĩa về toán tử tuyến tính) Ánh xạ A từ không gian

Rn vào không gian Rm được gọi là một toán tử tuyến tính nếu ánh xạ A thỏamãn các điều kiện:

1) A (x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ Rn;

2) A (αx) = α (Ax) , ∀x ∈ Rn, ∀α ∈ R

Định nghĩa 1.6 (Định nghĩa về toán tử tuyến tính bị chặn (liên tục)) Toán

tử tuyến tính A từ không gian Rn vào không gian Rm được gọi là bị chặn nếutồn tại hằng số C > 0 sao cho

kAxk ≤ C kxk , ∀x ∈ Rn

Định nghĩa 1.7 (Định nghĩa chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục) Toán tử

tuyến tính liên tục A từ không gian Rn vào không gian Rm Ta gọi chuẩn củatoán tử tuyến tính A, ký hiệu kAk, là số được xác định bởi

kAk = inf {C > 0 | kAxk ≤ C kxk , ∀x ∈ Rn}

Định nghĩa 1.8 (Định nghĩa toán tử liên hợp) Cho toán tử tuyến tính A từ

không gian Rn vào không gian Rm, toán tử liên hợp A∗ từ không gian Rmvào không gian Rn được xác định bởi công thức

hA∗y, xi = hy, Axi , ∀y ∈ Rm, ∀x ∈ Rn

Định nghĩa 1.9 (Không gian liên hợp) Ta gọi không gian L (Rn

, R) cácphiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Rn là không gian liên hợp(hay không gian đối ngẫu) của không gian Rn và kí hiệu (Rn)∗ thay cho kýhiệuL (Rn, R)

Nhận xét 1.2 Người ta đã chứng minh được rằng không gian đối ngẫu

(Rn)∗ của không gian Rn đẳng cấu với không gian Rn Vì vậy, ta có thể coikhông gian đối ngẫu (Rn)∗ của không gian Rn chính là không gian Rn

1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi

Định nghĩa 1.10 (Định nghĩa tập lồi) Tập A ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếuvới mọi x1, x2∈ A, với mọi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λ x1+ (1 − λ ) x2∈ A

Nhận xét 1.3 Theo định nghĩa, tập /0 được xem là tập lồi.

Định nghĩa 1.11 Đoạn nối x1, x2, ký hiệu [x1, x2], được định nghĩa bởi

[x1, x2] = {x ∈ A : x = λ x1+ (1 − λ ) x2, 0 ≤ λ ≤ 1}

Nhận xét 1.4 Tập A là lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ A thì [x1, x2] ∈ A

Mệnh đề 1.1 Giả sử Aα ⊂ Rn(α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất

Mệnh đề 1.4 Toán tử tuyến tính T : Rn → Rm Khi đó

a) Nếu A là tập lồi trong Rn thì tập ảnh T (A) là tập lồi trong Rm;

b) Nếu B là tập lồi trong Rm thì nghịch ảnh T−1(B) của tập B là tập lồitrong Rn

Định nghĩa 1.12 Véctơ x ∈ Rn được gọi là tổ hợp lồi của các véctơ x1, xmthuộc Rn nếu tồn tại λi ≥ 0, (i = 1, , m), thỏa mãn ∑mi=1λi = 1 sao cho

x= ∑mi=1λixi

Định lý 1.3 Giả sử tập A là tập lồi trong Rn, các véctơ x1, , xm ∈ A Khi

đó, tập A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1, , xm

Định nghĩa 1.13 Tập K ⊂ Rn được gọi là nón nếu với mọi x ∈ K, với mọi

λ > 0 thì λ x ∈ K Nón K được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu 0 thuộc K Nón

K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K – x0 là nón có đỉnh tai 0 Nón K đượcgọi là nón lồi nếu K là tập lồi, có nghĩa là

Định nghĩa 1.15 Trên đồ thị (epigraph) của hàm f , ký hiệu là epi f , được

định nghĩa bởi

epi f = {(x, r) ∈ D × R | f (x) ≤ r}

Định nghĩa 1.16 Miền hữu hiệu (effective domain) của hàm f , kí hiệu là

dom f , được xác định bởi

dom f = {x ∈ D | f (x) < +∞}

Định nghĩa 1.17 Hàm f gọi là chính thường (proper), nếu dom f 6= /0 và

f(x) > −∞, ∀x ∈ D

Định nghĩa 1.18 (Định nghĩa hàm lồi, hàm lõm) Hàm f được gọi là lồi

trên D (convex on D) nếu epi f là tập lồi trong Rn× R Hàm f được gọi làhàm lõm trên D (concave on D) nếu − f là hàm lồi trên D

Nhận xét 1.5 Nếu f là hàm lồi thì miền hữu hiệu của hàm f cũng là hàm

lồi

Định lý 1.4 (Bất đẳng thức hàm lồi) Giả sử D là tập lồi trong không gian

Rn, hàm f : D → R ∪ {+∞} Khi đó, hàm f lồi trên D khi và chỉ khi

f(λ x + (1 − λ ) y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) , ∀λ ∈ [0; 1] , ∀x, y ∈ D

1.3 Hàm lồi địa phương

Định nghĩa 1.19 Ánh xạ f : D → R được gọi là khả vi theo phương d tại

điểm x nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

1.4 Các định lý tách

Định nghĩa 1.21 (Định nghĩa đa tạp tuyến tính) Cho tập M ⊂ Rn Tập Mđược gọi là một đa tạp tuyến tính trong Rn nếu bất cứ đường thẳng nào điqua hai điểm của M cũng nằm trọn trong M

H−(x∗, β ) được gọi là các nửa không gian sinh bởi siêu phẳng H (x∗, β )

Định nghĩa 1.23 (Định nghĩa tách) Cho các tập hợp A, B ⊂ Rn Ta nóiphiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ 6= 0 tách A và B nếu tồn tại số α sao cho

hx∗, yi ≤ α ≤ hx∗, xi , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B (1.1)Nếu công thức (1.1) có dạng

hx∗, yi < α < hx∗, xi , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B,thì ta nói x∗ tách ngặt (tách chặt) A và B

Siêu phẳng đóng H (x∗, α) = {x ∈ Rn : hx∗, xi = α} được gọi là siêuphẳng tách A và B Các tập A và B được gọi là tách được

Định lý 1.5 (Định lý tách thứ nhất) Giả sử A, B là hai tập lồi trong không

gian Rn, A ∩ B = /0, int A 6= /0 Khi đó, tồn tại x∗∈ Rn, x∗ 6= 0 tách A và B

Định lý 1.6 (Định lý tách thứ hai) Giả sử tập A là không gian con trong

không gian Rn và x0 ∈ A Khi đó, tồn tại x/ ∗ 6= 0 thuộc Rn tách ngặt (táchchặt) A và x0

1.5 Ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.24 (Ánh xạ đa trị) Cho F : Rn⇒ Rm là ánh xạ từ Rn vào tậphợp gồm toàn bộ các tập con của Rm (được ký hiệu là 2Rm) Ta nói F là ánh

xạ đa trịtừ Rn vào Rm

Như vậy, với mỗi phần tử x ∈ Rn ảnh F (x) là một tập hợp con của Rm

Do đó, không loại trừ khả năng là với một số phần tử x ∈ Rn nào đó ta cóảnh F (x) là tập rỗng

Nếu với mỗi x ∈ Rn tập ảnh F (x) chỉ gồm có một phần tử của Rm thì tanói F là ánh xạ đơn trị từ Rn vào Rm Khi đó, thay cho ký hiệu F : Rn ⇒ Rmngười ta dùng ký hiệu quen thuộc f : Rn → Rm

Định nghĩa 1.25 Đồ thị gph F, miền hữu hiệu dom F và miền ảnh rge F

của ánh xạ đa trị F : Rn⇒ Rm tương ứng được xác định bằng các công thức

gph F = {(x, y) ∈ Rn× Rm | y ∈ F (x)} ,dom F = {x ∈ Rn| F (x) 6= /0} ,

và

rge F = {y ∈ Rm | ∃ x ∈ Rn sao cho y ∈ F (x)}

Chương 2

Pháp tuyến của tập hợp

Chương này trình bày các khái niệm ε−pháp tuyến suy rộng và pháptuyến qua giới hạn của tập hợp bất kỳ (có thể không lồi) trong không gianhữu hạn chiều Rn, cùng với một số tính chất cơ bản Đây là những kiến thức

cơ bản cần thiết để tìm hiểu các nguyên lý cực trị

2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Kí hiệu x→ x có nghĩa là x → x với x ∈ Ω Nếu F : RΩ n⇒ Rn là một ánh

xạ đa trị từ không gian hữu hạn chiều Rn vào chính nó, kí hiệu

(i) Tập các ε-pháp tuyến (ε-normal) của Ω tại điểm x ∈ Ω được xác địnhbằng công thức

u21+ (− |u1|)2

Hình 2.1: Tập hợp các ε-pháp tuyến của tập Ω1 tại x = (0, 0).

Ta tính giới hạn trái của vế trái (2.1)

lim sup

u1→0 −

x1∗u1− x∗2|u1|q

b

Nε((0, 0) ; Ω1) =

n(x∗1; x∗2) ∈ R2| |x∗1| ≤√2ε + x∗2, x∗2 ≥ −√2εo

Ví dụ 2.2 Cho tập Ω2 =(x1, x2) ∈ R2| x2 ≤ − |x1| , tại x = 0 Khi đó

u= (u1, u2) ∈ Ω2, x = (0, 0) và x∗ = (x1, x2) ∈ R2

Hình 2.2:Tập hợp các ε-pháp tuyến của tập Ω2 tại x = (0, 0).

⇔ lim sup

u1→0

x∗1u1− x∗2|u1|q

Ví dụ 2.3 Cho tập Ω3 =(x1, x2) ∈ R2| x2 ≥ − |x1| , tại x = 0 Khi đó

Hình 2.3:Tập hợp các ε-pháp tuyến của tập Ω3 tại x = (0, 0).

Nhận xét 2.1 Từ định nghĩa (2.1) suy ra bN(x; Ω) ⊂ bNε(x; Ω), với mọi ε > 0.Hơn thế, ta có

b

Nε(x; Ω) ⊃ bN(x; Ω) + εB, ∀ε > 0, ∀Ω ⊂ Rn.Mệnh đề sau đây sẽ chỉ ra cách tính nón pháp tuyến Fréchet và nón pháptuyến qua giới hạn của tích hai tập hợp

Mệnh đề 2.1 Cho x bất kì với x = (x1, x2) ∈ Ω1× Ω2 ⊂ Rn× Rm Khi đó,

Chứng minh. Đặt

M= {x∗ ∈ Rn | hx∗, x − xi ≤ ε kx − xk , ∀x ∈ Ω}

Ta cần chứng minh rằng M = bNε(x; Ω) Hiển nhiên ta có M ⊂ bNε(x; Ω) Do

đó, ta chỉ cần chứng tỏ rằng bNε(x; Ω) ⊂ M Lấy tùy ý u∗ ∈ Nbε(x; Ω) và cốđịnh phần tử x ∈ Ω Vì Ω là tập lồi nên ta có

xα = x + α (x − x) ∈ Ωvới mọi 0 ≤ α ≤ 1 Hơn nữa, xα → x khi α ↓ 0 Mặt khác, do

Nhận xét 2.2 Từ định nghĩa 2.1 ta có bN(x; Ω) ⊂ N (x; Ω) với mọi Ω ⊂ Rn

và x ∈ Ω Khi bao hàm thức đó xảy ra dấu bằng thì người ta nói rằng tập Ω

là chính quy tại x

Định nghĩa 2.2 Tập Ω ⊂ Rn được gọi là chính quy (nói đầy đủ là chínhquy pháp tuyến) tại x ∈ Ω, nếu:

N(x; Ω) = bN(x; Ω) Một lớp ví dụ quan trọng về tập chính quy tại một điểm x cho trước là cáctập Ω lồi địa phương xung quanh điểm đó, tức là tồn tại lân cận U ⊂ Rn của

xsao cho Ω ∩U là một tập lồi

Mệnh đề 2.3 (Tính chính quy của tập lồi địa phương) Giả sử U là lân cận

mở của x ∈ Ω sao cho Ω ∩ U là tập lồi Khi đó, Ω là tập chính quy tại điểm

x, và ta có:

N(x; Ω) = {x∗∈ Rn | hx∗, x − xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩U } (2.10)

Chứng minh. Từ định nghĩa suy ra rằng các hình nón bN(x; Ω) , N (x; Ω), vàcác tập bNε(x; Ω), với mọi ε > 0, chỉ phụ thuộc vào cấu trúc của Ω trong lâncận điểm x Theo mệnh đề 2.2 ta có

b

N(x; Ω) = {x∗∈ Rn | hx∗, x − xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩U } Mặt khác, theo nhận xét 2.2 ta có bN(x; Ω) ⊂ N (x; Ω) Từ đó suy ra

N(x; Ω) ⊃ {x∗∈ Rn | hx∗, x − xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩U }

Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy x∗ ∈ N(x; Ω) Chọn dãy

εk, xk, x∗k tương ứng với x∗ như trong định nghĩa 2.1(ii) Do x ∈ Ω ∩ U

và xk → x, xΩ k ∈ Ω ∩ U với mọi k ∈ N đủ lớn Vì Ω ∩ U là tập lồi và

x∗ ∈Nbεk(xk; Ω) , nên theo mệnh đề 2.11 ta có

hx∗k, x − xki ≤ kx − xkk , ∀x ∈ Ω ∩U

Viết biểu thức này ở vế trái dưới dạng

b

N(x; Ω) = {x∗∈ Rn | hx∗, x − xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩U } ,

ta có bao hàm thức cần chứng minh Tính chính quy của Ω tại x và đẳngthức (2.10) đã được thiết lập

Nhận xét 2.3 Nếu Ω là tập lồi, thì lân cận U trong mệnh đề trên có thể lấy

bằng Rn Ta đã thấy rằng, đối với các tập lồi, nón pháp tuyến Fréchet, nónpháp tuyến qua giới hạn và nón pháp tuyến theo định nghĩa của giải tích lồi

là trùng nhau

Sau đây chúng ta tìm hiểu hai dạng biểu diễn đặc biệt của nón pháptuyến qua giới hạn trong trường hợp Ω là tập đóng của không gian hữu hạnchiều Rn Do các chuẩn trong không gian hữu hạn chiều là tương đương vớinhau nên ta quy ước chọn chuẩn Euclide

Ta định nghĩa hình chiếu Euclide của x lên Ω như sau

Π (x; Ω) = {ω ∈ Ω | kx − ω k = dist (x; Ω)}

Nếu Ω là tập đóng, thì Π (x; Ω) 6= /0 với mọi x ∈ Rn

Định lý 2.1 Nếu Ω ⊂ Rn là tập đóng địa phương tại x ∈ Ω, thì các biểu diễnsau nghiệm đúng:

Ở đây cone M kí hiệu hình nón sinh bởi M

Chứng minh. Biểu thức (2.11) cho thấy rằng trong định nghĩa 2.1(ii) củapháp tuyến qua giới hạn cho tập Ω đóng địa phương trong không gian hữuhạn chiều có thể lấy ε = 0 Do định nghĩa nón pháp tuyến qua giới hạn, hiểnnhiên ta có

Cố định x∗ ∈ N (x; Ω) Theo định nghĩa 2.1(ii), tồn tại các dãy εk ↓ 0, xk →Ω

x, x∗k ∈ Nbεk(xk; Ω) với mọi k ∈ N, sao cho x∗k → x∗ Mặt khác, do tập Ω làtập đóng địa phương tại x ∈ Ω, với mỗi k ta có thể xét véctơ xk+ αx∗k vớitham số α > 0 và lấy ωk ∈ Π xk+ αx∗k, Ω
Do cách chọn εk ta có bất đẳngthức

kxk+ αx∗k− ωkk2≤ kxk+ αx∗k− xkk2 = α2kx∗kk2

Vì chuẩn đang xét là chuẩn Euclide, nên

kxk+ αx∗k− ωkk2 = kxk− ωkk2+ 2α hx∗k, xk− ωki + α2kx∗kk2

Suy ra

kxk− ωkk2 ≤ 2α hx∗k, ωk− xki , ∀α > 0 (2.14)

Sử dụng sự hội tụ ωk→ xk khi α ↓ 0, định nghĩa của các véctơ εk-pháp tuyến,

và tính chất x∗k ∈Nbεk(xk; Ω), ta chọn được dãy số dương α = αk để cho