Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TỪ VĂN KHANH NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN QUỐC TUẤN Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, cho phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn - người trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành khoá luận Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích nói riêng, thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung, tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người giúp đỡ tôi, động viên suốt trình học tập hoàn thành khóa luận Cuối cùng, khuôn khổ có hạn khoá luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần tập dượt nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Một lần xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Từ Văn Khanh LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn tận tình thầy giáo ThS Nguyễn Quốc Tuấn, khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên nghành Toán giải tích với đề tài "Nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều" hoàn thành nhận thức thân tôi, trùng lặp với khóa luận khác Trong trình nghiên cứu hoàn thành khoá luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo với trân trọng lòng biết ơn sâu sắc Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Từ Văn Khanh Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức không gian Rn 1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi 1.3 Hàm lồi địa phương 1.4 Các định lý tách 10 1.5 Ánh xạ đa trị 11 Chương Pháp tuyến tập hợp 12 2.1 Định nghĩa tính chất 12 2.2 Phép tính pháp tuyến suy rộng 29 Chương Nguyên lý cực trị 32 3.1 Hệ cực trị 32 3.2 Các nguyên lý cực trị 37 3.3 Nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều 40 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Bảng ký hiệu chữ viết tắt f :X ⇒Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y dom f miền hữu hiệu hàm số thực f F :X ⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y dom F miền hữu hiệu F ref F miền ảnh F gph F đồ thị F N tập số tự nhiên R tập số thực Rn không gian hữu hạn chiều x chuẩn véctơ x x, y tích vô hướng véctơ x y A chuẩn toán tử tuyến tính A [x, y] đoạn thẳng nối hai điểm x, y không gian X B hình cầu đóng đơn vị không gian X Bε hình cầu đóng đơn vị tâm bán kính ε int A phần A x¯ bao đóng x bd Ω bao đóng Ω cone M hình nón sinh tập hợp M Nε (x; Ω) tập ε−pháp tuyến Ω điểm x ∈ Ω N (x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet N (x; Ω) nón pháp tuyến qua giới hạn LỜI MỞ ĐẦU Giải tích biến phân dựa khái niệm nón pháp tuyến không lồi, vi phân không lồi, đối đạo hàm qua giới hạn tác giả B S Mordukhovich đề xuất thu hút quan tâm đặc biệt nhiều nhóm nghiên cứu giới Phần sở lý thuyết Giải tích biến phân trình bày chương đầu (Tập 1), phần ứng dụng trình bày chương cuối (Tập 2) sách [5, 6] với tổng cộng 1200 trang in Lý thuyết kết hợp Giải tích không trơn Giải tích đa trị Các nguyên lý cực trị sử dụng nón pháp tuyến không lồi sở để xây dựng quy tắc tính toán định lý sở giải tích biến phân Theo [5, trang 249], nguyên lý cực trị cho trường hợp không gian Euclide hữu hạn chiều - tên gọi "phương trình Euler suy rộng" - Kruger Mordukhovich [2] đưa năm 1980 Kết có nguồn gốc công trình công bố năm 1976 Mordukhovich [3] Tên gọi "nguyên lý cực trị" xuất lần vào năm 1994, công trình [4] Có thể coi nguyên lý cực trị theo nghĩa Mordukhovich định lý tách cho hệ tập hữu hạn (không thiết phải tập lồi) Cho Ω1 , , Ωn (n ≥ 2) tập khác rỗng không gian hữu hạn chiều Rn điểm x ∈ n i=1 Ωi Ta nói x điểm cực trị địa phương (a local extremal point) hệ tập {Ω1 , , Ωn } tồn dãy {aik } ⊂ Rn (i = 1, , n) cho aik → k → ∞ lân cận U x thỏa mãn điều kiện n (Ωi − aik ) ∩U = 0, / i=1 với số nguyên dương k đủ lớn Khi đó, hệ {Ω1 , , Ωn , x} gọi hệ cực trị (an extremal system) không gian hữu hạn chiều Rn Như vậy, hệ cực trị hệ hữu hạn tập hợp với điểm x thuộc giao chúng mà ta tách rời địa phương tập (tức làm cho giao chúng với lân cận cho trước x thành tập rỗng) cách làm nhiễu kiểu tịnh tiến tập cho, với phương tịnh tiến véctơ có chuẩn bé số dương lấy tùy ý Ta nói nguyên lý cực trị xác (the exact extremal principle) nghiệm cho không gian hữu hạn chiều Rn với hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x}, với Ω1 , , Ωn tập đóng Rn , có tồn pháp tuyến xi∗ ∈ N (xi ; Ωi ) , (i = 1, , n) cho x1∗ + + xn∗ = 0, x1∗ + + xn∗ = 1, N (x; Ωi ) ký hiệu nón pháp tuyến qua giới hạn (còn gọi nón pháp tuyến Mordukhovich) Ωi x Ngoài nguyên lý cực trị xác, người ta xét nguyên lý cực trị xấp xỉ nguyên lý ε-cực trị, nón pháp tuyến Fréchet tập ε-pháp tuyến Fréchet sử dụng thay cho nón pháp tuyến qua giới hạn Là sinh viên khoa Toán, mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức Toán học nói riêng lĩnh vực khoa học khác đời sống nói chung Với mục đích làm tăng thêm hiểu biết nguyên lý cực trị không gian hữu chiều, để tích lũy kinh nghiệm cho thân để phục vụ cho công tác học tập, giảng dạy sau này, đồng thời giới thiệu cho bạn sinh viên có nhìn tổng quan sâu sắc nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều Vì lý trên, với góp ý, động viên, giúp đỡ tận tình thầy cô, đặc biệt thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn cộng thêm đam mê thân, mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều" Mục đích khóa luận giới thiệu ba nguyên lý cực trị nói tìm hiểu cách tính nón pháp tuyến tập hợp (có thể tập lồi tập không lồi) Khóa luận bao gồm lời mở đầu, ba chương, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương Trình bày kiến thức (các kiến thức tập lồi, hàm lồi, ánh xạ đa trị ) Chương Trình bày khái niệm ε-pháp tuyến suy rộng nón pháp tuyến qua giới hạn tập hợp (có thể không lồi) không gian Rn Chương Trình bày khái niệm hệ cực trị, khái niệm tách tập hợp (có thể không lồi) ba nguyên lý cực trị (nguyên lý cực trị xác, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý ε-cực trị) không gian Rn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Quốc Tuấn người tận tình hướng dẫn, giúp suốt qua trình thực khóa luận Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích, thầy cô khoa Toán, gia đình người giúp đỡ, động viên suốt trình học tập hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Từ Văn Khanh Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức không gian Rn Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa không gian Rn ) Ta gọi không gian Rn tập tích Descartes R × R × · · · × R (gồm n thành phần) phần tử không gian Rn gọi điểm (véctơ) biểu diễn n số x = (x1 , x2 , , xn ) , xi ∈ R, i = 1, , n Số xi cách biểu diễn điểm x gọi tọa độ thứ i điểm x Giả sử có hai điểm không gian Rn a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) , ta định nghĩa tổng chúng, ký hiệu a + b, điểm Rn với tọa độ a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) , ta định nghĩa tích điểm a với số thực λ , ký hiệu λ a, điểm Rn với tọa độ λ a = (λ a1 , λ a2 , , λ an ) Quy ước: ký hiệu điểm có tất tọa độ gọi điểm gốc, − a điểm (−1)a (tức điểm có tọa độ ngược dấu với tọa độ điểm a) Định nghĩa 1.2 (Tích vô hướng) Tích vô hướng hai véctơ a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ), ký hiệu a, b số xác định a, b := a1 b1 + a2 b2 + an bn Định nghĩa 1.3 (Chuẩn véctơ) Chuẩn (hay độ dài) véctơ a, ký hiệu a , số xác định a = a21 + a22 + · · · + a2n Nhận xét 1.1 Tích vô hướng định nghĩa 1.2 chuẩn định nghĩa 1.3 tương ứng gọi tích vô hướng chuẩn Euclide Ngoài ra, Rn trang bị nhiều tích vô hướng chuẩn khác Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Đối với x ∈ Rn ta đặt x = x12 + x22 + · · · + xn2 x, x = Khi đó, với x, y ∈ Rn ta có bất đẳng thức Schwarz | x, y | ≤ x y , hay |x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn | ≤ x12 + x22 + · · · + xn2 y21 + y22 + · · · + y2n Mệnh đề 3.3 cho ta biết hệ cực trị tách hệ tập tách hệ cực trị Mệnh đề 3.3 Cho {Ω1 , , Ωm } , m ≥ 2, họ tập không gian Rn với điểm chung Khi đó: (i) Nếu hệ tập {Ω1 , , Ωm } tách với x ∈ m i=1 Ωi , hệ {Ω1 , , Ωn , x} hệ cực trị (ii) Điều ngược lại nghiệm Ωi , (i = 1, , m) tập lồi int Ωi = 0, / i = 1, , m − Đối với hệ tập lồi có điểm chung, tính tách tính cực trị địa phương tương đương Mệnh đề 3.4 (Điều kiện cần đủ để hệ tập lồi hệ cực trị) Cho Ωi , (i = 1, , m) tập không lồi Rn với điểm chung int Ωi = 0, / i = 1, , m − Khi đó, điều kiện (3.9) với U = Rn cần đủ để hệ {Ω1 , , Ωn , x}, với x ∈ m i=1 Ωi lấy bất kì, hệ cực trị 3.2 Các nguyên lý cực trị Mục trình bày ba nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều lý thuyết vi phân tác giả Mordukhovich cộng xây dựng: nguyên lý ε-cực trị, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý cực trị xác Định nghĩa 3.3 Cho {Ω1 , , Ωn , x} hệ cực trị không gian Rn Ta nói (i) Hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x} gọi thỏa mãn nguyên lý ε-cực trị 37 với ε > tồn xi ∈ Ωi ∩ (x + εB) xi∗ ∈ Rn , cho xi∗ ∈ Nε (xi ; Ωi ) , i = 1, , m, ∗ x1∗ + + xm =0 ∗ x1∗ + + xm = (3.12a) (3.12b) (3.12c) (ii) Hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x} gọi thỏa mãn nguyên lý cực trị xấp xỉ với ε > tồn xi ∈ Ωi ∩ (x + εB) xi∗ ∈ N (xi ; Ωi ) + εB, i = 1, , m, cho điều kiện (3.12b), (3.12c) thỏa mãn (iii) Hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x} gọi thỏa mãn nguyên lý cực trị xác, tồn véctơ pháp tuyến qua giới hạn xi∗ ∈ N (xi ; Ωi ) , i = 1, , m, thỏa mãn điều kiện (3.12b), (3.12c) Nguyên lý cực trị xác (nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý ε-cực trị) gọi nghiệm không gian Rn , với hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x} Rn , Ωi tập đóng địa phương xung quanh x Nhận xét 3.4 Kí hiệu ε định nghĩa nguyên lý ε-cực trị phần định nghĩa, khác với kí hiệu ε nguyên lý cực trị xấp xỉ Nhận xét 3.5 Vì N (xi ; Ω)+εB ⊂ Nε (x, Ω), nên hệ cực trị {Ω1 , , Ωn , x} thỏa mãn nguyên lý cực trị xấp xỉ thỏa mãn nguyên lý ε-cực trị Khẳng định sau cho ta biết tính chất tập ε-pháp tuyến, nón pháp tuyến Fréchet điểm tập Ω 38 Bổ đề 3.1 Nếu x ∈ int Ω, Nε (x; Ω) = {x∗ ∈ Rn | x∗ ≤ ε} , (3.13) N (x; Ω) = {x∗ ∈ Rn | x∗ = 0} (3.14) Chứng minh Đặt M = {x∗ ∈ R | x∗ ≤ ε} Trước hết ta chứng minh Nε (x; Ω) ⊂ M (3.15) Ta có tập ε-pháp tuyến Nε (x; Ω) := x∗ ∈ Rn | lim sup Ω u→x x∗ , u − x ≤ε u−x Cố định x ∈ int Ω ε ≥ 0, ta xét dãy ut = x + te, e ∈ Rn véctơ đơn vị Do x ∈ int Ω , ta có u0 + te ∈ Ω với t > đủ bé, từ suy ut → x t → Lấy x∗ ∈ Nε (x; Ω) bất kì, ta có x∗ , ut − x ε ≥ lim sup = x∗ , e ut − x t→0+ Do e véctơ đơn vị tùy ý, ta suy x∗ ≤ ε Vậy (3.15) nghiệm Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy tùy ý x∗ ∈ M Ta có x∗ ∈ Nε (x; Ω) Thật vậy, với u ∈ Rn \ {x}, x∗ , u − x u−x = x∗ , u−x u−x Do lim sup Ω u→x x∗ , u − x ≤ ε u−x 39 Vậy x∗ ∈ Nε (x; Ω) Ta chứng minh M ⊂ Nε (x; Ω) (3.16) Kết hợp (3.16) với (3.14), ta thu (3.13) Để thu (3.14), ta việc chọn ε = áp dụng (3.13) Mệnh đề 3.5 (Tính không tầm thường nón pháp tuyến qua giới hạn) Nếu nguyên lý cực trị xác cho không gian Rn , với tập đóng địa phương Ω ⊂ Rn với x ∈ Ω ta có N (x; Ω) = {0} ⇔ x ∈ bd Ω Chứng minh Điều kiện đủ Nếu x ∈ bd Ω, hệ {Ω, {x} , x} hệ cực trị Áp dụng nguyên lý cực trị xác cho hệ {Ω, {x} , x}, ta tìm véctơ x∗ ∈ N (x, Ω) \ {0} Điều kiện cần Nếu x ∈ int Ω hiển nhiên N (x, Ω) = {0} Do điều kiện N (x, Ω) = {0} kéo theo x ∈ bd Ω 3.3 Nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều Mục trình bày cách chứng minh nguyên lý cực trị xác không gian hữu hạn chiều Rn đưa điều kiện cần để hệ tập không gian hữu hạn chiều cực trị Bổ đề 3.2 Cho hệ cực trị {Ω1 , , Ωm , x} với Ωi , (i = 1, , m) tập đóng địa phương xung quanh x Khi đó, phép biến đổi tập Ωi , ta thay lân cận U định nghĩa 3.1 Rn mà không làm thay đổi tính chất cực trị hệ tập 40 Chứng minh Chọn lân cận U x dãy {aik } (i = 1, , m) thỏa mãn (3.1) Chọn ρ > cho B2ρ (x) ⊂ U aik ∈ Bρ (0) với i ∈ {1, , m} với k > k, k ∈ N Với k > k ta có m m Ωi ∩ Bρ (x) − aik ⊂ (Ωi − aik ) ∩U i=1 i=1 m (3.17) [(Ωi − aik ) ∩U] = / = i=1 Thật vậy, để ta thu (3.17) ta cần chứng tỏ Ωi ∩ Bρ (x) − aik ⊂ (Ωi − aik ) ∩U, ∀i = 1, , m (3.18) Với x ∈ Ωi ∩ Bρ (x) − aik tồn zi ∈ Ωi ∩ Bρ (x) cho x = zi − aik Do x ∈ Ωi − aik Mặt khác, zi ∈ Bρ (x) aik ≤ ρ nên x − x = zi − x − aik ≤ zi − x + aik ≤ 2ρ Từ ta suy x ∈ (Ωi − aik ) ∩ B2ρ (x) ⊂ (Ωi − aik ) ∩U Vậy (3.18) nghiệm Đặt Ωi = Ωi ∩ Bρ (x) , (i = 1, , m) , ta thấy vế phải (3.17) tập rỗng; n Ωi − aik = 0, / ∀k ≥ k i=1 Từ định nghĩa nón pháp tuyến qua giới hạn ta có N x; Ωi = N (x; Ωi ) 41 (3.19) Mặt khác, ta lại có Ωi , (i = 1, , m), tập đóng địa phương xung quanh x Vậy cách thay Ωi (i = 1, , m) Ωi (i = 1, , m) giao Ωi với hình cầu đóng có tâm x bán kính dương, ta có (3.19), điều chứng tỏ {Ω1 , , Ωm , x} hệ cực trị lân cận U tương ứng lấy Rn Mệnh đề chứng minh Định lý 3.1 (Nguyên lý cực trị xác không gian hữu hạn chiều) Nguyên lý cực trị xác nghiệm cho không gian định chuẩn hữu hạn chiều Rn Chứng minh Cho {Ω1 , , Ωi , x} hệ cực trị không gian hữu hạn chiều Rn , với Ωi (i = 1, , m), tập đóng địa phương xung quanh x Do bổ đề 3.2, tồn {aik } ⊂ Rn , aik → k → ∞, cho (3.1) thỏa mãn với U = Rn Xét toán tìm cực tiểu không ràng buộc n dk (x) := ∑ dist2 (x + aik ; Ω) + x−x → min, x ∈ Rn , (3.20) i=1 dist (x; Ω) kí hiệu hàm khoảng cách điểm x tới tập Ω Do dk (x) hàm liên tục, có tập mức bị chặn, nên theo định lý Wierstrass, toán (3.20) có nghiệm tối ưu xk Mặt khác, {Ω1 , , Ωm , x} hệ cực trị nên n αk := ∑ dist2 (x + aik ; Ω) > i=1 Thật vậy, hiển nhiên ta có n αk := ∑ dist2 (x + aik ; Ω) ≥ i=1 Nếu n αk := ∑ dist2 (x + aik ; Ω) i=1 42 = (3.21) (3.21) nghiệm dist (xk + aik ; Ωi ) = 0, (i = 1, , m) , hay xk + aik ∈ Ωi , (i = 1, , m) Từ suy xk ∈ Ωi − aik , (i = 1, , m) Điều mâu thuẫn với (3.1) (mà ta lấy U = Rn ) Mặt khác, xk nghiệm toán (3.20) nên dk (xk ) ≤ dk (x) Suy ≤ dk (xk ) = αk + xk − x n ≤ dk (x) = ∑ aik i=1 Vì aik → k → ∞, với i = 1, , m, nên dk (x) ↓ Do ta có xk → x αk ↓ k → ∞ Lấy ωik ∈ Π (xk + aik ; Ωi ) (ωik xấp xỉ tốt xk + aik tập đóng Ωi ) Khi đó, toán (3.20) tương đương với toán sau n ρk (x) = ∑ x + aik − ωik + x−x → min, x ∈ Rn (3.22) i=1 Do αk > theo chứng minh trên, ρk hàm mục tiêu (3.22) theo biến x áp dụng định lý Fermat điều kiện cần cực trị toán tối ưu không ràng buộc, ta thu n ∗ + (xk − x) = ρk (xk ) = ∑ xik (3.23) i=1 ∗ = (x + a − ω ) /α , i = 1, , m Vì ω ∈ Π (x + a ; Ω ) nên với xik i k ik ik k ik k ik xk − aik − ωik = dist (xk + aik ; Ωi ) 43 Kết hợp điều với (3.21) ta có ∗ x1k ∗ + + xnk n = (3.24) ∗ ≤ 1, i = 1, , m Do toán xét không gian hữu Từ (3.24) suy xik hạn chiều nên hình cầu đơn vị Rn tập compact, ta đồng không gian đối ngẫu không gian Rn Vì ta tìm ∗ → x∗ k → ∞, i = 1, , m Lấy giới xi∗ ∈ Rn , i = 1, , m, cho xik i hạn k → ∞, từ (3.23) ta có x1∗ + + xn∗ = (3.25) Trong không gian hữu hạn chiều tính hội tụ yếu hội tụ mạnh trùng nhau, nên từ biểu thức (3.24) ta thu x1∗ + + xn∗ n = (3.26) Từ (3.25) (3.26) suy véctơ xi∗ (i = 1, , m) thỏa mãn điều kiện (3.12b) (3.12c) định nghĩa 3.3 Lại có xk → x k → ∞ ωik ∈ Π (xk + aik ; Ωi ) , i = 1, , m Vì (xk + aik − ωik ) ∈ cone (xik + aik − Π (xk + aik , Ωi )) Do đó, theo công thức (2.12) định lý 2.1, ta có xi∗ ∈ N (x; Ωi ) Định lý chứng minh xong Kết hợp định lý 3.1 với mệnh đề 3.5, ta có khẳng định sau: Nếu xét toán không gian hữu hạn chiều Rn x điểm biên tập đóng Ω ∈ Rn N (x; Ω) phải chứa véctơ khác Nói cách khác, cách quan sát nón pháp tuyến qua giới hạn ta phân biệt điểm biên điểm tập đóng 44 Hệ 3.1 Cho hệ cực trị {Ω1 , Ω2 , x}, với Ω1 , Ω2 hai tập lồi không gian hữu hạn chiều Rn Khi Ω1 Ω2 tách theo nghĩa Giải tích lồi Chứng minh Do {Ω1 , Ω2 , x} hệ cực trị xét không gian hữu hạn chiều Rn , áp dụng nguyên lý cực trị xác ta tìm x1∗ ∈ N (x; Ω1 ) , x2∗ ∈ N (x; Ω2 ) thỏa điều kiện x1∗ + x2∗ = 0, x1 + x2 = Đặt x∗ = x1∗ = −x2∗ , ta có x∗ = 0, x∗ ∈ N (x; Ω1 ) ∩ (−N (x; Ω2 )) Vì Ω1 , Ω2 tập lồi, theo mệnh đề 2.2 ta có N (x; Ω1 ) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x ≤ x∗ , x , ∀x ∈ Ω1 } , −N (x; Ω2 ) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x ≥ x∗ , x , ∀x ∈ Ω2 } Từ hai biểu thức ta thu x∗ , u1 ≤ x∗ , x ≤ x∗ , u2 , ∀u1 ∈ Ω1 , ∀u2 ∈ Ω2 Vậy tập Ω1 , Ω2 tách siêu phẳng {x ∈ Rn | x∗ , x = x∗ , x } Hệ chứng minh Nhận xét 3.6 Hệ cho thấy nguyên lý cực trị xác dạng mở rộng mang tính chất địa phương khái niệm tách tập lồi Giải tích lồi cho hệ đóng (có thể không lồi) 45 Mệnh đề sau điều kiện cần để hệ siêu mặt hữu hạn chiều cho hàm trơn với điểm chung chúng hệ cực trị không gian Mệnh đề 3.6 Giả sử ψi : Rn → R, i = 1, , m, hàm khả vi liên tục Đặt Ωi = {x ∈ Rn | ψi (x) = 0} , i = 1, , m, giả sử x ∈ m i=1 Ωi Khi đó, ta có khẳng định sau: (i) Nếu { ψ1 (x) , , ψm (x)} độc lập tuyến tính {Ω1 , , Ωm , x} không hệ cực trị (ii) Sự phụ thuộc tuyến tính hệ véctơ { ψ1 (x) , , ψm (x)} điều kiện cần, điều kiện đủ để {Ω1 , , Ωm , x} hệ cực trị Chứng minh Chứng minh (i): Giả sử phản chứng {Ω1 , , Ωm , x} hệ cực trị Theo định lý 3.1, tồn x∗ ∈ N (x; Ωi ) , i = 1, , m, thỏa mãn điều kiện (3.12b), (3.12c) Mặt khác, ta có ψi , i = 1, , m hàm trơn, x ∈ m i=1 Ωi Ωi = {x | ψi (x) = 0} = ψi−1 ({0}) , i = 1, , m Áp dụng định lý 2.3 cho với f := ψi , ta có N x; ψi−1 ({0}) = ψi (x)∗ N (0; {0}) , (i = 1, , m) (3.27) Do tập điểm {0} ⊂ R tập lồi, ta có N (0; {0}) = {x∗ ∈ R | x∗ , x − ≤ 0, ∀x ∈ {0}} = R Vì vậy, đẳng thức thứ (i) (3.27) tương đương với N (x; Ωi ) = ψi (x)∗ (R) = R ψi (x) Do xi∗ ∈ N (x; Ωi ), tồn αi ∈ R cho xi∗ = αi ψi (x) Mặt khác theo (3.12b) (3.12c) ta có m m ∑ xi∗ = ∑ αi i=1 i=1 46 ψi (x) = 0, (3.28) ∗ x1∗ + + xm = (3.29) Từ (3.29) suy xi∗ không đồng thời không Vậy tồn số i với αi = 0, (3.28) kéo theo { ψ1 (x) , , ψm (x)} phụ thuộc tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết Vậy (i) chứng minh Chứng minh (ii): Sự phụ thuộc tuyến tính { ψ1 (x) , , ψm (x)} điều kiện cần, điều kiện đủ để {Ω1 , , Ωm , x} hệ cực trị Để làm sáng tỏ điều đó, lấy m = đặt ψ1 : R2 → R, ψ (x, y) = y − x3 , ψ2 : R2 → R = ψ (x, y) = y + x3 Hiển nhiên ta có ψ1 (x, y) , ψ2 (x, y) hàm trơn Đặt Ωi = (x, y) ∈ R2 | ψi (x, y) = (i = 1, 2) Ta có Ω1 ∩ Ω2 = {(0, 0)} Vì ψ1 (0, 0) = ψ2 (0, 0) = (0, 1), nên { ψ1 (0, 0) , ψ2 (0, 0)} phụ thuộc tuyến tính Hệ {Ω1 , , Ωm , x} , với x = (0, 0), không hệ cực trị Thật vậy, giả sử phản chứng tồn dãy ak = (αk , βk ) ∈ R2 , ak → k → ∞, lân cận mở U x, thỏa mãn điều kiện (Ω1 − ak ) ∩ Ω2 ∩U = 0/ với k đủ lớn (3.30) Biến đổi tương đương phương trình − (x − ak )3 = x3 − βk , ta thu 2x3 − 3x2 αk + 3xαk2 = αk3 + βk (3.31) Phương trình bậc ba (3.31) có nghiệm thực Giả sử xk nghiệm thực phương trình Hiển nhiên ta có xk − αk , xk3 − βk ∈ Ω2 47 (3.32) Vì ak = (αk , βk ) → k → ∞, nên αk → αk → k → ∞ Do đó, lim 2x3 − 3x2 αk + 3xαk2 = lim αk3 + βk = k→∞ k→∞ Suy lim xk = 0, ta có k→∞ lim (xk − αk ) = 0, lim xk3 − βk = k→∞ k→∞ Từ suy rằng, với k đủ lớn ta có xk − αk , xk3 − βk ∈ U (3.33) Mặt khác, ta lại có Ω1 − ak = x − αk , x3 − βk | x ∈ R Do đó, ta có xk − αk , xk3 − βk ∈ Ω1 − ak (3.34) Kết hợp (3.32), (3.33) (3.34) ta thu xk − αk , xk3 − βk ∈ (Ω1 − ak ) ∩ Ω2 ∩U với k đủ lớn Tính chất cuối mâu thuẫn với (3.30) Vậy {Ω1 , Ω2 , x} không hệ cực trị Áp dụng mệnh đề 3.6(i), ta phân tích ví dụ 3.1 theo cách đơn giản sau: Đặt ψ1 (x, y) = x − y ψ2 (x, y) = x + y với x, y ∈ R Ta có Ω1 = {(x, y) | ψ1 (x, y) = 0} , Ω2 = {(x, y) | ψ2 (x, y) = 0} Vì ψ1 (0, 0) = (1, −1) ψ2 (0, 0) = (1, 1) nên hệ { ψ1 (0, 0) , ψ2 (0, 0)} độc lập tuyến tính Theo mệnh đề 3.6(i), {Ω1 , Ω2 , (0, 0)} không hệ cực trị 48 KẾT LUẬN Khóa luận hoàn thành chủ yếu dựa theo [11] số tài liệu khác Khóa luận trình bày số kiến thức nón pháp tuyến nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều Cụ thể khóa luận đã: 1) Hệ thống lại khái niệm tính chất liên quan đến không gian hữu hạn chiều Rn , tập lồi, ánh xạ đa trị, 2) Trình bày khái niệm ε-pháp tuyến suy rộng, nón pháp tuyến qua giới hạn tập hợp (có thể không lồi) không gian Rn đưa ví dụ minh họa 3) Trình bày khái niệm hệ cực trị, khái niệm tách tập hợp (có thể không lồi) ba nguyên lý cực trị (nguyên lý cực trị xác, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý ε-cực trị) không gian Rn Mặc dù có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! 49 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Anh [1] D Bartl (2008), A short algebraic proof of the Farkas’ lemma, SIAM Journal of Optimization, vol 19, 234-239 [2] A Y Kruger, B S Mordukhovich, Extremal points and the Euler equation in nonsmooth optimization, Dokl Akad Nauk BSSR Vol 24,684-687 [3] B S Mordukhovich (1976), Maximum principle in problems of time optimal control with nonsmooth constraints, Journal of Applied Mathematics and Mechanins, Vol 40, 960-969 [4] B S Mordukhovich (1994), Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mappings, Vol 183, 250-288 [5] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol 1: Basic Theory, Springer, New Your [6] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol 2: Basic Theory, Springer, New Your 50 [7] B S Mordukhovich, N.M Nam, N.D Yen (2009), Subgradients of marginal function in parametric mathematical programming, Mathematical Programming Vol 116, Ser B, 369-396 [B] Tài liệu tiếng Việt [8] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật [9] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải Tích Lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [10] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [11] Nguyễn Văn Mạnh (2009), Nón pháp tuyến không lồi nguyên lý cực trị, Luận Văn Thạc sĩ Toán học, Viện Toán học - Viện Khoa học Và Công nghệ Việt Nam [12] Nguyến Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Và Công nghệ Hà Nội 51 [...]... hợp) Cho toán tử tuyến tính A từ không gian Rn vào không gian Rm , toán tử liên hợp A∗ từ không gian Rm vào không gian Rn được xác định bởi công thức A∗ y, x = y, Ax , ∀y ∈ Rm , ∀x ∈ Rn 6 Định nghĩa 1.9 (Không gian liên hợp) Ta gọi không gian L (Rn , R) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Rn là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian Rn và kí hiệu (Rn )∗ thay cho... gọi là tách được Định lý 1.5 (Định lý tách thứ nhất) Giả sử A, B là hai tập lồi trong không gian Rn , A ∩ B = 0, / int A = 0/ Khi đó, tồn tại x∗ ∈ Rn , x∗ = 0 tách A và B 10 Định lý 1.6 (Định lý tách thứ hai) Giả sử tập A là không gian con trong không gian Rn và x0 ∈ / A Khi đó, tồn tại x∗ = 0 thuộc Rn tách ngặt (tách chặt) A và x0 1.5 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.24 (Ánh xạ đa trị) Cho F : Rn ⇒ Rm... rằng, đối với các tập lồi, nón pháp tuyến Fréchet, nón pháp tuyến qua giới hạn và nón pháp tuyến theo định nghĩa của giải tích lồi là trùng nhau Sau đây chúng ta tìm hiểu hai dạng biểu diễn đặc biệt của nón pháp tuyến qua giới hạn trong trường hợp Ω là tập đóng của không gian hữu hạn chiều Rn Do các chuẩn trong không gian hữu hạn chiều là tương đương với nhau nên ta quy ước chọn chuẩn Euclide x = x12... qua giới hạn của tập hợp bất kỳ (có thể không lồi) trong không gian hữu hạn chiều Rn , cùng với một số tính chất cơ bản Đây là những kiến thức cơ bản cần thiết để tìm hiểu các nguyên lý cực trị 2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản Ω Kí hiệu x → x có nghĩa là x → x với x ∈ Ω Nếu F : Rn ⇒ Rn là một ánh xạ đa trị từ không gian hữu hạn chiều Rn vào chính nó, kí hiệu ω∗ Limsup F(x) = x∗ ∈ Rn | ∃ {xk },... gian đối ngẫu) của không gian Rn và kí hiệu (Rn )∗ thay cho ký hiệu L (Rn , R) Nhận xét 1.2 Người ta đã chứng minh được rằng không gian đối ngẫu (Rn )∗ của không gian Rn đẳng cấu với không gian Rn Vì vậy, ta có thể coi không gian đối ngẫu (Rn )∗ của không gian Rn chính là không gian Rn 1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi Định nghĩa 1.10 (Định nghĩa tập lồi) Tập A ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x1 ,... nghĩa 1.4 (Tính trực giao của hai véctơ) Hai véctơ a và b trong không gian Rn được gọi là trực giao (vuông góc) với nhau, ký hiệu a ⊥ b, nếu a, b = 0 Định lý 1.2 (Định lý Pythagoras) Trong không gian Rn nếu hai véctơ a và b vuông góc với nhau thì a+b 2 = a 2 + b 2 Định nghĩa 1.5 (Định nghĩa về toán tử tuyến tính) Ánh xạ A từ không gian Rn vào không gian Rm được gọi là một toán tử tuyến tính nếu ánh xạ... với mọi x ∈ Rn Định lý 2.1 Nếu Ω ⊂ Rn là tập đóng địa phương tại x ∈ Ω, thì các biểu diễn sau nghiệm đúng: N (x; Ω) = Limsup N (x; Ω) (2.11) x→x N (x; Ω) = Limsup [cone (x − Π (x; Ω))] (2.12) x→x Ở đây cone M kí hiệu hình nón sinh bởi M Chứng minh Biểu thức (2.11) cho thấy rằng trong định nghĩa 2.1(ii) của pháp tuyến qua giới hạn cho tập Ω đóng địa phương trong không gian hữu hạn chiều có thể lấy ε... nghĩa 1.6 (Định nghĩa về toán tử tuyến tính bị chặn (liên tục)) Toán tử tuyến tính A từ không gian Rn vào không gian Rm được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho Ax ≤ C x , ∀x ∈ Rn Định nghĩa 1.7 (Định nghĩa chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục) Toán tử tuyến tính liên tục A từ không gian Rn vào không gian Rm Ta gọi chuẩn của toán tử tuyến tính A, ký hiệu A , là số được xác định bởi A... λ2 A2 + · · · + λm Am là tập lồi trong Rn Mệnh đề 1.3 Giả sử tập lồi Aα ⊂ Rα , (α ∈ I là tập con hữu hạn của N∗ ) Khi đó, tích Descartes Πα∈I Aα là tập lồi trong Πα∈I Rα 7 Mệnh đề 1.4 Toán tử tuyến tính T : Rn → Rm Khi đó a) Nếu A là tập lồi trong Rn thì tập ảnh T (A) là tập lồi trong Rm ; b) Nếu B là tập lồi trong Rm thì nghịch ảnh T −1 (B) của tập B là tập lồi trong Rn Định nghĩa 1.12 Véctơ x... miền hữu hiệu dom F và miền ảnh rge F của ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm tương ứng được xác định bằng các công thức gph F = {(x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x)} , dom F = {x ∈ Rn | F (x) = 0} / , và rge F = {y ∈ Rm | ∃ x ∈ Rn sao cho y ∈ F (x)} 11 Chương 2 Pháp tuyến của tập hợp Chương này trình bày các khái niệm ε−pháp tuyến suy rộng và pháp tuyến qua giới hạn của tập hợp bất kỳ (có thể không lồi) trong không gian ... Ω 3.3 Nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều Mục trình bày cách chứng minh nguyên lý cực trị xác không gian hữu hạn chiều Rn đưa điều kiện cần để hệ tập không gian hữu hạn chiều cực trị Bổ... hệ cực trị 3.2 Các nguyên lý cực trị Mục trình bày ba nguyên lý cực trị không gian hữu hạn chiều lý thuyết vi phân tác giả Mordukhovich cộng xây dựng: nguyên lý ε -cực trị, nguyên lý cực trị xấp... x} hệ cực trị lân cận U tương ứng lấy Rn Mệnh đề chứng minh Định lý 3.1 (Nguyên lý cực trị xác không gian hữu hạn chiều) Nguyên lý cực trị xác nghiệm cho không gian định chuẩn hữu hạn chiều