Nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều

chiều

Mục này trình bày cách chứng minh nguyên lý cực trị chính xác trong không gian hữu hạn chiều Rn và đưa ra điều kiện cần để một hệ tập trong không gian hữu hạn chiều là cực trị.

Bổ đề 3.2. Cho hệ cực trị {Ω1, ...,Ωm,x} với Ωi, (i =1, ...,m) là các tập đóng địa phương xung quanhx. Khi đó, bằng một phép biến đổi các tập Ωi, ta có thể thay thế lân cậnU trong định nghĩa 3.1 bởi Rn mà không làm thay đổi tính chất cực trị của hệ tập.

Chứng minh. Chọn lân cậnU củaxvà các dãy{aik}(i=1, ...,m)thỏa mãn (3.1). Chọnρ >0sao choB2ρ(x)⊂U vàaik ∈Bρ(0) với mọii∈ {1, ...,m}

và với mọik>k, k∈N. Với mọik>k ta có m \ i=1 Ωi∩Bρ(x)−aik⊂ m \ i=1 (Ωi−aik) ! ∩U = m \ i=1 [(Ωi−aik)∩U] = /0. (3.17)

Thật vậy, để ta thu được (3.17) ta chỉ cần chứng tỏ rằng

Ωi∩Bρ(x)−aik ⊂(Ωi−aik)∩U, ∀i=1, ...,m. (3.18) Với mỗix∈Ωi∩Bρ(x)−aik tồn tạizi ∈Ωi∩Bρ(x)sao chox=zi−aik. Do đóx∈Ωi−aik. Mặt khác, dozi ∈Bρ(x) vàkaikk ≤ρ nên kx−xk=kzi−x−aikk ≤ kzi−xk+kaikk ≤2ρ. Từ đó ta suy ra x∈(Ωi−aik)∩B2ρ(x)⊂(Ωi−aik)∩U. Vậy (3.18) nghiệm đúng. Đặt Ω0i =Ωi∩Bρ(x), (i=1, ...,m), ta thấy rằng vế phải của (3.17) là tập rỗng; do đó

n

\

i=1

Ω0i−aik= /0, ∀k≥k. (3.19) Từ định nghĩa nón pháp tuyến qua giới hạn ta có

Mặt khác, ta lại có Ω0i, (i =1, ...,m), là những tập đóng địa phương xung quanh x. Vậy bằng cách thay Ωi (i =1, ...,m) bởi Ω0i (i =1, ...,m) là giao củaΩi với một hình cầu đóng có tâm tại x và bán kính dương, ta có (3.19), điều đó chứng tỏ rằng {Ω01, ...,Ω0m,x} là hệ cực trị và lân cậnU tương ứng có thể lấy bằngRn. Mệnh đề được chứng minh.

Định lý 3.1(Nguyên lý cực trị chính xác trong không gian hữu hạn chiều). Nguyên lý cực trị chính xác nghiệm đúng cho mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiềuRn.

Chứng minh. Cho {Ω1, ...,Ωi,x} là hệ cực trị trong không gian hữu hạn chiều Rn, với Ωi (i= 1, ...,m), là những tập đóng địa phương xung quanh x. Do bổ đề 3.2, tồn tại {aik} ⊂Rn, aik →0khi k→∞, sao cho (3.1) được thỏa mãn vớiU =Rn. Xét bài toán tìm cực tiểu không ràng buộc

dk(x):= " n ∑ i=1 dist2(x+aik;Ω) #1 2 +kx−xk2 →min, x∈Rn, (3.20) trong đó dist(x;Ω) là kí hiệu của hàm khoảng cách của điểmxtới tậpΩ. Do dk(x) là hàm liên tục, có tập mức bị chặn, nên theo định lý Wierstrass, bài toán (3.20) có nghiệm tối ưu xk. Mặt khác, do {Ω1, ...,Ωm,x} là hệ cực trị

nên αk := " n ∑ i=1 dist2(x+aik;Ω) #1 2 >0. Thật vậy, hiển nhiên ta có

αk := " n ∑ i=1 dist2(x+aik;Ω) #1 2 ≥0. Nếu αk := " n ∑ i=1 dist2(x+aik;Ω) #1 2 =0. (3.21)

thì (3.21) nghiệm đúng khi và chỉ khi dist(xk+aik;Ωi) =0, (i=1, ...,m), hay xk+aik ∈Ωi, (i=1, ...,m). Từ đó suy ra xk ∈Ωi−aik, (i=1, ...,m).

Điều này mâu thuẫn với (3.1) (mà ở đó ta đã lấy U =Rn). Mặt khác, vìxk là nghiệm của bài toán (3.20) nêndk(xk)≤dk(x). Suy ra

0≤dk(xk) =αk+kxk−xk2 ≤dk(x) = " n ∑ i=1 kaikk2 #1 2 .

Vìaik →0khik→∞, với mọii=1, ...,m, nêndk(x)↓0. Do đó ta cóxk→x và αk ↓0 khi k →∞. Lấy bất kì ωik ∈ Π(xk+aik;Ωi) bất kì (ωik là xấp xỉ tốt nhất củaxk+aik trong tập đóngΩi). Khi đó, bài toán (3.20) tương đương với bài toán sau

ρk(x) = " n ∑ i=1 kx+aik−ωikk2 #1 2 +kx−xk2 →min, x∈ Rn. (3.22)

Doαk>0theo chứng minh ở trên,ρk là hàm mục tiêu của (3.22) theo biếnx và áp dụng định lý Fermat về điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu không ràng buộc, ta thu được

5ρk(xk) = n ∑ i=1 x∗ik+2(xk−x) =0 (3.23) vớix∗ik = (xk+aik−ωik)/αk, i=1, ...,m. Vìωik ∈Π(xk+aik;Ωi) nên kxk−aik−ωikk=kdist(xk+aik;Ωi)k.

Kết hợp điều này với (3.21) ta có

kx∗1kk2+...+kx∗nkkn =1. (3.24) Từ (3.24) suy rax∗ik≤1, i=1, ...,m. Do bài toán xét trên không gian hữu hạn chiều nên hình cầu đơn vị trong Rn là tập compact, và ta có thể đồng nhất không gian đối ngẫu của không gianRn là chính nó. Vì vậy ta luôn tìm đượcx∗i ∈Rn, i=1, ...,m, sao choxik∗ →x∗i khik→∞, i=1, ...,m. Lấy giới hạn khik→∞, từ (3.23) ta có

x∗1+...+x∗n =0. (3.25) Trong không gian hữu hạn chiều tính hội tụ yếu và hội tụ mạnh là trùng nhau, nên từ biểu thức (3.24) ta thu được

kx∗1k2+...+kx∗nkn =1. (3.26) Từ (3.25) và (3.26) suy ra rằng các véctơx∗i (i=1, ...,m) thỏa mãn các điều kiện (3.12b) và (3.12c) của định nghĩa 3.3. Lại có xk → x khi k → ∞ và ωik ∈Π(xk+aik;Ωi), i=1, ...,m. Vì vậy

(xk+aik−ωik)∈cone(xik+aik−Π(xk+aik,Ωi)).

Do đó, theo công thức (2.12) trong định lý 2.1, ta cóx∗i ∈N(x;Ωi). Định lý được chứng minh xong.

Kết hợp định lý 3.1 với mệnh đề 3.5, ta có khẳng định sau: Nếu xét bài toán trên không gian hữu hạn chiều Rn và x là điểm biên của tập đóng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Ω∈Rn thìN(x;Ω) phải chứa ít nhất một véctơ khác 0. Nói cách khác, bằng cách quan sát nón pháp tuyến qua giới hạn ta có thể phân biệt được điểm biên và điểm trong của các tập đóng.

Hệ quả 3.1. Cho hệ cực trị{Ω1,Ω2,x}, vớiΩ1,Ω2là hai tập lồi trong không gian hữu hạn chiềuRn. Khi đó Ω1 và Ω2 là tách được theo nghĩa Giải tích lồi.

Chứng minh. Do{Ω1,Ω2,x}là hệ cực trị xét trên không gian hữu hạn chiều

Rn, áp dụng nguyên lý cực trị chính xác ta tìm được

x∗1 ∈N(x;Ω1), x∗2 ∈N(x;Ω2)

thỏa các điều kiện

x∗1+x∗2 =0, kx1k+kx2k=1. Đặtx∗=x1∗=−x∗2, ta có x∗6=0, x∗∈N(x;Ω1)∩(−N(x;Ω2)). VìΩ1,Ω2 là các tập lồi, theo mệnh đề 2.2 ta có N(x;Ω1) ={x∗∈ Rn | hx∗,xi ≤ hx∗,xi, ∀x∈Ω1}, −N(x;Ω2) ={x∗ ∈Rn | hx∗,xi ≥ hx∗,xi, ∀x∈Ω2}. Từ hai biểu thức trên ta thu được

hx∗,u1i ≤ hx∗,xi ≤ hx∗,u2i, ∀u1 ∈Ω1, ∀u2 ∈Ω2.

Vậy các tậpΩ1, Ω2 là tách được bởi siêu phẳng{x∈Rn | hx∗,xi =hx∗,xi}. Hệ quả đã được chứng minh.

Nhận xét 3.6. Hệ quả trên cho thấy rằng nguyên lý cực trị chính xác là dạng mở rộng mang tính chất địa phương của khái niệm tách các tập lồi trong Giải tích lồi cho hệ đóng (có thể không lồi).

Mệnh đề sau đây chỉ ra điều kiện cần để một hệ các siêu mặt hữu hạn chiều cho bởi các hàm trơn cùng với một điểm chung của chúng là hệ cực trị trong không gian.

Mệnh đề 3.6. Giả sử ψi :Rn →R,i=1, ...,m, là các hàm khả vi liên tục. Đặt Ωi ={x∈ Rn |ψi(x) =0},i =1, ...,m, và giả sử x∈ Tm

i=1Ωi. Khi đó, ta có các khẳng định sau:

(i) Nếu {5ψ1(x), ...,5ψm(x)} độc lập tuyến tính thì {Ω1, ...,Ωm,x}

không là hệ cực trị.

(ii) Sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ{5ψ1(x), ...,5ψm(x)}chỉ là điều kiện cần, không phải là điều kiện đủ để{Ω1, ...,Ωm,x}là hệ cực trị.

Chứng minh. Chứng minh (i):

Giả sử phản chứng rằng {Ω1, ...,Ωm,x} là hệ cực trị. Theo định lý 3.1,

tồn tạix∗ ∈N(x;Ωi), i=1, ...,m, thỏa mãn các điều kiện (3.12b), (3.12c). Mặt khác, ta có ψi, i = 1, ...,m là các hàm trơn, x ∈ Tm i=1Ωi ở đó Ωi = {x|ψi(x) =0}=ψi−1({0}), i=1, ...,m.Áp dụng định lý 2.3 cho với f := ψi, ta có N x;ψi−1({0})=5ψi(x)∗N(0;{0}), (i=1, ...,m). (3.27) Do tập một điểm{0} ⊂Rlà tập lồi, ta có N(0;{0}) ={x∗ ∈R| hx∗,x−0i ≤0, ∀x∈ {0}}=R. Vì vậy, đẳng thức thứ (i) trong (3.27) tương đương với

N(x;Ωi) =5ψi(x)∗(R) =R5ψi(x).

Do x∗i ∈ N(x;Ωi), tồn tại αi ∈ R sao cho x∗i = αi5ψi(x). Mặt khác theo (3.12b) và (3.12c) ta có m ∑ i=1 x∗i = m ∑ i=1 αi5ψi(x) =0, (3.28)

kx∗1k+...+kx∗mk=1. (3.29) Từ (3.29) suy ra cácx∗i không đồng thời bằng không. Vậy tồn tại chỉ sốivới αi 6=0, khi đó (3.28) kéo theo {5ψ1(x), ...,5ψm(x)} là phụ thuộc tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy (i) được chứng minh.

Chứng minh (ii): Sự phụ thuộc tuyến tính{5ψ1(x), ...,5ψm(x)}chỉ là điều kiện cần, không phải là điều kiện đủ để{Ω1, ...,Ωm,x}là hệ cực trị. Để làm sáng tỏ điều đó, chúng ta lấym=2và đặt

ψ1 :R2→R, ψ(x,y) =y−x3, ψ2 :R2 →R=ψ(x,y) =y+x3. Hiển nhiên ta cóψ1(x,y),ψ2(x,y)là các hàm trơn. Đặt

Ωi =(x,y)∈R2 |ψi(x,y) =0 (i=1,2). Ta cóΩ1∩Ω2 ={(0,0)}.

Vì 5ψ1(0,0) = 5ψ2(0,0) = (0,1), nên {5ψ1(0,0),5ψ2(0,0)} là phụ thuộc tuyến tính. Hệ {Ω1, ...,Ωm,x} , với x = (0,0), không là hệ cực trị. Thật vậy, giả sử phản chứng rằng tồn tại dãy ak = (αk,βk) ∈R2, ak →0

khik→∞, và lân cận mởU của x, thỏa mãn điều kiện

(Ω1−ak)∩Ω2∩U = /0 với k đủ lớn. (3.30) Biến đổi tương đương phương trình

−(x−ak)3 = x3−βk, ta thu được

2x3−3x2αk+3xαk2 =αk3+βk. (3.31) Phương trình bậc ba (3.31) luôn có nghiệm thực. Giả sử xk là một nghiệm thực của phương trình đó. Hiển nhiên ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Vìak = (αk,βk) →0khik→∞, nênαk →0 vàαk →0khik→∞. Do đó, lim k→∞ 2x3−3x2αk+3xαk2= lim k→∞ αk3+βk=0. Suy ra lim k→∞ xk =0,vậy ta có lim k→∞ (xk−αk) =0, lim k→∞ x3k−βk=0. Từ đây suy ra rằng, vớik đủ lớn thì ta có

xk−αk,x3k−βk∈U. (3.33) Mặt khác, ta lại có Ω1−ak = x−αk,x3−βk|x∈R . Do đó, ta có xk−αk,x3k−βk∈Ω1−ak. (3.34) Kết hợp (3.32), (3.33) và (3.34) ta thu được xk−αk,xk3−βk∈(Ω1−ak)∩Ω2∩U

vớik đủ lớn. Tính chất cuối mâu thuẫn với (3.30). Vậy{Ω1,Ω2,x}không là

hệ cực trị.

Áp dụng mệnh đề 3.6(i), ta có thể phân tích ví dụ 3.1 theo cách đơn giản hơn như sau:

Đặtψ1(x,y) =x−yvàψ2(x,y) =x+yvớix,y∈ R. Ta có

Ω1={(x,y)|ψ1(x,y) =0},

Ω2={(x,y)|ψ2(x,y) =0}.

Vì5ψ1(0,0) = (1,−1)và5ψ2(0,0) = (1,1)nên hệ{5ψ1(0,0),5ψ2(0,0)}

là độc lập tuyến tính. Theo mệnh đề 3.6(i),{Ω1,Ω2,(0,0)}không là hệ cực trị.

KẾT LUẬN

Khóa luận được hoàn thành chủ yếu dựa theo [11] và một số tài liệu khác. Khóa luận đã trình bày một số kiến thức về nón pháp tuyến và các nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều. Cụ thể khóa luận đã:

1) Hệ thống lại các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất liên quan đến không gian hữu hạn chiềuRn, tập lồi, ánh xạ đa trị,...

2) Trình bày các khái niệm ε-pháp tuyến suy rộng, nón pháp tuyến qua giới hạn của tập hợp bất kỳ (có thể là không lồi) trong không gianRn và đưa ra các ví dụ minh họa.

3) Trình bày các khái niệm về hệ cực trị, khái niệm tách các tập hợp (có thể là không lồi) và ba nguyên lý cực trị (nguyên lý cực trị chính xác, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lýε-cực trị) trong không gianRn.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do nhiều hạn chế về thời gian và kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi kính mong các thầy cô cùng các bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt hơn.

Tài liệu tham khảo

[A] Tài liệu tiếng Anh

[1] D. Bartl (2008), A short algebraic proof of the Farkas’ lemma, SIAM

Journal of Optimization, vol. 19, 234-239.

[2] A. Y. Kruger, B. S. Mordukhovich, Extremal points and the Euler equation in nonsmooth optimization, Dokl. Akad. Nauk BSSR Vol.

24,684-687.

[3] B. S. Mordukhovich (1976), Maximum principle in problems of time optimal control with nonsmooth constraints, Journal of Applied Math-

ematics and Mechanins, Vol. 40, 960-969.

[4] B. S. Mordukhovich (1994), Generalized differential calculus for non- smooth and set-valued mappings, Vol. 183, 250-288.

[5] B. S. Mordukhovich (2006),Variational Analysis and Generalized Dif- ferentiation, Vol. 1: Basic Theory, Springer, New Your.

[6] B. S. Mordukhovich (2006),Variational Analysis and Generalized Dif- ferentiation, Vol. 2: Basic Theory, Springer, New Your..

[7] B. S. Mordukhovich, N.M. Nam, N.D. Yen (2009), Subgradients of marginal function in parametric mathematical programming, Math- ematical Programming Vol. 116, Ser. B, 369-396.

[B] Tài liệu tiếng Việt

[8] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học và Kỹ thuật. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

[9] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải Tích Lồi, NXB Khoa học

và Kỹ thuật Hà Nội.

[10] Nguyễn Xuân Liêm (1997),Giải tích hàm, NXB Giáo dục.

[11] Nguyễn Văn Mạnh (2009),Nón pháp tuyến không lồi và nguyên lý cực trị, Luận Văn Thạc sĩ Toán học, Viện Toán học - Viện Khoa học Và

Công nghệ Việt Nam.

[12] Nguyến Đông Yên (2007),Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học