Mục này trình bày ba nguyên lý cực trị trong không gian hữu hạn chiều của lý thuyết vi phân do tác giả Mordukhovich và các cộng sự xây dựng:
nguyên lýε-cực trị, nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý cực trị chính xác.
Định nghĩa 3.3. Cho {Ω1, ...,Ωn,x} là hệ cực trị trong không gianRn. Ta nói
nếu với mọiε >0 tồn tạixi ∈Ωi∩(x+εB) vàx∗i ∈Rn, sao cho
x∗i ∈Nbε(xi;Ωi), i=1, ..,m, (3.12a) x∗1+...+x∗m =0 (3.12b)
kx∗1k+...+kx∗mk=1. (3.12c) (ii) Hệ cực trị{Ω1, ...,Ωn,x}được gọi là thỏa mãnnguyên lý cực trị xấp xỉ nếu với mọiε >0tồn tại xi ∈ Ωi∩(x+εB) và
x∗i ∈Nb(xi;Ωi) +εB, i=1, ..,m, sao cho các điều kiện (3.12b), (3.12c) được thỏa mãn.
(iii) Hệ cực trị {Ω1, ...,Ωn,x} được gọi là thỏa mãn nguyên lý cực trị chính xác, nếu tồn tại các véctơ pháp tuyến qua giới hạn
x∗i ∈N(xi;Ωi), i=1, ..,m, thỏa mãn các điều kiện (3.12b), (3.12c).
Nguyên lý cực trị chính xác (nguyên lý cực trị xấp xỉ, nguyên lý ε-cực trị) được gọi là nghiệm đúng trong không gianRn, nếu đúng với mọi hệ cực trị{Ω1, ...,Ωn,x}trongRn, ở đóΩi là các tập đóng địa phương xung quanh x.
Nhận xét 3.4. Kí hiệu ε trong định nghĩa nguyên lý ε-cực trị là một phần của định nghĩa, khác với kí hiệuε trong nguyên lý cực trị xấp xỉ.
Nhận xét 3.5. VìNb(xi;Ω)+εB⊂Nbε(x,Ω), nên nếu một hệ cực trị{Ω1, ...,Ωn,x}
thỏa mãn nguyên lý cực trị xấp xỉ thì nó thỏa mãn nguyên lýε-cực trị.
Khẳng định sau đây cho ta biết tính chất của tậpε-pháp tuyến, nón pháp tuyến Fréchet tại các điểm trong của tậpΩ.
Bổ đề 3.1. Nếu x∈int Ω, thì b Nε(x;Ω) ={x∗ ∈Rn | kx∗k ≤ε}, (3.13) b N(x;Ω) ={x∗ ∈Rn | kx∗k=0}. (3.14) Chứng minh. Đặt M ={x∗∈R | kx∗k ≤ε}. Trước hết ta chứng minh rằng b Nε(x;Ω)⊂M. (3.15) Ta có tậpε-pháp tuyến b Nε(x;Ω):= ( x∗ ∈Rn |lim sup u→Ωx hx∗,u−xi ku−xk ≤ε ) .
Cố địnhx∈intΩvà ε ≥0, ta xét dãy ut =x+te, ở đó e∈Rn là véctơ đơn vị bất kì. Dox∈ intΩ, ta có u0+te∈Ωvới t > 0 đủ bé, từ đây suy ra rằng
ut →xkhit →0. Lấyx∗ ∈Nbε(x;Ω) bất kì, ta có ε ≥lim sup t→0+ hx∗,ut −xi kut−xk =hx ∗,ei.
Do e là những véctơ đơn vị tùy ý, ta suy ra kx∗k ≤ ε. Vậy (3.15) nghiệm
đúng.
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy tùy ý x∗ ∈ M. Ta có x∗ ∈
b
Nε(x;Ω). Thật vậy, với mọi u∈Rn\ {x},
hx∗,u−xi ku−xk = x∗, u−x ku−xk . Do đó lim sup u→Ωx hx∗,u−xi ku−xk ≤ε.
Vậyx∗ ∈Ncε(x;Ω). Ta đã chứng minh rằng
M ⊂Ncε(x;Ω). (3.16) Kết hợp (3.16) với (3.14), ta thu được (3.13). Để thu được (3.14), ta chỉ việc chọnε =0và áp dụng (3.13).
Mệnh đề 3.5 (Tính không tầm thường của nón pháp tuyến qua giới hạn). Nếu nguyên lý cực trị chính xác cho không gianRn, thì với mọi tập đóng địa phươngΩ⊂Rn và với mọix∈Ωta có
N(x;Ω)6={0} ⇔ x∈bdΩ.
Chứng minh. Điều kiện đủ. Nếu x∈ bd Ω, thì hệ {Ω,{x},x} là hệ cực trị. Áp dụng nguyên lý cực trị chính xác cho hệ{Ω,{x},x}, ta tìm được véctơ
x∗ ∈N(x,Ω)\ {0}.
Điều kiện cần. Nếu x∈int Ωthì hiển nhiên N(x,Ω) ={0}. Do đó điều
kiệnN(x,Ω)6={0}kéo theo x∈bd Ω.