Ánh xạ weingarten và một số vấn đề liên quan

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận trước hết sm xin dược bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt thời gian qua Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Năng Tâm tạo điều kiện thuận lợi bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Thắm LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành với bảo thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo Nguyễn Năng Tâm Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Kết đề tài trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Thắm MỤC LỤC Lời cảm ơn Trang Mở đầu Nội dung Chương Kiến thức chuẩn bị §1 Khái niệm ánh xạ §2 Không gian Euclide Chương Ánh xạ Weingarten số vấn đề liên quan 15 §1 Ánh xạ Weingarten 15 1.Cơ sở lý thuyết ánh xạ Weingarten 15 2.Ánh xạ Weingarten 18 §2 Một số vấn đề liên quan đến ánh xạ Weingarten 23 Công thức tính toán 23 Độ cong pháp dạng, công thức Mơ-nhi-ê, công thức Ơle 25 Đường đa tạp 2- chiều 28 §3 Một số ví dụ liên quan đến ánh xạ Weingarten 36 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học môn học quan trọng, tương đối khó chương trình toán phổ thông để học, hiểu người học cần có tư cao Sau học chương trình toán trường, đặc biệt sau học môn hình học vi phân, với mong muốn tìm hiểu sâu thêm hình học vi phân nghiên cứu sâu ánh xạ Weingarten, em chọn đề tài “ Ánh xạ Weingarten số vấn đề liên quan” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu ánh xạ Weingarten số vấn đề liên quan Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức ánh xạ Weingarten số vấn đề liên quan 3.2 Phạm vi nghiên cứu Khái niệm ánh xạ Weingarten số toán có liên quan đến ánh xạ Weingarten Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết ánh xạ Weingarten số vấn đề liên quan Các phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng lý luận, công cụ toán học Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu liên quan NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương nói đến số định nghĩa, ký hiệu số định lý không gian vectơ Euclid §1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ Định nghĩa 1.1 Ta gọi tích Đề (Descartes) tập hợp X Y tập hợp kí hiệu X Y , gồm tất cặp x, y cho x X Y X,y Y x, y \ x X , y Y Định nghĩa 1.2 Ta gọi tập R tích Đề X tập hợp X Nếu Trái lại, x, y x, y X quan hệ hai R , ta nói x có quan hệ R với y viết xRy R ta nói x quan hệ R với y , viết xRy Định nghĩa 1.3 Ta gọi tập R tích Đề X Y quan hệ hai từ tập X đến tập Y Quan hệ R gọi ánh xạ từ tập X đến tập Y với x X có y Y cho x, y y f x R Ta ký hiệu phần tử Khi R x, f x \ x X Ánh xạ thường ký hiệu f : X Y R gọi đồ thị ánh xạ f Các tập X ,Y gọi tập nguồn tập đích ánh xạ f Tập hợp f x f x \x X gọi tập giá trị f Có thể nói cách đơn giản : Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với phần tử y f x hoàn toàn xác định Y §2 KHÔNG GIAN EUCLID 1.Định nghĩa ký hiệu Định nghĩa 1.1 (xem [4] tr.139) Cho V ¡ - không gian vectơ Khi tích vô hướng V ánh xạ , :V V ¡ r ur r ur x, y a x, y thỏa mãn tiên đề sau r ur ur r i) x, y y, x r ur r ii) x, y z iii) r ur x, y V r ur x, y r ur x, y r r x, z r ur r x, y , z V r ur x, y r r iv) x, x r r x, x r ur x, y V , ¡ r x V r r x r ur ur r Ta gọi số thực x, y tích vô hướng x y r ur Ngoài tích vô hướng ký hiệu x y Định nghĩa 1.2 Không gian vectơ Euclide ¡ - không gian vectơ xác định tích vô hướng Không gian Euclide không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều Không gian Euclide gọi n chiều không gian vectơ Euclide liên kết với có n chiều uur Ta thường ký hiệu E n không gian Euclide n chiều E n không gian vectơ Euclide n chiều ur ur uurn ur ur E bất kỳ, ta ký hiệu tích vô hướng hai vectơ Với , ur ur và ur ur ur ur ur ur cos , Định nghĩa 1.3 uur ur Cho không gian vectơ Euclide E n , ur (chuẩn / mođun) vectơ uur E n Ta gọi số ur độ dài uur Khoảng cách hai điểm p, q E n giá trị pq Ta ký hiệu d p, q uur d p, q pq khoảng cách hai điểm p, q Định nghĩa 1.4 ur Hệ ei gọi hệ vectơ trực chuẩn i 1,n ur uur ei e j ur Mục tiêu 0, ei n i i i j j ur ei i 1,n sở trực chuẩn không uur gian E n gọi muc tiêu trực chuẩn không gian Euclide E n thường gọi hệ tọa độ Đề vuông góc Điểm p E n có tọa độ x1, x , , x n mục tiêu nghĩa uuur Op n ur x ei i i p x1, x , , x n ¡ n gọi tọa độ p Khi ta chọn E n hệ tọa độ Đề vuông góc đồng E n ¡ n cách đồng p với tọa độ chúng Hàm vectơ 2.1.Định nghĩa (xem [2] tr.6 ) Trong E n cho U tập hợp tùy ý khác rỗng, ánh xạ uur uur X :U En uur ua X u gọi hàm vectơ xác định U 2.2.Định lý (xem [2] tr.6) uur X :U n uur En , Với U tập hợp tùy ý E , cho hàm vectơ ur uur uur uur u a X u Gọi e1, e2 , , en sở trực chuẩn E n Khi tồn hàm số xi : U ¡ , u a xi u uur cho X u n ur xi u ei , i u U * Nhận xét: Trong E n cho hàm vectơ tương đương với cho n hàm vectơ tương ứng ta gọi hàm hàm tọa độ 2.3.Một số phép toán đại số hàm vectơ n Trong E , U :U uur ur E cho hàm vectơ X , Y : U n uur E n hàm số ¡ Khi có hàm vectơ hàm số sau đây: uur uur ur uur ur uur ur En , u a X Y u X u Y u a, X Y : U uur X :U uur En , u a uur X u uur u X u uur ur c, X Y : U uur En , u a uur ur X Y u uur ur X u Y u uur d, X : U uur En , u a uur X u b, uur X u uur uur * Với n , ta lấy hướng E có phép tích có hướng E Khi xác định thêm hàm vectơ uur uur ur uur ur X Y :U E3 , u a X Y u uur X u uur X u ur Y u ur uur ur Y u tích có hướng hai vectơ X u Y u 2.4.Đạo hàm hàm vectơ uur uur uur En , t a X t Cho J khoảng ¡ Xét hàm vectơ X : J uur uur uur X t t X t Khi giới hạn hàm vectơ X t lim tồn t t uur gọi đạo hàm hàm vectơ X t t uur Ta ký hiệu X ' t 10 u, v , tức hệ hai phương trình sau (có lấy tích uur uur ' vô hướng vế đẳng thức vectơ với r u u, v , r 'v u , v ) có nghiệm k% : aL bM aM bN k% aE bF k% aF bG (tại u, v ) Để ý aE bF , aF bG không đồng thời triệt tiêu, điều kiện có nghĩa aL bM aE bF aM bN aF bG u, v ; viết dạng b2 L E ab a M N F G u, v Vậy phương trình vi phân cần tìm Ldu Mdv Mdu Ndv Edu Fdv Fdu Gdv Hay viết dv E L dudv du F G M N *Chú ý : Khi F=M=0 phương trình trở thành EF GL dudv 29 3.1.2.Đường tiệm cận a, Định nghĩa Cho S đa tạp 2-chiều E g Phương xác định Tp S \ gọi phương tiệm cận S k%0 g Một đường cong quy S mà phương tiếp xúc điểm phương tiệm cận gọi đường tiệm cận b, Tính chất i, Cho mặt định hướng S E mà hướng xác định trường vectơ đơn vị n Đường S có tham số hóa địa phương đường tiệm cận n o ii, Đường song quy :t a t '/ / ' mặt định hướng S E đường tiệm cận mặt phẳng mật tiếp điểm tiếp diện S điểm iii, Dọc theo đường tiệm cận độ cong Gauss mặt không dương c, Phương trình vi phân đường tiệm cận Cho r : U S , u, v a r u, v tham số hóa địa phương mặt S E phương aRu p bRv p a, b ¡ , a xác định phương tiệm cận S r u, v p uur uur uuuuuur uuuuuur ' a n o r 'u b n o r 'v ar u br 'v u, v , tức La2 2Mab Nb2 30 u, v b Vậy phương trình vi phân cần tìm Ldu 2Mdudv Ndv2 3.1.3.Cung trắc địa, đường tiền trắc địa a, Độ cong trắc địa trường mục tiêu Darboux dọc i, Độ cong trắc địa Cho ta cung quy S có tham số hóa :J S, t Xét hàm số kg : J ¡ t a kg t ' t ' t "t Gọi k g t độ cong trắc địa cung quy no t t ii, Trường mục tiêu Darboux dọc Cung quy có tham số hóa tự nhiên s a trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc T ,Y , N (với N Ta đặt Y no s , gọi T T Bộ ba n o ) gọi trường mục tiêu Darboux dọc Ta có kg s ' s T s no " s T' s s no no s s T s k s N s k s Y s N s 31 k độ cong dọc , N trường vectơ pháp tuyến đơn vị b, Đường tiền trắc địa, cung trắc địa *) Định nghĩa g Một cung quy định hướng nằm mặt S độ cong trắc địa điểm gọi đường tiền trắc địa S Ví dụ Mọi cung thẳng nằm mặt S đường tiền trắc địa S g Một cung trắc địa S cung tham số thỏa mãn uur r " t phương với n :J S, t a t t *) Các mệnh đề Mệnh đề Một cung quy định hướng mặt S đường tiền trắc địa có tham số hóa cung trắc địa Mệnh đề Một cung song quy định hướng S đường tiền trắc địa S trường vectơ pháp tuyến phương với trường vectơ n o tức N no 3.2.Một số ví dụ Ví dụ 3.2.1 x R cos v Trong E , cho mặt S xác định y R sin v z u Hãy xác định đường khúc, đường tiệm cận (nếu có) S 32 Lời giải Mặt S có tham số hóa r : u, v a r u, v R cos v, R sin v, u Khi ta có ur uur ru ' 0,0,1 , ruu '' 0,0,0 ur uur rv ' R sin v, R cos v,0 ruv '' 0,0,0 uur rvv '' R cos v, R sin v,0 ur ur r ru ' rv ' n o r ur ur cos v, sin v,0 ru ' rv ' Nên ta có ur ru ' ur G rv ' E M ur ru ' ur rv ' R ur ur ru ' rv ' r uur L n o r ruu '' F r uur n o r ruv '' N r uur n o r rvv '' R Từ suy gĐường khúc mặt S có phương trình dv E L dudv du F G M N Rdudv du dv u c1 v c2 Vậy phương trình đường khúc mặt S u c1, v c2 33 gĐường tiệm cận S có phương trình Ldu 2Mdudv Ndv2 Rdu 0 2vdv v dv v v v0 Vậy phương trình tiệm cận mặt S v 0, v v0 Ví dụ 3.2.2 Chứng minh cung trắc địa mặt phẳng E cung thẳng Lời giải Gọi t a t tham số hóa cung trắc địa Khi ta có D / /n o dt Mặt khác D dt Suy D dt no hay ( nằm mặt phẳng) ur ur Do ' t t r a r r ta b có ảnh nằm đường thẳng 34 r (vectơ khác ) Ví dụ 3.2.3 Cho S mặt cầu bán kính R E định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị hướng n Chứng minh đường đường tiền trắc địa S đường cung tròn lớn S Lời giải S mặt cầu tâm O, bán kính R định hướng trường vectơ uuur Op p, n “ hướng ngoài” nên n p R cung tròn lớn phần cung tròn lớn S dọc theo điểm Do ta có N n phương với đường tiền trắc địa S 35 §3 MỘT SỐ VÍ DỤ LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ WEINGARTEN Trong mục ta xét số tập có liên quan đến ánh xạ Weingarten Ví dụ 3.1 Trong E , tìm độ cong Gauss độ cong trung bình mặt S trường hợp sau a, S mặt phẳng b, S mặt cầu tâm O bán kính R định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị „„hướng ‟‟ Lời giải a, Trong E , giả sử mặt phẳng S định hướng vectơ đơn vị r r n Khi ta có n p e (hằng) với p S Với D n suy k°1 k°2 Tp S ta có hp Do K p H p Khi điểm S điểm dẹt b, S mặt cầu tâm O, bán kính R định hướng trường vectơ pháp tuyến dơn vị hướng nên r n p Với t0 p, uuur Op uuur Op uuur Op R Tp S \ ta lấy cung tham số : J uuuuuur ur r O t n o ' t0 t R 36 S, t a t cho Suy r no ' uuuuuur O t R t ' ' ur t0 R R Theo định nghĩa ta có uur hp ur r no ' ur Vậy hp : hp p, R t0 R R Ma trận sở tắc Do R 0 R K p k°1 k°2 H p k°1 k°2 R2 R Nên điểm p S điểm cầu Ví dụ 3.2 Đa tạp 2-chiều liên thông (cung) E mà điểm điểm rốn có độ cong Gauss (không âm) Lời giải Thật vậy, gọi u, v a r u, v tham số hóa địa phương đa tạp 2-chiều, n trường vectơ pháp tuyến đơn vị đa tạp r ur ' ' n or k%ru Ta có u r n or ' v ur ' k%rv 37 Lấy đạo hàm hai vế v , hai vế u ta r n or " r n or " uv uv uur " ur ' k% ruv k°v ru uur " ur ' k% ruv k°u rv ur ' ur ' ' Mà ru , rv độc lập tuyến tính suy k°u Do đa tạp liên thông cung nên K ' k°v k%là hàm Ví dụ 3.3 Tính độ cong Gauss độ cong trung bình mặt S E có tham số hóa kiểu đồ thị tọa độ Đề vuông góc r x, y x, y, f x, y ( f hàm khả vi lớp C x, y ) Lời giải Ta có ur ' rx Nên ur ' 1,0, f x' , ry E ur ' ur ' rx rx E ur ' ur ' rx ry G ur ' ur ' ry ry 0,1, f y' f x'2 f x' f y' f y'2 Ta lại có uur '' rxx 0,0, f xx'' uur ' rxy 0,0, f xy'' ur ' rx ur ' ry uur '' , ryy f x' , f y' ,1 , 0,0, f yy'' ur ' rx 38 ur ' ry f x'2 f y'2 ur ' rx ur ' rx r n or Nên ur ' ry ur ' ry 1 f x'2 f x' , f y' ,1 f y'2 Do ta có f xx'' L f x'2 f x'2 dụng K LN M EG F H công f x'2 f y'2 f x'2 f y'2 thức f xx" f yy" EN GL FM 2( EG F ) *)Nhận xét : M f y'2 f yy'' N Áp f xy'' tính độ cong ta f xy" f y'2 f x'2 f yy" 1 f y'2 f xx" 1 f x'2 f y'2 f x' f y' f xy" Dấu K phụ thuộc vào tử số f xx" f yy" f xy" nên điểm ứng với x, y điểm eliptic, hypebolic hay parabolic mặt tùy thuộc vào giá trị f xx" f yy" Ví dụ 3.4 f xy" x, y âm, dương hay Trong E với hệ tọa độ Đề vuông góc tính độ cong Gauss độ cong trung bình mặt sau a, Mặt đinh ốc đứng r u, v b, Mặt tiếp tuyến r u, v u cos v,usin v, av , a ur ur u v ' u với : J cung quy 39 E Lời giải ur ' ru a, Ta có uur '' ruu uur '' rvv ur ru ' ur ru ' r n or cos v,sin v,0 , ur ' rv , uur '' ruv 0,0,0 0,0,0 ucosv, u sin v,0 ur rv ' ur rv ' a sin v a2 u2 a cos v , a2 u Nên ta tính ur ur E ru '.ru ' , ur ur G rv '.rv ' 1, , u a2 u ur ur ru '.rv ' , r uur L n o r ruu " , F r uur n o r ruv " M usin v, u cos v, a a r uur n o r rvv " N a2 u Do áp dụng công thức tính độ cong ta có Độ cong Gauss K Độ cong trung bình H b, Ta có ur ru ' uur ruu '' LN M GE F EN r n or a2 u GL FM EG F ' v '' , '' ur ru ' ur ru ' a2 ur rv ' uur ruv '' ' uur '' , rvv '' v '" , ur rv ' v ' ur v ' rv ' " " ' ' " " Nên E ur ur ru '.ru ' '2 v2 "2 2v ' 40 " , F ur ur ru '.rv ' '2 v ' " G ur ur rv '.rv ' L r uur " n o r ruu Do '2 v ', ", '" , ' " LN M EG F K r uur " n o r ruu N , r uur " n o r ruv M 0, 0, Ta lại có EN 2FM EG F '2 v2 Do H v GL GL v2 "2 '2 "2 EN FM GL 2( EG F ) ', ", '" ' " 2v ' " ' " v "2 v2 '2 2v '2 " " ' ', ", '" ' v ' " Trong chương tìm hiểu làm rõ khái niệm ánh xạ Weingarten,tính chất ánh xạ Weingarten, số khái niệm có liên quan đến ánh xạ Weingarten ứng dụng giải tập có liên quan đến ánh xạ Weingarten 41 KẾT LUẬN Phần nội dung khóa luận trình bày khái niệm ánh xạ Weingarten số toán có liên quan đến ánh xạ Weingarten Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức ánh xạ Weingarten Em hy vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em có nhiều cố gắng xong không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo bạn Em xin chân thành cảm ơn ! 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Bình Đô, Hình học vi phân, NXB Đại học sư phạm, năm 2000 [2] Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, năm 2000 [3] Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang, Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục, năm 1993 [4] Phan Hồng Trường, Đại số tuyến tính, NXB Đại học sư phạm Hà nội 2, năm 2001 43 [...]... mang tính chất chuẩn bị và làm cơ sở cho viêc tìm hiểu về ánh xạ Weingarten và một số vấn đề liên quan ở chương sau 14 Chương 2 ÁNH XẠ WEINGARTEN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Trong chương này chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu một cách kỹ lưỡng hơn về ánh xạ Weingarten và những vấn đề liên quan đến nó Đầu tiên là về ánh xạ Weingarten §1 ÁNH XẠ WEINGARTEN 1.Cơ sở lý thuyết về ánh xạ Weingarten 1.1.Phép tính... gọi là điểm dẹt Điểm p S mà tại đó k°1 k°2 thì p được gọi là điểm rốn 22 §2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ WEINGARTEN Sau đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về một số vấn đề liên quan đến ánh xạ Weingarten 1 Công thức tính toán 1.1.Dạng cơ bản I và II của mặt S Cho S là một mặt có hướng trong E 3 Với mỗi p S ta có những ánh xạ ¡ I p : Tp S Tp S , a ¡ II p : Tp S Tp S , a hp là những dạng song tuyến... hai đa tạp trong E 3 , ánh xạ h : S1 S2 được gọi là ánh xạ khả vi nếu thỏa mãn i, h là ánh xạ liên tục ii, Với mọi tham số hóa đia phương r1 : U1 r2 U 2 thì r2 1 o h o r1 : U1 h r1 U1 S1 , r2 : U 2 S2 mà U 2 là ánh xạ khả vi Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ khả vi f : S1 g : S2 S1 sao cho g o f S2 được gọi là một vi phôi nếu có ánh xạ khả vi id S1 và f o g id S2 * Ví dụ i idS : S S là một vi phôi pa p ii Nếu... là một cung tròn lớn của S Lời giải S là một mặt cầu tâm O, bán kính R định hướng bởi trường vectơ uuur Op p, n “ hướng ra ngoài” nên n p R là cung tròn lớn hoặc một phần của cung tròn lớn của S thì dọc theo mỗi điểm của Do đó ta đều có N và n cùng phương với nhau là đường tiền trắc địa của S 35 §3 MỘT SỐ VÍ DỤ LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ WEINGARTEN Trong mục này ta xét một số bài tập có liên quan đến ánh. .. chiều a, Ánh xạ khả vi Định nghĩa 1.1.1 Cho S là đa tạp 2- chiều trong E 3 Khi đó ánh xạ j:S E3 pa p được gọi là phép nhúng chính tắc Định nghĩa 1.1.2 Cho tập mở V trong E 3 Khi đó ánh xạ f : V j o f :V S được gọi là khả vi nếu E 3 là ánh xạ khả vi Định nghĩa 1.1.3 Cho tập mở W trong E 3 , ánh xạ g : S mọi tham số hóa địa r : U W được gọi là ánh xạ khả vi nếu S ta đều có g o r : U 15 W là ánh xạ khả... điểm thì được gọi là một đường tiền trắc địa của S Ví dụ Mọi cung thẳng nằm trên mặt S thì đều là đường tiền trắc địa của S g Một cung trắc địa của S là một cung tham số thỏa mãn uur r " t luôn cùng phương với n :J S, t a t t *) Các mệnh đề Mệnh đề 1 Một cung chính quy định hướng của mặt S là một đường tiền trắc địa khi và chỉ khi nó có một tham số hóa là cung trắc địa Mệnh đề 2 Một cung song chính... tham số Định nghĩa 4.1 (xem [2] tr.16) Mỗi ánh xạ E n từ một khoảng J :J ¡ vào E n gọi là một cung tham số (hay một quỹ đạo) trong E n uur *Nhận xét : Trong E 3 ta lấy và cố định điểm O thì cung tham số hoàn ur uuur ur toàn được xác định bởi hàm vectơ : J t O t Khi đó ta E3 , t a ur uuur gọi t O t là bán kính vectơ của t với gốc tọa độ O Định nghĩa 4.2 Hàm số f : I 1 J là một song ánh, khả vi và f... với vectơ p, n o ' t0 Tp S ta được ánh xạ Weingarten ký hiệu là hp 18 h p : Tp S p Tp S a D n uuuuuuur p, n o ' t0 *Nhận xét : hp là một tự đồng cấu của Tp S *Chú ý : Khi p thay đổi, ký hiệu chung các hp đó là h Ánh xạ này đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu hình dạng của S trong E 3 nên đôi khi còn gọi là ánh xạ dạng 2.2.Tính chất Tính chất cơ bản : Ánh xạ hp : Tp S Nghĩa là : Với mọi , Tp... mà mọi điểm đều là điểm chính quy gọi là cung chính quy 12 mà Định nghĩa 4.4 Tham số hóa r : I E n , u a r u của một cung chính quy được gọi là một tham số hóa tự nhiên nếu r ' u u J 1 5 Đa tạp 2- chiều Định nghĩa 5.1 Cho tập mở U trong ¡ 2 Khi đó ánh xạ r :U En u, v a r u , v khả vi được gọi là mảnh tham số Định nghĩa 5.2 Tập con S của E n được gọi là một mảnh hình học nếu nó là ảnh của một dìm, đồng... vectơ khả vi nếu với mọi tham số hóa địa uur phương r : U S ta đều có X o r : U E 3 là hàm vectơ khả vi uur Trường vectơ X được gọi là khả vi nếu X khả vi Định nghĩa 1.1.7 Cho J là một khoảng mở trong ¡ , S là một đa tạp 2- chiều trong S Khi đó ta gọi mỗi ánh xạ khả vi :J ta Ta ký hiệu jo j S t a E3 là một cung tham số trên S t ' t0 một cách đơn giản là những cung tham số nói trên thỏa mãn t0 ' t0 ... ÁNH XẠ WEINGARTEN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Trong chương tìm hiểu cách kỹ lưỡng ánh xạ Weingarten vấn đề liên quan đến Đầu tiên ánh xạ Weingarten §1 ÁNH XẠ WEINGARTEN 1.Cơ sở lý thuyết ánh xạ. .. ánh xạ Weingarten số vấn đề liên quan 3.2 Phạm vi nghiên cứu Khái niệm ánh xạ Weingarten số toán có liên quan đến ánh xạ Weingarten Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết ánh xạ Weingarten số. .. nghiên cứu sâu ánh xạ Weingarten, em chọn đề tài “ Ánh xạ Weingarten số vấn đề liên quan làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu ánh xạ Weingarten số vấn đề liên quan Đối tượng,