Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ ĐỨC HỢP ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG MẠNG MÁY TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ ĐỨC HỢP ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG MẠNG MÁY TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.460.106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: NCVCC.TS.NGUYỄN HỒNG HẢI Hà Nội – Năm 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Những khái niệm lý thuyết xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.2 Những phân phối quan trọng 1.1.2.1 Phân phối hình học 1.1.2.2 Phân phối Poisson 1.1.2.3 Phân phối mũ 1.1.2.4 Phân phối Erlang 1.1.2.5 Phân phối siêu mũ (Hyperexponential) 1.1.2.6 Phân phối dạng Phase 1.1.3 Sơ lược trình ngẫu nhiên 1.1.3.1 Định nghĩa trình ngẫu nhiên 1.1.3.2 Quá trình Markov 1.1.3.3 Quá trình Poisson 1.2 Quá trình sinh tử CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG 12 2.1 Những mô hình xếp hàng số khái niệm 12 2.1.1 Mô hình xếp hàng ký hiệu Kendall 12 2.1.2 Tỷ lệ thời gian cư ngụ 13 2.1.3 Một số đại lượng đặc trưng 14 2.1.4 Định luật Little 15 2.1.5 Tính chất PASTA 15 2.2 Mô hình xếp hàng M/M/1 15 2.2.1 Cân xác suất 16 2.2.2 Các đặc trưng trung bình 16 2.2.3 Phân phối thời gian lưu trú thời gian chờ đợi 17 2.2.4 Các tính chất 18 2.2.5 Quyền ưu tiên tuyết đối 19 2.2.6 Quyền ưu tiên không tuyệt đối 19 2.2.7 Chu kỳ bận 20 2.2.8 Trung bình chu kỳ bận 20 2.2.9 Phân phối chu kỳ bận 21 2.3 Mô hình xếp hàng M/M/c 22 2.3.1 Cân xác suất 22 2.3.2 Trung bình độ dài hàng đợi trung bình thời gian chờ đợi 23 2.3.3 Phân phối thời gian chờ đợi thời gian lưu trú 24 2.4 Mô hình xếp hàng M/Er/1 25 2.4.1 Hai cách mô tả trạng thái 25 2.4.2 Cân phân phối 25 2.4.3 Trung bình thời gian đợi 28 2.4.4 Phân phối thời gian đợi 29 2.5 Mô hình xếp hàng M/G/1 29 2.5.1 Những phân phối giới hạn 29 2.5.2 Phân phối rời 31 2.5.3 Phân phối thời gian lưu trú 35 2.5.4 Phân phối thời gian chờ đợi 37 2.5.5 Phương pháp giá trị trung bình 38 2.5.6 Thời gian phục vụ lại 39 2.5.7 Phương sai thời gian chờ đợi 40 2.5.8 Phân phối chu kỳ bận 41 2.6 Mô hình xếp hàng G/M/1 43 2.6.1 Phân phối khách đến 44 2.6.2 Phân phối thời gian lưu trú 47 2.6.3 Thời gian lưu trú trung bình 47 CHƯƠNG III: MẠNG JACKSON 49 3.1 Mạng mở 49 3.2 Mạng đóng 53 3.3 Mạng nửa mở 55 3.4 Hàm thông lượng 58 3.5 Tính thông lượng 60 3.5.1 Thuật toán tích chập 61 3.5.2 Phân tích giá trị trung bình 61 3.6 Sự đảo ngược thời gian 63 CHƯƠNG IV: MẠNG KELLY 68 4.1 Mô hình xếp hàng tựa khả nghịch 68 4.2 Mô hình xếp hàng đối xứng 73 4.2.1 Các phân phố trình dạng Phase 73 4.2.2 Mô hình M/PH/l 75 4.3 Mạng đa lớp 79 4.4 Dòng Poisson 84 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học MỞ ĐẦU Lý thuyết phục vụ đám đông đời từ năm 50 kỷ XX có nhiều ứng dụng khoa học thực tế Lý thuyết xếp hàng xem nhánh lý thuyết xác xuất ứng dụng Những lĩnh vực quan trọng ứng dụng mô hình xếp hàng mạng viễn thông, mạng máy tính, hệ thống xử lý thông tin Luận văn với đề tài “ Ứng dụng lý thuyết xếp hàng mạng máy tính ” nghiên cứu mô hình lý thuyết xếp hàng, tính chất mô hình xếp hàng Ứng dụng lý thuyết xếp hàng vào nghiên cứu mô hình mạng Nội dung luận văn gồm bốn chương: Chương 1: Giới thiệu kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số phân bố xác suất quan trọng số trình ngẫy nhiên bao gồm trình Poisson, trình Markov đặc biệt trình sinh tử Chương 2: Tổng quan lý thuyết xếp hàng Chương trình bày mô hình xếp hàng mô hình M / M / 1, M / M / c , M / E r / Chương 3: Mạng Jackson Trong chương sâu vào trình bày mô hình mạng Jackson gồm: mạng Jackson đóng, mạng Jackson mở, mạng Jackson nửa mở mạng thời gian đảo ngược có phân phối cân dòng khách hàng đến rời tuân theo trình Poisson độc lập Chương 4: Mạng Kelly Mạng Kelly mở rộng mạng Jackson nhiên giữ lại giả thiết tính chất mạng Jackson Với cố gắng thân, với động viên giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy giáo, luận văn hoàn thành Song thời gian có hạn lực thân hạn chế nên chắn luận văn không tránh khỏi Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học thiếu sót, mong nhận thêm ý kiến đóng góp cho luận văn thầy cô độc giả Với lòng biết ơn sâu sắc, xin chân thành cảm ơn tới thầy cô Khoa toán tin – Trường ĐHKHTN Hà Nội tận tình giúp đỡ suốt trình học tập Đặc biệt muốn tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới NCVCC, TS Nguyễn Hồng Hải cán thuộc trung tâm KHKT – BQP, người tận tình hướng dẫn khoa học giúp đỡ suốt trình thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Năm 2014 Tác giả Lê Đức Hợp Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Những khái niệm lý thuyết xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên Giả sử (  ,ℱ,P) không gian xác xuất Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X ánh xạ đo X: (Ω, ℱ) → ℝ Các đại lượng quan trọng biến ngẫu nhiên X: kỳ vọng ( trung bình ) EX, phương sai   X  , độ lệch chuẩn   X  hệ số biến thiên cX  X ( hệ số biến E X thiên cX thước đo độ biến động biến ngẫu nhiên X ) 1.1.2 Những phân phối quan trọng 1.1.2.1 Phân phối hình học Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p giá trị số nguyên không âm với k    ta có: P  X  k   1  p  p k Với phân phối hình học ta có: EX  p p ;  (X)  ;C2x  1 p (1  p) p 1.1.2.2 Phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Poisson với tham số μ giá trị số nguyên không âm với k    ta có: P(X  k)   k e  k! Với phân phối Poisson ta có: E(X)   (X)  ;C2x  1.1.2.3 Phân phối mũ Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối mũ với tham số μ hàm mật độ có dạng: e t f t   0 Hàm phân phối: 1  et F t    0 t0 t0 t0 t0 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học Với phân phối mũ ta có: E  X   ;  (X)  ;C2x    Một tính chất quan trọng biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số μ là: Với x  t  P(X  x  t / X  t)  P(X  x)  e t P(X  t  t / X  t)   et  t  o(t),(t  0) Trong (1.1) o(t)  t  t 1.1.2.4 Phân phối Erlang Biến ngẫu nhiên X có phân phối Erlang - k (k = 1,2,…) với trung bình k  X  X1  X   X k Trong đó: X1 ,X , , X k k biến ngẫu nhiên độc lập phân phối mũ với trung bình Hàm mật độ E k Ký hiệu E k () E k  k 1 Hàm phân phối: F(t)   k 1 e t (k  1)!  t  cho f (t)    j e t j!  t  j0 (t  0) (t  0) Tham số μ gọi tham số tỷ lệ, k gọi kích thước mẫu Với biến ngẫu nhiên có phân phối E k ta có: E(X)  k k ;  (X)  ;C2x     1.1.2.5 Phân phối siêu mũ (Hyperexponential) Cho Xi biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình: i Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối siêu mũ nếu: X = Xi với xác suất pi Ký hiệu: H(p1,…,pk;μ1, ,μk) Hk k Hàm mật độ X: f (t)  p  e i i t i i 1 (t  0) Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học k Kỳ vọng: EX  pi  i 1 i 1.1.2.6 Phân phối dạng Phase Phân phối dạng phase đặc trưng xích Markov với không gian trạng thái 1, 2, , k ma trận xác suất chuyển P cho lim P n  ; thời gian lưu trú n  trạng thái i có phân phối mũ với trung bình xích Markov chuyển trạng i thái i với xác suất pi Biến ngẫu nhiên X có phân phối dạng Phase tổng thời gian lưu trú xích Markov Phân phối phase ký hiệu là: PH Chúng ta đề cập đến phân phối dạng Phase quan trọng trù mật tất hàm phân phối không âm Điều có nghĩa với hàm phân phối không âm F(.) tìm thấy dãy hàm phân phối dạng Phase hội tụ điểm điểm liên tục F(.) Lớp thứ lớp phân phối Coxian Ký hiệu: Ck Lớp thứ lớp bao gồm hỗn hợp phân phối Erlang có tham số tỷ lệ Một biến ngẫu nhiên X có phân phối Coxian bậc k phải trải qua k giai đoạn phân phối mũ Độ dài trung bình giai đoạn n là: n n  1, 2, , k Nó bắt đầu bước Sau bước n kết thúc với xác suất  p n vào bước với xác suất p n Hiển nhiên p k  Một biến ngẫu nhiên X có phân phối hỗn hợp Erlang bậc k xác suất p n tổng n biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình 1.1.3 Sơ lược trình ngẫu nhiên 1.1.3.1 Định nghĩa trình ngẫu nhiên Định nghĩa: Với T    ánh xạ X  t,  :  0;T      gọi trình ngẫu nhiên với t cố định X  t,  hàm đo (để đơn giản ta viết X  t  thay cho X  t, ) Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết yên (2003), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác suất ứng dụng: Phần I – Xích Markov ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất ứng dụng: Phần III – Giải tích ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [5] A.N Kolmogorov (1956), Foundations of the theory of Probability, Chelsea Publishing Company New Yourk [6] A.N Shiryaev (1996), Probability, Springer-Verlang, New York [7] Gunter Bolch, Stefan Greiner, Hermann de Meer, Kishor S.Trivedie (2006), Queueing Networks and Markov Chains, A John Wiley & Sons [8] Ivo Adan & Jacques Resing (2002), Queueing Theory, MB Eindhoven, The Netherlands [9] James L Johnson (2003), Probability and Statistics for Computer Science, John Wiley & Sons [10] Hong Chen, David D Yao (2001), Fundamentals of Queueing Networks, Springer New York [11] Ng Chee-Hock, Soong Boon-Hee (2008), Queueing Modelling Fundamentals, John Wiley & Sons 87 [...]... Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết yên (2003), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác suất và ứng dụng: Phần I – Xích Markov và ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất và ứng dụng: Phần III – Giải tích ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng