Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính

Vấn đề cần giải quyết ở đây là phân phối xác suất của số khách hàng trong hệ phục vụ tại thời điểm t: P tk PXtk 1.2 Xt chỉ số khách hàng trong hệ tại thời điểm t Giả sử tại thời điểm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

NCVCC.TS.NGUYỄN HỒNG HẢI

Hà Nội – Năm 2014

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất 3

1.1.1 Biến ngẫu nhiên 3

1.1.2 Những phân phối quan trọng 3

1.1.2.1 Phân phối hình học 3

1.1.2.2 Phân phối Poisson 3

1.1.2.3 Phân phối mũ 3

1.1.2.4 Phân phối Erlang 4

1.1.2.5 Phân phối siêu mũ (Hyperexponential) 4

1.1.2.6 Phân phối dạng Phase 5

1.1.3 Sơ lược về các quá trình ngẫu nhiên 5

1.1.3.1 Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên 5

1.1.3.2 Quá trình Markov 6

1.1.3.3 Quá trình Poisson 6

1.2 Quá trình sinh tử 8

CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG 12

2.1 Những mô hình xếp hàng và một số khái niệm cơ bản 12

2.1.1 Mô hình xếp hàng và ký hiệu Kendall 12

2.1.2 Tỷ lệ thời gian cư ngụ 13

2.1.3 Một số đại lượng đặc trưng 14

2.1.4 Định luật Little 15

2.1.5 Tính chất PASTA 15

2.2 Mô hình xếp hàng M/M/1 15

2.2.1 Cân bằng xác suất 16

2.2.2 Các đặc trưng trung bình 16

2.2.3 Phân phối của thời gian lưu trú và thời gian chờ đợi 17

2.2.4 Các tính chất 18

2.2.5 Quyền ưu tiên tuyết đối 19

2.2.6 Quyền ưu tiên không tuyệt đối 19

2.2.7 Chu kỳ bận 20

2.2.8 Trung bình chu kỳ bận 20

2.2.9 Phân phối của chu kỳ bận 21

2.3 Mô hình xếp hàng M/M/c 22

2.4 Mô hình xếp hàng M/Er/1 25

2.4.1 Hai cách mô tả trạng thái 25

2.4.2 Cân bằng phân phối 25

2.4.3 Trung bình thời gian đợi 28

2.4.4 Phân phối thời gian đợi 29

2.5 Mô hình xếp hàng M/G/1 29

2.5.1 Những phân phối giới hạn 29

2.5.2 Phân phối của sự rời đi 31

2.5.3 Phân phối của thời gian lưu trú 35

2.5.4 Phân phối của thời gian chờ đợi 37

2.5.5 Phương pháp giá trị trung bình 38

2.5.6 Thời gian phục vụ còn lại 39

2.5.7 Phương sai của thời gian chờ đợi 40

2.5.8 Phân phối của chu kỳ bận 41

2.6 Mô hình xếp hàng G/M/1 43

2.6.1 Phân phối khách đến 44

2.6.2 Phân phối của thời gian lưu trú 47

2.6.3 Thời gian lưu trú trung bình 47

CHƯƠNG III: MẠNG JACKSON 49

3.1 Mạng mở 49

3.2 Mạng đóng 53

3.3 Mạng nửa mở 55

3.4 Hàm thông lượng 58

3.5 Tính thông lượng 60

3.5.1 Thuật toán tích chập 61

3.5.2 Phân tích giá trị trung bình 61

3.6 Sự đảo ngược thời gian 63

CHƯƠNG IV: MẠNG KELLY 68

4.1 Mô hình xếp hàng tựa khả nghịch 68

4.2 Mô hình xếp hàng đối xứng 73

4.2.1 Các phân phố và quá trình dạng Phase 73

4.4 Dòng Poisson 84 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

1

MỞ ĐẦU

Lý thuyết phục vụ đám đông ra đời từ những năm 50 của thế kỷ XX và có rất nhiều ứng dụng trong khoa học cũng như trong thực tế Lý thuyết xếp hàng được xem như là một nhánh chính của lý thuyết xác xuất ứng dụng Những lĩnh vực quan trọng ứng dụng của mô hình xếp hàng là mạng viễn thông, mạng máy tính, hệ thống xử lý thông tin

Luận văn với đề tài “ Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính ” nghiên cứu các mô hình cơ bản của lý thuyết xếp hàng, tính chất của các mô hình xếp hàng Ứng dụng của lý thuyết xếp hàng vào nghiên cứu các mô hình mạng

Nội dung luận văn gồm bốn chương:

Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày về một số phân bố xác suất quan trọng và một số quá trình ngẫy nhiên bao gồm quá trình Poisson, quá trình Markov và đặc biệt

là quá trình sinh tử

Chương 2: Tổng quan về lý thuyết xếp hàng

Chương này chúng tôi trình bày về các mô hình xếp hàng cơ bản như mô hình

M / M / 1, M / M / c , M / E / r

Chương 3: Mạng Jackson

Trong chương này chúng tôi đi sâu vào trình bày mô hình mạng Jackson gồm: mạng Jackson đóng, mạng Jackson mở, mạng Jackson nửa mở và mạng thời gian đảo ngược có cùng phân phối cân bằng và dòng khách hàng đến và rời đi cùng tuân theo quá trình Poisson độc lập

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Năm 2014 Tác giả

Lê Đức Hợp

3

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Giả sử (,ℱ,P) là không gian xác xuất

Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X là ánh xạ đo được X: (Ω, ℱ) → ℝ

Các đại lượng quan trọng của biến ngẫu nhiên X: kỳ vọng ( trung bình ) EX, phương sai 2 

E X



 ( hệ số biến thiên c là một thước đo độ biến động của biến ngẫu nhiên X ) X

1.1.2 Những phân phối quan trọng

1.1.2.1 Phân phối hình học

Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p nếu các giá trị của nó là các số nguyên không âm và với mọi k  ta có:      k

P Xk  1 p p Với phân phối hình học ta có: p 2 p 2 2x 1

1.1.2.2 Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số μ nếu các giá trị của nó là các số nguyên không âm và với mọi k  ta có: 

k

eP(X k)

4

Với phân phối mũ ta có:   2 2

x 2

1.1.2.4 Phân phối Erlang

Biến ngẫu nhiên X có phân phối Erlang - k (k = 1,2,…) với trung bình k

 nếu

XX X  X Trong đó: X , X , , X1 2 k là k biến ngẫu nhiên độc lập cùng

phân phối mũ với trung bình 1

Tham số μ được gọi là tham số tỷ lệ, k được gọi là kích thước mẫu

Với biến ngẫu nhiên có phân phối Ekta có: k 2 k2 2x 1

E(X) ; (X) ;C 

1.1.2.5 Phân phối siêu mũ (Hyperexponential)

Cho Xi là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình:

5

Kỳ vọng:

k i

i 1 i

pEX









1.1.2.6 Phân phối dạng Phase

Phân phối dạng phase được đặc trưng bởi xích Markov với không gian trạng thái 1, 2, , k và ma trận xác suất chuyển P sao cho  n

nlim P 0

  ; thời gian lưu trú

trong trạng thái i có phân phối mũ với trung bình

Lớp thứ nhất là lớp phân phối Coxian Ký hiệu: C k

Lớp thứ là lớp bao gồm hỗn hợp các phân phối Erlang có cùng tham số tỷ lệ Một biến ngẫu nhiên X có phân phối Coxian bậc k nếu nó phải trải qua k giai

đoạn phân phối mũ Độ dài trung bình của giai đoạn n là:

1.1.3 Sơ lược về các quá trình ngẫu nhiên

1.1.3.1 Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa: Với mỗi T  ánh xạ  X t, : 0;T     được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu với mỗi t cố định X t,  là một hàm đo được (để đơn giản

ta viết X t  thay cho X t, )

Từ định nghĩa suy ra các mệnh đề tương đương sau:

Quá trình  X ,t T; Tt     được gọi là quá trình Markov khi và chỉ khi: i) A∈ ℱ≥t, P(A/ ℱ≤t) = P(A/ ℱ=t)

ii) Với A∈ ℱ<t , B ∈ ℱ>t thì P(AB/ ℱ=t) = P(A/ ℱ=t)P(B/ ℱ=t)

Ta ký hiệu E tập gồm các giá trị của X(t); E được gọi là không gian trạng thái của X(t)

Định nghĩa: Quá trình X , tt T được gọi là xích Markov nếu X , tt T là quá trình Markov và E có lực lượng hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

Nếu N(t) là quá trình đếm thì N(t) là biến ngẫu nhiên có các tính chất sau: 1- N(t)  0, N(0)  0

2- N(t) là số nguyên không âm

2- Các gia số dừng, tức là  s 0, 0t1t2 các gia số

N(t s, t s], N(t , t ] là các biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác xuất

3- Tồn tại số λ>0 sao cho với h>0 khá bé thì: P(N(h)  l)    h o(h)

Trong đó o(h) là vô cùng bé bậc cao hơn h khi h0

4- Với h > 0 khá bé thì P(N(h)  2)  o(h)

Từ các giả thiết này chúng ta thấy N(t) có phân phối Poisson với tham số λt:

n t n

c- Mỗi gia số X(s  t)  X(t) có phân phối Poisson với tham số λs với mọi

s0, t0

d- X(0)=0

số nguyên làm không gian trạng thái rời rạc (điều này không làm mất tính tổng quát)

và quá trình sinh - tử phải thỏa mãn điều kiện: nếu Xn = i thì Xn+1 = i-1 hoặc i + 1 Quá trình sinh – tử với thời gian rời rạc ít được quan tâm hơn trường hợp thời gian liên tục và do đó không được xem xét ở đây Quan tâm chính của chúng ta là các quá trình sinh tử với thời gian liên tục trong không gian trạng thái rời rạc

Quá trình sinh – tử phù hợp với mô phỏng sự thay đổi số khách hàng trong hệ phục vụ Khi quá trình ở trạng thái Ek có nghĩa số khách hàng trong hệ phục vụ tại thời điểm đó là k Chuyển từ trạng thái Ek tới Ek+1 biểu thị cho sự kiện “sinh” (có một khách hàng tới hệ phục vụ), chuyển từ trạng thái Ek tới trạng thái Ek-1 biểu thị cho sự kiện “tử” (một khách hàng được phục vụ rời khỏi hệ) Tức là, từ trạng thái Ek, hệ phục

vụ chỉ có thể chuyển tới một trong các trạng thái Ek-1, Ek+1 hoặc Ek

Đối với một hệ phục vụ ta quan niệm một khách hàng đến hệ là hiện tượng

“sinh”, một khách hàng được phục vụ xong rời khỏi hệ là hiện tượng “ tử” Chúng ta

ký hiệu: k cường độ đến (sinh) của khách hàng khi số khách hàng trong hệ phục vụ

là k; kcường độ phục vụ (tử) khách hàng khi số khách hàng trong hệ là k

9

Lưu ý rằng, cường độ đến; cường độ phục vụ (tức là cường độ ra khỏi hệ) là

độc lập với thời gian và chỉ phụ thuộc vào trạng thái Ek

Quá trình sinh – tử có thể mô tả thông qua sơ đồ chuyển trạng thái sau

Hình 1.1: Cường độ chuyển trạng thái của quá trình sinh – tử Trên sơ đồ, các đường nối tương ứng với các chuyển đổi trạng thái cùng với

cường độ nhưng không chỉ ra xác suất chuyển trạng thái Nhân cường độ chuyển trạng

thái với dt sẽ nhận được xác suất chuyển (xác suất chuyển trạng thái) trong khoảng

thời gian dt tiếp theo

Vấn đề cần giải quyết ở đây là phân phối xác suất của số khách hàng trong hệ

phục vụ tại thời điểm t: P (t)k P(X(t)k) (1.2)

(X(t) chỉ số khách hàng trong hệ tại thời điểm t)

Giả sử tại thời điểm t hệ ở trạng thái Ek, cường độ dòng vào trạng thái Ek là:

k 1 k 1P (t) k 1 k 1P (t)

Cường độ dòng ra trạng thái Ek tại thời điểm t: (  k k)P (t)k

Rõ ràng rằng, hiệu số giữa hai đại lượng này là cường độ dòng vào trạng thái

10

k t

11

k 1 i

i 0

1(0)

i 0

i 1

1S

Quá trình sinh tử là dừng ergodic nếu và chỉ nếu: S1 , S  2

Chúng ta thấy rằng, điều kiện để hệ phục vụ ổn định là k : k0  k0luôn có:

12

CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG

2.1 Những mô hình xếp hàng và một số khái niệm cơ bản

2.1.1 Mô hình xếp hàng và ký hiệu Kendall

Một mô hình xếp hàng cơ bản được biểu diễn bởi hình sau:

2 Hành vi của những khách hàng:

Khách hàng có thể kiên nhẫn và sẵn sàng chờ đợi ( trong một thời gian dài) hoặc có thể thiếu kiên nhẫn và rời đi sau một thời gian Ví dụ tại các trung tâm cuộc gọi khách hàng có thể ngắt sau khi họ phải chờ đợi quá lâu trước khi nhà điều hành có thể phục vụ và họ có thể trở lại sau một thời gian

3 Số lần phục vụ:

Thông thường chúng ta giả sử số lần phục vụ là độc lập có cùng phân phối và chúng độc lập với khoảng thời gian giữa các lần đến

4 Quy tắc phục vụ

13

Những người khách có thể được phục vụ một hoặc hàng loạt Chúng ta có nhiều khả năng phục vụ: Đến trước phục vụ trước (FCFS); Đến sau phục vụ trước (LCFS); thứ tự ngẫu nhiên; những quyền ưu tiên…

5 Khả năng phục vụ:

Có thể có một máy phục vụ hoặc một nhóm các máy phục vụ khách hàng

6 Phòng chờ: Có thể giới hạn khách hàng trong hệ thống

7 Ký hiệu của Kendall:

Kendall giới thiệu một ký hiệu để mô tả một loạt các mô hình xếp hàng này Nó

là bộ mã gồm ba phần: A/B/m

+) A: biểu thị phân phối khoảng thời gian giữa các lần đến

+) B: biểu thị phân phối của thời gian phục vụ

+) m: biểu thị số lượng máy phục vụ

Đối với A, B thông thường là viết tắt của các phân phối

+) M: quá trình Markov

+) D: một phân phối tất định và không đổi

+) G: phân phối tổng quát chưa được xác định hầu hết các trường hợp ít nhất trung bình và phương sai đã biết

Ngoài ký hiệu trên đôi khi người ta còn sử dụng ký hiệu A/B/m/K, trong đó:

K: là dung lượng hàng đợi

Nếu không sử dụng ký tự cuối ta coi nó là giá trị tùy ý

2.1.2 Tỷ lệ thời gian cư ngụ

Trong một hệ thống đơn máy phục vụ G/G/1 với cường độ đến  và trung bình thời gian phục vụ E(B), số lượng công việc đến trên một đơn vị thời gian bằng E(B) ( ở đây B là phân phối của thời gian phục vụ)

Máy chủ có thể xử lý một đơn vị công việc trên một đơn vị thời gian Để tránh hàng đợi tiến dẫn đến vô cùng chúng ta yêu cầu: E B 1

Không đi vào chi tiết chúng ta lưu ý rằng độ dài trung bình hàng đợi cũng sẽ bùng nổ khi E B 1, ngoại trừ trường hợp D/D/1: nghĩa là hệ thống hoàn toàn không có tính ngẫu nhiên

14

Ký hiệu:   E B 

Nếu  1 thì được gọi là tỷ lệ thời gian cư ngụ bởi vì nó là phân số của thời gian máy chủ sẽ làm việc

Trong hệ thống đa máy chủ: G/G/m, đòi hỏi E B m

Khi đó tỷ lệ thời gian cư ngụ theo số máy chủ:   E B / m 

2.1.3 Một số đại lượng đặc trưng

Một số đại lượng đặc trưng trong phân tích các mô hình xếp hàng:

- Phân phối của thời gian đợi và thời gian lưu trú của khách hàng Thời gian lưu trú gồm thời gian đợi cộng với thời gian phục vụ

- Phân phối của số lượng công việc trong hệ thống Đó là tổng thời gian phục

vụ của khách đợi và thời gian phục vụ còn lại của khách hàng trong dịch vụ

- Phân phối của giai đoạn bận của máy chủ Đây là khoảng thời gian mà máy chủ làm việc liên tục Đặc biệt ta quan tâm đến một số đại lượng là thước đo, chẳng hạn như thời gian đợi trung bình và thời gian lưu trú trung bình

Bây giờ ta xét mô hình G/G/c Ký hiệu biến ngẫu nhiên L(t), ký hiệu số khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t, Sn là thời gian lưu trú của khách hàng thứ n trong

hệ thống Giả sử: E B 

1c



Có thể chỉ ra rằng các biến ngẫu nhiên trên có giới hạn khi t   và n  

Các phân phối này độc lập với điều kiện ban đầu của hệ thống

Gọi biến ngẫu nhiên L và S là phân phối giới hạn của L(t) và Sn

Định luật Little được phát biểu như sau: E L  E S 

Áp dụng định luật Little trong xếp hàng ( không bao gồm máy chủ) đưa đến mối quan hệ giữa chiều dài hàng đợi Lq và thời gian đợi W:

Cho hệ thống xếp hàng với dòng đến Poisson, đối với hệ thống M/./

Một tính chất quan trọng chỉ ra rằng: phân phối của thời gian hệ thống phục vụ

ở trạng thái A hoàn toàn giống với phân phối của lượng khách hàng đi đến hệ thống (theo dòng Poisson ) ở trạng thái A Tính chất này chỉ đúng với dòng đến Poisson Tính chất của dòng đến Poisson được gọi là tính chất PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) Bằng trực giác tính chất này có thể giải thích bởi thực tế rằng dòng đến Poisson diễn ra hoàn toàn ngẫu nhiên theo thời gian

2.2 Mô hình xếp hàng M/M/1

Trong phần này ta sẽ phân tích mô hình với khoảng thời gian giữa các lần đến

có phân phối mũ với trung bình 1/λ; thời gian phục vụ có phân phối mũ với trung bình

Mô hình xếp hàng được biểu diễn như sau:

Hình 2.2: Minh họa cho mô hình M/M/1 Tương tự quá trình sinh tử ta lập phương trình cân bằng đơn giản:

Từ sự cân bằng xác suất chúng ta có thể xác định biểu thức đối với số lượng

khách hàng trung bình trong hệ thống hoặc trong thời gian sử dụng trong hệ thống

Khi   1 thì cả E(L) và E(S) cùng tiến đến vô cùng

Chúng ta có thể xác định E(L) và E(S) trực tiếp dựa vào định luật Little và tính

chất PASTA mà không cần dựa vào xác suất pn Dựa vào PASTA ta biết rằng trung

bình số lượng khách trong hệ thống được xem xét bởi một khách đến bằng E(L) và

2.2.3 Phân phối của thời gian lưu trú và thời gian chờ đợi

Chúng ta có thể xác định được phân phối của thời gian lưu trú

Ký hiệu: La sẽ là lượng khách hàng trong hệ thống ngay trước khi xuất hiện một khách hàng; Bk là thời gian phục vụ khách hàng thứ k Vì phân phối mũ của thời gian phục vụ có tính không nhớ nên các biến ngẫu nhiên Bk là độc lập có phân phối

phân phối mũ với cùng trung bình 1



Giả sử rằng:    1 2 1 với  i i i=1;2



Những khách hàng loại 1 được xem xét ưu tiên hơn khách hàng loại 2

Trong các phần dưới đây chúng ta xem xét hai quy tắc ưu tiên:

- Quyền ưu tiên tuyệt đối

- Quyền ưu tiên không tuyệt đối

19

2.2.5 Quyền ưu tiên tuyết đối

Trong nguyên tắc phục vụ khách hàng loại 1 hoàn toàn được ưu tiên so với khách hàng loại 2; nghĩa là khi khách hàng loại 2 đang trong dịch vụ mà khách hàng loại 1 đến thì sự phục vụ của khách hàng loại 2 bị gián đoạn và hệ thống sẽ phục vụ khách hàng loại 1 Khi không còn khách hàng loại 1 nữa máy chủ sẽ tiếp tục phục vụ khách hàng loại 2 tại chỗ bị gián đoạn

Gọi Li là biến ngẫu nhiên ký hiệu số khách hàng loại i trong hệ thống và Si là thời gian lưu trú của khách hàng loại i

Đối với khách hàng loại 1 thì khách hàng loại 2 không tồn tại Do đó

Bởi vì số lần phục vụ của tất cả khách hàng là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ

có cùng trung bình, tổng số khách hàng trong hệ thống không phụ thuộc vào trật tự khách hàng được phục vụ Do đó số này cũng giống trong hệ thống mà tất cả các khách hàng được phục vụ theo thứ tự đến

2.2.6 Quyền ưu tiên không tuyệt đối

Bây giờ chúng ta xét trường hợp mà khách hàng loại 1 có quyền ưu tiên gần như tuyệt đối so với khách hàng loại 2.Sự khác nhau đối với nguyên tắc trước là những khách hàng loại 1 không được phép ngắt quãng sự phục vụ của khách hàng loại 2 Đối với thời gian lưu trú của khách hàng loại 1:

Kết hợp định luật Little: E L 1  E S 1 ta suy ra

2.2.9 Phân phối của chu kỳ bận

Cho biến ngẫu nhiên Cn là thời gian hệ trở nên rỗng nếu hiện tại có n khách hàng trong hệ thống Rõ ràng C1 là độ dài của chu kỳ bận, vì một chu kỳ bận bắt đầu khi một khách hàng đầu tiên sau một giai đoạn chờ tới lượt và kết thúc khi hệ thống trở lại trống rỗng

Biến ngẫu nhiên Cn thỏa mãn quan hệ đệ quy sau:

Giả sử có n (n > 0) khách hàng trong hệ thống Khi đó các điều kiện tiếp theo

diễn ra sau mỗi lần có phân phối mũ với tham số    với xác suất 

Trong phần này chúng ta sẽ phân tích mô hình xếp hàng với khoảng thời gian

giữa các lần khách đến có phân phối mũ với trung bình 1

; thời gian phục vụ có phân

phối mũ với trung bình 1

 và c máy chủ song song giống nhau Khách hàng được

Ký hiệu xác suất một công việc phải đợi (xác suất chậm trễ) là: w

Dựa vào tính chất PASTA ta có:

2.3.2 Trung bình độ dài hàng đợi và trung bình thời gian chờ đợi

Từ sự cân bằng xác suất ta suy ra trung bình độ dài hàng đợi:

2.3.3 Phân phối thời gian chờ đợi và thời gian lưu trú

Việc xác định phân phối của thời gian đợi tương tự như trong mô hình M/M/1 Gọi Dklà khoảng thời gian rời đi thứ k Khi đó phân phối của thời gian đợi:

Vì vậy thời gian chờ đợi với điều kiện: W W0 có phân phối mũ với tham

số c1  Khi đó phân phối của thời gian lưu trú:

25

2.4 Mô hình xếp hàng M/Er/1

Chúng ta xét mô hình xếp hàng một máy chủ Khách đến theo quá trình Poisson với cường độ  và họ được phục vụ theo thứ tự đến Số lần phục vụ có phân phối Erlang-r với trung bình r

 Để có sự ổn định chúng ta yêu cầu rằng tỷ lệ cư ngụ:

r 1 2.6



2.4.1 Hai cách mô tả trạng thái

Cách tự nhiên để mô tả trạng thái của một hệ thống không rỗng là bằng cặp (k,l) với k- là số khách hàng trong hệ thống và l-là số lượng còn lại của các giai đoạn phục

vụ của khách hàng trong dịch vụ Rõ ràng đây là cách mô tả hai chiều Một cách khác

để mô tả trạng thái là cách đếm tổng số các giai đoạn chưa hoàn thành của công việc trong hệ thống Rõ ràng có sự tương ứng 1-1 giữa các con số này với cặp (k,l) Số lượng các giai đoạn chưa hoàn thành của công việc trong hệ thống với số (k-1)r+l (đối với khách hàng trong dịch vụ chúng ta có l đoạn của công việc thay vì r đoạn)

2.4.2 Cân bằng phân phối

Đối với cách mô tả giai đoạn một chiều chúng ta nhận được sơ đồ sau:

Hình 2.4: Minh họa cho mô hình M/Er/1 Cho pn là xác suất cân bằng của n giai đoạn công việc trong hệ thống

Tương tự quá trình sinh tử bằng cách thiết lập phương trình dòng ra của trạng thái n và dòng vào của trạng thái n ta có các phương trình cân bằng đối với pn:

Kết quả này cho ta xác định xác suất cân bằng pn Một kết quả quan trọng của

mô hình xếp hàng M / E / 1r là xác suất cân bằng có thể được diễn tả như một sự pha trộn của r phân phối hình học

Bây giờ ta đi xác định phân phối của khách hàng trong hệ thống

28

2.4.3 Trung bình thời gian đợi

Ký hiệu Lf là biến ngẫu nhiên chỉ số các giai đoạn làm việc trong hệ thống Theo tính chất PASTA ta có:    f 1

Với R là biến ngẫu nhiên ký hiệu phần thời gian phục vụ còn lại của khách hàng

trong hệ thống Nếu máy chủ đang bận khi khách đến thì với xác suất 1

r anh ta bận với

giai đoạn thứ nhất của thời gian phục vụ; và cũng với xác suất 1

r anh ta bận với giai

đoạn thứ 2 của thời gian phục vụ; và cứ tiếp tục như vậy Do đó trung bình thời gian phục vụ còn dư là:

2.4.4 Phân phối thời gian đợi

Thời gian đợi có thể viết:

f

L i

i 1



Với Bilà số lượng công việc đối với giai đoạn thứ i Do đó Bi là các biến ngẫu

nhiên độc lập có cùng phân phối mũ với trung bình 1

 Do điều kiện của

f

L và sử dụng tính chất Lf và Bi độc lập, tương tự mô hình M/M/1 ta có:

Để đảm bảo tính ổn định chúng ta yêu cầu tỷ lệ thời gian cư ngụ:  E B 1

2.5.1 Những phân phối giới hạn

Trạng thái của mô hình xếp hàng M/G/1 có thể được diễn tả bởi cặp n, x với

n là số lượng khách hàng trong hệ thống, x là thời gian phục vụ khách hàng trong dịch

vụ Do đó chúng ta cần diễn tả trạng thái hai chiều: chiều thứ nhất là rời rạc nhưng chiều thứ hai là liên tục và sự phân tích của chiều thứ hai này về cơ bản là phức tạp

30

Tuy nhiên nếu chúng ta nhìn vào hệ, ngay sau khi những khách hàng rời đi, thì

mô tả trạng thái có thể được đơn giản chỉ là n, bởi vì x = 0 đối với khách mới (nếu có) trong dịch vụ

Ký hiệu: Ldk là số khách còn lại hệ thống sau sự rời đi của khách hàng thứ k Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xác định phân phối giới hạn:

hệ thống Từ phân bố này ta có thể tính toán số lượng khách hàng trong hệ thống Một trong những phân phối quan trọng là giới hạn phân phối của khách hàng trong hệ thống được xem xét khi một khách hàng tới, nghĩa là:  a 

Với Lak là số khách hàng trong hệ thống ngay trước khi khách hàng thứ k tới

Từ phân phối này chúng ta có thể tính toán phân phối của thời gian lưu trú Câu hỏi đặt ra là mối quan hệ của ba phân phối này như thế nào?

Theo tính chất PASTA ta có: an p nn 

Tiếp theo chúng ta sẽ đi chỉ ra an d nn 

Xem trạng thái của hệ như số lượng khách hàng trong đó, nhưng sự thay đổi trạng thái bên trong là một loại lân cận gần nhất:

Nếu hệ thống đang ở trạng thái n thì một khách hàng đến sẽ chuyển từ trạng thái

n sang n+1, và một khách hàng rời đi sẽ chuyển từ trạng thái n sang trạng thái n-1

Vì vậy trong trạng thái cân bằng, số lượng các lần đến trên một đơn vị thời gian

từ trạng thái n sang trạng thái n+1 cũng bằng số lượng các lần chuyển trên một đơn vị thời gian từ trạng thái n sang trạng thái n-1

Sự chuyển trạng thái theo cách trước tương ứng với số khách hàng đến thấy có

n khách trong hệ thống, tần số của nó bằng tổng số khách tới trên một đơn vị thời gian

31

 nhân với phân bố của số lượng khách đến thấy có n khách trong hệ thống, an Tần

số của sự chuyển đổi trạng thái theo cách sau tương ứng với số khách rời đi sau khi có

n khách hàng trong hệ thống Tần số của sự chuyển đổi bằng tổng số khách rời đi trên một đơn vị thời gian , nhân với phân bố của khách rời đi sau khi có n khách hàng trong hệ thống, dn Đồng nhất cả hai tần số dẫn đến an d nn 

Lưu ý rằng sự cân bằng này là đúng đối với bất kỳ hệ thống khách đến và đi từng người một Vì vậy nó cũng được dùng cho mô hình khác ví dụ như mô hình G/G/c

Tóm lại đối với mô hình M/G/1 những lượt khách đến và rời đi và những người quan sát bên ngoài tất cả đều thấy sự giống nhau về phân phối của số lượng khách hàng trong hệ thống Nghĩa là: an dn p nn 

2.5.2 Phân phối của sự rời đi

Trong phần này chúng ta sẽ xác định phân phối của khách hàng ở lại sau khi một khách hàng rời đi khi hệ ở trạng thái cân bằng Ký hiệu Ldk là số khách còn lại trong hệ thống sau sự rời đi của khách hàng thứ k Chúng ta sẽ xác định mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên Ldk 1 và Ldk Số khách hàng còn lại sau khi khách hàng thứ k+1 rời đi bằng số khách hàng hiện tại khi khách hàng thứ k rời đi trừ đi một và cộng với số khách hàng đến trong thời gian khách hàng thứ k+1 được phục vụ Ký hiệu

Bây giờ xác định xác suất chuyển: pij P L dk 1  j Ldk  j

Rõ ràng pij 0 với j i 1   và pij với j i 1   cho xác suất chính xác j-i+1 khách hàng đến trong khoảng thời gian phục vụ khách hàng thứ k+1, điều này đúng

32

với mọi i > 0 Ở trạng thái 0 sau khi khách hàng thứ k rời đi thì hệ ở trạng thái rỗng như vậy p0jcho xác suất trong thời gian phục vụ khách hàng thứ k+1 có đúng j khách hàng đến Như vậy ma trận xác suất chuyển có dạng:

Ở đó nký hiệu xác suất trong suốt một lần phục vụ có đúng n khách hàng tới

Để tính n ta lưu ý rằng việc cho sự liên tục của thời gian phục vụ, t cho biết số khách hàng đến trong thời gian phục vụ này có phân phối Poisson với tham số t Vì vậy chúng ta có:

 

n t

t 0

t

e f t dt 2.15n!

Ở đây fB t là hàm mật độ với thời gian phục vụ B

Sơ đồ xác suất chuyển được biểu diễn như sau:

Hình 2.5: Minh họa cho xác suất chuyển của xích Markov trong M/G/1 Bây giờ ta xác định phân phối giới hạn

2.5.3 Phân phối của thời gian lưu trú

Xét một khách hàng đến hệ thống trong trạng thái cân bằng Ký hiệu S là tổng thời gian sử dụng trong hệ thống cho người khách hàng này; thì S là biến ngẫu nhiên

có phân phối F S  và mật độ f S  Phân phối của số lượng những khách hàng ở lại sau khi có khách hàng rời khỏi thì bằng dn

Khi xem xét hệ thống đến trước phục vụ trước thì rõ ràng tất cả khách hàng còn lại chính là những người