Trạng thái của mô hình xếp hàng M/G/1 có thể được diễn tả bởi cặp n, x với n là số lượng khách hàng trong hệ thống, x là thời gian phục vụ khách hàng trong dịch vụ. Do đó chúng ta cần diễn tả trạng thái hai chiều: chiều thứ nhất là rời rạc nhưng chiều thứ hai là liên tục và sự phân tích của chiều thứ hai này về cơ bản là phức tạp.
30
Tuy nhiên nếu chúng ta nhìn vào hệ, ngay sau khi những khách hàng rời đi, thì mô tả trạng thái có thể được đơn giản chỉ là n, bởi vì x = 0 đối với khách mới (nếu có) trong dịch vụ.
Ký hiệu: Ldk là số khách còn lại hệ thống sau sự rời đi của khách hàng thứ k. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xác định phân phối giới hạn:
d n k k d lim P L n
Xác suất dn có thể hiểu là phân bố của khách hàng rời đi khi có n khách hàng trong hệ thống. Nhưng thực tế chúng ta quan tâm nhiều hơn đến phân phối giới hạn pn
được định nghĩa: pn lim P L tt n
với L t là số khách hàng trong hệ thống tại thời điểm t. Xác suất pn có thể hiểu là phân bố của thời gian có n khách hàng trong hệ thống. Từ phân bố này ta có thể tính toán số lượng khách hàng trong hệ thống.
Một trong những phân phối quan trọng là giới hạn phân phối của khách hàng trong hệ thống được xem xét khi một khách hàng tới, nghĩa là: a
n k
k
a lim P L n
Với Lak là số khách hàng trong hệ thống ngay trước khi khách hàng thứ k tới. Từ phân phối này chúng ta có thể tính toán phân phối của thời gian lưu trú. Câu hỏi đặt ra là mối quan hệ của ba phân phối này như thế nào?
Theo tính chất PASTA ta có: an p nn . Tiếp theo chúng ta sẽ đi chỉ ra an d nn .
Xem trạng thái của hệ như số lượng khách hàng trong đó, nhưng sự thay đổi trạng thái bên trong là một loại lân cận gần nhất:
Nếu hệ thống đang ở trạng thái n thì một khách hàng đến sẽ chuyển từ trạng thái n sang n+1, và một khách hàng rời đi sẽ chuyển từ trạng thái n sang trạng thái n-1.
Vì vậy trong trạng thái cân bằng, số lượng các lần đến trên một đơn vị thời gian từ trạng thái n sang trạng thái n+1 cũng bằng số lượng các lần chuyển trên một đơn vị thời gian từ trạng thái n sang trạng thái n-1.
Sự chuyển trạng thái theo cách trước tương ứng với số khách hàng đến thấy có n khách trong hệ thống, tần số của nó bằng tổng số khách tới trên một đơn vị thời gian
31
nhân với phân bố của số lượng khách đến thấy có n khách trong hệ thống, an. Tần số của sự chuyển đổi trạng thái theo cách sau tương ứng với số khách rời đi sau khi có n khách hàng trong hệ thống. Tần số của sự chuyển đổi bằng tổng số khách rời đi trên một đơn vị thời gian , nhân với phân bố của khách rời đi sau khi có n khách hàng trong hệ thống, dn. Đồng nhất cả hai tần số dẫn đến an d nn .
Lưu ý rằng sự cân bằng này là đúng đối với bất kỳ hệ thống khách đến và đi từng người một. Vì vậy nó cũng được dùng cho mô hình khác ví dụ như mô hình G/G/c.
Tóm lại đối với mô hình M/G/1 những lượt khách đến và rời đi và những người quan sát bên ngoài tất cả đều thấy sự giống nhau về phân phối của số lượng khách hàng trong hệ thống. Nghĩa là: an dn p nn .