Ứng dụng lý thuyết xếp hàng trong mạng máy tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ ĐỨC HỢP ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG MẠNG MÁY TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ ĐỨC HỢP ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG MẠNG MÁY TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: NCVCC.TS.NGUYỄN HỒNG HẢI Hà Nội – Năm 2014 MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Những khái niệm lý thuyết xác suất 1.1.1 1.1.2 Những phân phối quan trọng 1.1.2.1 Phân phối hình học 1.1.2.2 Phân phối Poisson 1.1.2.3 Phân phối mũ 1.1.2.4 Phân phối Erlang 1.1.2.5 Phân phối siêu mũ (Hyperexponential) 1.1.2.6 Phân phối dạng Phase 1.1.3 Sơ lược trình ngẫu nhiên 1.1.3.1 Định nghĩa trình ngẫu nhiên 1.1.3.2 Quá trình Markov 1.1.3.3 Quá trình Poisson 1.2 Quá trình sinh tử CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XẾP HÀNG 2.1 Những mơ hình xếp hàng số khái niệm 2.1.1 Mơ hình xếp hàng ký hiệu Kendall 2.1.2 Tỷ lệ thời gian cư ngụ 2.1.3 Một số đại lượng đặc trưng 2.1.4 2.1.5 2.2 Mơ hình xếp hàng M/M/1 2.2.1 Cân xác suất 2.2.2 Các đặc trưng trung bình 2.2.3 Phân phối thời gian lưu trú thời gian chờ đợi 2.2.4 2.2.5 Quyền ưu tiên tuyết đối 2.2.6 Quyền ưu tiên không tuyệt đối 2.2.7 2.2.8 Trung bình chu kỳ bận 2.2.9 Phân phối chu kỳ bận 2.3 Mơ hình xếp hàng M/M/c 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Cân xác suất 22 Trung bình độ dài hàng đợi trung bình thời gian chờ đợi .23 Phân phối thời gian chờ đợi thời gian lưu trú 24 2.4 Mơ hình xếp hàng M/Er/1 25 2.4.1 Hai cách mô tả trạng thái 25 2.4.2 Cân phân phối 25 2.4.3 Trung bình thời gian đợi 28 2.4.4 Phân phối thời gian đợi 29 2.5 Mô hình xếp hàng M/G/1 29 2.5.1 Những phân phối giới hạn 29 2.5.2 Phân phối rời 31 2.5.3 Phân phối thời gian lưu trú 35 2.5.4 Phân phối thời gian chờ đợi 37 2.5.5 Phương pháp giá trị trung bình 38 2.5.6 Thời gian phục vụ lại 39 2.5.7 Phương sai thời gian chờ đợi 40 2.5.8 Phân phối chu kỳ bận 41 2.6 Mơ hình xếp hàng G/M/1 43 2.6.1 Phân phối khách đến 44 2.6.2 Phân phối thời gian lưu trú 47 2.6.3 Thời gian lưu trú trung bình 47 CHƯƠNG III: MẠNG JACKSON 49 3.1 Mạng mở 49 3.2 Mạng đóng 53 3.3 Mạng nửa mở 55 3.4 Hàm thông lượng 58 3.5 Tính thơng lượng 60 3.5.1 Thuật tốn tích chập 61 3.5.2 Phân tích giá trị trung bình 61 3.6 Sự đảo ngược thời gian 63 CHƯƠNG IV: MẠNG KELLY 68 4.1 Mơ hình xếp hàng tựa khả nghịch 68 4.2 Mơ hình xếp hàng đối xứng 73 4.2.1 Các phân phố trình dạng Phase 73 4.2.2 Mơ hình M/PH/l 75 4.3 Mạng đa lớp 79 4.4 Dòng Poisson 84 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học MỞ ĐẦU Lý thuyết phục vụ đám đông đời từ năm 50 kỷ XX có nhiều ứng dụng khoa học thực tế Lý thuyết xếp hàng xem nhánh lý thuyết xác xuất ứng dụng Những lĩnh vực quan trọng ứng dụng mơ hình xếp hàng mạng viễn thơng, mạng máy tính, hệ thống xử lý thơng tin Luận văn với đề tài “ Ứng dụng lý thuyết xếp hàng mạng máy tính ” nghiên cứu mơ hình lý thuyết xếp hàng, tính chất mơ hình xếp hàng Ứng dụng lý thuyết xếp hàng vào nghiên cứu mơ hình mạng Nội dung luận văn gồm bốn chương: Chương 1: Giới thiệu kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số phân bố xác suất quan trọng số trình ngẫy nhiên bao gồm trình Poisson, trình Markov đặc biệt trình sinh tử Chương 2: Tổng quan lý thuyết xếp hàng Chương chúng tơi trình bày mơ hình xếp hàng mơ hình M / M /1, M / M / c , M / Er / Chương 3: Mạng Jackson Trong chương chúng tơi sâu vào trình bày mơ hình mạng Jackson gồm: mạng Jackson đóng, mạng Jackson mở, mạng Jackson nửa mở mạng thời gian đảo ngược có phân phối cân dòng khách hàng đến rời tuân theo trình Poisson độc lập Chương 4: Mạng Kelly Mạng Kelly mở rộng mạng Jackson nhiên giữ lại giả thiết tính chất mạng Jackson Với cố gắng thân, với động viên giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy giáo, luận văn hoàn thành Song thời gian có hạn lực thân hạn chế nên chắn luận văn không tránh khỏi Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học thiếu sót, tơi mong nhận thêm ý kiến đóng góp cho luận văn thầy độc giả Với lịng biết ơn sâu sắc, xin chân thành cảm ơn tới thầy Khoa tốn tin – Trường ĐHKHTN Hà Nội tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Đặc biệt tơi muốn tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới NCVCC, TS Nguyễn Hồng Hải cán thuộc trung tâm KHKT – BQP, người tận tình hướng dẫn khoa học giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Năm 2014 Tác giả Lê Đức Hợp Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Những khái niệm lý thuyết xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên Giả sử ( ,ℱ,P) không gian xác xuất Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X ánh xạ đo X: (Ω, ℱ) → ℝ Các đại lượng quan trọng biến ngẫu nhiên X: kỳ vọng ( trung bình ) EX, phương sai X , độ lệch chuẩn X hệ số biến thiên cX thiên cX thước đo độ biến động biến ngẫu nhiên X ) 1.1.2 Những phân phối quan trọng 1.1.2.1 Phân phối hình học Biến ngẫu nhiên X có phân phối hình học với tham số p giá trị số nguyên khơng âm với k Với phân phối hình học ta có: EX 1.1.2.2 Phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Poisson với tham số μ giá trị số nguyên không âm với k e ta có: P(X k) k k! Với phân phối Poisson ta có: E(X) (X) ;C2x 1.1.2.3 Phân phối mũ Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối mũ với tham số μ hàm mật độ có dạng: Hàm phân phối: Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học Với phân phối mũ ta có: E X Một tính chất quan trọng biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số μ là: Với x t P(X x P(X t Trong t / X t) t/X o(t) P(X x) t t) e e t t t o(t),( t 0) (1.1) t 1.1.2.4 Phân phối Erlang Biến ngẫu nhiên X có phân phối Erlang - k (k = 1,2,…) với trung bình k X X1 X2 Xk Trong đó: X1,X2 , ,Xk k biến ngẫu nhiên độc lập phân phối mũ với trung bình Ký hiệu Ek ( )hoặc Ek Hàm mật độ Ek cho f (t) k1 Hàm phân phối: F(t) j0 Tham số μ gọi tham số tỷ lệ, k gọi kích thước mẫu Với biến ngẫu nhiên có phân phối E 1.1.2.5 Phân phối siêu mũ (Hyperexponential) Cho Xi biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình: i Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối siêu mũ nếu: X = Xi với xác suất pi Ký hiệu: H(p1,…,pk;μ1, ,μk) Hk k Hàm mật độ X: f (t)pi ie i1 i t 77 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học c cai c i csic c i c c i Sij c c si caic c c jSij c Cả ba kết theo quan hệ phân phối PH a ,S c PH ac ,Sc (bổ đề 4.7) Để thử (4.2) ta ý nhận dạng sau: q x,Ack,i xq x,Ik,j xq x,Dk x c,k,i k,j i k q x,Ack,i x q x,Ik,j x k,j i c,k,i q x,Dk x 4.12 k Trước tiên ta có: q x,Ack,j xq x,Ack,j xc n 1,k i aic Từ i aic lấy tổng hai vế theo k ta (4.9) i Tiếp theo sử dụng (4.1) ta có: q x,Ik,j x q x,Dk x n n,k Sijc sic ji = q x,Ik,j x q x,Dk x ji Khi ta có (4.12) Ta tính tổng tất pha xác định lại trạng thái z zc với zc số công việc lớp c hệ thống Hệ 4.9: Phân phối dừng số công việc hàng M/PH/1 định lý 4.8 là: zc A z c c c z 78 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học Trong A số chuẩn z zc c 4.3 Mạng đa lớp Mạng xét mở rộng mạng Jackson gồm lớp công việc khác Mạng có J nút, có số i, j Các công việc xác định lớp với số c, d Các cơng việc từ ngồi vào hệ thống theo q trình Poisson với cường độ đến ; công việc đến nút j lớp c công việc với xác suất pc0 j Sau phục vụ nút i, lớp c công việc di chuyển đến nút j trở thành lớp Gọi c i toàn cường độ đến nút i lớp c cơng việc Chúng ta có: Với lớp c nút i Đây tập hợp phương trình qua lại mạng đa lớp Cho Xt Xi t J i xích Markov với thời gian liên tục liên kết với J mạng Đặt x xi i1 J y yi i1 với xi xic c yi yic c ký hiệu trạng thái đặc trưng hàng đợi nút i Cho Aic x ký hiệu tập hợp trạng thái đạt từ x lớp c cơng việc đến từ nút i từ nguồn bên ngoài; cho Eic x ký hiệu tập trạng thái tương tự lớp c cơng việc khỏi mạng từ nút i, cho Tijcd x ký hiệu tập hợp trạng thái đạt từ x lớp c công việc chuyển từ nút i đến nút j trở thành lớp d công việc Bây xét nút i độc lập Đầu vào tập hợp trình đến Poisson độc lập, với cường độ đến ic cho lớp c công việc Ký hiệu: Các trạng thái xích Markov liên kết xi ,yi 79 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học i xi i xic phân phối dừng c qi xi , yi xác suất chuyển xích Markov: qi xi , yi Ta có i c tổng độc lập với trạng thái xi Do cơng việc c yi A i x dịch chuyển từ trạng thái xi đến trạng thái yi Aic x lớp c công việc đến qi với xác suất Gọi q xi , yi có: i xi q xi , yi i yi q yi ,xi Bây ta xác định xích Markov có liên quan đến mạng ban đầu xét khía cạnh hệ số dịch chuyển Ta có phương trình: q x, y qi xi ,yi pi0c Tương ứng với lớp c công việc rời khỏi mạng từ nút i q x,y q Tương ứng với lớp c cơng việc đến từ ngồi nút i pcd q x,y qi xi ,yi qj x j,yj ij d y Tijcd x yi Eic xi yj Ad j x j 4.17 j Tương ứng với dịch chuyển bên lớp c công việc từ nút i sang nút j, chuyển lớp c công việc thành lớp d công việc Tiếp theo, xét hệ thống đảo ngược thời gian xích Markov Ta giả sử hệ thống tương tự hệ ban đầu, với q trình đến từ bên ngồi q trình Poisson với tham số Mỗi lớp c công việc đến nút i độc lập với xác suất p0i c c i pi0 c Các công việc c c c p i i0 p 0i c i 80 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học Chú ý rằng: pi0 Mặt khác từ pi0c c c i pi0 Dẫn đến: p0ic Trong mạng đảo ngược thời gian hàng nút i hàng đảo ngược thời gian hàng ban đầu tương ứng với xích Markov có hệ số chuyển qi , Do viết hệ số chuyển xích Markov tương ứng với mạng đảo ngược thời gian q , tương tự với cách biểu diễn q , (4.15), (4.16) (4.17) thay qi qi , p p Nhận thấy điều kiện chủ yếu dẫn đến kết định lý 4.11 hàng nút i tách biệt phải hàng tựa khả nghịch Cụ thể điều kiện phải thỏa mãn với i c i : qi xi , yiqi xi , yi c yi Ai xi qi xi , yiqi xi , yi yi Bấy (4.20) viết là: qi xi , yiqi xi , yi c c y A x i i i Từ (4.19) ta có:qi xi ,yiqi xi , yi Định lý 4.11: Giả sử nút i mạng đa lớp hàng tựa khả nghịch xét tách biệt, cụ thể (4.19) (4.20) thỏa mãn với i Khi đó: 81 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học i) Phân phối dừng xích Markov liên quan với mạng có dạng sau: J x i xi Trong i1 xi i phân phối dừng hàng nút i xét tách biệt hệ thống có dịng Poisson đến với tham số ii) c i c Thời gian đảo ngược xích Markov mạng đa lớp khác có tính chất: Dịng đến trình Poisson với cường độ , công việc đến nút i độc lập lớp c công việc với xác suất p0ic theo xác suất (4.18) iii) Mạng ban đầu thân tựa khả nghịch Cụ thể: trình từ mạng ban đầu trình Poisson độc lập q trình đến; Hơn cơng việc rời mạng tính đến thời điểm t độc lập với trạng thái mạng thời điểm t Chứng minh Chúng ta cần chứng minh x thỏa mãn (4.1); (4.2) (4.9) Rõ ràng phân phối cân thỏa mãn: x q x, yy q y,x y thuộc ba tập không gian trạng thái Ac Chẳng hạn với y Tcd x ta cần chứng minh: ij x qi xi , yi q j x j,yj Thay dạng phân phối x vào ta i xi j Áp dụng 4.1: yj qi xi , y i q j x j , yj i xi qi xi ,yii yi qj yj,xj 4.18: pijcd Ta suy (**) đúng; tương tự với y Vậy Eic x , y x thỏa mãn (*) (4.1) thỏa mãn Aic x (*) Tiếp theo ta chứng minh (4.2) tức là: 82 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học q x,yq x, y hay y y q x, y i,c c A x y i i,c i i Sau ta chứng minh hai đẳng thức sau: q i) q ii) yE qi xi ,yi pc0i Ta có:q x, y c y Ai x qi xi , yi pc0i Vàq x, y c y Ai x pc0i Từ (4.9) c c i pic ta suy i) i,c i,c Để chứng minh ii) ta có: c y Ei x = qi xi , yi c yi Ei xi ( Do pi0c pijcd sử dụng (4.17), (4.19) ta có: j,d q x, ypijcd y Tij cd Tương tự với thời gian khả nghịch ta có: j,d 83 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học q x, yq c y Ei x j,d y Tij cd Theo (4.21) ta suy ii) 4.4 Dòng Poisson Từ định lý 4.11 (cụ thể phần iii) ta biết trình khỏi mạng đa lớp trình Poisson Nhận thấy kết sử dụng để xác định dòng dịch chuyển bên mạng trình Poisson Điều đơn giản xác định tính chất dịng dịch chuyển bên cách xem công việc di chuyển từ nút i đến nút j trình từ hệ thống ( chứa nút i khơng chứa nút j ) Sau áp dụng định lý 4.11, khẳng định dịng bên trình Poisson Rõ ràng điều địi hỏi mạng lưới khơng dịng nghiên cứu quay lại Nói cách khác ta u cầu dịng chảy nghiên cứu phải q trình đến từ bên ngồi so với hệ thống bao gồm nút j không đến mạng trước đến điểm nút j Liên quan đến ý tưởng ta xét trường hợp cụ thể sau: Ta định nghĩa xác suất chuyển lớp công việc sau: cd pij pij với nút i j c,d Với nút i đặt: I i tập tất nút vào i, nghĩa là: I i j 1, ,J :rji O j tập tất nút đầu trực tiếp nút j, nghĩa là: Oj i 1, ,J :rji Chúng ta xác định J i +) I i sau Ji; +) Nếu k J i I k Ji Tức J i tập nút trực tiếp gián tiếp gửi công việc đến nút i 84 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học Ký hiệu O(j) tập nút nhận trực tiếp công việc từ nút j Rõ ràng : i J j j O(i) Nếu i J j ta nói có đường từ i đến j, ký hiệu i j Rõ ràng i j j k suy i k Khi bắt đầu kết thúc nút ta gọi vòng Rõ ràng i nằm vòng i J i i O(i) Bổ đề 4.12:i j phần vòng j Ii O(i) Chứng minh i jlà phần vòng i j j i nghĩa j O(i) j I i Suy điều phải chứng minh Định lý 4.13: Trong mạng hàng tựa khả nghịch, dịng dịch chuyển cơng việc từ nút i đến nút j trình Poisson, với điều kiện j I i (nghĩa i j khơng phần vịng) Trong trường hợp J* J i i tạo thành hệ thống nhỏ tựa khả * nghịch trường hợp O O(j) j tương tự Chứng minh Khi j I i dịng cơng việc từ nút i đến nút j trở thành q trình ra, thơng qua nút i * từ mạng mà bao gồm nút J Cụ thể khơng có cơng việc số sau đến nút j lại quay lai J* Đó cơng việc đến nút O(j) sau đến nút j với k O(i) k J i không mâu thuẫn với j J i Từ J* mạng hàng tựa khả nghịch nên thân tựa khả nghịch Do dịng cơng việc nghiên cứu dịng q trình ra, q trình * Poisson Tính tựa khả nghịch O suy xét đảo ngược thời gian 85 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề lý thuyết hệ phục vụ ứng dụng mạng viễn thơng; mạng máy tính; đặc biệt dạng mạng: Mạng Jackson đóng, mạng Jackson mở, mạng Jackson nửa mở mạng đa lớp Kelly Những kết mà tác giả đạt trình nghiên cứu luận văn là: hàng Tìm hiểu mơ hình xếp hàng, tính chất mơ hình xếp Trình bày ứng dụng lý thuyết xếp hàng vào mơ hình mạng: Mạng Jackson, mạng đa lớp Kelly Luận văn nhằm góp phần giúp người muốn tham khảo tìm hiểu thêm lý thuyết xếp hàng Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn bè đồng nghiệp 86 Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Học TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết yên (2003), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mơ hình xác suất ứng dụng: Phần I – Xích Markov ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng: Phần III – Giải tích ngẫu nhiên, NXB ĐHQG Hà Nội [5] A.N Kolmogorov (1956), Foundations of the theory of Probability, Chelsea Publishing Company New Yourk [6] A.N Shiryaev (1996), Probability, Springer-Verlang, New York [7] Gunter Bolch, Stefan Greiner, Hermann de Meer, Kishor S.Trivedie (2006), [8] Ivo Adan & Jacques Resing (2002), Queueing Theory, MB Eindhoven, The Netherlands [9] James L Johnson (2003), Probability and Statistics for Computer Science, John Wiley & Sons [10] Hong Chen, David D Yao (2001), Fundamentals of Queueing Networks, Springer New York [11]Ng Chee-Hock, Soong Boon-Hee (2008), Queueing Modelling Fundamentals, John Wiley & Sons 87 ... văn với đề tài “ Ứng dụng lý thuyết xếp hàng mạng máy tính ” nghiên cứu mơ hình lý thuyết xếp hàng, tính chất mơ hình xếp hàng Ứng dụng lý thuyết xếp hàng vào nghiên cứu mơ hình mạng Nội dung luận... nhiều ứng dụng khoa học thực tế Lý thuyết xếp hàng xem nhánh lý thuyết xác xuất ứng dụng Những lĩnh vực quan trọng ứng dụng mơ hình xếp hàng mạng viễn thơng, mạng máy tính, hệ thống xử lý thơng... GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ ĐỨC HỢP ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT XẾP HÀNG TRONG MẠNG MÁY TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA