Đa thức trêbưsep và xấp xỉ trêbưse

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM MINH ĐẠO ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM MINH ĐẠO ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2014 Mục lục Phần mở đầu Chương Đa thức Trêbưsep 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất 10 1.3 Một vài ứng dụng đa thức Trêbưsep 22 1.3.1 Độ lệch đa thức 22 1.3.2 Định lí Berstein- Markov 29 Chương Xấp xỉ Trêbưsep 35 2.1 Xấp xỉ hàm số đa thức Trêbưsep 35 2.2 Chuỗi Trêbưsep 42 2.3 Hệ số Trêbưsep 46 2.4 Tính chất tối ưu khai triển Trêbưsep 49 Kết luận Tài liệu tham khảo 54 55 PHẦN MỞ ĐẦU Đa thức Trêbưsep (P.L Chebyshev) có vị trí đặc biệt toán học Nó xuất toán toán học sơ cấp, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Đa thức Trêbưsep có nhiều ứng dụng toán học Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, Vì đa thức Trêbưsep quan trọng, nên có nhiều báo công trình toán học nghiên cứu Chính nên thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn giao cho làm luận văn thạc sỹ khoa học với tên đề tài "ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP" Luận văn trình bày để làm rõ đa thức Trêbưsep loại 1, loại ứng dụng đa thức Trêbưsep chứng minh định lí Berstein- Markov, xấp xỉ Trêbưsep Ngoài phần mở đầu luận văn gồm hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Đa thức Trêbưsep Chương giới thiệu định nghĩa đa thức Trêbưsep loại 1, loại số tính chất tính chất trực giao, Phần cuối chương số ứng dụng đa thức Trêbưsep độ lệch đa thức chứng minh định lí Berstein- Markov Chương Xấp xỉ Trêbưsep Chương giới thiệu xấp xỉ hàm số đa thức Trêbưsep, chuỗi Trêbưsep, hệ số Trêbưsep tối ưu khai triển Trêbưsep Luận văn trình bày hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin gửi lời cám ơn tời toàn thầy cô giáo khoa Toán-Cơ-Tin học, Khoa sau đại học trường Đại học KHTN- Đại học quốc gia Hà Nội giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Tôi xin cảm ơn bạn lớp cao học toán 2011-2013 nghành Toán Giải tích Khoa Toán Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ trình học tập làm luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, đồng nghiệp học sinh trường THPT Yên Phong số 2- Bắc Ninh động viên tạo điều kiện, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Chương Đa thức Trêbưsep 1.1 Định nghĩa Trước hết, ta nhắc lại đa thức hàm số p(x) viết dạng p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , (1.1) a0 , , an số thực x biến thực Nếu an = 0, ta nói p đa thức bậc n Tập hợp đa thức có bậc không vượt n ta kí hiệu Pn ; nghĩa là, p(x) = a0 + a1 x + · · · + ak xk k ≤ n p ∈ Pn Xét hàm số Tn (x) = cos nθ, (1.2) n số tự nhiên, x = cos θ, ≤ θ ≤ π Khi θ tăng từ đến π x giảm từ đến -1 Hàm số Tn (x) định nghĩa (1.2) xác định khoảng −1 ≤ x ≤ 1, ta kí hiệu khoảng I ; có nghĩa là, cho x ∈ I , ta tìm giá trị θ = arccos x thỏa mãn ≤ θ ≤ π Tn (x) có giá trị cos nθ Vì Tn (x) hàm số đơn trị xác định I , viết sau (1.3) Tn (x) = cos n(arccos x), ≤ arccos x ≤ π Ta nhắc lại eiθ = cos θ + i sin θ, (1.4) einθ = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ Dùng khai triển nhị thức Newton, ta có (cos θ + i sin θ)n = cosn θ + Cn1 cosn−1 θ(i sin θ) +Cn2 cosn−2 θ(i2 sin2 θ) + · · · + Cnn (i sin θ)n Cân phần thực phương trình (1.4), ta thu cos nθ = cosn θ − Cn2 cosn−2 θ sin2 θ + Cn4 cosn−4 θ sin4 θ + · · · 2[n/2] + (−1)[n/2] Cn cosn−2[n/2] θ sin2[n/2] θ (1.5) Thay sin2 θ = − cos2 θ vào (1.5) ta thu [n/2] cos nθ = q (−1) q Cn2q n−2q cos (−1)k Cqk cos2k θ θ q=0 (1.6) k=0 Vế phải (1.6) đa thức với x = cos θ, hàm số Tn (x) định nghĩa (1.3) đa thức Ta tiến tới xác định hệ số chúng Vế phải (1.6) có hình dạng tổng tam giác; cụ thể là, ta viết Aq = (−1)q Cn2q cosn−2q θ, q = 0, , n , Bk,q = (−1)k Cqk cos2k θ, k = 0, 1, , q, cos nθ = A0 B0,0 + A1 B0,1 + A1 B1,1 + + A[n/2] B0,[n/2] + · · · + A[n/2] B[n/2],[n/2] (1.7) Cộng lại lấy tổng bên phải ( 1.7 ) cởi đường chéo kế tiếp, ta thu cos nθ = (A0 B0,0 + A1 B1,1 + · · · + A[n/2] B[n/2],[n/2] ) + (A0 B0,1 + A1 B1,2 + · · · + A[n/2] B[n/2]−1,[n/2] ) + + (A[n/2]−1 B0,[n/2]−1 + A[n/2] B1,[n/2] ) + A[n/2] B0,[n/2] ; hoặc, cách thay Aq Bk,q với vị trí đứng chúng cho   [n/2] cos nθ = k=0 [n/2] (−1) k j=k Cn2j Cjk  cosn−2k θ (1.8) Đẳng thức (1.8) biểu thị Tn (x) đa thức bậc n Nếu ta viết (1.9) Tn (x) = t0 + t1 x + · · · + tn xn Thì từ (1.8), ta rút tn−(2k+1) = 0, k = 0, , n−1 , (1.10) [n/2] tn−2k = (−1) k Cn2j Cjk , j=k k = 0, , n Vậy Tn (x) có giá trị I , đa thức bậc n, xác định với giá trị x (đúng cho số phức x) Đa thức Tn (x) gọi đa thức Trêbưsep bậc n, ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep loại đa thức Tn (x) thỏa mãn điều kiện Tn (x) := cos(n arccos x) Với n=0 T0 (x) = 1, n=1 T1 (x) = x, n=2 T2 (x) = 2x2 − 1, n=3 n=4 n=5 T3 (x) = 4x3 − 3x, T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1, T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x Hình 1.1: Đồ thị T0 , T1 , T2 , T3 , T4 , T5 Đặt cos θ = x (θ = arccos x), ta có cos(k − 1)θ = Tk−1 (cos θ), cos kθ = Tk (cos θ) 8 Từ hệ thức cos(k + 1)θ + cos(k − 1)θ = cos θ cos kθ, suy Tk+1 (cos θ) = cos θ cos kθ − cos(k − 1)θ = cos θTk (cos θ) − Tk−1 (cos θ) Hay Tk+1 (x) = 2xTk (x) − Tk−1 (x) Từ ta đưa đến định nghĩa sau tương đương với Định nghĩa 1.1.1 sau Định nghĩa 1.1.2 Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep (loại 1) bậc n đa thức Tn (x) ,xác định sau T0 (x) = 1, T2 (x) = x Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) (n ≥ 1) Lấy vi phân Tn (x) = cos nθ x ta thu Tn′ (x) = d cos nθ dθ Từ ta có định nghĩa sau dθ −n sin nθ sin nθ = =n , dx − sin θ sin θ x = cos θ Định nghĩa 1.1.3 Các đa thức Un (x) (n ∈ N) xác định sau Un (x) = sin(n + 1)θ sin(n + 1) arccos x ′ √ Tn+1 (x) = = , n+1 sin θ − x2 (trong cos θ = x (θ = arccos x)) gọi đa thức Trêbưsep loại Theo Định nghĩa 1.1.3, ta có n=0 U0 (x) = 1; n=1 U1 (x) = 2x; n=2 U2 (x) = 4x2 − 1; n=3 n=4 n=5 U3 (x) = 8x3 − 4x; U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1; U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x Tài liệu tham khảo [1] Theodore J Rivlin, The Chebyshev polynomials, John Wiley & Sons, 1974 [2] G.Poslya G Szego, Problems and Theorems in Analysis (Volume II), Springer- Verlag, 1976 [3] Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, NXB Văn hóa thông tin, 2006 [4] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số & Phân thức hữu tỉ, NXBGD, 2002 [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Giới hạn Dãy số &Hàm số, NXBGD, 2002 [6] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, Một số toán chọn lọc lượng giác, NXBGD, 2006 55 [...]... Chebyshev polynomials, John Wiley & Sons, 1974 [2] G.Poslya G Szego, Problems and Theorems in Analysis (Volume II), Springer- Verlag, 1976 [3] Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, NXB Văn hóa thông tin, 2006 [4] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số & Phân thức hữu tỉ, NXBGD, 2002 [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Giới hạn Dãy số &Hàm số, NXBGD, 2002 [6] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, Một số bài toán chọn lọc