Đa thức Trêbưsep và xấp xỉ Trêbưsep

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM MINH ĐẠO ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC PHẠM MINH ĐẠO ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2014 Mục lục Phần mở đầu Chương Đa thức Trêbưsep 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất 10 1.3 Một vài ứng dụng đa thức Trêbưsep 22 1.3.1 Độ lệch đa thức 22 1.3.2 Định lí Berstein- Markov 29 Chương Xấp xỉ Trêbưsep 35 2.1 Xấp xỉ hàm số đa thức Trêbưsep 35 2.2 Chuỗi Trêbưsep 42 2.3 Hệ số Trêbưsep 46 2.4 Tính chất tối ưu khai triển Trêbưsep 49 Kết luận Tài liệu tham khảo 54 55 PHẦN MỞ ĐẦU Đa thức Trêbưsep (P.L Chebyshev) có vị trí đặc biệt tốn học Nó xuất toán toán học sơ cấp, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Đa thức Trêbưsep có nhiều ứng dụng toán học Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, Vì đa thức Trêbưsep quan trọng, nên có nhiều báo cơng trình tốn học nghiên cứu Chính nên tơi thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn giao cho làm luận văn thạc sỹ khoa học với tên đề tài "ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP" Luận văn trình bày để làm rõ đa thức Trêbưsep loại 1, loại ứng dụng đa thức Trêbưsep chứng minh định lí Berstein- Markov, xấp xỉ Trêbưsep Ngoài phần mở đầu luận văn gồm hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Đa thức Trêbưsep Chương giới thiệu định nghĩa đa thức Trêbưsep loại 1, loại số tính chất tính chất trực giao, Phần cuối chương số ứng dụng đa thức Trêbưsep độ lệch đa thức chứng minh định lí Berstein- Markov Chương Xấp xỉ Trêbưsep Chương giới thiệu xấp xỉ hàm số đa thức Trêbưsep, chuỗi Trêbưsep, hệ số Trêbưsep tối ưu khai triển Trêbưsep Luận văn trình bày hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin gửi lời cám ơn tời tồn thầy giáo khoa Tốn-Cơ-Tin học, Khoa sau đại học trường Đại học KHTN- Đại học quốc gia Hà Nội giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Tơi xin cảm ơn bạn lớp cao học toán 2011-2013 nghành Toán Giải tích Khoa Tốn Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, đồng nghiệp học sinh trường THPT Yên Phong số 2- Bắc Ninh động viên tạo điều kiện, giúp đỡ hồn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Chương Đa thức Trêbưsep 1.1 Định nghĩa Trước hết, ta nhắc lại đa thức hàm số p(x) viết dạng p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , (1.1) a0 , , an số thực x biến thực Nếu an = 0, ta nói p đa thức bậc n Tập hợp đa thức có bậc khơng vượt q n ta kí hiệu Pn ; nghĩa là, p(x) = a0 + a1 x + · · · + ak xk k ≤ n p ∈ Pn Xét hàm số Tn (x) = cos nθ, (1.2) n số tự nhiên, x = cos θ, ≤ θ ≤ π Khi θ tăng từ đến π x giảm từ đến -1 Hàm số Tn (x) định nghĩa (1.2) xác định khoảng −1 ≤ x ≤ 1, ta kí hiệu khoảng I ; có nghĩa là, cho x ∈ I , ta tìm giá trị θ = arccos x thỏa mãn ≤ θ ≤ π Tn (x) có giá trị cos nθ Vì Tn (x) hàm số đơn trị xác định I , viết sau (1.3) Tn (x) = cos n(arccos x), ≤ arccos x ≤ π Ta nhắc lại eiθ = cos θ + i sin θ, (1.4) einθ = (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ Dùng khai triển nhị thức Newton, ta có (cos θ + i sin θ)n = cosn θ + Cn1 cosn−1 θ(i sin θ) +Cn2 cosn−2 θ(i2 sin2 θ) + · · · + Cnn (i sin θ)n Cân phần thực phương trình (1.4), ta thu cos nθ = cosn θ − Cn2 cosn−2 θ sin2 θ + Cn4 cosn−4 θ sin4 θ + · · · 2[n/2] + (−1)[n/2] Cn cosn−2[n/2] θ sin2[n/2] θ (1.5) Thay sin2 θ = − cos2 θ vào (1.5) ta thu [n/2] cos nθ = q (−1) q Cn2q n−2q cos (−1)k Cqk cos2k θ θ q=0 (1.6) k=0 Vế phải (1.6) đa thức với x = cos θ, hàm số Tn (x) định nghĩa (1.3) đa thức Ta tiến tới xác định hệ số chúng Vế phải (1.6) có hình dạng tổng tam giác; cụ thể là, ta viết Aq = (−1)q Cn2q cosn−2q θ, q = 0, , n , Bk,q = (−1)k Cqk cos2k θ, k = 0, 1, , q, cos nθ = A0 B0,0 + A1 B0,1 + A1 B1,1 + + A[n/2] B0,[n/2] + · · · + A[n/2] B[n/2],[n/2] (1.7) Cộng lại lấy tổng bên phải ( 1.7 ) cởi đường chéo kế tiếp, ta thu cos nθ = (A0 B0,0 + A1 B1,1 + · · · + A[n/2] B[n/2],[n/2] ) + (A0 B0,1 + A1 B1,2 + · · · + A[n/2] B[n/2]−1,[n/2] ) + + (A[n/2]−1 B0,[n/2]−1 + A[n/2] B1,[n/2] ) + A[n/2] B0,[n/2] ; hoặc, cách thay Aq Bk,q với vị trí đứng chúng cho   [n/2] cos nθ = k=0 [n/2] (−1) k j=k Cn2j Cjk  cosn−2k θ (1.8) Đẳng thức (1.8) biểu thị Tn (x) đa thức bậc n Nếu ta viết (1.9) Tn (x) = t0 + t1 x + · · · + tn xn Thì từ (1.8), ta rút tn−(2k+1) = 0, k = 0, , n−1 , (1.10) [n/2] tn−2k = (−1) k Cn2j Cjk , j=k k = 0, , n Vậy Tn (x) có giá trị I , đa thức bậc n, xác định với giá trị x (đúng cho số phức x) Đa thức Tn (x) gọi đa thức Trêbưsep bậc n, ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep loại đa thức Tn (x) thỏa mãn điều kiện Tn (x) := cos(n arccos x) Với n=0 T0 (x) = 1, n=1 T1 (x) = x, n=2 T2 (x) = 2x2 − 1, n=3 n=4 n=5 T3 (x) = 4x3 − 3x, T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1, T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x Hình 1.1: Đồ thị T0 , T1 , T2 , T3 , T4 , T5 Đặt cos θ = x (θ = arccos x), ta có cos(k − 1)θ = Tk−1 (cos θ), cos kθ = Tk (cos θ) Từ hệ thức cos(k + 1)θ + cos(k − 1)θ = cos θ cos kθ, suy Tk+1 (cos θ) = cos θ cos kθ − cos(k − 1)θ = cos θTk (cos θ) − Tk−1 (cos θ) Hay Tk+1 (x) = 2xTk (x) − Tk−1 (x) Từ ta đưa đến định nghĩa sau tương đương với Định nghĩa 1.1.1 sau Định nghĩa 1.1.2 Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep (loại 1) bậc n đa thức Tn (x) ,xác định sau T0 (x) = 1, T2 (x) = x Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) (n ≥ 1) Lấy vi phân Tn (x) = cos nθ x ta thu Tn′ (x) = d cos nθ dθ Từ ta có định nghĩa sau dθ −n sin nθ sin nθ = =n , dx − sin θ sin θ x = cos θ Định nghĩa 1.1.3 Các đa thức Un (x) (n ∈ N) xác định sau Un (x) = sin(n + 1)θ sin(n + 1) arccos x ′ √ Tn+1 (x) = = , n+1 sin θ − x2 (trong cos θ = x (θ = arccos x)) gọi đa thức Trêbưsep loại Theo Định nghĩa 1.1.3, ta có n=0 U0 (x) = 1; n=1 U1 (x) = 2x; n=2 U2 (x) = 4x2 − 1; n=3 n=4 n=5 U3 (x) = 8x3 − 4x; U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1; U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x 41 Trong sai số chuỗi Taylor ET ay = |2.2255 − 2.2053| = 0.0202 So sánh hai kết ta thấy sai số chuỗi Taylor hầu lớn gấp lần xấp xỉ Trêbưsep Cho giá trị bé x nhiên bậc ba chuỗi Taylor cho kết tốt chẳng hạn x = 0.2 Chuỗi Trêbưsep cho e0.2 = 1.2172 Trong Taylor chuỗi bậc ba cho e0.2 = 1.2213 giá trị xác e0.2 = 1.2214 mà minh hoạ điểm xấp xỉ Trêbưsep không thiết sinh phép xấp xỉ tối ưu điểm cho khoảng [ - 1, ] chúng bảo đảm để cực tiểu hoá sai số lớn khoảng Nói chung thường xảy vài công thức xấp xỉ sẵn sàng cơng thức có ưu điểm nhược điểm riêng Nói riêng, cơng thức khác cho kết xấp xỉ tốt phần khác khoảng yêu cầu phân tích phải định sử dụng điểm Nhận xét Vì xk biểu diễn tổ hợp tuyến tính T0 (x), T1 (x), , Tk (x), nên áp dụng khai triển Taylor ta xấp xỉ hàm số f (x) chuỗi số đa thức Trêbưsep Và sau ví dụ minh họa Ví dụ 2.2 Sử dụng đa thức Trêbưsep cho số hạng chuỗi Taylor cho ex Lời giải 1 ex = + x + x2 + x3 + x4 + · · · 24 1 = T0 (x) + T1 (x) + [T2 (x) + T0 (x)] + [T3 (x) + 3T1 (x)] 24 + [T4 (x) + 4T2 (x) + 3T0 (x)] 192 13 1 81 T4 (x) = T0 (x) + T1 (x) + T2 (x) + T3 (x) + 64 48 24 192 Nếu dừng kết sau số hạng T3 (x) thu ex = 81 13 T0 (x) + T1 (x) + T2 (x) + T3 (x) 64 48 24 (2.5) 42 với độ sai số T4 (x) + · · · 192 Xấp xỉ xem khai triển bậc ba cho ex Nếu làm qui đổi hệ số ( 2.5 ) để dạng số thập phân ta có ex ∼ = 1.26562500T0(x) + 1.125T1 (x) + 0.27083333T2(x) + 0.041667T3 (x) (2.6) Như so sánh phương trình ( 2.4 ) (2.6 ) từ hai xấp xỉ bậc ba ex thu sử dụng đa thức Trêbưsep Hệ số từ hai phương trình thuộc bảng T0 (x) T1 (x) T2 (x) T3 (x) Phương trình (2.4) 1.26606588 1.13031821 0.27149534 0.04433685 Phương trình (2.6) 1.26562500 1.12500000 0.27083333 0.04166667 Từ hai xấp xỉ bậc ba cung cấp số loại xấp xỉ tốt cho ex chúng có hệ số tương tự chúng khơng đồng phương trình ( 2.4 ) xấp xỉ đến ex dùng đa thức phương trình ( 2.5 ) tương đương với số hạng chuỗi Taylor cho ex tiết kiệm đến bậc ba 2.2 Chuỗi Trêbưsep Định nghĩa 2.2.1 Chuỗi vô hạn B0 + B1 T1 (x) + · · · + Bn Tn (x) + · · · (2.7) gọi chuỗi Trêbưsep Ta nhắc lại rằng, với hàm f (x), có khả tích I , có kết hợp với 43 khai triển Trêbưsep , quan hệ ta ký hiệu ∞ ′ f (x) ∼ Ak Tk (x), (2.8) k=0 (Với ký hiệu ′ n k=0 ui Ak = = u1 + u2 + · · · + un ) 2 π f (x)Tk (x) √ dx, − x2 −1 k = 0, 1, (2.9) Nếu chuỗi (1) hội tụ I gọi tổng g(x), g(x) ∈ C(I) chuỗi khai triển Trêbưsep g , ∞ ′ g(x) = Bk Tk , k=0 hội tụ bao hàm π g(x)Tm (x) √ dx = Bm , − x2 −1 m = 0, 1, , theo tính trực giao đa thức Trêbưsep Tuy nhiên, chuỗi Trêbưsep không khai triển Trêbưsep Cho f ∈ C(I), ta đặt n ′ sn (f ; x) = sn (x) = Ak Tk (x); k=0 sn (f ; x) tổng riêng thứ n khai triển Trêbưsep f chắn sn (x) ∈ P sn (f ) tốn tử tuyến tính Nếu x ∈ I đặt x = cos θ, ≤ θ ≤ π , f (x) = f (cos θ) = F (θ) định nghĩa [0, π] ta mở rộng định nghĩa [−π, 0] F (θ) = F (θ) Như xét 44 F (θ)) định nghĩa với θ có chu kỳ 2π Bây n sn (x) = sn (f ; cos θ) = π = = π π k=0 n π F (φ) −π π ′ F (φ) cos kφ cos kθdφ −π ′ cos k(φ + θ) + cos k(φ − k=0 n π ′ F (φ) −π θ) dφ cos k(φ + θ) dφ, k=0 bước thứ bước cuối dùng ngang F Dễ kiểm tra sin u n ′ k=0 cos ku = sin(n + )u, sn (x) = π sin[(n + )(φ + θ)] F (φ) dφ sin(φ + θ)/2 −π π (2.10) Từ sn (f ) thu phương pháp tương đối đơn giản Ta đòi hỏi phép xấp xỉ đa thức f I Quan sát thứ sn (f ; x) xấp xỉ hình vng bé với hàm trọng lượng (1 − x2 )−1/2 Định lý 2.2.1 ([1], Theorem 3.2] ) Cho f ∈ C(I), 1 [f (x) − sn (f ; x)]2 √ −1 dx − x2 [f (x) − p(x)]2 √ ≤ −1 cho p ∈ Pn , với dấu đẳng thức xảy p = sn (f ) dx − x2 45 B0 + B1 T − 1(x) + · · · + Bn Tn (x), Chứng minh Với p(x) = 1 [f (x) − p(x)]2 √ −1 dx − x2 [f (x) − 2f (x)p(x) + p2 (x)] √ = −1 f (x) √ = −1 n dx 1− x2 −π ′ k=0 π Ak Bk + dx − x2 n ′ Bk2 k=0 Nếu ta sử dụng công thức cho p = sn p tùy ý, ta thu 1 [f (x) − p(x)]2 √ −1 π = dx − x2 [f (x) − sn (x)]2 √ − −1 dx − x2 n ′ k=0 (Bk − Ak )2 , Từ suy điều phải chứng minh Tiếp theo sau ta tìm hiểu mối quan hệ sai số phép xấp xỉ hàm f chuỗi Trêbưsep với xấp xỉ tốt tới hàm f Nếu f ∈ C(I), ta đặt Sn (f ) = ||f − sn (f )|| En (f ) = ||f − p∗n ||, p∗ xấp xỉ tốt I tới f P ( ||.|| có nghĩa chuẩn ) Định lý 2.2.2 ([1], Theorem 3.3) En (f ) ≤ Sn (f ) < + log n En (f ) π2 Chứng minh |f − sn (f )| = |f − p∗n + p∗n − sn (f )| = f − p∗n + sn (p∗n − f ) ≤ En (f ) + |sn (p∗n − f )|, (2.11) 46 nhưng, theo (2.10), π sn (g; cos θ) = 2π [G(φ + θ) + G(φ − θ)] sin((2n + 1)/2)φ dφ, sin(φ/2) (2.12) áp dụng ( 2.12 ) với g = p∗n − f cho π | sin((2n + 1)/2)φ| dφ sin(φ/2) |sn (p∗n − f )| ≤ En (f ) π Mặt khác, số π Ln = π | sin((2n + 1)/2)φ| dφ, sin(φ/2) số Lebesgue thỏa mãn bất đẳng thức Ln < + log n π2 Thay vào ta có điều phải chứng minh 2.3 Hệ số Trêbưsep Bây đánh giá hệ số Trêbưsep Tính hữu ích tổng riêng sn (f ) khai triển Trêbưsep hàm f phần trước trở nên quan trọng phương pháp nghiên cứu tổng riêng, nghĩa phương pháp đánh giá hệ số Ak = Ak (f ) định nghĩa Ak = π f (x)Tk (x) √ −1 dx − x2 , k = 0, 1, (2.13) Từ hệ số định nghĩa tích phân, phương pháp tơi để nghiên cứu phương pháp phép cầu phương khác nhau, 47 phép lấy tích phân số, áp dụng cho ( 2.13 ) Bằng cách ứng (m) dụng công thức cầu phương Gauxơ dựa sở ξ1(m), , ξm , ta thu xấp xỉ Ak m = m (m) αk (m) f (ξi (m) )Tk (ξi (2.14) ), i=1 từ công thức cầu phương xác cho f Tk ∈ P2m−1 ta có (m) αk = Ak (f ) (2.15) với f ∈ P2m−1−k Ta quan sát thấy rằng, ≤ k ≤ 2m (2.14) viết dạng m = m (m) αk (m) f (ξi (2m) )T2i−1 (ηk (2.16) ), i=1 từ (m) Tk (ξi π 2m π cos 2m ) = Tk cos(2i − 1) = T2i−1 Tk π 2m kπ cos 2m = Tk T2i−1 cos = T2i−1 theo Tm (Tn (x)) = Tn (Tm (x)) Nếu khai triển Chebyshev hàm f hội tụ tới f [-1; 1] m > k, (m) αk = π m ∞ ′ i=1 = (m) ) Tk (ξi ) j=0 ∞ ′ (m) Aj Tj (ξi Aj j=1 m m (m) Tj (ξi ) i=1 ∞ (−1)j (A2jm−k + A2jm+k ) = Ak + j=1 (2.17) 48 Lưu ý đặt k = m ( 2.17 ) ta thu αk(k) = 0, tất nhiên, rõ ràng từ ( 2.14 ) Công thức (2.14) cung cấp ước lượng cho sai số Ak − αk(m) Ta đặt n (m) un (x) (2.18) ′ (m) αk Tk (x), = k=0 giá trị xấp xỉ sn (x) đạt cách sử dụng xấp xỉ ( 2.14 ) đến Ak Đa thức un(m) liên quan đến đa thức nội suy Định lý 2.3.1 ([1], Theorem 3.11) Nếu n < m (2.19) (m) un (x) = sn (Lm−1 (f, T ); x) Chứng minh Giả sử m−1 ′ Lm−1 (x) = bj Tj (x) j=0 cho bj = π Lm−1 (x)Tj (x) √ −1 dx − x2 , j = 0, , m − Vì vậy, từ (2.15), ta có bj = m = m m (m) Lm−1 (ξi (m) )Tj (ξi ) i=1 m (m) f (ξi (m) )Tj (ξi (m) ) = αj i=1 với j = 0, , m − Từ m − ≥ n, ta có (2.19) (n+1) Chú ý Nếu m = n + 1, u(n+1) (x) = Ln (f, T ; x) nghĩa un đa n thức nội suy f khơng điểm Tn+1 49 Từ đó, cho −1 ≤ x ≤ n < m, n |sn (x) (m) − un (x)| ′ = k=0 n (−1)j−1 (A2jm−k + A2jm+k ) Tk (x) j=1 k=0 ∞ n ′ j=1 k=0 ∞ ≤ ∞ ′ = ≤ (m) (Ak − αk )Tk (x) (|A2jm−k | + |A2jm+k |) 2jm+n j=1 i=2jm−n |Ai |, ta thu Định lý 2.3.2 ([1], Theorem 3.12) Nếu m > n ∞ ||sn − (m) un || ≤ 2jm+n j=1 i=2jm−n |Ai | (2.20) 2.4 Tính chất tối ưu khai triển Trêbưsep Ta biết đa thức Trêbưsep thành viên họ lớn tập hợp đa thức trực giao Mỗi hàm khả tích có khai triển liên kết đa thức trực giao tập hợp khác Chúng ta chứng tỏ vài trường hợp khai triển Trêbưsep tốt ∞ Chúng ta nhắc lại đa thức siêu cầu {p(λ) n (x)}n=0 gồm đa thức (p(λ) n có bậc n ) trực giao I với hàm trọng lượng wλ (x) = (1 − x2 )λ−1/2 , λ > − Do chuẩn hóa đa (λ) thức siêu cầu cho pn (1) = p(0) n = Tn , trường hợp λ = cho ta đa thức Legendre, λ = cho ta đa thức Chebyshev loại n Mục đích cộng vào quy ước p(∞) n (x) = x , có nghĩa khai triển chuỗi p(∞) có gốc khai triển Taylor n 50 Với < λ < ∞, ta có n (λ) pn (x) (2.21) ′ (λ) aj,n Tj (x) = j=0 với (λ) (λ) aj,n ≥ 0, (λ) j = 0, , n; n = 0, 1, 2, ; a0,n + a1,n > 0, (2.22) (2.22) λ = ∞ Rõ ràng hệ (2.21) (2.22) cho λ > (λ) |pn | ≤ pn(λ) (1) = Giả sử − ≤ x ≤ (2.23) n (λ) fk (λ)pk (x), sn,λ (f ; x) = n = 0, 1, 2, , k=0 tổng riêng khai triển f chuỗi p(λ) k , ta đặt max |f (x) − sn,λ (f ; x)| = ||f − sn,λ (f )|| = Sn (f ; λ) −1≤x≤1 Định lý 2.4.1 ([1], Theorem 3.17) Nếu λ > 0, fk (λ) ≥ với k > n ∞ (2.24) fk (λ) k=0 hội tụ, Sn (f ; λ) ≥ Sn (f ; 0) = Sn (f ) (2.25) Dẫu xảy f ∈ Pn Chứng minh ∞ Sn (f ; λ) = f (1) − sn,λ (1) = fk (λ) k=n+1 (2.26) 51 Ta có Aj (f ) = π f (x)Tj (x) √ −1 dx − x2 ∞ = π dx (λ) k=0 −1 fk (λ)pk (x) Tj (x) √  ∞ fk (λ)  = k=0 ∞ − x2 π (λ) pk (x)Tj (x) √ −1 dx − x2 (λ)   (2.27) fk (λ)aj,k , = k=j a(λ) j,k xác định (2.21) số hạng - - số hạng phép lấy tích phân khẳng định hội tụ ( 2.24 ) mang tâm trí chuẩn hóa p(λ) k Ngồi ra, từ (2.21) ta có (λ) (λ) (λ) a + a1,k + · · · + an,k = 1; 0,k n ∞ ∞ fk (λ) fk (λ) = n j=0 ∞ (λ) fk (λ)aj,k k=n+1 + j=n+1 ∞ Aj (f ), =C+ j=n+1 theo (2.27), với C ≥ Từ Aj (f ) ≥ với j = n + 1, , (2.27), ta có ∞ Aj (f ) = Sn (f ; 0) j=n+1 (λ) fk (λ)aj,k k=0 k=n+1 ∞ ′ = ∞ ′ = j=0 k=n+1 k=n+1 ∞ ′ (λ) aj,k   ∞ (λ) k=j  fk (λ)aj,k  (2.28) 52 phần thứ định lý chứng minh (λ) Nếu f ∈ / Pn cho, chẳng hạn fm (λ) > với m > n, từ a0,m (λ) (λ) a(λ) 1,m dương theo ( 2.22), hay fm (λ)a0,m fm (λ)a1,m dương đại lượng C ( 2.28 ) dương, (2.25) làm xảy bất đẳng thức Chú ý Thực tế (2.25) thay Sn (f ; µ) ≥ Sn (f ; 0), (2.29) ≤ µ ≤ λ Để thấy rõ điều này, cần phải thông tin − < µ ≤ λ n (λ) pn (x) (λ,µ) (µ) aj,n pn (x) = j=0 (λ,µ) aj,n ≥ 0, j = 0, , n; n = 0, 1, 2, Do tương tự ( 2.27 ) cho ∞ (λ,µ) fk (λ)aj fj (µ) = , (2.30) k=j fk (λ) ≥ với k > n kéo theo fk (λ) ≥ với k > n, định lý áp dụng với λ thay µ, với điều kiện ∞ k=0 fk (µ) < ∞ Điều suy từ tương tự (2.28) (với a(λ) j,k thay a(λ,µ) tương tự trên) j,k Chú ý Định lý lại hệ số fk (λ) xen kẽ dấu với k > n Quan sát, ta thấy p(λ) k hàm chẵn với k chẵn hàm lẻ với k lẻ; áp dụng định lý cho f (−x) chứng minh kết tương tự cho hệ số xen kẽ liên tiếp 53 Chú ý Nếu hệ số không dương không xen kẽ dấu, (2.29) không cần phải giữ, ví dụ f (x) = x3 − x2 − x; λ = ∞; n = 0, chứng tỏ điều Ta có, với ≤ α < ∞ f0 (α) = −1 f (x)(1 − x2 )α−1/2 dx −1 = − (1 − x2 )α−1/2 dx x (1 − x2 )α−1/2 dx −1 −1 (1 − x2 )α−1/2 dx Một tính tốn nhỏ cho S0 (f ; 0) = 0.89 , S0 (f ; ∞) = 1.5, S0 (f ; 0.1) = 0.82 =− 41+α Kết luận Trong luận văn trình bày khái niệm Đa thức Trêbưsep xấp xỉ Trêbưsep Luận văn đạt Tổng quan đa thức Trêbưsep loại 1, loại tính chất tính chất nghiệm đa thức, tính chất trực giao, Một số ứng dụng đa thức Trêbưsep chứng minh định lí Berstein- Markov Trình bày xấp xỉ Trêbưsep xấp xỉ hàm số đa thức Trêbưsep, đánh giá hệ số đa thức Trêbưsep tính chất tối ưu khai triển Trêbưsep Luận văn phát triển lí thuyết xấp xỉ, Lý thuyết nội suy, Tuy nhiên thời gian thực luận văn khơng nhiều trình độ có hạn nên khơng thể tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận góp ý q thầy cô bạn đọc Tài liệu tham khảo [1] Theodore J Rivlin, The Chebyshev polynomials, John Wiley & Sons, 1974 [2] G.Poslya G Szego, Problems and Theorems in Analysis (Volume II), Springer- Verlag, 1976 [3] Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, NXB Văn hóa thơng tin, 2006 [4] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số & Phân thức hữu tỉ, NXBGD, 2002 [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Giới hạn Dãy số &Hàm số, NXBGD, 2002 [6] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, Một số toán chọn lọc lượng giác, NXBGD, 2006 55