Đa thức trêbưsep và xấp xỉ trêbưsep

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC PHẠM MINH ĐẠO ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC PHẠM MINH ĐẠO ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội 2014 Mục lục Phần mở đầu Chương Đa thức Trêbưsep 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất 10 1.3 Một vài ứng dụng đa thức Trêbưsep 22 1.3.1 Độ lệch đa thức 22 1.3.2 Định lí Berstein Markov 29 Chương Xấp xỉ Trêbưsep 35 2.1 Xấp xỉ hàm số đa thức Trêbưsep 35 2.2 Chuỗi Trêbưsep 42 2.3 Hệ số Trêbưsep 46 2.4 Tính chất tối ưu khai triển Trêbưsep 49 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 PHẦN MỞ ĐẦU Đa thức Trêbưsep (P.L Chebyshev) có vị trí đặc biệt tốn học Nó xuất toán toán học sơ cấp, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Đa thức Trêbưsep có nhiều ứng dụng toán học Lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, Vì đa thức Trêbưsep quan trọng, nên có nhiều báo cơng trình tốn học nghiên cứu Chính nên thầy hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn giao cho làm luận văn thạc sỹ khoa học với tên đề tài "ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP" Luận văn trình bày để làm rõ đa thức Trêbưsep loại 1, loại ứng dụng đa thức Trêbưsep chứng minh định lí Berstein Markov, xấp xỉ Trêbưsep Ngồi phần mở đầu luận văn gồm hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Đa thức Trêbưsep Chương giới thiệu định nghĩa đa thức Trêbưsep loại 1, loại số tính chất tính chất trực giao, Phần cuối chương số ứng dụng đa thức Trêbưsep độ lệch đa thức chứng minh định lí Berstein Markov Chương Xấp xỉ Trêbưsep Chương giới thiệu xấp xỉ hàm số đa thức Trêbưsep, chuỗi Trêbưsep, hệ số Trêbưsep tối ưu khai triển Trêbưsep Luận văn trình bày hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tơi xin gửi lời cám ơn tời tồn thầy giáo khoa TốnCơTin học, Khoa sau đại học trường Đạ i học KHTN Đại học quốc gia Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tơi su ốt q trình học tập Tôi xin cảm ơn bạn lớp cao học tốn 20112013 ngh ành Tốn Giải tích Khoa Tốn CơTin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG Hà Nội nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, đồng nghiệp học sinh trường THPT Yên Phong số Bắc Ninh độ ng viên tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Chương Đa thức Trêbưsep 1.1 Định nghĩa Trước hết, ta nhắc lại đa thức hàm số p(x) viết dạng p(x) = a0 + a1x + n + anx , a0, , an số thực x biến thực Nếu an = 0, ta nói p đa thức bậc n Tập hợp đa thức có bậc khơng vượt q n ta kí hiệu Pn; nghĩa là, p(x) = a0 + a1x + k + akx k ≤ n p ∈ Pn Xét hàm số Tn(x) = cos nθ, n số tự nhiên, x = cos θ, ≤ θ ≤ π Khi θ tăng từ đến π x giảm từ đến Hàm số Tn(x) định nghĩa (1.2) xác định khoảng −1 ≤ x ≤ 1, ta kí hiệu khoảng I; có nghĩa là, cho x ∈ I, ta tìm giá trị θ = arccos x thỏa mãn ≤ θ ≤ π Tn(x) có giá trị cos nθ Vì Tn(x) hàm số đơn trị xác định I, viết sau ≤ arccos x ≤ π Ta nhắc lại inθ e n = (cos θ + i sin θ) = cos nθ + i sin nθ Dùng khai triển nhị thức Newton, ta có n n (cos θ + i sin θ) = cos θ + Cn cos n−1 θ(i sin θ) Cân phần thực phương trình (1.4), ta thu n n−2 cos nθ = cos θ − Cn cos 2[n/2] + (−1)[n/2]Cn θ sin θ + Cn cos n−4 θ sin θ + cosn−2[n/2] θ sin2[n/2] θ Thay sin θ = − cos2 θ vào (1.5) ta thu [n/2] cos nθ = q=0 Vế phải (1.6) đa thức với x = cos θ, hàm số Tn(x) định nghĩa (1.3) đa thức Ta tiến tới xác định hệ số chúng Vế phải (1.6) có hình dạng tổng tam giác; cụ thể là, ta q viết Aq = (−1) Cn 2q cos n−2q θ, q = 0, , n , k k Bk,q = (−1) Cq cos 2k θ, k = 0, 1, , q, cos nθ = A0B0,0 +A B 0,1 +A B 1,1 + +A B [n/2] 0,[n/2] ++ A [n/2] B [n/2],[n/2] Cộng lại lấy tổng bên phải ( 1.7 ) cởi đường chéo kế tiếp, ta thu cos nθ = (A B + (A B 0 0,1 0,0 +A B +A B 1,2 + 1,1 + +A +A [n/2] B B [n/2],[n/2] [n/2] [n/2]−1,[n/2] ) ) + + + (A A [n/2]−1 B B 0,[n/2]−1 [n/2] 0,[n/2] ; +A [n/2] B 1,[n/2] ) hoặc, cách thay Aq Bk,q với vị trí đứng chúng cho cos nθ = Đẳng thức (1.8) biểu thị Tn(x) đa thức bậc n Nếu ta viết Tn(x) = t0 + t1x + Thì từ (1.8), ta rút t n−(2k+1) = 0, tn−2k = (−1) k j=k Vậy Tn(x) có giá trị I, đa thức bậc n, xác định với giá trị x (đúng cho số phức x) Đa thức Tn(x) gọi đa thức Trêbưsep bậc n, ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep loại đa thức Tn(x) thỏa mãn điều kiện Tn(x) := cos(n arccos x) Với n = T0(x) = 1, n = T1(x) = x, n = T2(x) = 2x − 1, n = T3(x) = 4x − 3x, n = T4(x) = 8x − 8x + 1, n = T5(x) = 16x − 20x + 5x Hình 1.1: Đồ thị T0, T1, T2, T3, T4, T5 Đặt cos θ = x (θ = arccos x), ta có cos(k − 1)θ = Tk−1(cos θ), cos kθ = Tk(cos θ) Từ hệ thức cos(k + 1)θ + cos(k − 1)θ = cos θ cos kθ, suy Tk+1(cos θ) = cos θ cos kθ − cos(k − 1)θ = cos θTk(cos θ) − Tk−1(cos θ) Hay Tk+1(x) = 2xTk(x) − Tk−1(x) Từ ta đưa đến định nghĩa sau tương đương với Định nghĩa 1.1.1 sau Định nghĩa 1.1.2 Với n ∈ N, đa thức Trêbưsep (loại 1) bậc n đa thức Tn(x) ,xác định sau T0(x) = 1, T2(x) = x Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x) (n ≥ 1) Lấy vi phân Tn(x) = cos nθ x ta thu ′ Tn (x) = Từ ta có định nghĩa sau Un(x) = (trong cos θ = x (θ = arccos x)) gọi đa thức Trêbưsep loại Theo Định nghĩa 1.1.3, ta có n = U0(x) = 1; n = U1(x) = 2x; n = U2(x) = 4x − 1; n = U3(x) = 8x − 4x; n = U4(x) = 16x − 12x + 1; n = U5(x) = 32x − 32x + 6x ∗ ∗ ∗ ∗ |f − sn(f )| = |f − p n + p n − sn(f )| = f − p n + sn(p n − f ) ≤ ∗ En(f ) + |sn(p n − f )|, 46 nhưng, theo (2.10), sn(g; cos θ) = áp dụng ( 2.12 ) với g = pn∗ − f cho s | Mặt khác, số số Lebesgue thỏa mãn bất đẳng thức Thay vào ta có điều phải chứng minh 2.3 Hệ số Trêbưsep Bây đánh giá hệ số Trêbưsep Tính hữu ích tổng riêng sn(f ) khai triển Trêbưsep hàm f phần trước trở nên quan trọng phương pháp nghiên cứu tổng riêng, nghĩa phương pháp đánh giá hệ số Ak = Ak(f ) định nghĩa Ak = Từ hệ số định nghĩa tích phân, phương pháp tơi để nghiên cứu phương pháp phép cầu phương khác nhau, 47 phép lấy tích phân số, áp dụng cho ( 2.13 ) Bằng cách ứng (m) (m) dụng công thức cầu phương Gauxơ dựa sở ξ1 , , ξm , ta thu xấp xỉ Ak từ công thức cầu phương xác cho f Tk ∈ P2m−1 ta có với f ∈ P2m−1−k Ta quan sát thấy rằng, ≤ k ≤ 2m (2.14) viết dạng từ (m) T (ξ k i theo Tm(Tn(x)) = Tn(Tm(x)) Nếu khai triển Chebyshev hàm f hội tụ tới f [1; 1] m > k, α j=1 48 (k) Lưu ý đặt k = m ( 2.17 ) ta thu αk = 0, tất nhiên, rõ ràng từ ( 2.14 ) Công thức (2.14) cung cấp ước lượng (m) cho sai số Ak − αk Ta đặt k=0 u(m) n (m) n giá trị xấp xỉ sn(x) đạt cách sử dụng xấp xỉ ( 2.14 ) đến Ak Đa thức u liên quan đến đa thức nội suy Định lý 2.3.1 ([1], Theorem 3.11) Nếu n < m Chứng minh Giả sử cho bj = Vì vậy, từ (2.15), ta có (x) = với j = 0, , m − Từ m − ≥ n, ta có (2.19) (n+1) (n+1) Chú ý Nếu m = n + 1, un (x) = Ln(f, T ; x) nghĩa un thức nội suy f khơng điểm Tn+1 49 Từ đó, cho −1 ≤ x ≤ n < m, n ( m) |sn(x) − u n (x)| = ′ (m) (Ak − αk )Tk(x) k=0 n ′ = k=0 ∞ (−1) j−1 (A2jm−k + A2jm+k) Tk(x) j=1 ∞ n ′ ≤ (|A2jm−k| + |A2jm+k|) j=1 k=0 ∞ 2jm+n ≤ |Ai|, j=1 i=2jm−n ta thu Định lý 2.3.2 ([1], Theorem 3.12) Nếu m > n (m) ||sn − un || ≤ j=1 i=2jm−n 2.4 Tính chất tối ưu khai triển Trêbưsep Ta biết đa thức Trêbưsep thành viên họ lớn tập hợp đa thức trực giao Mỗi hàm khả tích có khai triển liên kết đa thức trực giao tập hợp khác Chúng ta chứng tỏ vài trường hợp khai triển Trêbưsep tốt ( λ) Chúng ta nhắc lại đa thức siêu cầu {p n (x)}∞n=0 gồm ( λ) đa thức (p n có bậc n ) trực giao I với hàm trọng lượng wλ(x) = (1 − x2)λ−1/2, λ > − Do chuẩn hóa đa thức ( λ) (0) siêu cầu cho p n (1) = p n = Tn, trường hợp λ = cho ta đa thức Legendre, λ = cho ta đa thức Chebyshev loại ( ) Mục đích cộng vào quy ước p n∞ (x) = xn, có ( ) nghĩa khai triển chuỗi p n∞ có gốc khai triển Taylor 50 Với < λ < ∞, ta có (λ) pn (x) = với (λ) aj,n (λ ) (λ ) ≥ 0, j = 0, , n; n = 0, 1, 2, ; a0 ,n + a1 ,n > 0, (2.22) λ = ∞ Rõ ràng hệ (2.21) (2.22) cho λ > Giả sử sn,λ(f ; x) = tổng riêng khai triển f chuỗi p(λ) max −1≤x≤1 Định lý 2.4.1 ([1], Theorem 3.17) Nếu λ > 0, fk(λ) ≥ với k > n ∞ fk(λ) k=0 hội tụ, Sn(f ; λ) ≥ Sn(f ; 0) = Sn(f ) Dẫu xảy f ∈ Pn Chứng minh Sn(f ; λ) = f (1) − sn,λ(1) = k=n+1 51 Ta có a(λ) xác định (2.21) số hạng phép lấy tích phân khẳng định hội tụ ( 2.24 ) mang tâm trí chuẩn hóa p(λ) Ngồi ra, từ (2.21) ta có =C+ theo (2.27), với C ≥ Từ Aj (f ) ≥ với j = n + 1, , (2.27), ta có ∞ Aj (f ) = Sn(f ; 0) j=n+1 52 phần thứ định lý chứng minh ( λ Nếu f ∈/ Pn cho, chẳng hạn fm(λ) > với m > n, từ a ( λ ) a ,m dương theo ( 2.22), hay ( λ ) fm(λ)a ,m ( λ ) fm(λ)a ,m ) ,m dương đại lượng C ( 2.28 ) dương, (2.25) làm xảy bất đẳng thức Chú ý Thực tế (2.25) thay Sn(f ; µ) ≥ Sn(f ; 0), ≤ µ ≤ λ Để thấy rõ điều này, cần phải thông tin − (λ) pn (x) = j=0 ( a j,n λ,µ) ≥ 0, j = 0, , n; n = 0, 1, 2, Do tương tự ( 2.27 ) cho ∞ (2.30) ( λ,µ) fj (µ) = fk(λ)a j , k=j fk(λ) ≥ với k > n kéo theo fk(λ) ≥ với áp k > n, định lý dụng với λ thay µ, với điều kiện ∞ fk(µ) < ∞ k=0 ( λ) Điều suy từ tương tự (2.28) (với a j,k ( λ,µ) thay a j,k tương tự trên) Chú ý Định lý lại hệ số fk(λ) xen kẽ dấu với k > n ( λ) Quan sát, ta thấy p k hàm chẵn với k chẵn hàm lẻ với k lẻ; áp dụng định lý cho f (−x) chứng minh kết tương tự cho hệ số xen kẽ liên tiếp 53 Chú ý Nếu hệ số không dương không xen kẽ dấu, (2.29) 3 không cần phải giữ, ví dụ f (x) = x − x − x; λ = ∞; n = 0, chứng tỏ điều Ta có, với ≤ α < ∞ α−1/2 f (x)(1 − x ) dx −1 Một tính tốn nhỏ cho S0(f ; 0) = 0.89 , S0(f ; ∞) = 1.5, S0(f ; 0.1) = 0.82 Kết luận Trong luận văn tơi trình bày khái niệm Đa thức Trêbưsep xấp xỉ Trêbưsep Luận văn đạt Tổng quan đa thức Trêbưsep loại 1, loại tính chất tính chất nghiệm đa thức, tính chất trực giao, Một số ứng dụng đa thức Trêbưsep chứng minh định lí Berstein Markov Trình bày xấp xỉ Trêbưsep xấp xỉ hàm số đa thức Trêbưsep, đánh giá hệ số đa thức Trêbưsep tính chất tối ưu khai triển Trêbưsep Luận văn phát triển lí thuyết xấp xỉ, Lý thuyết nội suy, Tuy nhiên thời gian thực luận văn khơng nhiều trình độ có hạn nên khơng thể tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Tài liệu tham khảo [1] Theodore J Rivlin, The Chebyshev polynomials, John Wiley & Sons, 1974 [2] G.Poslya G Szego, Problems and Theorems in Analysis (Volume II), Springer Verlag, 1976 [3] Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, NXB Văn hóa thơng tin, 2006 [4] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số & Phân thức hữu tỉ, NXBGD, 2002 [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, Giới hạn Dãy số &Hàm số, NXBGD, 2002 [6] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, Một số toán chọn lọc lượng giác, NXBGD, 2006 55 ... với tên đề tài "ĐA THỨC TRÊBƯSEP VÀ XẤP XỈ TRÊBƯSEP" Luận văn trình bày để làm rõ đa thức Trêbưsep loại 1, loại ứng dụng đa thức Trêbưsep chứng minh định lí Berstein Markov, xấp xỉ Trêbưsep Ngồi... 3T0(x)] Đa thức Trêbưsep sử dụng để làm xấp xỉ số đa thức để ngược lại việc sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu Sử dụng tính chất trực giao đa thức Trêbưsep cho phép xấp xỉ hàm số đa thức Trêbưsep. .. Tn đẳng thức với x ∈ I, thay x 2x cho ta kết 22 1.3 Một vài ứng dụng đa thức Trêbưsep 1.3.1 Độ lệch đa thức Một khâu quan trọng việc xấp xỉ, với đa thức P (x), cần xác định "độ lệch" đa thức đoạn