Sáng kiến kinh nghiệm Rèn khả năng tư duy logic trong dạy học toán chứng minh

Vì thế Toán học được coi là " môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết c

tư duy lôgic hình thức.Có nghĩa là khi xây dựng Toán học, người ta dùng suy diễnlôgic, nói rõ hơn là phương pháp tiên đề Theo phương pháp đó, xuất phát từ cáckhái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc lôgic để định nghĩa các

khái niệm khác và chứng minh các vấn đề khác Vì thế Toán học được coi là " môn

thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các

vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh và sáng tạo"(Phạm Văn Đồng).

Bởi vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán

học ở trường phổ thông đó là "Dạy suy nghĩ" Phải có sự suy nghĩ chính xác thì

mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được Hoạt động học tậpmôn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa Như vậy rèn luyện khảnăng tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy toán là một vấn đề tối thiểu cầnthiết và rất đáng để đầu tư công sức

2 Cơ sở thực tiễn.

Khi trình bày môn Toán cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp họcngười ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính lôgic Cụ thể là : Mô tả(khôngđịnh nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứngminh ) một số mệnh đề không phải là tiên đề, hoặc chấp nhận một số chứng minhchưa chặt chẽ Tuy vậy, nhìn chung chương trình toán THCS vẫn mang tính lôgic,

hệ thống: Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức được sắp xếp như mộtchuỗi mắt xích liên kết với nhau chặt chẽ Bởi thế học sinh muốn lĩnh hội được cáckiến thức toán học thì phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu củachương trình Cụ thể là phải nhận thức được mối liên hệ lôgic giữa các mệnh đềtoán học, biết suy luận để tìm ra những tính chất mới từ những tính chất đã biết,vận dụng các kiến thức đó để giải các bài tập đa dạng Như vậy, rõ ràng học sinhphải biết phân tích cấu trúc của các định nghĩa khái niệm, các mệnh đề, biết vậndụng kiến thức thông qua việc sử dụng các quy tắc suy luận lôgic mà trong sáchgiáo khoa lại thể hiện dưới dạng không tường minh Bằng chứng cụ thể là trongchương trình toán ở trường THCS rất nhiều kí hiệu và ngôn ngữ lôgic toán đã đượcđưa vào sử dụng(Chẳng hạn:  ,  ,  ,  ,  ,  , mệnh đề đảo, phản đảo, mệnh đềphủ định, chứng minh phản chứng ), tuy nhiên vì lí do sư phạm, trong chươngtrình không có chương nào, thậm chí không có bài nào dạy riêng về vấn đề lôgichọc Các kí hiệu và ngôn ngữ lôgic, liên từ lôgic được giới thiệu và hình thành dầndần trong quá trình học tập các phần kiến thức liên quan.(Khi nào cần đến chúngthì giới thiệu, cung cấp và hướng dẫn sử dụng) Các phương pháp suy luận, chứngminh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách

"ngấm ngầm " thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể ăn khớp với chúngtrong quá trình học tập bộ môn

Do đó, trong điều kiện tôn trọng nội dung sách giáo khoa và kế hoạch dạy học đãquy định hiện hành, đồng thời để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinhTHCS, muốn cho học sinh học toán có hiệu quả thì người thầy giáo dạy toán phảikhéo léo dạy cho học sinh cách tư duy lôgic Khả năng tư duy lôgic không chỉ làcái đích cần đạt mà còn là phương tiện giúp học sinh học tốt môn toán Tuy nhiên,như đã trình bày, vì kiến thức về lôgic học chỉ "chạy ngầm " trong sách giáo khoanên mặc dù cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xuyên nhưng vìkhông nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em vàcũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó

***************************************************************************************

Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối vớihiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCS nóiriêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh, tôiluôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác nhaucủa giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy Tôi đã phát hiện ra rằng khihọc loại toán chứng minh đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lôgic chặt chẽ và

đó cũng là môi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em Vì vậy,

tôi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học".

II Lịch sử của đề tài.

Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trongquá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khókhăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng caonăng lực tư duy toán học Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực khôngngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khảnăng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảngdạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh Những kết quả thu được báohiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thànhbản sáng kiến kinh nghiệm này

III Mục đích - nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu.

2 Nhiệm vụ:

2.1 Nghiên cứu về mặt lý luận các khái niệm liên quan đến khả năng tưduy lôgic, tư duy lôgic toán học.

2.2 Tìm hiểu thực trạng về khả năng tư duy lôgic toán học trong học sinhTHCS

2.3 Tìm hiểu mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tậpmôn Toán ở học sinh THCS

2.4 Tìm hiểu cơ chế hình thành và phát triển kỹ năng tư duy lôgic toán họctrong học tập môn Toán

2.5 Nghiên cứu nội dung, mục tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa vàđặc biệt quan tâm đến nội dung dạy học môn Toán mà trong đó ẩn chứa nhiềunhất khả năng phát triển tốt tư duy lôgic toán học cho học sinh Thu thập, phântích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinhTHCS tại các lớp mình giảng dạy

2.6 Phân tích những thành công, thất bại và nguyên nhân của những thànhcông thất bại đó từ đó rút kinh nghiệm, lựa chọn và cải tạo các biện pháp hìnhthành và phát triển khả năng tư duy lôgic toán học cho học sinh sao cho hiệu quảnhất

3 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài này được hoàn thành bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, phươngpháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm sư phạm trên đối tượnghọc sinh THCS trong khi học loại toán chứng minh

IV Phạm vi nghiên cứu.

Như đã trình bày ở trên, lôgic nội tại của toán học là lôgic hình thức và mốiquan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và hiệu quả học tập môn Toán là hai vấn đề

có mối quan hệ biện chứng với nhau Để học tốt môn Toán người học phải có khảnăng nhất định về tư duy lôgic Ngược lại khả năng tư duy lôgic được hình thành

và phát triển tốt hơn trong học tập môn Toán Vì thế, việc hình thành khả năng tưduy lôgic cho học sinh là một quá trình lâu dài, đòi hỏi sự quan tâm ngay từ đầu

***************************************************************************************

và duy trỡ bền bỉ trong suốt cả quỏ trỡnh dạy học chương trỡnh Toỏn THCS Mọibài toỏn, mọi đối tượng toỏn học đều ẩn chứa trong đú yếu tố lụgic học Vỡ vậytrong mọi giờ học toỏn dự chớnh khoỏ hay ngoại khoỏ, dự dạy kiến thức mới hayluyện tập, ụn tập, dự với đối tượng học sinh khỏ giỏi hay yếu kộm đều cú thể thựchiện được vấn đề rốn tư duy lụgic.Tuy nhiờn để cú điều kiện nghiờn cứu sõu, tỡmhiểu kỹ thỡ trong đề tài này tụi tập trung nghiờn cứu thể nghiệm chủ yếu trongloại toỏn chứng minh Bởi vỡ trong điều kiện này khả năng tư duy của cỏc emđược bộc lộ rừ nhất và cũng thuận lợi cho việc kiểm tra kết quả thực nghiệm ởmột nội dung cụ thể nào đú Để đảm bảo yờu cầu sư phạm và tớnh phổ dụng rộngrói của đề tài, cỏc bài toỏn, cỏc vấn đề được sử dụng trong đề tài mang tớnh vừasức với đối tượng học sinh THCS.

V Đổi mới trong kết quả nghiờn cứu.

Qua nghiờn cứu và thử nghiệm nhiều năm trờn nhiều đối tượng học sinhTHCS thuộc cỏc lớp tụi đó giảng dạy cho thấy kết quả rất khả quan

Trước một vấn đề , một bài toỏn đặt ra, học sinh bước đầu biết "cỏch suy nghĩ"định hướng, lựa chọn phương phỏp phự hợp Khi tỡm ra cỏch giải quyết vấn đềcỏc em đó trỏnh khỏi những sai lầm trong cỏch suy nghĩ cũng như khi trỡnh bàybài làm do khả năng tư duy lụgic được rốn luyện tốt Từ đú, cỏc em biết trỡnh bày,lập luận một cỏch chặt chẽ, hợp lý, ngắn gọn sỳc tớch và đầy đủ Qua đú hỡnhthành thúi quen xem xột vấn đề ở cỏc gúc độ khỏc nhau theo cỏc chiều hướngkhỏc nhau Hơn thế nữa, khi khả năng tư duy lụgic của học sinh được nõng lờncũng gúp phần đỏng kể trong việc hỡnh thành cỏc phương phỏp học tập phự hợpvới cỏc bộ mụn khỏc kể cả năng lực tư duy lụgic trong đời sống hằng ngày

B Nội dung đề tài

I Làm rừ cỏc khỏi niệm.

1.Tư duy lụgic như đó núi ở trờn là "chỡa khoỏ" để tối ưu hoỏ khả năng phỏt

triển cỏ nhõn và khả năng hoạch định cụng vịờc một cỏch cú hiệu quả

2 Chứng minh toán học là thao tác lôgic dùng để lập luận tính đúng đắn của

một phát biểu, một tính chất hay mệnh đề nào đó dựa trên những khái niệm,những tính chất đã được coi là đúng khác mà chúng có mối liên hệ chặt chẽ vớinhau

3 Rèn luyện khả năng tư duy lôgic trong học toán là rèn luyện khả năng linh

hoạt, sáng tạo trong suy nghĩ, khả năng phân tích, suy luận, chứng minh một tìnhhuống, một vấn đề toán học hoặc vấn đề thực tiễn chặt chẽ, từ đó đưa ra chọn lựahợp lý các phương án giải quyết một cách nhạy bén, sắc sảo, phù hợp và tối ưunhất

II Tìm hiểu thực trạng khả năng tư duy lôgic toán học của học sinh tại trường THCS Anh Xuân nói riêng, học sinh THCS nói chung.

Trong mỗi giờ lên lớp ngay từ khi tiếp nhận giảng dạy đầu năm học tôi thườngxuyên quan tâm để ý đến các câu trả lời, cách phát biểu của các em trong mỗi vấn

đề, mỗi câu hỏi mà tôi nêu ra Kết quả cho thấy ở đa số học sinh thể hiện rõ sựnon yếu, thiếu chặt chẽ trong các câu trả lời Khi được yêu cầu phát biểu theo cáccách khác nhau cho cùng một vấn đề thì các em thật sự lúng túng Các em thiếuhẳn kỹ năng phân chia vấn đề để xem xét một cách đầy đủ các khả năng có thểxảy ra Đặc biệt là khâu trình bày tự luận ở các bài toán đòi hỏi suy luận, chứngminh cho thấy học sinh vấp phải nhiều sai lầm mà nguyên nhân chủ yếu là do khảnăng tư duy lôgic toán học còn non kém

Chẳng hạn:

 Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp 6 thì các em

đều biết: "Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1

và chính nó"

Và " Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"

Tuy nhiên khi hỏi:

" Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? " thì học sinh chỉ trả lời được phải " chứng tỏ nó là hợp số"

***************************************************************************************

Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lôgiccủa khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài toán.

 Hoặc khi gặp bài toán:

Cho số : 6 *

Tìm * để 6 * chia hết cho 2, cho 3 và cho 5

Không ít học sinh lần lượt xét * để 6 * chia hết cho 2 Rồi lại xét * để

*

6 chia hết cho 3

Trong trường hợp này học sinh không phân tích được bản chất của dấu phẩy

(,) cũng như từ "và" của bài toán Thực ra chúng là phép hội trong lôgic toán học.

 Đơn giản như khi ta cho học sinh viết gọn bằng kí hiệu câu diễn đạt sau:

"x là số lớn hơn 3 và bé hơn 4"

Trong thực tế ban đầu học sinh đều viết: x > 3 và x <4 Thậm chí có emcòn viết sai: x < 3 > 4

(Yếu tố lôgic toán "ngầm" chứa ở đây là " tuyển của hai hàm mệnh đề" - một vấn

đề rất cơ bản của lôgic toán học Tuy nhiên vì lý do sư phạm nên giáo viên khôngthể trình bày tường minh được mà phải khéo léo hướng dẫn bằng ngôn ngữ dễhiểu hơn, phù hợp với học sinh hơn)

 Ngay cả ở học sinh lớp 8, nếu không chú ý đến việc rèn luyện tư duy lôgic thì sai lầm vẫn diễn ra thường xuyên Thí dụ khi giải phương trìnhtích số: 2x 3x 7 0

Tôi đã gặp học sinh trình bày như sau:

0 3 2

x x

 





 7 2 3

Từ kết luận " Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB"

Nhiều học sinh đã kết luận " Nếu MA = MB thì M là trung điểm của đoạn

III Tìm hiểu thực tế mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập môn Toán ở học sinh THCS.

Khi tìm hiểu thực tế tôi thấy: Những học sinh học tốt môn Toán là những

em có khả năng tư duy lôgic rất tốt Ngược lại, nếu được rèn luyện thường xuyênkhả năng này thì hiệu quả học tập môn Toán được nâng lên rõ rệt Đặc biệt nhữnghọc sinh làm tốt dạng bài toán chứng minh là những em có khă năng tư duy lôgicrất tốt

IV.Phân tích những nội dung chương trình sách giáo khoa THCS có thể thực hiện hoạt động rèn luyện tư duy lôgic cho các em.

Nhìn chung hầu hết các nội dung trong chương trình sách giáo khoa đều

"ngầm chứa" yếu tố tư duy lôgic Trong dạy học khái niệm, định lý, dạy học luyệntập hay bài tập tổng hợp và ôn tập chương đều đòi hỏi giáo viên phải có ý thứckhai thác và rèn luyện thường xuyên để có thể tìm chọn biện pháp tốt nhất phùhợp với đối tượng học sinh mà mình giảng dạy Tuy nhiên về mặt lý luận cũngnhư thực tiễn giảng dạy bộ môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minhtoán học thì khả năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất

***************************************************************************************

V Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.

Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi vềchuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn tôi rút

ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic toánhọc tốt qua loại toán chứng minh

1 Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực tiếp

1.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí hiệu, hình vẽ và ngược lại.

Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang kí hiệu toán học,hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng Không những giúp chocác em nắm chắc cấu trúc của bài toán(cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các

em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướnghuy động các kiến thức có liên quan Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyệnkhả năng tư duy có lôgic

Dẫn chứng:

Ví dụ 1:

Ngay từ bài toán "Vỡ lòng" sau:

"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".

Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài toán bằng

kí hiệu (ở bài toán này chính là giả thiết, kết luận)

k B

A

Hay: ( Nếu ABCD là hình chữ nhật )  (AC = BD)

Với cách viết đó học sinh thấy rõ cấu trúc bài toán và "Khoanh vùng" kiến

thức cần huy động là các kiến thức đã học về hình chữ nhật Như thế ít nhất các

AB B,A (Từ A suy ra B, A đúng thì B đúng )

Thí dụ: Khi trình bày phần chứng minh bài toán trên giáo viên cần để ý đếnviệc vạch rõ tiền đề của từng kết luận lôgic trong lời giải.Chẳng hạn có thể trìnhbày lời giải bài toán trên như sau(đầy đủ và chi tiết, không bỏ qua tiền đề nào)

để có điều kiện làm rõ cấu trúc của lời giải:

1.A1) Trong hình chữ nhật các góc đều vuông và Từ định nghĩa

A3) Do đó A^  B^  900 và AD = BC Từ A1 và A2

2 A4) Nếu hai tam giác tam giác vuông có cạnh Định lí đã biết

A5) Hai tam giác vuông ABD và ABC có AB Theo A3

chung và AD =BC

A6) Do đó hai tam giác vuông ABD và ABC T ừ A4 v à A5

bằng nhau

3.A7) Nếu hai tam giác vuông bằng nhau thì Từ định nghĩa

cạnh huyền của chúng bằng nhau

A8)Hai tam giác vuông bằng nhau ABD và Theo A6

ABC có các cạnh huyền là AC và BD

A9) Do đó AC = BD Từ A7 và A8

4.A) Nếu ABCD là hình chữ nhật thì AC = BD

Trong quá trình đó cần tập trung chỉ rõ các kết luận lôgic được rút ra theoquy tắc kết luận như (A3, A6, A9).(Cần khéo léo lồng ghép vấn đề này vàoquá trình giảng dạy sao cho thông qua hàng loạt bài tập học sinh tiếp thuđược một cách ẩn tàng nhưng đòi hỏi kỹ năng vận dụng chúng lại phải

"nổi " rõ Đây cũng là một yêu cầu khó mà mức độ thành công rất cần đếnkinh nghiệm của mỗi giáo viên)

1.3 Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tích bài toán từ đó trình bày

từ sơ đồ này học sinh học được kỹ năng phân tích để trình bày bài giải mộtcách lôgic.

(GT)

( Định nghĩa) (Định nghĩa)

Hai tam giác ABD và

Chứng minh định lý về đường trung bình của một tam giác: "đường thẳng

đi qua trung điểm một cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ hai thì cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba".

* Vẽ hình và phân tích làm rõ cấu trúc của mệnh đề cần chứng minh códạng:

(AD = DB) và (DE // BC)  (AE = EC) ( Liên từ "và" thực chất là

"phép hội" trong lôgic toán học )

***************************************************************************************

ABCD là hình chữ nhật

AC = BD