Phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức viét

Chuyên đề phương trình bậc 2 và ứng dụng của hệ thức Vi Et giúp học sinh ôn luyện kiến thức về viet;tổng hợp các dạng bài toán hay và thường gặp trong đề tji toán vào lớp 10 của các trường về hệ thức ViEt và tổng hợp bài thi vào lớp 10 của các tỉnh trên cả nước năm 2017 liên quan đề Vi Ét.

PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ET

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ( 𝒂  𝟎) (1);  b2  4ac

0

  pt cú 2 nghiệm: x1 = -b -

2a



;

x2 = -b +

2a



0

  pt cú nghiệm duy nhất

2

b x a



0

  pt vụ nghiệm

Hệ thức vi- et:

Gọi x x1; 2 là 2 nghiệm của phương trỡnh

(1) ta cú:

1 2

1 2

b

S x x

a c

P x x

a



   







 Nếu a + b + c = 0 thì ph-ơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =

a c

 Nếu a – b + c = 0 thì ph-ơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

a c

 Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = m.n và 0 thì ph-ơng trình có nghiệm x1 = m ,

x2 = n

( hoặc x1 = n , x2 = m)

B CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

I TèM HAI SỐ BIẾT TặNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số cú Tổng bằng S và Tớch bằng P thỡ hai số đú là hai nghiệm của phương trỡnh :

2

0

x Sx P (Điều kiện để cú hai số đú là S2  4P  0 )

Vớ dụ : Tỡm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tớch P = ab = 4

Vỡ a + b = 3 và ab = 4 n ờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : 2

3 4 0

x  x  Giải phương trỡnh trờn ta được x 1 1 và x  2 4

Vậy nếu a = 1 thỡ b = 4

nếu a = 4 thỡ b = 1

II TèM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI Cể MỘT NGHIỆM CHO TRƯỚC TèM NGHIỆM THỨ HAI

Cách giải:

▪ Tìm điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm x= x1 cho tr-ớc có hai cách làm:

+) Cách 1:

- Lập điều kiện để ph-ơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:0 (hoặc /  0) (*)

- Thay x = x1 vào ph-ơng trình đã cho ,tìm đ-ợc giá trị của tham số

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đ-ợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận

+) Cách 2:

- Không cần lập điều kiện0 (hoặc /  0) mà ta thay luôn x = x1 vào ph-ơng trình đã cho, tìm đ-ợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đ-ợc của tham số vào ph-ơng trình và giải ph-ơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào ph-ơng trình , mà ph-ơng trình bậc hai này có

 < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để ph-ơng trình có nghiệm x1 cho tr-ớc

▪ Để tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm:

+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đ-ợc vào ph-ơng trình rồi giải ph-ơng trình (nh- cách 2

trình bầy ở trên)

+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đ-ợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đ-ợc nghiệm

thứ 2

+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đ-ợc vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm đ-ợc

nghiệm thứ 2

III TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối cỏc bài toỏn dạng này điều quan trọng nhất là các em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đó

cho về biểu thức cú chứa tổng nghiệm x1x2 và tớch nghiệm x x1 2 để ỏp dụng hệ thức VI-ẫT rổi

tớnh giỏ trị của biểu thức.

1 2 ( 1 2 1 2 2 ) 2 1 2 ( 1 2 ) 2 1 2

x x  x  x x x  x x  x x  x x

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2

x x  x x x x x x  x x  x x  x x 

1 2 ( 1) ( 2) 1 2 2 1 2 ( 1 2) 2 1 2 2 1 2

x x  x  x  x x  x x  x x  x x   x x

1 2 1 2

1 1 x x



 

Dạng 5 x1x2  ? Ta biết   2 2  2

Dạng 6 2 2

1 2

x x x1x2x1x2= (x1 x2)2  4x1x2.(x1x2)

Dạng 7 3 3

1 2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

x x x x x x  x x  x x x x 

Dạng 8 4 4

1 2

x x =  2 2 2 2

1 2 1 2

x x x x =……

Dạng 9 6 6

1 2

x x = 2 3 2 3  2 2 4 2 2 4

(x )  (x )  x x x x x x = ……

Dạng 10 6 6

1 2

x x  (x12)3 (x22)3  (x12x22 (x12)2x12.x22  (x22)2

Dạng 11 5 5

1 2

x x =(x13x23)(x12x22) x12.x22(x1x2)

Dạng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

2 1

2 1 2

1

2 )

)(

(

2 1

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a





















IV TèM HỆ THỨC LIấN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHễNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

Phương pháp:

Bước 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2:

0 0

a 



 



Bước 2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: 1 2

1 2

b

x x

a c

x x a



  







Bước 3- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số m theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó

đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Đó chính là

hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào m

Ví dụ: Cho phương trình : (1) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

và lập hệ thức liên hệ giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m

Bài giải:

2

Bước 1: Để phương trình (1) có 2 nghiệm x x1 ; 2 

1

16 4

0 20 16 0

20 5

m





Bước 2: Theo hệ thức Vi- et ta có:

m

m

Rút m từ (1) ta có :

1 2

1 2

m       x x

Rút m từ (2) ta có :

1 2

m      x x

1 ; 2

x x

Bước 3: Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

V TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO

Phương pháp:

Bước 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 : 0

0

a 



 



Bước 2- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT: 1 2

1 2

b

x x

a c

x x a



  







để giải phương trình

(có ẩn là tham số)

Bước 3- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

Ví dụ 1: Cho phương trình :

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :

Bài giải:

Bước 1: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là:



Bước 2: Theo hệ thức vi- ét ta c ó: 1 2

1 2

m

x x

m m

x x

m



  





Từ giả thiết: x1x2 x x1 2 Suy ra:

(thoả mãn điều kiện xác định )

Bước 3: Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức:

2

mx  m x m 

1

x x2 x1x2 x x1. 2

1

.

x x x x

Ví dụ 2: Cho phương trình : (1) Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn

hệ thức :

Bài giải:

Bước 1: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là:

0

64 16

60 64 0 [2(m-4)] 4 ( 7) 0 4( 8 16) 4 28 0

60 15

m





Bước 2: Theo hệ thức Vi-et ta có: 1 2

1 2

(1) 7

m

x x

m m

x x

m

  





- Từ  x1 2x2 Suy ra: 1 2 2 1 2 2 1 2

3

x x x

x x x x

x x x



- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: 2

m  m  m  m   (thỏa mãn điều kiện)

Bước 3: Vậy với m = 1 hoặc m= -128 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ

VI XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Cho phương trình: (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm …

Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm x1 x2 S  x1 x2 Px x1 2  Điều kiện chung

cùng dương, + + S > 0 P > 0   0   0; P > 0; S > 0

cùng âm   S < 0 P > 0   0   0; P > 0; S < 0

Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: 2   2

2x  3m1 xm   m 6 0 (1) có 2 nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm

Để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi:

2

1 2 2 0

x  x 

1 2 2 0

x  x 

1

x x2

1 2 2 0

x  x 

2

0

ax bx c

2 2

2 2

6

2

m

m m

Để phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu khi:

2 2

6

2

m

m m

Để phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dương khi:

2 2

0 2

m S





Để phương trình (1) có 2 nghiệm cùng âm khi:

2 2

0 2

m S





Vậy với   2 m 3 thì phương trình (1) có 2 nghi ệm trái dấu

Vậy với 2

3

m

m

 



 

 thì phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu

Vậy với m 3 thì phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dương

Vậy với m  2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm cùng âm

VII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

A m C

k B





  

 (trong đó A, B là các biểu thức không âm; m, k là hằng số) (*) ⇒ Cm (v ì A 0) minC  m A 0

Ck (v ìB 0) maxC  k B 0

Ví dụ 1: Cho phương trình : Gọi và là các nghiệm của phương trình

Tìm m để : có giá trị nhỏ nhất

Bài giải:

Theo VI-ÉT: 1 2

1 2

x x m





Theo đề bài:

2

2 2

2

2

2

(2 3) 8 8

m

Suy ra: MinA  8 2m 3 0 hay 3

2

m 

Ví dụ 2: Cho phương trình: Gọi và là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Bài giải:

Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 1 2

1 2 1

x x m

x x m





B

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

1

B

Vì  2  2

2

1

2

m

m





2

x  m x m  x1 x2

2 2

1 2 6 1 2

Ax x  x x

2

1 0

x mx  m x1 x2

1 2

2 2

1 2 1 2

x x B

x x x x





Với cách thêm bớt khác ta lại có:

1

B

Vì      

2 2

2

2

m

m





2

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham

số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

2 2

2

m

m



 (Với m là ẩn, B là tham số) (**)

1 B(2B 1) 1 2B B

      

Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì   0

1

1 2

2

1 0

1

B B

B B

B B

B

  











 



 





 



Vậy: max B=1  m = 1

1

2

C BÀI TẬP:

Bài 1: Gọi là nghiệm của phương trình : Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m

Bài 2: Cho phương trình : Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho

độc lập đối với m

1 ; 2

A x x  x x 

2

1 ; 2

x x

Bài 3: Cho phương trình : .Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức

Bài 4: Cho phương trình : Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức:

Bài 5: Cho phương trình : Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ

Bài 6: Cho phương trình: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

Bài 7: Cho phương trình: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm

Bài 8: Cho phương trình: Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm

Hướng dẫn: Phương trình có ít nhất 1 nghiệm không âm (có ít nhất 1 nghiệm dương)

Có 2 khả năng xảy ra

Khả năng 1: ∆=0: Phương trình có nghiệm kép

Từ ∆=0 tìm m Sau đó thế giá trị m vừa tìm được vào pt và giải phương trình có nghiệm âm thì thỏa mãn; không có thì không thỏa mãn)

Khả năng 2: ∆ >0

TH1:Phương trình có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm dương (nghĩa là phương trình có 2 nghiệm trái

dấu): 0

0

P

 



  



TH2: Phương trình có 2 nghiệm cùng dương: 0

0

P

 



  



Bài 9: Cho phương trình 2

x  m x  m Tìm m sao cho nghiệm x x1; 2 thỏa mãn điều kiện 2 2

10

x x 

x  m xm   x1 x2

1 2 1 2

3x x 5 x x  7 0

2

x  m x m  x1 x2

1 2

4x  3x  1

2

1 2

3x  5x  6

2

mx  m x m 

2

3mx 2 2m1 x m 0

m x  x m

Bài 10: Cho phương trình : 2 2

x  m xm   xác định m để phương trình có 2 nghiệm

1 ; 2

x x thỏa mãn

a) A  x1 x2 3x x1 2 đạt giá trị lớn nhất

1 2 1 2

Bx x x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 11: (Đề thi năm 2017- Bình Dương)

Cho phương trình: 2

10 9 0 (1)

x  mx m (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m=1

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn điều kiện:x1 9x2  0

Bài 12: (Đề thi năm 2017- Bình Phước)

Cho phương trình: 2 2

2x  2mxm   2 0 (1), (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m=2

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:

1 2 1 2

A x x   x x đạt giá trị lớn nhất

Bài 13: (Đề thi năm 2017- Chuyên Bình Phước)

Cho phương trình: 2 2

2( 1) 3 0 (1),

x  m xm   (m là tham số) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 sao cho: 2

1 4 1 2 2 2 1 1

x  x  x  mx 

Bài 14: (Đề thi năm 2017- Hải Dương)

Tìm m để phương trình: 2

5 3 1 0 (1),

x  x m  (9m là tham số) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

3 3

1 2 3 1 2 75

x  x x x 

Bài 15: (Đề thi năm 2017- Ninh Bình)

Cho phương trình: 2

2( 2) 4 1 0 (1)

x  m x m  (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m=2

b) Chứng minh rằng với mọi giá tri của tham số m phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 Tìm m thỏa mãn điều kiện: 2 2

1 2 30

x x 

Bài 16: (Đề thi năm 2017- Quảng Ninh)

Cho phương trình: 2 2

(2 1) 1 0 (1)

x  m xm   (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m=5

b) Chứng minh rằng với mọi giá tri của tham số m phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2

Tìm m thỏa mãn điều kiện: 2 2

(x  2mx m )(x   1) 1.

Bài 17: (Đề thi năm 2017- Vĩnh Long)

Cho phương trình: 2

2( 1) 1 0 (1),

x  m x  m (m là tham số) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 sao cho:3x1x2  0

Bài 18: (Đề thi năm 2017 – Hà Nội)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): ymx 5.

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của m

b) Tim tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): 2

yx tại hai điểm phân biệt

có hoàng độ x x1; 2 (với x1x2) sao cho |x1| |  x2|

Bài 19: (Đề thi năm 2017- TP Hồ Chí Minh)

Cho phương trình: 2 2

(2 1) 1 0 (1)

x  m xm   (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

b) Định m để hai nghiệm x x1; 2của phương trình (1) thỏa mãn: 2

(x x )  x 3x

Bài 20:(Đề thi năm 2017- Kiên Giang)

Cho phương trình: 2 2

2( 1) 2 1 0 (1),

x  m xm  m  (m là tham số) Tìm các giá trị của tham số

m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho:

2

Bài 21: (Đề thi năm 2017- Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)

Cho phương trình: 2

(m 1)x  2mx  m 2 0 (1), (m là tham số) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm phâ biệt x1 ; x 2khác 0 sao cho: 1 2

2 1

5 0 2

x  x  

Bài 22: (Đề thi năm 2017- Thanh Hóa)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y 2x m  3 và parabol (P): 2

yx a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua A(1;0)

b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x x1; 2 thỏa mãn: 2

1 2 2 1 2 12

x  x x x  

Bài 23: (Đề thi năm 2017- Thừa Thiên Huế)

Cho phương trình: 2 2

2( 1) 5 0 (1)

x  m xm   (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m=2

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn điều kiện:2x x1 2 5(x1x2) 8   0

Bài 24: (Đề thi năm 2017- Ninh Thuận)

Áp dụng hệ thức Vi – ét để tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 56

Bài 25: (Đề thi năm 2017- Bắc Ninh)

Cho phương trình: 2 2

x  mxm   (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m=2

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với m Gọi x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1), lập phương trình bậc hai nhận 3 2 2

1 2 1 1 2

x  mx m x 

x  mx m x  là nghiệm

Bài 26: (Đề thi năm 2017- Đà Nẵng)

Cho ymx 4 và 2

yx với m là tham số

a) Khi m=3, tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A x y1( ;1 1)và A x y2( ;2 2) Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn: 2 2 2

( )y  (y )  7

Bài 27: (Đề thi năm 2017- Chuyên Đà Nẵng)

Cho phương trình 2

2(2 1) 3 0

x  m x m với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để phương trình đã cho có hai nghiệm x x1; 2 sao cho biểu thức

2 2

1 2

1 2

2(x x )

Q

x x





 đạt giá trị nguyên Cho phương trình 2

0

ax bx c với a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a 0 và

2a b c  0.Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 Tìm các nghiệm đó khi biểu thức 2

T  x x  x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 28: (Đề thi năm 2017- Tây Ninh)

Tìm m để phương trình 2

2 0

x    x m có hai nghiệm phân biệt x x1; 2thỏa mãn

3 3 2 2

1 2 1 2 17

x  x x x 

Bài 29: (Đề thi năm 2017- Chuyên Tây Ninh)

Tìm m để phương trình 2 2

x  m xm  m có hai nghiệm phân biệt x x1; 2sao cho

1 2 ( 1)( 1 2 ) 3

x x  m x x m  m đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 30: (Đề thi năm 2017- Nam Định)

Cho phương trình: 2

1 0 (1)

x    x m (m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

b) Định m để hai nghiệm x x1; 2của phương trình (1) thỏa mãn: 2

1 1 2 3 2 7

x x x  x 

Bài 31: (Đề thi năm 2017- Bình Định)

Cho phương trình: 2

2 6 9 0 (1)

x  mx m  (m là tham số)