Về mở rộng trường bậc hai và ứng dụng

1 M U Bi toỏn gii phng trỡnh a thc gn lin vi bi toỏn m rng trng, c bit l m rng cn ca cỏc trng s Vỡ vy, m rng trng l mt ni dung c bn ca Lý thuyt trng cú liờn quan vi Lý thuyt Galois v Lý thuyt s p-adic, ó c nhiu nh toỏn hc trờn th gii quan tõm Trong lch s phỏt trin ca s hc, u t vic m rng hp Ơ cỏc s t nhiờn ti hp cỏc s nguyờn  , nguyờn nhõn ch yu l nhu cu gii cỏc phng trỡnh bc nht dng x + a = b Tip n bi toỏn m rng vnh  cỏc s nguyờn ti trng Ô cỏc s hu t liờn quan n gii phng trỡnh bc nht ax = b Tip theo, yờu cu m rng trng Ô cỏc s hu t ti trng Ă cỏc s thc li gn lin vi vic gii phng trỡnh x = Tng t, vic m rng trng s thc Ă ti trng s phc Ê xut phỏt t vic gii phng trỡnh bc hai x + = Núi khỏc i, cựng vi vic gii phng trỡnh bc hai khỏi nim trng s phc ó xut hin Cỏc trng m rng bc hai xut hin rt nhiu cỏc cu trỳc trng s ú l trng Ê cỏc s phc l m rng bc hai ca trng Ă cỏc s thc Hn na, gia cỏc trng Ê cỏc s phc v trng Ă cỏc s thc cú vụ hn cỏc trng trung gian Ô ( d ) l cỏc m rng bc hai ca trng Ô cỏc s hu t Ngoi ra, vi cỏc s nguyờn t phõn bit p, q cỏc trng m rng bc hai Ô ( p) v Ô ( q) ca trng cỏc s hu t l khụng ng cu vi Vi nhng lý nh ó trỡnh by trờn, lun ny nhm tỡm hiu cỏc ni dung v Lý thuyt trng núi chung v cỏc trng m rng bc hai v cỏc ng dng ca chỳng Lun c chia lm chng Chng trỡnh by v trng v a thc; Chng trỡnh by v cỏc trng m rng bc Chng gii mt s bi toỏn v trng m rng Ni dung chớnh ca Lun nhm h thng hoỏ li mt s kt qu cng nh tỡm hiu v gii quyt c mt s bi v: Trng nghim ca a thc Trng m rng vi bc ly tha ca v ng dng cỏc bi toỏn dng hỡnh bng thc k v compa M rng n M rng bc hai ca trng s hu t Ô v trng s nguyờn  p Kt ni nghim Bc v c s m rng trng bc hai Tụi l mt hc viờn ngi Lo sng xa quờ hng, vinh d c hc sau i hc ti t nc Vit Nam, bn thõn tụi ó luụn luụn c s quan tõm giỳp hc v dt nghiờn cu toỏn hc ca thy giỏo hng dn khoa hc PGS.TS Nguyn Thnh Quang cng nh th cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn Khoa Toỏn hc - Trng i hc Vinh Vỡ vy, tụi vụ cựng bit n PGS.TS Nguyn Thnh Quang, ngi ó hng dn tn tỡnh v nghiờm tỳc cho tỏc gi, tỏc gi cú th hon thnh bn lun ny Tỏc gi rt bit n cỏc thy cụ giỏo B mụn i s, Khoa Toỏn hc ó tn tỡnh ging dy, giỳp v ch bo cho tụi mt hc viờn cao hc Toỏn khúa 19 sut thi gian hc va qua di mỏi Trng i hc Vinh thõn yờu Tỏc gi xin trõn trng cm n cỏc thy cụ giỏo thuc Phũng o to Sau i hc, Phũng Cụng tỏc Chớnh tr & Qun lý hc sinh v sinh viờn - Trng i hc Vinh ó tn tỡnh giỳp cho chỳng em hc Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban lónh o v cỏc thy cụ giỏo ca Trng Cao ng S phm Xiờng Khong (Cng ho Dõn ch Nhõn dõn Lo) ó to mi iu kin thun li cho tụi hon thnh nhim v hc Do kin thc v thi gian cũn cú hn, lun khú trỏnh thiu sút, tỏc gi mong mun nhn c s ch bo ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn Ngh An, thỏng 06 nm 2013 Tỏc gi CHNG TRNG V A THC 1.1 Trng 1.1.1 nh ngha trng Trng l hp K cú nhiu hn mt phn t, ó trang b hai phộp toỏn cng v nhõn, ký hiu bi du (+) v du (.), tho cỏc quy tc sau õy: Phộp cng cú tớnh cht kt hp: (a + b) +c = a + (b + c) Phộp cng cú tớnh cht giao hoỏn: a + b = b + a Phộp cng cú phn t n v : K: a + = a Tn ti phn t i: a K, - a K: a + (- a) = Phộp nhõn cú tớnh cht kt hp: (ab)c = a(bc) Phộp nhõn cú tớnh cht giao hoỏn: ab = ba Phộp nhõn cú phn t n v 1: K cho a1 = a Tn ti nghch o: a K, a 0, a-1 K: aa-1 = Phộp cng v phộp nhõn tha lut phõn phi: a(b + c) = ab + ac; a, b, c K Vớ d 1) Tp hp cỏc s hu t Ô vi phộp cng v nhõn cỏc s hu t thụng thng lp thnh mt trng v c gi l trng Ô cỏc s hu t Tng t ta cú trng Ă cỏc s thc v trng Ê cỏc s phc 2) Cho p > l mt s t nhiờn Khi ú, vnh  p cỏc s nguyờn modp l mt trng v ch p l s nguyờn t 3) Mi nguyờn cú hu hn phn t u l trng Chng hn, cỏc nguyờn  ;  ;  ; u l trng Nhn xột 1) Trong trng K, ta cú Tht vy, gi s = , ú vi mi x thuc K, ta cú = x0 = x1 = x , hay K ch cú nht mt phn t Ta gp phi mt mõu thun 2) Trong mi trng K ch cú hai iờan l {0} v K Tht vy, gi s I l iờan khỏc {0} ca K, ú I cú phn t a khỏc 0, ú = aa-1 thuc I Vỡ vy, x = x.1 thuc I, vi x K , hay I = K 3) Nu nguyờn K ch cú hai iờan l {0} v K thỡ nguyờn K l trng Tht vy, gi s a l phn t khỏc tựy ý ca K, ta xột iờan I sinh bi a K Do a thuc I nờn I l mt iờal khỏc {0} ca K gm cỏc bi ca a K v ú I = K hay thuc I Vỡ vy, K cú phn t b cho = ab, hay a l phn t kh nghch K 1.1.2 nh ngha Gi s K l mt trng, ta núi A l mt ca K n nh i vi hai phộp toỏn cng v nhõn K, ngha l: x, y A x + y A, xy A Cho A l n nh i vi hai phộp toỏn cng v nhõn trng K Ta gi A l mt trng ca trng K nu A cựng vi hai phộp toỏn cm sinh trờn A , lp thnh mt trng Ta nhc li mt tiờu chun ca trng 1.1.3 nh lý Gi s A l mt hp cú nhiu hn mt phn t ca trng K Khi ú, cỏc iu kin sau l tng ng: a) A l mt trng ca trng K b) x, y A x y A; xy A; x A ( x 0) Vớ d Trng cỏc s hu t l trng ca trng cỏc s thc; trng cỏc s thc l trng ca trng cỏc s phc 1.1.4 nh ngha Cho K v E l cỏc trng Mt ỏnh x f : K E c gi l mt ng cu trng nu cỏc iu kin sau c tho món: i) f(a + b) = f(a) + f(b), ii) f(ab) = f(a)f(b), vi a, b K 1.1.5 Cỏc tớnh cht n gin ca ng cu trng Cho f : K E l mt ng cu trng, ú ta cú: 1) f l ng cu t nhúm cng ca trng K vo nhúm cng ca trng E v ú f cú mi tớnh cht ca mt ng cu ca nhúm cng Aben: f(0) = 0; f(a - b) = f(a) - f(b), a, b K 2) f(1) = hoc f(1) = 3) f l n cu f(1) = 4) f l ng cu khụng f(1) = 5) f l ng cu khụng hoc f l n cu 6) Nu f khỏc ng cu khụng thỡ f l n cu t nhúm nhõn K * ca trng K vo nhúm nhõn E* ca trng E, ú trng hp ny f cú mi tớnh cht ca mt n cu ca nhúm nhõn Aben, chng hn: 1 i) f ( a ) = f ( a) , vi a K , a ii) K Im( f ) E 1.1.6 nh ngha Gi s X l mt nguyờn v X l mt trng Ta gi trng X l trng cỏc thng ca nguyờn X nu tn ti mt n cu nguyờn f: X X cho mi phn t ca X cú dng f(a)f(b)-1, ú a, b X , b 1.1.7 nh lý v s tn ti ca trng cỏc thng Gi s X l mt nguyờn Khi ú, tn ti nht (sai khỏc mt ng cu trng) mt trng X v mt n cu nguyờn f : X X cho mi phn t ca X u cú dng f ( a) f (b) vi a, b X , b Núi khỏc i, trng cỏc thng ca nguyờn X l tn ti v nht (sai khỏc mt ng cu trng) Ta b qua chng minh chi tit ca nh lý c s ny, vỡ nú ó c trỡnh by nhiu giỏo trỡnh i s i cng c s Vớ d 1) Trng Ô cỏc s hu t gm cỏc phõn s a , a, b  , b c nh b ngha l trng cỏc thng ca nguyờn Z cỏc s nguyờn 2) Trng K(x) gm cỏc phõn thc f ( x) , f ( x), g ( x) K [ x], g ( x) l g ( x) trng cỏc thng ca nguyờn K[x] cỏc a thc ca bin x trờn trng K 1.1.8 c s ca trng Cho K l mt trng vi n v Nu n1 0, vi mi s t nhiờn n , thỡ ta núi trng K cú c s Trong trng hp ngc li, nu tn ti s nguyờn dng n cho n1 = thỡ ta s gi s nguyờn dng p nht cho p1 = l c s ca trng K c s ca trng K c ký hiu bi char(K) Vớ d 1) Cỏc trng Ô , ĂÊ, 2) Trng  p cú c s cú c s p Nhn xột Nu trng K cú c s p thỡ p l s nguyờn t Tht vy, nu p = thỡ = 0, vụ lý Gi s ngc li p l hp s, tc p = kl , < k , l < p, ú ta cú p1 = (kl )1 = (kl )12 = (k1)(l 1) = , hay k 1= hoc l 1= , iu ny mõu thun vi tớnh nguyờn dng nht ca p cho p1= 1.1.9 Trng nguyờn t Mt trng K c gi l trng nguyờn t (prime field) hay trng n nu K khụng cú mt trng thc s Trng Ô cỏc s hu t v trng Zp cỏc lp thng d modp l cỏc vớ d v trng nguyờn t Nhn xột Mi trng u cha mt trng nguyờn t nht Tht vy, ta gi P l giao ca tt c cỏc trng ca trng K Khi ú, P l trng nht ca K v ú P l trng nguyờn t nht ca K 1.1.10 nh lý v cỏc kiu trng nguyờn t Cho K l mt trng v P l trng nguyờn t ca K Nu K cú c s thỡ P ng cu vi trng Ô cỏc s hu t Nu K cú c s nguyờn t p thỡ P ng cu vi trng  p cỏc s nguyờn modp Chng minh Lp ỏnh x f :  K t vnh s nguyờn  ti trng K, xỏc nh bi f(m) = m1, vi l phn t n v ca trng K Ta chng minh f l ng cu vnh Tht vy, vi mi m,n  , ta cú: * f(m + n) = (m + n)1 = m1 + n1 = f(m) + f(n) * f(m.n) = (mn)1 = (mn)12 = (m1).(n1) = f(m).f(n), (do 12 = 1) Do ú, suy f l mt ng cu vnh a) Trng hp trng K cú c s 0, ta cú: m Ker(f) f(m) = m1 = m = Vy Ker(f) = {0}, hay f l n cu vnh, ú ta thu c mt ng cu vnh:  Im(f) = { m1; m  } ng cu vnh ny cm sinh mt ng cu gia trng cỏc thng ca nguyờn  vi trng cỏc thng ca Im(f) Do ú, ta cú ng cu trng: Ô P, bi vỡ trng cỏc thng ca  l Ô , cũn trng cỏc thng ca Im(f) chớnh l trng nguyờn t P ca K b) Trng hp trng K cú c s nguyờn t p, ta cú m Ker(f) f(m) = m1 = m p m p Vỡ vy, Ker(f) = p Theo nh lý ng cu vnh, ta cú:  /Ker(f) Im(f) hay  / p =  Vỡ p l s nguyờn t nờn  p p Im(f) l trng hay Im(f) cng l trng Mt khỏc, Im(f) l trng nht ca K nờn Im(f) = P, ú ta cú  p P 1.1.11 Mnh Trong mt trng K vi c s nguyờn t p, ta cú: (a + b) p = a p + b p , a, b K Chng minh Theo cụng thc khai trin nh thc Newton, ta cú p p (a + b) = Ca b k =0 k pk k p Hn na, p l s nguyờn t, nờn s tt c cỏc t hp chp k ca p: C pk (modp), k p Vỡ th, ta cú Do ú: C pk =(tp)1 = t(p1) = t0 = 0, k p C pk x =(tp)x = t(px) = t0 = 0, k p 1, vi mi x thuc K Vỡ vy, cụng thc nh thc trờn tr thnh: (a + b)p = ap + bp p 1.1.12 nh lý Nu K l trng cú c s nguyờn t p thỡ ỏnh x f : a a a l mt t n cu ca trng K Chng minh Vi a,b K, theo Mnh 1.1.11, ta cú * f(a + b) = (a + b)p = ap + bp = f(a) + f(b) * f(ab) = (ab)p = apbp = f(a)f(b) Ngoi ra, vỡ f(1) = 1p = 0, nờn f khụng l t ng cu khụng ca trng K Vỡ vy, ỏnh x f l mt t n cu ca trng K 1.1.13 H qu Nu K l trng cú c s nguyờn t p thỡ ỏnh x f : a a a p n l mt t n cu ca trng K, vi mi s nguyờn n Chng minh Vỡ trng K cú c s nguyờn t p, cho nờn theo nh lý 1.1.12 ta suy ỏnh x a a a p l mt t n cu ca trng K Vỡ vy, ỏnh x tớch n ln n ca f : f n = f o f oLo f : a a a p cng l mt t n cu ca trng K 1.1.14 Mnh Trng  p cỏc s nguyờn modp ch cú nht mt t ng cu, ú l phộp ng nht Chng minh Gi s f :  p  p l mt t ng cu bt k ca trng  p cú: f(1 ) = hoc f(1 ) = Nu f(1 ) = , thỡ f( k ) = , vi mi lp thng d k thuc trng  p hay f l t ng cu khụng Vỡ vy, f(1 ) = v ú ta cú: f( k ) = f( + + + ) = kf( ) = k = k , (k = 0,1, , p - 1) Nh vy, f l t ng cu ng nht ca trng  p 1.1.15 H qu (nh lý Fermat bộ) Vi mi s nguyờn a v vi mi s nguyờn t p, ta cú ng d thc sau õy: a p a(mod p) p Chng minh Vỡ trng  p cú c s nguyờn t p cho nờn ỏnh x f : a a a l mt t n cu ca trng  p Theo Mnh 1.1.14, ta suy f l t ng cu p ng nht ca trng  p Do ú, ta cú a = a, a  , hay a p = a T ng p thc ny, ta suy ng d thc cn chng minh: a a(mod p) 1.2 Trng nghim ca a thc 1.2.1 nh ngha Gi s K l mt trng ca trng E Khi ú, ta gi E l mt trng m rng (hay ngn gn hn l m rng) ca trng K Mt phn t u E c gi l mt nghim ca a thc f (x) K[x] nu f (u ) = Khi ú, ta cng núi u l mt nghim ca phng trỡnh i s a thc f ( x) = Chỳ ý rng f ( x ) cú th khụng cú nghim K, nhng li cú nghim E, vỡ vy gi thit E l trng m rng ca trng K l cn thit Chng hn, a thc f ( x ) = x Ô [x] khụng cú nghim trng Ô cỏc s hu t nhng cú nghim trng Ă cỏc s thc 1.2.2 nh lớ Bezout Cho a thc f ( x) K[x] Khi ú, phn t u K l nghim ca f ( x ) v ch f ( x ) chia ht cho x u vnh a thc K[x] Chng minh Tht vy, theo nh lý v phộp chia cú d trờn vnh a thc, cú f(x) = (x - u )q(x) + r(x), q(x), r(x) K[x], ú deg r ( x ) < nu r(x) khỏc 0, hay r(x) = r K T ú f ( u ) = r Vỡ vy, f ( x ) chia ht cho x u vnh K[x] v ch r = f ( u ) = 1.2.3 nh ngha Gi s k l mt s t nhiờn khỏc Mt phn t K c gi l mt nghim bi k ca a thc f ( x) K[x] nu v ch nu f ( x ) chia ht cho ( x ) v f ( x ) khụng chia ht cho ( x ) k k +1 K[x] Nu k = , thỡ gi l nghim n (simple root) Nu k = , thỡ gi l nghim kộp (double root) Trong trng hp k , ta cng núi l nghim bi nu khụng cn thit phi núi s bi k k Vy K l nghim bi k nu v ch nu f ( x ) = ( x ) g ( x ) vi g ( ) Suy ra: deg f ( x ) = k + deg g ( x ) , k deg f ( x ) 1.2.4 nh lớ Gi s K l trng, f ( x ) l mt a thc ca K[x] v , ,K , r l nhng nghim K ca nú vi cỏc bi theo th t l k1 , k2 ,K , k r Khi ú f ( x ) = ( x ) k1 ( x ) k2 K( x r ) g ( x ) kr vi g ( x ) K[x] v g ( i ) , i = 1,K , r Chng minh Do K[x] l vnh Gauss nờn f(x) phõn tớch c thnh tớch ca cỏc a thc bt kh quy K[x] Hin nhiờn x ,K , x r l nhng nhõn t 10 bt kh quy cú mt s phõn tớch ca f ( x ) Vit rừ cỏc nhõn t ( x ) k ,K ,( x r ) k , v t tớch cỏc nhõn t cũn li l g ( x ) K[x] ta c: r f ( x ) = ( x ) k1 ú g ( i ) , i = 1,K , r ( x ) k2 K( x r ) g ( x ) kr 1.2.5 H qu S nghim ca a thc f ( x ) K[x], mi nghim tớnh vi s bi ca nú, khụng vt quỏ bc ca f ( x ) Chỳ ý Thay trng K bi vnh A, thỡ nh lớ trờn khụng cũn ỳng na Xột a thc f ( x) = x trờn vnh  Ta cú f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = Vy f ( x ) cú bn nghim bc ca nú l S phõn tớch ca f ( x ) thnh nhõn t bt kh quy cng khụng nht: f ( x) = x3 = x ( x ) = ( x ) ( x + x + ) = ( x ) ( x x + ) 1.2.6 H qu Nu hai a thc f ( x ) v g ( x ) K[x] cú bc n v ly nhng giỏ tr bng ti n + phn t khỏc ca trng K, thỡ f(x) = g(x) Chng minh Tht vy, gi s h( x) = f ( x ) g ( x ) l a thc khỏc 0, ta cú deg h ( x ) n T gi thit, ta cú h ( ) = h ( ) = L = h ( n+1 ) = , ú , ,L, n+1 l nhng phn t khỏc ca K Nhng mt a thc khỏc trờn K khụng th cú s nghim nhiu hn bc ca nú Vy ta phi cú h ( x ) = 0, tc l f ( x ) = g ( x ) 1.2.7 Trng nghim ca a thc Gi s K l mt trng, f ( x) l mt a thc bc n trờn K Khi ú, mt trng N c gi l trng nghim hay trng phõn ró ca a thc f ( x) trờn K nu N l trng m rng cc tiu (nh nht) ca K cha tt c n nghim ca a thc f ( x) Nhm chng minh rng mi a thc trờn mt trng K u cú trng nghim, trc ht ta chng minh nh lớ sau: 26 p2 p( p 1) p( p 1) p= 2 p ( p 1) 1, ú trờn trng  p cú ớt nht mt a Vỡ p l s nguyờn t nờn thc bc hai n h bt kh quy Ta ký hiu a thc ú l q ( x ) Xột m rng n F =  p (u) ca  p sinh bi mt nghim u no ú ca q ( x ) Ta cú F :  p = u :  p = deg q( x) = Hn na, F =  p (u) cú mt c s trờn trng  F = { a + bu l trng m rng bc hai ca  p p a, b ẻ  l {1, u} Vỡ vy, p } cú p2 phn t v cú c s p cn dng 2.4.2 Bi toỏn Dng trng nghim ca a thc x + trờn trng  p Li gii Xột a thc x +  p [x] Khi p l thỡ a thc ny kh quy trờn  nu p 1(mod 4) Tht vy, x + kh quy (cú nghim)  p p v ch -1 l mt thng d bc hai modp: x 1(mod p) Theo kt qu ca lý thuyt thng d bc hai, iu ny li tng ng vi p 1(mod 4) Vỡ vy: i) Nu p 1(mod 4) thỡ a thc x + cú nghim thuc  p nờn a thc ny cú trng nghim trờn  p chớnh l  p Trong trng hp ngc li, a thc x + vụ nghim  p nờn nú cú trng nghim trờn  rng bc hai  p (u ) ca  p p l trng m sinh bi mt nghim u no ú ca a thc x + hay u = ii) Nu p = thỡ x + = ( x 1) ( x + 1) = ( x 1)  [x] cú nghim kộp Do ú, trng nghim ca a thc x + trờn  chớnh l trng  Vớ d Dng mt trng m rng bc hai ca trng  Li gii Xột a thc f ( x) = x + x +  [ x] Ta cú, f ( x) vụ nghim trờn trng  ú a thc f ( x) bt kh quy trờn trng  Gi N l trng 27 nghim ca a thc f(x) trờn  , ta cú N =  (u, v) ú u, v l cỏc nghim ca a thc f ( x) Theo nh lý Viet u + v = - 1, nờn N =  (u ) Vỡ f ( x) bt kh quy trờn  nờn f ( x) l a thc cc tiu ca phn t u trờn  hay u l phn t i s bc hai trờn  Do ú, N l mt trng m rng bc hai ca trng  v cú mt c s trờn  l { 1,u} Vy N = { a + bu a, b  } l trng m rng bc hai ca  (N cú c s v cú 22 hay phn t) Vớ d Dng mt trng vi c s cú 25 phn t Li gii Xột a thc f ( x) = x + x +  5[ x] Ta cú, f ( x) vụ nghim trờn trng  ú a thc f ( x) bt kh quy trờn trng  Gi N l trng nghim ca a thc f(x) trờn  , ta cú N =  (u, v) ú u, v l cỏc nghim ca a thc f ( x) Theo nh lý Viet u + v = - 1, nờn N =  (u ) Vỡ f ( x) bt kh quy trờn  nờn f ( x) l a thc cc tiu ca phn t u trờn  hay u l phn t i s bc hai trờn  Do ú, N l m rng bc hai ca trng  v cú mt c s trờn  l {1, u} Vy N = { a + bu a, b  } l trng cú c s v cú 52 hay 25 phn t Vớ d Dng mt trng vi c s cú 49 phn t Li gii Xột a thc f ( x) = x +  [ x] Ta cú, f ( x) vụ nghim trờn trng  ú a thc f ( x) bt kh quy trờn trng  Gi N l trng nghim ca a thc f(x) trờn  , ta cú N =  (u, v) ú u, v l cỏc nghim ca a thc f ( x) Theo nh lý Viet u + v = 0, nờn N =  (u ) Vỡ f ( x) bt kh quy trờn  nờn f ( x) l a thc cc tiu ca phn t u trờn  hay u l phn t i s bc hai trờn  Do ú, N l trng m rng bc hai ca trng  v cú mt c s trờn  l {1, u} Vy N = { a + bu a, b  l trng cú c s v cú 72 hay 49 phn t } 28 2.5 ng dng ca cỏc m rng bc hai ca trng cỏc s hu t Mi bi toỏn dng hỡnh u cú th a v tỡm nghim ca mt phng trỡnh i s no ú Ta hóy xem xột vi iu kin no cú th dng c cỏc nghim ca mt phng trỡnh i s bng thc k v compa Nhc li rng, biu thc i s l mt biu thc toỏn hc ú cỏc phộp toỏn trờn cỏc i s ch l cỏc phộp toỏn cng, tr, nhõn, chia, ly tha, khai cn (hay ly tha vi s m phõn) Chng hn, cụng thc xỏc nh nghim ca cỏc phng trỡnh bc hai, bc ba l cỏc biu thc i s 2.5.1 nh lý Mt biu thc i s ó cho cú th dng c bng thc k v compa v ch nú l kt qu ca vic gii nhng phng trỡnh a thc cú bc Chng minh Gi s biu thc ó cho cú th dng c bng thc v compa Ta hóy chng minh rng, nú l kt qu ca vic gii nhng phng trỡnh bc khụng ln hn Tht vy, mt phng ta ly mt h ta vuụng gúc Mi phộp dng bng thc k v compa u a n vic dng cỏc ng thng, ng trũn v tỡm giao im ca chỳng M phng trỡnh ng thng l bc nht, cũn phng trỡnh ng trũn l bc hai, suy iu cn gii thớch cua chung ta 2.5.2 nh lý v tiờu chun gii c bng cn thc bc hai Cho a thc f(x) bt kh quy trờn trng K vi c s Gi N l trng nghiờm ca f ( x) trờn K Nu mt nghim ca f ( x) biu th c bng cn thc bc hai thỡ tt c cỏc nghim ca nú cng biu th c bng cn thc bc hai v bc ca N trờn K l 2m Ngc li, nu bc ca trng nghiờm N cua f ( x) trờn K l 2m, thỡ a thc f ( x) gii c bng cn thc bc hai Chng minh Gi s mt nghim ca a thc f ( x) biu th c qua cỏc cn bc hai = a1 , a1 K ; = a2 , a2 K ( ), , k = ak , ak K ( , , , k ) 29 Ta hóy tỡm bc ca trng phõn ró N trờn K Ta ghộp vo K mt cn bc hai ca a1 , ri ghộp thờm cỏc cn bc hai ca a2 v tt c cỏc phn t liờn hp vi a1 , a2 , Kt qu l ta thu c mt chui trng: K R1 L Rs = N ú mi trng Ri l m rng Galois bc hai i vi trng ng trc nú M rng cui cựng Rn = N cha tt c cỏc nghim ca f ( x) v l m rng Galois khụng nhng ca Rn-1 m c ca K Gi G l nhúm Galois ca N trờn K Khi ú, ng vi chui trng K R1 L Rs = N l chui nhúm G G1 L Gs = E ú mi nhúm l c chun ca nhúm ng trc nú, v ch s ca mi nhúm nhúm ng trc nú bng T ú suy ra, cp ca nhúm Gs-1 bng 2, cp ca nhúm Gs-2 bng 22 Cui cựng, cp ca nhúm G bng 2s Vỡ trng phõn ró N ca f ( x) l trng trung gian: K N S , nờn bc ca N trờn K phi l c ca ca 2s, tc l phi cú dng 2m o li, gi s [N : K] = 2m, ta hóy chng minh rng a thc f ( x) gii c bng cn thc bc hai Gi G l nhúm Galois ca N trờn K Vỡ theo gi thit [N : K] = 2m nờn cp ca G bng 2m Vỡ mi nhúm cp pm, p nguyờn t, m 1, u gii c, nờn G l nhúm gii c Chui hp thnh ca nú: G G1 Gm = E, cú tt c cỏc ch s (G i : Gi+1) bng Tng ng vi chui ú, theo nh lý c bn cua Ly thuyờt Galois, ta cú chui trng: K K1 Km = N, vi tt c cỏc bc [Ki+1: Ki ] bng Vỡ vy, Ki c sinh bi t Ki-1 bng cỏch ghộp thờm mt cn thc bc hai Do ú a thc f(x) gii c bng cn thc bc hai Sau õy ta ỏp dng tiờu chun trờn vo gii quyt mt s bi toỏn c in 30 2.5.3 Bi toỏn chia ba mt gúc Cho mt gúc bt k , hóy chia gúc ú ba phn bng bng thc k v com pa Xột gúc = 600, ta cú = x 200 S dng cụng thc: cos600 = cos(3 200) = cos3200 - cos200 ta cú cos3200 - cos200 - = T õy suy cos200 l nghim ca a thc h s hu t f(x) = 8x3- 6x - Vỡ f(x) bt kh quy (vụ nghim) trờn trng Ô cỏc s hu t cho nờn f(x) cng bt kh quy (vụ nghim) trờn cỏc m rng bc 2m ca Ô hay phng trinh f ( x ) = khụng gii c bng cn thc bc hai trờn trng Ô Do ú, bi toỏn chia ba mt gúc tụng quỏt (chng hn gúc 60 ) bng thc k v compa l khụng th thc hin c 2.5.4 Bi toỏn gp ụi hỡnh lp phng Dng cnh x ca mt hỡnh lp phng cú th tớch gp ụi th tớch ca mt hỡnh lp phng cho trc cú cnh bng n v di S o cnh ca lp phng cn dng phi tha phng trỡnh: x3 = Vỡ a thc f ( x) = x bõt kha quy trờn trng s hu t Ô (theo tiờu chun Eisenstein vi p = 2) cho nờn f ( x) bõt kha quy va o vụ nghim trờn cỏc m rng bc 2m ca Ô Võy, theo tiờu chuõn giai c bng cn thc bõc 2, suy phng trinh sụ f ( x) = khụng gii c bng cn thc bc hai trờn Ô Vỡ vy, khụng th dng c bng thc k v compa cnh ca mt hỡnh lp phng cú th tớch gp ụi th tớch ca hỡnh lp phng cú cnh bng n v di 2.5.5 Bi toỏn cu phng hỡnh trũn Dng mt hỡnh vuụng, cho hỡnh vuụng ú cú cựng din tớch vi mt hỡnh trũn Nu gia s ụ dai canh hinh vuụng la x va ly bỏn kớnh R ca hỡnh trũn lm n v di thỡ bi toỏn a n gii phng trỡnh: x = Vỡ siờu vit trờn Ô nờn cng siờu vit trờn Ô Do ú, Ô ( ) khụng cú bc hu hn (do ú khụng cú bc l ly tha ca 2) trờn Ô hay phng trỡnh x = khụng 31 gii c bng cn thc bc hai trờn Ô Vỡ vy, khụng th cu phng mt hỡnh trũn bng thc k v compa c 2.5.6 Dng on thng cú di vụ t Cho trc mt on thng cú di n v Hóy dựng thc k v compa dng cỏc on thng vi chiu di theo dóy sau: 1, 2, 3, , n u tiờn chỳng ta dng tam giỏc vuụng cõn, cnh n v, t ú dng c cnh huyn cú di bng cn on vuụng gúc vi on T on ó cú, ta tip tc dng ti mt u mỳt, suy di cnh huyn ca tam giỏc vuụng nhn cnh ú lm cnh gúc vuụng bng C th tip tc ta dng c on thng cú di cn n (thc sau dng c mt vi on nh, ta cú th t hp cỏc on nh ú, dng mt on bt k ln hn, m khụng cn thit phi tun t) 2.5.7 B Gi s n = n1n2, (n1, n2) = Khi o, mt ng trũn cú th chia thnh n phn bng bng thc k v compa v ch nú cú th chia thnh n1 phn v n2 phn bng bng thc k v compa Chng minh 1) Gi s ng trũn ó cho cú th chia thnh n phn bng bng thc k v compa Khi ú, hin nhiờn ng trũn ú cú th chia thnh n phn bng nhau, v n2 phn bng nhau, bi vỡ: 1 1 = n2 = n1 v n1 n n2 n 2) Gi s mt ng trũn cú th chia thnh n1 phn v n2 phn bng bng thc k v compa Vỡ (n1, n2) = nờn tn ti nhng s nguyờn x v y cho n1x + n2y = T ú y x 1 1 + = Vy, ó bit v , ta s dng c n1 n2 n n1 n2 n 32 Chia ng trũn thnh n phn bng tng ng vi dng gúc 2 dng gúc ny, ta ch cn dng cos Gi l cn nguyờn thy bc n n n ca n v: = e i / n Ta cú + -1 = 2cos -1 Vỡ vy, Ô cos ữ= Ô ( + ) Ô ( ) n n Ta cú [ Ô ( ): Ô ( + -1 )] = 2, vỡ l nghim ca a thc bc hai x2 + ( + -1)x + Ô ( + -1)[x] Tip theo, s dng B 2.6.6, chỳng ta cú th chng minh nh lý Gauss v tiờu chun chia c mt vũng trũn thnh n phn bng 2.5.8 nh lý Gauss ([3]) Mt ng trũn cú th chia c thnh n phn bng bng thc k v compa v ch n cú dng: n = 2k q1q2 L qs r ú k l mt s t nhiờn, qi l nhng s nguyờn t Fermat dng 2 + Nh vy, ta cú th chia mt vũng trũn thnh n phn bng vi n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, , 257, , 65537, 2.5.9 H qu Cho p l s nguyờn t l Khi ú, mt ng trũn chia c p phn bng v ch p l s nguyờn t Fermat Chỳ ý Gauss (1777-1885) ó chng minh c rng, a giỏc u 17 cnh dng c bng thc k v compa, bng cỏch ch cụng thc sau: cos 1 = + 17 + 32 17 + 17 16 16 16 + 17 + 17 34 17 34 + 17 33 34 CHNG MT S BI TON V M RNG TRNG Bi Chng minh rng, trng  p ch cú mt t ng cu l t ng cu ng nht T ú, hóy suy nh lý Fermat bộ: Vi mi s nguyờn a v vi mi s nguyờn t p, ta cú ap a (mod p) Gii Gi s f :  p đ  p l mt t ng cu ca trng  p , ú ta cú f (1) = f (1.1) = f (1) f (1) ) ú f (1) ( f (1) - 1) = , hay f (1) = hoc f (1) = 1) Trng hp f (1) = , ú vi k  p , vi < k < p ta cú: f (k ) = kf (1) = k = suy f :  p đ  p l t ng cu khụng ca trng  p Trng hp f( ) = Vi k  p , vi < k < p ta cú: () ( ) () () () f k = f + + + = f + f + + f = + + + = k Vy f( k ) = k , ú f l t ng cu ng nht ca trng  p Vỡ trng  p cú c s nguyờn t p nờn ỏnh x f: a a p l t ng cu khỏc khụng ca trng  p Do ú, f l t ng cu ng nht ca trng  p p Vỡ vy, a = a hay a p a(mod p) Bi Cho K l mt trng, a K Chng minh rng: a) u l phn t i s trờn trng K v ch u + a i s trờn K b) u l phn t i s trờn trng K v ch u2 l i s trờn K Gii a) Gi s u l phn t i s trờn trng K, ú tn ti a thc khỏc khụng f(x) K[x] cho f(u) = Vi a thuc K, t: g(x) = f(x a) K[x], g(x) 0, ta cú g(u + a) = f(u + a a) = f(u) = 0, hay g(u + a) = Do ú, u + a l phn t i s trờn trng K Ngc li, gi s u + a l phn t i s trờn trng K Khi ú, ta cú phn t u + a + (a) = u l phn t i s trờn K 35 b) Gi s u2 l phn t i s trờn K, ú tn ti a thc f(x) K[x] cho f(u2) = 0, hay cú mt h thc tuyn tớnh khụng tm thng trờn K sau õy: a0 + a1u2 + + anu2n = 0, (ai K) Xột a thc g(x) = f(x2) = a0 + a1x2 ++ anx2n K[x], ta cú g(u) = a0 + a1u2 ++ anu2n = f(u2) = T ú, suy u l phn t i s trờn trờn K Ngc li, gi s u l phn t i s trờn K v u2 l phn t siờu vit trờn K, th thỡ u l nghim ca mt a thc f(x)K[x] khỏc Ta vit f(x) = g(x2) + xh(x2); vi g, h K[x] T f(u) = suy g(u2) + uh(u2)g = 0, hay g(u2) = uh(u2) hay 2 ( g (u )) - u ( h(u )) = Nh vy u l nghim ca mt a thc j ( x) khỏc khụng trờn K, ta gp mõu thun vi iu gi s u siờu vit trờn K Ta gp phi mõu thun Bi Nu F l mt m rng ca trng K cú bc [F : K] = p l s nguyờn t Chng minh rng vi mi phn t u thuc F khụng thuc K, ta cú: F = K(u) Gii Ly u thuc m rng F ca trng K, suy K(u) F (vỡ K(u) l trng ca trng F sinh bi K v u) Ta cú: [F : K] = [F : K(u)][K(u) : K], vi [K(u) : K] > Vỡ [F : K] = p, p l s nguyờn t nờn [F : K(u)] = Vỡ vy ta cú F = K(u) Bi Chng minh rng, trng nghim ca mt a thc f(x) bc n trờn trng K cú bc trờn K khụng vt quỏ n! Gii Gi s a thc f ( x) cú bc n trờn K v N l trng nghim ca f ( x) trờn K Gi s u1 , u2 , , un l tt c cỏc nghim ca a thc f ( x) N, ta cú N = K (u1 , u2 , , un ) Theo nh lý v bc ca m rng trung gian ta cú dóy cỏc bt ng thc sau õy: 36 [ N : K ] = [ N : K (u1 , u2 , , un- )][ K (u1 , u2 , , un- ) : K ] = [ un : K (u1 , u2 , , un- ) ][ K (u1 , u2 , , un- ) : K ] Ê [ K (u1 , u2 , , un- ) : K ] n = [ K (u1 , u2 , , un- ) : K (u1 , u2 , , un- ) ][ K (u1 , u2 , , un- ) : K ] n = [ un- : K (u1 , u2 , , un- ) ] [ K (u1 , u2 , , un- ) : K ] n Ê [ K (u1 , u2 , , un- ) : K ] ( n - 1) n M Ê [ K (u2 , u1 ) : K (u2 ) ][ K (u2 ) : K ] ( n - 2)( n - 1) n Ê [ u1 : K (u2 ) ] [ K (u2 ) : K ] Ê [ K (u2 ) : K (u1 ) ][ K (u1 ) : K ] ( n - 1) n Ê [ u2 : K (u1 ) ][ K (u1 ) : K ] (n - 1)n Ê [ K (u1 ) : K ] 2.3 ( n - 1) n Ê 1.2.3 ( n - 1) n = n ! Bi Chng minh rng trng K l trng úng i s v ch K khụng cú m rng i s no khỏc nú Gii Gi s F l m rng i s bt k ca K Khi ú, mi phn t u thuc F u l nghim ca a thc bt kh quy q(x) no ú trờn K (q(x) chớnh l a thc cc tiu ca u trờn K) Mt khỏc, vỡ K l trng úng i s, nờn cỏc a thc bt kh quy trờn K ch gm cỏc a thc bc nht Do ú, q(x) l a thc bc nht, ú u K Vy, F b cha K hay F trựng K Ngc li, gi s f(x) l mt a thc bt k trờn K, cú bc dng Ta ký hiu N l trng nghim ca f(x) trờn K Khi ú N l m rng bc hu hn ca K hay N l m rng i s trờn K Theo gi thit, K khụng cú m rng i s thc s nờn ta cú N = K Vỡ vy, f(x) cú nghim K, hay K l trng úng i s Bi Cho a thc f(x) = x4 trờn Ô Hóy xỏc nh trng nghim N ca f(x) trờn Ô Tỡm bc v mt c s ca N trờn Ô Gii t u = , m rng Ê ca Ô ta cú f(x) = x4 = (x2 )(x2 + ) = (x )(x + )(x i )(x + i ) 37 Vy, ta cú N = Ô ( , , i , i ) Do ú [N : Ô ] = [N : Ô (u)][ Ô (u) : Ô ] Ta cú: [ Ô (u) : Ô ] = vỡ a thc f(x) = x4 bt kh quy trờn Ô (theo tiờu chun Eisenstein vi p = 2) Ngoi ra, [N : Ô (u)] = vỡ a thc x2 + bt kh quy trờn Ô (u) Tht vy, gi s ngc li nu x2 + kh quy trờn Ô (u) thỡ nghim i ca nú s thuc Ô (u), ú i l s l s thc Vỡ vy ta cú [N : Ô ] = [N : Ô (u)][ Ô (u) : Ô ] = 2.4 = Mt c s ca N trờn Ô (u) l {1, i}; cũn mt c s ca Ô (u) trờn Ô l {1, u, u2, u3} Vy cú mt c s ca N trờn Ô l: {1, u, u2, u3, i, iu, iu2, iu3} Bi Chng minh rng a thc f(x) = x3 + 6x2 - 12x + bt kh quy trờn trng m rng Ô ( 2) Gii Gi s ngc li f(x) kh quy trờn trng Ô nghim u no ú thuc Ô ( 2) ú f(x) cú mt ( ) Xột dóy m rng trng Ô Ô (u )Ô ( 2) 5 Theo nh lý v bc ca m rng trung gian ta cú Ô ( ) : Ô = Ô ( ) : Ô ( u ) [ Ô ( u ) : Ô ] 5 Vỡ a thc f(x) bt kh quy trờn Ô theo tiờu chun Eisenstein vi p = cho nờn f(x) l a thc cc tiu ca u trờn Ô Do ú: [Ô ( u ) :Ô ] = Do ú = Ô ( ) : Ô ( u ) hay chia ht cho Chỳng ta gp mõu thun Bi Chng minh rng a thc f(x) = x5 -7x3 + 28x2 - 21x + 14 bt kh quy trờn trng m rng Ô ( ) 11;5 + i 38 Gii a thc f(x) bt kh quy Ô theo tiờu chun Eisenstein vi p = v ú f(x) l a thc cc tiu ca u trờn Ô Do ú nu gi u l mt nghim ca f(x) thỡ [Ô ( u ) : Ô ] = Xột hai dóy m rng sau Ô Ô ( 11,5 + i ) Ô ( 11,5 + i,u ) = E Ô Ô ( u ) Ô ( 11,5 + i,u ) = E Ta cú [ E : Ô ] = [ E : Ô ( u )][ Ô ( u ) : Ô ] = [ E : Ô ( 11;5 + i )][ Ô ( 11;5 + i ) : Ô ] Do ú 5[ E : Ô ( u )] = 8[ E : Ô ( 11;5 + i )] Suy [ E : Ô ( 11;5 + i )] M5 Mt khỏc vỡ u l nghim ca a thc f(x) cú bc trờn cho nờn Ô ( 11;5 + i ) cho nờn [ E : Ô ( 11;5 + i )] T ú suy [ E : Ô ( 11;5 + i )] = Vỡ vy, suy f(x) l a thc cc tiu ca u trờn Ô bt kh quy trờn Ô ( ( ) 11;5 + i hay f(x) ) 11;5 + i Bi Hóy lp mt ng cu t trng Ô [ x ] / < x - > lờn trng s Ô ( 2) 2 Gii Mi phn t ca Ô [ x ] / < x - > cú dng g ( x ) + x , ú g ( x ) = ( x 2) q( x ) + r ( x ) , deg r ( x) < hoc r ( x ) = Vỡ r ( x ) cú dng a + bx, a, b Ô nờn ta cú g ( x ) + x = a + bx + ( x ) q( x ) + x = a + bx + x Khi ú, ỏnh x : Ô ( 2) đ Ô [ x ] / < x - > , a + b a + bx + x 2 l mt ng cu t Ô ( 2) lờn Ô [ x ] / < x - > 39 KT LUN Lun ny ó h thng li mt s kt qu cng nh tỡm hiu sõu mt s v cỏc ni dung sau õy: Trng nghim ca a thc M rng n i s Kt ni nghim M rng bc hai ca trng s hu t Ô v trng s nguyờn  p Bc v c s m rng trng bc hai Trng m rng vi bc l ly tha ca v ng dng ca chỳng cỏc bi toỏn dng hỡnh bng thc k v compa Mt s bi toỏn v trng m rng Ngoi nhng ni dung ó trỡnh by lun vn, phng hng tip theo l cú th tip tc tỡm hiu sõu hn nhng ng dng ca Lý thuyt Trng v Lý thuyt Galois cỏc lnh vc thi s khỏc ca khoa hc: Hỡnh hc khụng giao hoỏn, Vt lý lng t 40 TI LIU THAM KHO TING VIT [1] [7] [8] H Huy Khoỏi, Phm Huy in (2003), S hc thut toỏn, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni Nguyn Tin Quang (2007), C s lý thuyt trng v lý thuyt Galoa, Nh xut bn i hc S phm, H Ni Nguyn Thnh Quang (2003), S hc hin i, Trng i hc Vinh Nguyn Thnh Quang (2011), Lý thuyt trng v ng dng, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni Ngụ Vit Trung (2006), Lý thuyt Galois, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni Nguyn Chỏnh Tỳ (2006), M rng trng v Lý thuyt Galois, Nh xut bn Giỏo dc, Nng TING ANH H M Edwards (1984), Galois Theory, Springer, New York N Koblitz (1984), P- adic Number, p-adic Analysis, and Zeta Function, [9] Springer J S Milne (2011), Fields and Galois Theory, Sabre Peak, Moraine [2] [3] [4] [5] [6] Creek, New Zealand [10] I Stewart (1989), Galois Theory, Chapman & Hall.` [...]... l bc hai, suy ra iu cn gii thớch cua chung ta 2.5.2 nh lý v tiờu chun gii c bng cn thc bc hai Cho a thc f(x) bt kh quy trờn trng K vi c s 0 Gi N l trng nghiờm ca f ( x) trờn K Nu mt nghim ca f ( x) biu th c bng cn thc bc hai thỡ tt c cỏc nghim ca nú cng biu th c bng cn thc bc hai v bc ca N trờn K l 2m Ngc li, nu bc ca trng nghiờm N cua f ( x) trờn K l 2m, thỡ a thc f ( x) gii c bng cn thc bc hai Chng... 2.3.4 H qu Mi phng trỡnh a thc bc ba bt kh quy trờn Ô u khụng th gii c bng nhng phộp ly cn thc bc hai trờn Ô Chng minh Tht vy, khi kt ni mt cn bc hai a , a Ô thỡ ta s thu c hoc mt m rng tm thng (chớnh Ô ) hoc mt m rng bc hai ca Ô Do ú, trng m rng: 24 E = Ô ( a , b , c , , z ) thu c sau mt s hu hn ln ly cn bc hai s cú bc trờn Ô bng mt ly tha 2m ca 2, (m 1) Theo nh lý 2.3.2, nhng m rng ny khụng th cha... nghim ca a thc f ( x) biu th c qua cỏc cn bc hai 1 = a1 , a1 K ; 2 = a2 , a2 K ( 1 ), , k = ak , ak K ( 1 , 2 , , k 1 ) 29 Ta hóy tỡm bc ca trng phõn ró N trờn K Ta ghộp vo K mt cn bc hai ca a1 , ri ghộp thờm cỏc cn bc hai ca a2 v tt c cỏc phn t liờn hp vi a1 , a2 , Kt qu l ta thu c mt chui trng: K R1 L Rs = N trong ú mi trng Ri l m rng Galois bc hai i vi trng ng trc nú M rng cui cựng Rn =... (cú nghim) trong  p p khi v ch khi 2 -1 l mt thng d bc hai modp: x 1(mod p) Theo kt qu ca lý thuyt thng d bc hai, iu ny li tng ng vi p 1(mod 4) Vỡ vy: i) Nu p 1(mod 4) thỡ a thc x 2 + 1 cú nghim thuc  p nờn a thc ny cú trng nghim trờn  p chớnh l  p Trong trng hp ngc li, a thc x 2 + 1 vụ nghim trong  p nờn nú cú trng nghim trờn  rng bc hai  p (u ) ca  p p l trng m sinh bi mt nghim u no ú... nờn N =  7 (u ) Vỡ f ( x) bt kh quy trờn  7 nờn f ( x) l a thc cc tiu ca phn t u trờn  7 hay u l phn t i s bc hai trờn  5 Do ú, N l trng m rng bc hai ca trng  7 v cú mt c s trờn  7 l {1, u} Vy N = { a + bu a, b  l trng cú c s 7 v cú 72 hay 49 phn t 7 } 28 2.5 ng dng ca cỏc m rng bc hai ca trng cỏc s hu t Mi bi toỏn dng hỡnh u cú th a v tỡm nghim ca mt phng trỡnh i s no ú Ta hóy xem xột vi iu... v(u-1(a)) = (v o u-1)(a) = (a), a K Vỡ vy, suy ra f Vớ d Ta cú a thc x2 + 1 Ă [x] l mt a thc bt kh quy trờn Ă Trng cỏc s phc Ê l m rng bc hai ca trng Ă cỏc s thc v Ê c sinh bi mt trong hai nghim i ca a thc ny Ta cú: Ă [x] /(x2 + 1) Ă (i) Ă (- i) 2.3 M rng bc hai ca trng s hu t Cho d l mt s nguyờn khụng chớnh phng, khi ú m rng n i s Ô ( d) l mt m rng bc 2 ca trng Ô cỏc s hu t Chng hn, cỏc trng sau... 2= 11 = 2 ( 2 11 ) K g 2.4 M rng bc hai ca trng  p 2.4.1 Mnh Vi mi s nguyờn t p, tn ti mt trng cú c s p gm p 2 phn t l m rng bc hai ca trng  p Chng minh Trờn trng  trong ú cú p ( p 1) 2 p cú p2 a thc bc 2 n h f(x)= a0 + a1x + x2, a thc kh quy dng (x a)(x b) (vi a, b phõn bit thuc  p ) v p a thc kh quy dng (x c)2 (vi c thuc  p ) Vỡ vy, s a thc bc hai n h bt kh quy trờn trng  p l: 26 p2... p= 2 2 p ( p 1) 1, do ú trờn trng  p cú ớt nht mt a 2 Vỡ p l s nguyờn t nờn thc bc hai n h bt kh quy Ta ký hiu a thc ú l q ( x ) Xột m rng n F =  p (u) ca  p sinh bi mt nghim u no ú ca q ( x ) Ta cú F :  p = u :  p = deg q( x) = 2 Hn na, F =  p (u) cú mt c s trờn trng  F = { a + bu l trng m rng bc hai ca  p p a, b ẻ  l {1, u} Vỡ vy, p } cú p2 phn t v cú c s p cn dng 2.4.2 Bi toỏn... ;Ô ( 3 ) ;Ô ( 6 ) ; Ô ( ) ( 10 ; Ô ) ( 1 ; Ô ) 2 ; l cỏc m rng bc 2 ca Ô 2.3.1 nh lý Cho p v q l cỏc s nguyờn t phõn bit Khi ú, cỏc trng m rng bc hai Ô ( p ) v Ô ( q ) khụng ng cu vi nhau Chng minh Gi s p v q l cỏc s nguyờn t phõn bit v cỏc trng m rng bc hai Ô trng f : Ô ( p ) v Ô ( q ) ng cu vi nhau Khi ú, tn ti mt ng cu ( p ) Ô ( q ) Do ú, f ( p ) Ô ( q ) f Mt khỏc ( p) = a+b p p = p , do ú ... bc hai ca trng  2 2 Li gii Xột a thc f ( x) = x + x + 1  2 [ x] Ta cú, f ( x) vụ nghim trờn trng  2 do ú a thc f ( x) bt kh quy trờn trng  2 Gi N l trng 27 nghim ca a thc f(x) trờn  2 , ta cú N =  2 (u, v) trong ú u, v l cỏc nghim ca a thc f ( x) Theo nh lý Viet u + v = - 1, nờn N =  2 (u ) Vỡ f ( x) bt kh quy trờn  2 nờn f ( x) l a thc cc tiu ca phn t u trờn  2 hay u l phn t i s bc hai ... l mt ca K n nh i vi hai phộp toỏn cng v nhõn K, ngha l: x, y A x + y A, xy A Cho A l n nh i vi hai phộp toỏn cng v nhõn trng K Ta gi A l mt trng ca trng K nu A cựng vi hai phộp toỏn cm sinh... trờn Ă Trng cỏc s phc Ê l m rng bc hai ca trng Ă cỏc s thc v Ê c sinh bi mt hai nghim i ca a thc ny Ta cú: Ă [x] /(x2 + 1) Ă (i) Ă (- i) 2.3 M rng bc hai ca trng s hu t Cho d l mt s nguyờn... th gii c bng nhng phộp ly cn thc bc hai trờn Ô Chng minh Tht vy, kt ni mt cn bc hai a , a Ô thỡ ta s thu c hoc mt m rng tm thng (chớnh Ô ) hoc mt m rng bc hai ca Ô Do ú, trng m rng: 24 E = Ô