Lời giải. Xét đa thức x2 + ∈1 ¢ p[ ]x . Khi p lẻ thì đa thức này khả quy trên ¢ p
nếu p≡1(mod 4). Thật vậy, x2 +1 khả quy (có nghiệm) trong ¢ p khi và chỉ khi -1 là một thặng dư bậc hai modp: x2 ≡ −1(mod )p . Theo kết quả của lý thuyết thặng dư bậc hai, điều này lại tương đương với p≡1(mod 4). Vì vậy:
i) Nếu p≡1(mod 4)thì đa thức x2 +1 có nghiệm thuộc ¢ p nên đa thức này có trường nghiệm trên ¢ p chính là ¢ p. Trong trường hợp ngược lại, đa thức x2 +1 vô nghiệm trong ¢ p nên nó có trường nghiệm trên ¢ p là trường mở rộng bậc hai ¢ p( )u của ¢ p sinh bởi một nghiệm u nào đó của đa thức x2 +1 hay u2 = −1.
ii) Nếu p=2 thì 2 ( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1 [ ]
x + = −x x+ = −x ∈¢ x có nghiệm kép 1.
Do đó, trường nghiệm của đa thức x2 +1 trên ¢ 2 chính là trường ¢ 2.
Ví dụ 1. Dựng một trường mở rộng bậc hai của trường ¢2.
Lời giải. Xét đa thức 2
2
( ) 1 [ ]
f x = + + ∈x x ¢ x . Ta có, ( )f x vô nghiệm trên trường ¢ 2 do đó đa thức ( )f x bất khả quy trên trường ¢ 2. Gọi N là trường
nghiệm của đa thức f(x) trên¢ 2, ta có N = ¢ 2( , )u v trong đó u, v là các nghiệm của đa thức ( )f x . Theo Định lý Viet u + v = - 1, nên N = ¢ 2( )u .
Vì ( )f x bất khả quy trên ¢ 2 nên ( )f x là đa thức cực tiểu của phần tử u
trên ¢ 2 hay u là phần tử đại số bậc hai trên ¢ 2. Do đó, N là một trường mở rộng bậc hai của trường ¢ 5 và có một cơ sở trên ¢ 2 là {1,u} . Vậy
N = {a bu a b+ , ∈¢ 2}
là trường mở rộng bậc hai của ¢ 2 (N có đặc số 2 và có 22 hay 4 phần tử).
Ví dụ 2. Dựng một trường với đặc số 5 có 25 phần tử.
Lời giải. Xét đa thức 2
5
( ) 1 [ ]
f x = + + ∈x x ¢ x . Ta có, ( )f x vô nghiệm trên trường ¢ 5 do đó đa thức ( )f x bất khả quy trên trường ¢ 5. Gọi N là trường nghiệm của đa thức f(x) trên ¢ 5, ta có N = ¢ 5( , )u v trong đó u, v là các nghiệm của đa thức ( )f x . Theo Định lý Viet u + v = - 1, nên N = ¢ 5( )u . Vì ( )f x bất khả quy trên ¢ 5 nên ( )f x là đa thức cực tiểu của phần tử u trên ¢ 5 hay u là phần tử đại số bậc hai trên ¢ 5. Do đó, N là mở rộng bậc hai của trường ¢ 5 và có một cơ sở trên ¢ 5 là{1, u}. Vậy
N = {a bu a b+ , ∈¢ 5} là trường có đặc số 5 và có 52 hay 25 phần tử.
Ví dụ 3. Dựng một trường với đặc số 7 có 49 phần tử.
Lời giải. Xét đa thức 2
7
( ) 1 [ ]
f x = + ∈x ¢ x . Ta có, ( )f x vô nghiệm trên trường
7
¢ do đó đa thức ( )f x bất khả quy trên trường ¢ 7. Gọi N là trường nghiệm của đa thức f(x) trên ¢ 7, ta có N = ¢ 7( , )u v trong đó u, v là các nghiệm của đa thức ( )f x . Theo Định lý Viet u + v = 0, nên N = ¢ 7( )u . Vì ( )f x bất khả quy trên ¢ 7 nên ( )f x là đa thức cực tiểu của phần tử u trên ¢ 7 hay u là phần tử đại
số bậc hai trên ¢ 5. Do đó, N là trường mở rộng bậc hai của trường ¢ 7 và có một cơ sở trên ¢ 7 là{1, u}. Vậy (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
N = {a bu a b+ , ∈¢ 7} là trường có đặc số 7 và có 72 hay 49 phần tử.