Cho đa thức f(x) bất khả quy trên trường K với đặc số 0. Gọi N là trường nghiệm của f x trên K. Nếu một nghiệm của ( ) f x biểu thị được bằng căn ( )
thức bậc hai thì tất cả các nghiệm của nó cũng biểu thị được bằng căn thức bậc hai và bậc của N trên K là 2m.
Ngược lại, nếu bậc của trường nghiệm N của f x trên K là 2( ) m, thì đa thức f x giải được bằng căn thức bậc hai.( )
Chứng minh. Giả sử một nghiệm của đa thức ( )f x biểu thị được qua các căn bậc hai
1 a a1, 1 K; 2 a a2, 2 K( ),...,1 k a ak, k K( , ,...,1 2 k 1).
Ta hãy tìm bậc của trường phân rã N trên K. Ta ghép vào K một căn bậc hai của a1, rồi ghép thêm các căn bậc hai của a2và tất cả các phần tử liên hợp với
1
a , a2, ... Kết quả là ta thu được một chuỗi trường:
1 s
K ⊂ ⊂ ⊂R L R =N
trong đó mỗi trường Ri là mở rộng Galois bậc hai đối với trường đứng trước nó. Mở rộng cuối cùng Rn = N chứa tất cả các nghiệm của ( )f x và là mở rộng Galois không những của Rn-1 mà cả của K. Gọi G là nhóm Galois của N trên
K. Khi đó, ứng với chuỗi trường
1 s
K ⊂ ⊂ ⊂R L R =N
là chuỗi nhóm con
1 s
G ⊃G ⊃ ⊃L G =E
trong đó mỗi nhóm con là ước chuẩn của nhóm con đứng trước nó, và chỉ số của mỗi nhóm con trong nhóm con đứng trước nó bằng 2. Từ đó suy ra, cấp của nhóm Gs-1 bằng 2, cấp của nhóm Gs-2 bằng 22 ... Cuối cùng, cấp của nhóm G bằng 2s. Vì trường phân rã N của ( )f x là trường trung gian: K ⊂ ⊂N S , nên bậc của N trên K phải là ước của của 2s, tức là phải có dạng 2m.
Đảo lại, giả sử [N : K] = 2m, ta hãy chứng minh rằng đa thức ( )f x giải được bằng căn thức bậc hai. Gọi G là nhóm Galois của N trên K. Vì theo giả thiết [N : K] = 2m nên cấp của G bằng 2m. Vì mọi nhóm cấp pm, p nguyên tố, m≥
1, đều giải được, nên G là nhóm giải được. Chuỗi hợp thành của nó: G⊃G1⊃...⊃Gm = E,
có tất cả các chỉ số (Gi : Gi+1) bằng 2. Tương ứng với chuỗi đó, theo Định lý cơ bản của Lý thuyết Galois, ta có chuỗi trường:
K ⊂K1⊂... ⊂Km = N,
với tất cả các bậc [Ki+1: Ki ] bằng 2. Vì vậy, Ki được sinh ra bởi từ Ki-1 bằng cách ghép thêm một căn thức bậc hai. Do đó đa thức f(x) giải được bằng căn thức bậc hai. ■
Sau đây ta áp dụng tiêu chuẩn trên vào giải quyết một số bài toán cổ điển.
2.5.3. Bài toán chia ba một góc. Cho một góc bất kỳ α, hãy chia góc đó ra ba phần bằng nhau bằng thước kẻ và com pa.