Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động brown và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F -NGUYỄN VŨ NGỌC THƯƠNG MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN QUAN TRỌNG NHẬN ĐƯỢC TỪ CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014... BỘ GIÁO DỤC VÀ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-NGUYỄN VŨ NGỌC THƯƠNG

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN QUAN TRỌNG

NHẬN ĐƯỢC TỪ CHUYỂN ĐỘNG BROWN

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

F

-NGUYỄN VŨ NGỌC THƯƠNG

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN QUAN TRỌNG

NHẬN ĐƯỢC TỪ CHUYỂN ĐỘNG BROWN

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học

Mã số: 60.46.01.06

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Thị Thế

Nghệ An - 2014

MỤC LỤC

1.1 Quá trình ngẫu nhiên 5

1.2 Quá trình Markov 7

1.3 Quá trình Gauss 9

1.3.1 Phân phối Gauss 9

1.3.2 Quá trình Gauss 10

1.4 Chuyển động Brown 11

1.5 Tích phân ngẫu nhiên Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito 17 1.5.1 Tích phân ngẫu nhiên Ito 17

1.5.2 Công thức Ito 20

1.5.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 21

2 Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown và ứng dụng 24 2.1 Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown 24

2.1.1 Chuyển động Brown dịch chuyển 24

2.1.2 Chuyển động Brown hình học 26

2.1.3 Chuyển động Brown tích phân 29

2.1.4 Cầu Brown 32

2.1.5 Quá trình Ornstein-Uhlenbeck 33

2.1.6 Quá trình Bessel 35

2.2 Phần ứng dụng 37

2.2.1 Mô tả thị trường 37

2.2.2 Mô hình giá trái phiếu 37

2.2.3 Mô hình giá cổ phiếu 38

Mô hình đưa ra là một trong những ví dụ điển hình về ứng dụng của giảitích ngẫu nhiên.

Quyền lựa chọn (option) là một hợp đồng được phát hành bởi một công

ty, ngân hàng, hay công ty tài chính mà nó cho phép người mua quyền muahay bán một tài sản có giá trị (cổ phần, trái phiếu, tiền tệ, ) theo các điềukhoản tại một thời điểm (hoặc khoảng thời gian) xác định trong tương lai.Quyền lựa chọn đã được trao đổi mua bán từ rất lâu nhưng nó trở nên phổbiến từ những năm 1973 khi chúng được giao dịch có tổ chức ở thị trườngchứng khoán CBOT và trở thành yếu tố kinh tế quan trọng từ thế kỷ 20

Lý thuyết toán học về quyền lựa chọn là phần lý thuyết phát triển nhấtcủa toán tài chính Do có số lượng mua bán trao đổi về quyền lựa chọn trênthị trường rất lớn nên thực tế các mô hình này được kiểm chứng dễ dàng vì

số lượng thông tin thống kê lớn

Hiện nay giải tích ngẫu nhiên tạo thành nền tảng toán học và là cơ sởthích hợp cho các nhu cầu của lý thuyết tài chính Nghiên cứu toán tài chínhtrình độ cao cần phải có các hiểu biết sâu sắc về giải tích ngẫu nhiên nóichung và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói riêng Tính bất định củathị trường được mô tả như là tính ngẫu nhiên thông qua một không gianxác suất (Ω, F ,P) với lọc (Ft)t≥0 Ở đây lọc (Ft)t≥0 được xem như là dòngcác thông tin: Ft là thông tin truy cập được đến thời điểm t Yếu tố ngẫu

nhiên được chọn tại thời điểm t là biến ngẫu nhiên chuẩn N (0, σ2t) với giátrị σ > 0 nào đó Thời gian thay đổi ta có quá trình chuyển động Brown.Điều này được công nhận rộng rãi sau khi Kendall công bố các kết quả củamình vào năm 1953 [12].

Từ chuyển động Brown ta có thể xây dựng được nhiều quá trình ngẫunhiên mô hình cho các hiện tượng thực tế quan trọng khác Để hiểu sâu hơncác quá trình này về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng, bước đầu làm quenvới toán tài chính, trong khuôn khổ của luận văn thạc sỹ, tôi chọn đề tài choluận văn là: “Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được

từ chuyển động Brown và ứng dụng.”

Nội dung của luận văn được chia thành hai chương

Chương I Các khái niệm cơ bản

Trong chương I, trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết xácsuất

Chương II Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhậnđược từ chuyển động Brown và ứng dụng

Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này trìnhbày định nghĩa, các tính chất của các quá trình ngẫu nhiên quan trọngnhận được từ chuyển động Brown Đó là, Chuyển động Brown dịch chuyển,Chuyển động Brown hình học, Cầu Brown, Chuyển động Brown tích phân,Quá trình Ornstein-Uhlenbeck, Quá trình Bessel Trong luận văn tôi khôngnêu ứng dụng hết của các quá trình trên mà chỉ nêu ứng dụng của quá trìnhchuyển động Brown hình học

Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô: TS NguyễnThị Thế về sự tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến thầy GS.TS Nguyễn Văn Quảng vàthầy TS Nguyễn Thanh Diệu đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu, giúp tôihoàn thành luận văn tốt hơn Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cảm ơncác thầy cô giáo trong tổ Xác suất và Thống kê toán đã nhiệt tình giảng dạytrong suốt quá trình học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do năng lực và thời gian có hạn chếluận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhậnđược những lời chỉ bảo, góp ý quý báu của các thầy cô và bạn bè để luậnvăn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 10 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các biếnngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T nào đó

Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian xác suất (Ω, F ,P) Ánh xạ

X : T × Ω → R(t, ω) 7→ X(t, ω),

được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu với mọi t ∈ T thì X(t) : Ω → R

là biến ngẫu nhiên

Khi đó với mọi ω ∈ Ω thì X(., ω) : T → R là hàm số xác định trên T và

X(., ω) được gọi là quỹ đạo của quá trình với thể hiện ω

Ta dùng ký hiệu X = {X(t), t ∈ T } hoặc {X(t)} hay X để chỉ quá trìnhngẫu nhiên đang xét nếu T đã chỉ rõ

Nếu T thuộc một trong các tập sau: (−∞, +∞), [a, +∞), (−∞, b], [a, b],

(a, b), [a, b), (a, b] thì X = {X(t), t ∈ T } được gọi là quá trình ngẫu nhiênvới tham số liên tục Trong trường hợp nàyt đóng vai trò là thời gian Trongluận văn ta chỉ xét T ⊂ [0, +∞)

Định nghĩa 1.1.2 (Phân phối hữu hạn chiều) Giả sửX = {X(t), t ≥ 0} làquá trình ngẫu nhiên và I = {t1, t2, , tn} là tập con hữu hạn của [0, +∞).Hàm phân phối đồng thời của X(t1), , X(tn) là

FI(x1, , xn) = F (x1, , xn; t1, , tn)

= P{X(t1) < x1, , X(tn) < xn}

được gọi là phân phối hữu hạn chiều của X.

Phân phối hữu hạn chiều thỏa mãn các điều kiện sau

(i) Điều kiện đối xứng, tức là: F (x1, , xn; t1, , tn) không thay đổi khihoán vị các cặp (xk, tk)

(ii) Điều kiện nhất quán, theo nghĩa:

lim

n→∞F (x1, , xn; t1, , tn) = F (x1, , xn−1; t1, , tn−1)

Hai quá trình trên cùng tập tham số (nhưng có thể xác định trên cáckhông gian xác suất khác nhau) được gọi là tương đương yếu, nếu chúng cócùng họ phân phối hữu hạn chiều

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} và Y = {Y (t), t ≥ 0} là haiquá trình ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F ,P) Khiđó

(i) Y được gọi là tương đương ngẫu nhiên của X nếu với mọi t ≥ 0 ta có:

P[ω ∈ Ω : X(t, ω) = Y (t, ω)] = 1

(ii) X và Y được gọi là cùng phân phối hữu hạn chiều nếu với bất kỳ sốnguyên n ≥ 1, các số thực 0 ≤ t1 < t2 < < tn < ∞ và A ∈ B(Rd) tacó

P[(X(t1), X(t2), , X(tn)) ∈ A] = P[(Y (t1), Y (t2), , Y (tn)) ∈ A]

(iii) X và Y được gọi là bằng nhau nếu hầu hết các quỹ đạo của chúng trùngnhau Tức là

P[ω ∈ Ω : X(t, ω) = Y (t, ω); ∀ t > 0] = 1

Định nghĩa 1.1.4(Quá trình đo được) Một quá trình ngẫu nhiên{X(t), t >

0} được gọi là đo được nếu nó đo được đối với σ-trường tích B(R+) ⊗ F.Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của R, tập hợp

{(t, ω) : X(t, ω) ∈ B},

thuộc về σ-trường tích B(R+) ⊗ F

Định nghĩa 1.1.5 (Quá trình ngẫu nhiên có gia số độc lập) Quá trìnhngẫu nhiên {X(t), t > 0} được gọi là có gia số độc lập, nếu các gia số của

nó trên các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là,với mọi 0 6 t0 < t1 < < tn thì ta có các biến ngẫu nhiên sau là độc lập

X(t0), X(t1) − X(t0), X(t2) − X(t1), , X(tn) − X(tn−1)

Định nghĩa 1.1.6 (Quá trình ngẫu nhiên có gia số không tương quan).Giả sử {X(t), t > 0} là quá trình cấp 2 (tức là E|X(t)|2 < ∞, ∀t) Ta nóirằng X là quá trình có gia số không tương quan nếu các gia số của nó trêncác khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên không tương quan, tức

là, đối với mọi 0 6 t0 < t1 < t2 < t3 thì

Cov[X(t3) − X(t2), X(t1) − X(t0)] = 0

Trong đó Cov[X, Y ] = E[XY ] −E[X]E[Y ]

Nhận xét 1.1.7 Nếu X là quá trình cấp 2 có gia số độc lập thì X có gia

số không tương quan

ta phải dùng xác suất có điều kiện để diễn tả tính Markov Cụ thể là, nếu

s là thời điểm hiện tại thì X(s) = x là trạng thái hiện tại; {X(q), q < s} làquá khứ; {X(t), s < t} là tương lai Ký hiệu

F≥t := σ(X(q), t < q);

Ft := σ(X(q), q < t)

Khi đó, tính Markov có thể diễn đạt như sau

P[A1A2/X(s)] = P[A1/X(s)]P[A2/X(s)],

trong đó A1 là biến cố thuộc tương lai, tức là, biến cố thuộc vào σ− trường

F≥s; A2 là biến cố thuộc về quá khứ, tức là, biến cố thuộc vào σ− trường

Fs

Định nghĩa cụ thể của quá trình Markov như sau

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} là quá trình ngẫu nhiênnhận giá trị trong Rd tương thích với lọc {Ft, t ≥ 0} đã cho trên không gianxác suất (Ω, F ,P) Ta nói rằng X là quá trình Markov (d - chiều) nếu vớimọi hàm f liên tục bị chặn trên Rd và 0 ≤ s ≤ t < ∞,

E[f (X(t))/Fs] = E[f (X(t))/X(s)], h.c.c (1.1)Sau đây là một số định nghĩa tương đương

Định lý 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên d chiều X = {X(t), t ≥ 0} là quátrình Markov nếu thỏa mãn một trong các tính chất sau đây

1.3 Quá trình Gauss

1.3.1 Phân phối Gauss

Định nghĩa 1.3.1 (Phân phối Gauss chuẩn tắc) Biến ngẫu nhiên d chiều

Z = (Z1, Z2, , Zd)>

được gọi là có phân phối Gauss chuẩn tắc (hay phân phối chuẩn chuẩntắc) d− chiều nếu mỗi thành phần của nó là biến ngẫu nhiên có phân phốichuẩn tắc và chúng độc lập với nhau

được gọi là có phân phối Gauss d chiều nếu tồn tại ma trận A cỡ d × d

không suy biến và véc tơ µ trong Rd sao cho

Véc tơ Gauss này ký hiệu là X ∼ N (µ, Σ)

Định nghĩa trên tương đương

Định nghĩa 1.3.3 Véc tơ X = (X1, X2, , Xd)> gọi là có phân phốiGauss nếu với mọi v = (v1, v2, , vn) ∈Rd thì

có phân phối chuẩn

Phân phối Gauss được xác định qua kỳ vọng và ma trận covarian thểhiện qua mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.4 Nếu X, Y là các véc tơ ngẫu nhiên Gauss d chiều;

EX = EY, cov(X) = cov(Y ) thì X, Y có cùng phân phối Từ đó suy ramột véc tơ Gauss có các thành phần độc lập khi và chỉ khi ma trận tươngquan là ma trận chéo Nói cách khác, các thành phần của véc tơ Gauss

là độc lập khi và chỉ khi chúng không tương quan

Mệnh đề 1.3.5 Giả sử {Xn} là dãy các véc tơ ngẫu nhiên Gauss và

limn→∞Xn = X hầu chắc chắn Nếu tồn tại

Với mỗi t, s ≥ 0, ký hiệu

m(t) = E[X(t)]; K(t, s) = Cov[X(t), X(s)]

Khi đó m(t) gọi là hàm trung bình, K(t, s) gọi là hàm tương quan của X.Nếu m(t) = m, và K(t, s) = K(t − s), tức hàm trung bình là hằng số cònhàm tương quan chỉ phụ thuộc vào t − s thì X được gọi là quá trình Gaussdừng

Mệnh đề 1.3.7 Một quá trình Gauss có gia số độc lập khi và chỉ khi

có gia số không tương quan

σ2 = 4RT

trong đó R là hằng số Universal gas; N là hằng số Avogadro; T là nhiệt độtuyệt đối; f là hệ số ma sát của môi trường xung quanh Từ (1.2) có thể xácđịnh được hằng số Avogadro bằng thí nghiệm chuyển động Brown, kết quảđạt được này đã giúp Porrin đạt giải Nobel năm 1926 [15].

Nếu σ2 = 1, thì ta nói W (t) là chuyển động Brown tiêu chuẩn Chú ýrằng nếu W (t) là chuyển động Brown với tham số σ thì W (t)σ là chuyển độngBrown tiêu chuẩn Từ nay về sau, nếu không nói gì khác thì ta xét σ2 = 1

và gọi W (t) là chuyển động Brown thay cho chuyển động Brown tiêu chuẩn.Đặt

Ta có EQn = T Mặt khác, từ tính chất gia số độc lập của chuyển độngBrown và Bổ đề 1.4.2, ta có

Do quĩ đạo của W liên tục nên liên tục đều trên đoạn đóng Vì vậy, với

ω ∈ A mà quĩ đạo của W liên tục, cho n → ∞, ta có maxi|∆iW | → 0 và

v(W (ω)) bị chặn Suy ra, Qn n→+∞−→ 0 Như vậy, Qn n→+∞−→ 0 trên tập có xácsuất dương Điều này là vô lí vì Qn n→+∞−→ T hầu chắc chắn với phân hoạchnày

Như vậy chuyển động Brown cho ta một ví dụ thú vị về hàm liên tụcnhưng không đâu khả vi

Tính chất Markov của chuyển động Brown được chứng minh trong định

lý sau

Định lý 1.4.4 Chuyển động Brown W (t) là quá trình Markov

Để chứng minh Định lý trên, ta có Bổ đề sau

Bổ đề 1.4.5 Nếu X ∼ N (µ, σ2) thì E[euX] = eµu+(σu)22

Chứng minh Ta có X ∼ N (µ, σ2) nên

Z := X − µ

σ ∼ N (0, 1)

Trở lại với chứng minh Định lý (1.4.4).

Chứng minh Ta có, với mọi s, t > 0; u ∈ R

có điều kiện của W (t + s) với điều kiện Ft trùng với phân phối của W (t + s)

với điều kiện W (t) Tức là, với mọi y ∈ R:

P[W (t + s)6 y/Ft] = P[W (t + s) 6 y/W (t)]

Đối với quá trình ngẫu nhiên thì ta khó tính toán được mật độ n chiềucủa nó Tuy nhiên, với chuyển động Brown thì do có gia số độc lập và dừng

nên ta có, với mọi t0 = 0 < t1 < t2 < < tn, x0 = 0, x1, x2, , xn ∈ R,

(xi−xi−1)22(ti−ti−1)

Đây là mật độ của phân phối Gauss n chiều Như vậy phân phối hữu hạnchiều của chuyển động Brown là phân phối Gauss Do đó chuyển động Brown

{W (t), t> 0} là quá trình Gauss

Mệnh đề 1.4.6 (Tính chất của chuyển động Brown) Cho W = {W (t), t >

0} là chuyển động Brown Khi đó

1 Với mọi t > 0 thì W (t) ∼ N (0, 1);

2 Mọi s ≥ 0, kí hiệu

∼

W (t) := W (t) − W (s) thì {W (t), t∼ > s} cũng làchuyển động Brown;

3 Với mọi λ > 0 đặt

∼

W (t) := W (λt)√

t thì {W (t), t∼ > 0} cũng là chuyểnđộng Brown;

4 (i) Hàm đặc trưng của gia số W (t + h) − W (t) là:

Định lý 1.4.7 Cho W = {W (t), t > 0} là chuyển động Brown Ký hiệu:

là min(s, t) là chuyển động Brown

Định nghĩa 1.4.10 (Chuyển động Brown nhiều chiều) Quá trình ngẫunhiênW (t) = (W1(t), , Wm(t))>được gọi là chuyển động Brown m−chiềunếu mỗi thành phần Wi(t), i = 1, , m, là chuyển động Brown một chiều

và chúng là các quá trình ngẫu nhiên độc lập với nhau

1.5 Tích phân ngẫu nhiên Ito và phương trình

vi phân ngẫu nhiên Ito

1.5.1 Tích phân ngẫu nhiên Ito

Trong phần này ta định nghĩa tích phân

Z T 0

ký hiệu lớp hàm mà tích phân ngẫu nhiên Itô sẽ được xác định là NT, đượcđịnh nghĩa như sau

Kí hiệu 1.5.1 Ký hiệu NT là không gian gồm các quá trình ngẫu nhiên

đo được f : [0, T ] × Ω 7→ R , thỏa mãn hai điều kiện sau

(i) f (t, ·) là Ft−đo được với mọi t ∈ [0, T ];

(ii) R0T E(|f (t)|2)dt < ∞

Đầu tiên định nghĩa tích phân (1.3) cho các hàm đơn giản

Định nghĩa 1.5.2 Một quá trình f ∈ NT được gọi là quá trình đơn giảnnếu có dạng

Định nghĩa 1.5.3 Tích phân Itô của hàm đơn giản f ∈ S trên đoạn

I(αf + βg) = αI(f ) + βI(g)

Ngoài ra tích phân này còn có tính chất sau gọi là tính chất "Đẳng cựItô”

E(|I(f )|2) =

Z T 0

E(|I(fn) − I(fm)|2)dt n,m7→∞−→ 0

Do đó {I(fn), n ≥ 1}là dãy Cauchy trongL2(Ω), với L2(Ω)là không giancác biến ngẫu nhiên bình phương khả tích Đây là không gian định chuẩnđầy đủ với chuẩn kXk2 := pE(X)2 Suy ra tồn tại giới hạn

I(f ) := lim

n7→∞I(fn), trong L2(Ω) (1.8)Hơn nữa có thể chứng mình được rằng I(f ) xác định như ở (1.8) không phụthuộc vào cách chọn dãy {fn, n ≥ 1} trong Bổ đề 1.5.4 Từ đây ta có địnhnghĩa

Định nghĩa 1.5.5 Giới hạn I(f ) trong phương trình (1.8) được gọi là tíchphân Itô của hàm ngẫu nhiên f và được ký hiệu bởi R0T f (t)dW (t).

Như vậy I(f ) được xác định cho mọi f ∈ NT Bây giờ với mỗi f ∈ NT

và t1 < t2 ∈ [0, T ], ký hiệu 1[t1,t2] là hàm chỉ tiêu của đoạn [t1, t2], tức là

f 1[t1,t2]

Ký hiệu

X(t) :=

Z t 0

f (s)dW (s), 0 ≤ t ≤ T

Khi đó {X(t)} là một quá trình ngẫu nhiên, thường được gọi là quátrình ngẫu nhiên tích hợp Rõ ràng nếu f là hàm đơn giản thì X(t) là liêntục hầu chắc chắn vì W (t) liên tục hầu chắc chắn

Tích phân ngẫu nhiên Itô của các hàm trong NT có đầy đủ các tính chấtcủa tích phân thường, như là tính tuyến tính, tính cộng tính, ngoài ra nó còn

có các tính chất sau

Mệnh đề 1.5.6 Tích phân ngẫu nhiên của f ∈ NT có các tính chấtsau:

(i) ER0T f (t)dW (t) = 0;

(ii) Đẳng cự Itô: E(|I(f )|2) = R0T E(|f (t)|2)dt;

(iii) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp {X(t)} là tương thích với lọc (Ft),sinh bởi chuyển động Brown;

(iv) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp {X(t)} là Martingale đối với lọc củachuyển động Brown;

(v) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp {X(t)} có quĩ đạo mẫu liên tục;

(vi) Quá trình {X(t)} có gia số không tương quan.

Chứng minh các tính chất trên có thể xem trong ([3])

Sau đây ta đưa ra ví dụ

Z t 0

trong Mệnh đề 1.5.6 nói chung không thỏa mãn nhưng quá trình ngẫu nhiên

{X(t)} là Martingale địa phương

1.5.2 Công thức Ito

Công thức Newton-Leibniz đóng vai trò quan trọng trong phép tính vitích phân cổ điển, được Newton và Leibniz xây dựng từ thế kỷ 17 Nội dungđược phát biểu như sau: nếu f là hàm khả vi liên tục và X : [0, ∞) → R liên

tục có biến phân bị chặn thì

f [X(t)] − f [X(0)] =

Z t 0

f0[X(s)]dX(s)

Qui tắc này không còn đúng trong tính toán ngẫu nhiên nữa Thay vào đóItô [10] đã đưa ra một công thức, ngày nay gọi là công thức Itô, có vai trònhư công thức Newton-Leibniz nhưng cho giải tích ngẫu nhiên Sau đây ta

sẽ giới thiệu công thức này

Định lý 1.5.7 (Công thức Itô) Giả sử U (t, x) là hàm liên tục xác địnhtrên J ×Rn nhận giá trị trong Rd với các đạo hàm riêng liên tục