Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động brown và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - NGUYỄN VŨ NGỌC THƯƠNG MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN QUAN TRỌNG NHẬN ĐƯỢC TỪ CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - NGUYỄN VŨ NGỌC THƯƠNG MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN QUAN TRỌNG NHẬN ĐƯỢC TỪ CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Thế Nghệ An - 2014 1 MỤC LỤC Mục lục 1 Mở đầu 3 1 Các khái niệm cơ bản 5 1.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Phân phối Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Tích phân ngẫu nhiên Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito 17 1.5.1 Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2 Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 21 2 Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown và ứng dụng 24 2.1. Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Chuyển động Brown dịch chuyển . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Chuyển động Brown hình học . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Chuyển động Brown tích phân . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.4 Cầu Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.5 Quá trình Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.6 Quá trình Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 2.2. Phần ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1 Mô tả thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2 Mô hình giá trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 Mô hình giá cổ phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận chung và kiến nghị 41 Tài liệu tham khảo 41 3 MỞ ĐẦU Theo quan điểm hiện đại thì Lý thuyết tài chính cần phải phân tích những tính chất của các cấu trúc tài chính và tìm phương pháp thích hợp để quản lý tài nguyên tài chính một cách thích hợp (chẳng hạn tiền phải trả cho các yếu tố như thời gian, sự rủi ro và môi trường.) Công nghệ cũ trong tài chính và kinh tế dựa vào kinh nghiệm và mô hình hồi qui (trước những năm 1973) không còn phù hợp nữa. Năm 1973 thị trường trao đổi quyền lựa chọn đầu tiên là CBOE (Chicago Board Option Exchange) được thành lập ở Chicago, Mỹ. Cũng năm 1973 đã xuất hiện hai công trình nền tảng về định giá quyền lựa chọn (kiểu Châu Âu - European options) của Black- Scholes [5] và của Merton [13]. Các công trình này đã tạo ra cuộc cách mạng trong phương pháp định giá tài sản trên thị trường tài chính, đặt nền móng cho một hướng mới trong toán học là toán tài chính. Mô hình đưa ra là một trong những ví dụ điển hình về ứng dụng của giải tích ngẫu nhiên. Quyền lựa chọn (option) là một hợp đồng được phát hành bởi một công ty, ngân hàng, hay công ty tài chính mà nó cho phép người mua quyền mua hay bán một tài sản có giá trị (cổ phần, trái phiếu, tiền tệ, ) theo các điều khoản tại một thời điểm (hoặc khoảng thời gian) xác định trong tương lai. Quyền lựa chọn đã được trao đổi mua bán từ rất lâu nhưng nó trở nên phổ biến từ những năm 1973 khi chúng được giao dịch có tổ chức ở thị trường chứng khoán CBOT và trở thành yếu tố kinh tế quan trọng từ thế kỷ 20. Lý thuyết toán học về quyền lựa chọn là phần lý thuyết phát triển nhất của toán tài chính. Do có số lượng mua bán trao đổi về quyền lựa chọn trên thị trường rất lớn nên thực tế các mô hình này được kiểm chứng dễ dàng vì số lượng thông tin thống kê lớn. Hiện nay giải tích ngẫu nhiên tạo thành nền tảng toán học và là cơ sở thích hợp cho các nhu cầu của lý thuyết tài chính. Nghiên cứu toán tài chính trình độ cao cần phải có các hiểu biết sâu sắc về giải tích ngẫu nhiên nói chung và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói riêng. Tính bất định của thị trường được mô tả như là tính ngẫu nhiên thông qua một không gian xác suất (Ω, F, P) với lọc (F t ) t≥0 . Ở đây lọc (F t ) t≥0 được xem như là dòng các thông tin: F t là thông tin truy cập được đến thời điểm t. Yếu tố ngẫu 4 nhiên được chọn tại thời điểm t là biến ngẫu nhiên chuẩn N(0, σ 2 t) với giá trị σ > 0 nào đó. Thời gian thay đổi ta có quá trình chuyển động Brown. Điều này được công nhận rộng rãi sau khi Kendall công bố các kết quả của mình vào năm 1953 [12]. Từ chuyển động Brown ta có thể xây dựng được nhiều quá trình ngẫu nhiên mô hình cho các hiện tượng thực tế quan trọng khác. Để hiểu sâu hơn các quá trình này về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng, bước đầu làm quen với toán tài chính, trong khuôn khổ của luận văn thạc sỹ, tôi chọn đề tài cho luận văn là: “Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown và ứng dụng.” Nội dung của luận văn được chia thành hai chương. Chương I. Các khái niệm cơ bản Trong chương I, trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết xác suất. Chương II. Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown và ứng dụng Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong chương này trình bày định nghĩa, các tính chất của các quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown. Đó là, Chuyển động Brown dịch chuyển, Chuyển động Brown hình học, Cầu Brown, Chuyển động Brown tích phân, Quá trình Ornstein-Uhlenbeck, Quá trình Bessel. Trong luận văn tôi không nêu ứng dụng hết của các quá trình trên mà chỉ nêu ứng dụng của quá trình chuyển động Brown hình học. Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô: TS. Nguyễn Thị Thế về sự tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến thầy GS.TS. Nguyễn Văn Quảng và thầy TS. Nguyễn Thanh Diệu đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu, giúp tôi hoàn thành luận văn tốt hơn. Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Xác suất và Thống kê toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do năng lực và thời gian có hạn chế luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những lời chỉ bảo, góp ý quý báu của các thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả 5 CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Đối tượng nghiên cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vô hạn các biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T nào đó. Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Ánh xạ X : T ×Ω → R (t, ω) → X(t, ω), được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu với mọi t ∈ T thì X(t) : Ω → R là biến ngẫu nhiên. Khi đó với mọi ω ∈ Ω thì X(., ω) : T → R là hàm số xác định trên T và X(., ω) được gọi là quỹ đạo của quá trình với thể hiện ω. Ta dùng ký hiệu X = {X(t), t ∈ T } hoặc {X(t)} hay X để chỉ quá trình ngẫu nhiên đang xét nếu T đã chỉ rõ. Nếu T thuộc một trong các tập sau: (−∞, +∞), [a, +∞), (−∞, b], [a, b], (a, b), [a, b), (a, b] thì X = {X(t), t ∈ T } được gọi là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục. Trong trường hợp này t đóng vai trò là thời gian. Trong luận văn ta chỉ xét T ⊂ [0, +∞). Định nghĩa 1.1.2 (Phân phối hữu hạn chiều). Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} là quá trình ngẫu nhiên và I = {t 1 , t 2 , . . . , t n } là tập con hữu hạn của [0, +∞). Hàm phân phối đồng thời của X(t 1 ), . . . , X(t n ) là F I (x 1 , . . . , x n ) = F (x 1 , . . . , x n ; t 1 , . . . , t n ) = P{X(t 1 ) < x 1 , . . . , X(t n ) < x n } 6 được gọi là phân phối hữu hạn chiều của X. Phân phối hữu hạn chiều thỏa mãn các điều kiện sau (i) Điều kiện đối xứng, tức là: F (x 1 , . . . , x n ; t 1 , . . . , t n ) không thay đổi khi hoán vị các cặp (x k , t k ). (ii) Điều kiện nhất quán, theo nghĩa: lim n→∞ F (x 1 , . . . , x n ; t 1 , . . . , t n ) = F (x 1 , . . . , x n−1 ; t 1 , . . . , t n−1 ). Hai quá trình trên cùng tập tham số (nhưng có thể xác định trên các không gian xác suất khác nhau) được gọi là tương đương yếu, nếu chúng có cùng họ phân phối hữu hạn chiều. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} và Y = {Y (t), t ≥ 0} là hai quá trình ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P). Khi đó (i) Y được gọi là tương đương ngẫu nhiên của X nếu với mọi t ≥ 0 ta có: P[ω ∈ Ω : X(t, ω) = Y (t, ω)] = 1. (ii) X và Y được gọi là cùng phân phối hữu hạn chiều nếu với bất kỳ số nguyên n ≥ 1, các số thực 0 ≤ t 1 < t 2 < . . . < t n < ∞ và A ∈ B(R d ) ta có P[(X(t 1 ), X(t 2 ), . . . , X(t n )) ∈ A] = P[(Y (t 1 ), Y (t 2 ), . . . , Y (t n )) ∈ A]. (iii) X và Y được gọi là bằng nhau nếu hầu hết các quỹ đạo của chúng trùng nhau. Tức là P[ω ∈ Ω : X(t, ω) = Y (t, ω); ∀ t  0] = 1. Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình đo được). Một quá trình ngẫu nhiên {X(t), t  0} được gọi là đo được nếu nó đo được đối với σ-trường tích B(R + ) ⊗ F. Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của R, tập hợp {(t, ω) : X(t, ω) ∈ B}, thuộc về σ-trường tích B(R + ) ⊗ F. 7 Định nghĩa 1.1.5 (Quá trình ngẫu nhiên có gia số độc lập). Quá trình ngẫu nhiên {X(t), t  0} được gọi là có gia số độc lập, nếu các gia số của nó trên các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là, với mọi 0  t 0 < t 1 < < t n thì ta có các biến ngẫu nhiên sau là độc lập X(t 0 ), X(t 1 ) − X(t 0 ), X(t 2 ) − X(t 1 ), . . . , X(t n ) − X(t n−1 ). Định nghĩa 1.1.6 (Quá trình ngẫu nhiên có gia số không tương quan). Giả sử {X(t), t  0} là quá trình cấp 2 (tức là E|X(t)| 2 < ∞, ∀t). Ta nói rằng X là quá trình có gia số không tương quan nếu các gia số của nó trên các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên không tương quan, tức là, đối với mọi 0  t 0 < t 1 < t 2 < t 3 thì Cov[X(t 3 ) − X(t 2 ), X(t 1 ) − X(t 0 )] = 0. Trong đó Cov[X, Y ] = E[XY ] −E[X]E[Y ]. Nhận xét 1.1.7. Nếu X là quá trình cấp 2 có gia số độc lập thì X có gia số không tương quan. 1.2 Quá trình Markov Quá trình Markov là những quá trình ngẫu nhiên mà tương lai và quá khứ độc lập với nhau nếu biết hiện tại, được Markov đưa ra vào năm 1906. Ví dụ như X(t) là dân số tại thời điểm t. Các hệ (sinh thái, vật lý, cơ học, ) không có nhớ hoặc sức ỳ lớn là quá trình Markov. Về phương diện xác suất, ta phải dùng xác suất có điều kiện để diễn tả tính Markov. Cụ thể là, nếu s là thời điểm hiện tại thì X(s) = x là trạng thái hiện tại; {X(q), q < s} là quá khứ; {X(t), s < t} là tương lai. Ký hiệu F ≥t := σ(X(q), t < q); F t := σ(X(q), q < t). Khi đó, tính Markov có thể diễn đạt như sau P[A 1 A 2 /X(s)] = P[A 1 /X(s)]P[A 2 /X(s)], 8 trong đó A 1 là biến cố thuộc tương lai, tức là, biến cố thuộc vào σ− trường F ≥s ; A 2 là biến cố thuộc về quá khứ, tức là, biến cố thuộc vào σ− trường F s . Định nghĩa cụ thể của quá trình Markov như sau Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X = {X(t), t ≥ 0} là quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong R d tương thích với lọc {F t , t ≥ 0} đã cho trên không gian xác suất (Ω, F, P). Ta nói rằng X là quá trình Markov (d - chiều) nếu với mọi hàm f liên tục bị chặn trên R d và 0 ≤ s ≤ t < ∞, E[f(X(t))/F s ] = E[f(X(t))/X(s)], h.c.c. (1.1) Sau đây là một số định nghĩa tương đương. Định lý 1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên d chiều X = {X(t), t ≥ 0} là quá trình Markov nếu thỏa mãn một trong các tính chất sau đây (i) P(B/F t ) = P(B/X(t)), B ∈ F ≥t ; (ii) P(A/F ≥t ) = P(A/X(t)), A ∈ F t ; (iii) P(X(t) ≤ x/F t ) = P(X(t) ≤ x/X(t)); (iv) P(X(t) ≤ x/X(t 1 ), . . . , X(t n )) = P(X(t) ≤ x/X(t n )), t 1 < t 2 < < t n < t; (v) P(X(t) ≤ x/X(t 1 ) = x 1 , . . . , X(t n ) = x n ) = P(X(t) ≤ x/X(t n ) = x n ), x, x i ∈ R d ; (vi) P(X(t) ∈ B/X(t 1 ), . . . , X(t n )) = P(X(t) ∈ B/X(t n )), với mọi B ∈ B(R d ); (vii) Với mọi hàm Borel bị chặn ϕ : R d → R thì E[ϕ(X(t))/F t ] = E[ϕ(X(t))/X(t)]. [...]... X(t) có vi phân ngẫu nhiên và viết dX(t) = f (t)dt + G(t)dW (t), t ∈ J (1.13) 24 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN QUAN TRỌNG NHẬN ĐƯỢC TỪ CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown Chuyển động Brown là một trong hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng (cùng với quá trình Poisson) trong lý thuyết quá trình ngẫu nhiên Vai trò quan trọng của chúng... tượng quan trọng mà còn để cấu trúc, xây dựng các quá trình ngẫu nhiên quan trọng khác Sau đây ta xét một số quá trình ngẫu nhiên nhận được từ chuyển động Brown Để cho đơn giản ta chỉ xét chuyển động Brown một chiều Đối với chuyển động Brown nhiều chiều ta có khái niệm tương tự 2.1.1 Chuyển động Brown dịch chuyển Đầu tiên ta xét một phép biến đổi từ chuyển động Brown là một sự tổng quát của quá trình. .. trưng chuyển động Brown như là một quá trình Gauss đặc biệt Định lý 1.4.9 Chuyển động Brown là một quá trình Gauss với hàm trung bình bằng không và hàm tự tương quan là min(s, t) Ngược lại, một quá trình Gauss với hàm trung bình bằng không và hàm tự tương quan là min(s, t) là chuyển động Brown Định nghĩa 1.4.10 (Chuyển động Brown nhiều chiều) Quá trình ngẫu nhiên W (t) = (W 1 (t), , W m (t)) được. .. nói W (t) là chuyển động Brown tiêu chuẩn Chú ý (t) rằng nếu W (t) là chuyển động Brown với tham số σ thì Wσ là chuyển động Brown tiêu chuẩn Từ nay về sau, nếu không nói gì khác thì ta xét σ 2 = 1 và gọi W (t) là chuyển động Brown thay cho chuyển động Brown tiêu chuẩn Đặt W ∗ (t) := W (t) + c, với c là hằng số dương Khi đó quá trình {W ∗ (t), t 0} được gọi là chuyển động Brown xuất phát từ c Dễ thấy... chỉ phụ thuộc vào t − s thì X được gọi là quá trình Gauss dừng Mệnh đề 1.3.7 Một quá trình Gauss có gia số độc lập khi và chỉ khi có gia số không tương quan 1.4 Chuyển động Brown Định nghĩa 1.4.1 (Chuyển động Brown 1 chiều) Một quá trình ngẫu nhiên 1 chiều W = {W (t), t 0} xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) được gọi là chuyển động Brown (1 chiều) với tham số σ 2 nếu nó thỏa mãn các tính... tương quan tương đương độc lập Tức X(t) có gia số độc lập 2.1.2 Chuyển động Brown hình học Sau đây ta xét một quá trình ngẫu nhiên quan trọng trong toán tài chính thu được bằng cách lấy hàm mũ của chuyển động Brown dịch chuyển Định nghĩa 2.1.3 Giả sử X(t) là chuyển động Brown dịch chuyển với hệ số µ, σ 2 , tức là X(t) := σW (t) + µt Ký hiệu Y (t) = eX(t) , t 0 Khi đó quá trình {Y (t), t 0} được gọi là chuyển. .. Định nghĩa 2.1.1 Giả sử {W (t), t các hằng số thực, σ = 0 Ký hiệu 0} là chuyển động Brown; µ, σ là X(t) := σW (t) + µt, t ≥ 0 Khi đó quá trình {X(t), t 0} được gọi là chuyển động Brown dịch chuyển, µ được gọi là hệ số dịch chuyển, σ 2 được gọi là hệ số khuếch tán Đối với chuyển động Brown dịch chuyển, dễ dàng nhận được hàm trung 25 bình, hàm tự tương quan và hàm phương sai như sau EX(t) = µt; r(s,... cự Itô: E(|I(f )|2 ) = T 0 E(|f (t)|2 )dt; (iii) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp {X(t)} là tương thích với lọc (Ft ), sinh bởi chuyển động Brown; (iv) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp {X(t)} là Martingale đối với lọc của chuyển động Brown; (v) Quá trình ngẫu nhiên tích hợp {X(t)} có quĩ đạo mẫu liên tục; 20 (vi) Quá trình {X(t)} có gia số không tương quan Chứng minh các tính chất trên có thể xem trong ([3])... (t), , W m (t)) được gọi là chuyển động Brown m−chiều nếu mỗi thành phần W i (t), i = 1, , m, là chuyển động Brown một chiều và chúng là các quá trình ngẫu nhiên độc lập với nhau 17 1.5 Tích phân ngẫu nhiên Ito và phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito 1.5.1 Tích phân ngẫu nhiên Ito Trong phần này ta định nghĩa tích phân T f (t)dW (t), (1.3) 0 trong đó, f là hàm ngẫu nhiên trên không gian xác suất... quá trình {X(t), t không độc lập } có gia số Chuyển động Brown hình học cũng được mở rộng cho trường hợp σ và µ là hàm số phụ thuộc thời gian Định lý 2.1.8 Chuyển động Brown hình học (2.2) là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên 1 dY (t) = Y (t)(µ + σ 2 )dt + Y (t)σdW (t); Y (0) = Y0 2 Phương trình này gọi là phương trình Black - Scholes Chứng minh Theo công thức Ito, áp dụng cho quá trình ngẫu . . . . . . . . 21 2 Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown và ứng dụng 24 2.1. Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown . . . . . . này trình bày định nghĩa, các tính chất của các quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown. Đó là, Chuyển động Brown dịch chuyển, Chuyển động Brown hình học, Cầu Brown, Chuyển. bản Trong chương I, trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết xác suất. Chương II. Một số quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhận được từ chuyển động Brown và ứng dụng Chương này là nội dung