2.2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ
2.2.1 Định nghĩa tích phân
Chúng tôi tuân theo ý tưởng của T. H. Thao và Christine [47] để giới thiệu kiểu định nghĩa tích phân ngẫu nhiên phân thứ như sau Định nghĩa 2.1. Cho WH là một fBm hoặc LfBm với chỉ số H ∈ (0,1) và {ft, t ∈ [0, T]} là một quá trình tương thích với lọc tự nhiên sinh bởi WH thỏa mãn
E (∫T
0
fs2ds )
< ∞. (2.5)
Nếu biến ngẫu nhiên
∫t 0
fsdWsH,ε tồn tại giới hạn trong L2(Ω) khi ε →0 thì ta gọi giới hạn đó là tích phân ngẫu nhiên phân thứ của f đối với fBm WH. Ký hiệu
∫t 0
fsdWsH = L2-lim
ε→0
∫t 0
fsdWsH,ε. (2.6) Chú ý 2.1. Từ phân tích (2.1) ta có
∫t 0
fsdWsH,ε =
∫t 0
fsφε(s)ds+
∫t 0
K(s+ ε, s)fsdWs. (2.7) Do đó, điều kiện (2.5) là đủ để đảm bảo sự tồn tại của tích phân
∫t 0
fsdWsH,ε với mỗi ε > 0.
Trong phần còn lại của Luận án, nếu không có giải thích khác, khi nói tích phân ngẫu nhiên phân thứ ta sẽ hiểu đó là tích phân ngẫu nhiên theo Định nghĩa 2.1.
Bài toán tự nhiên đặt ra là xây dựng lớp các hàm khả tích, tức là tìm điều kiện về hàm f để giới hạn trong vế phải của (2.6) tồn tại. Mục 3.3 tiếp theo sẽ trả lời câu hỏi này chung cho mọi chỉ số H ∈ (0,1). Ở đây, để người đọc có thể hình dung một cách rõ ràng lớp các hàm khả tích chúng tôi phát biểu một kết quả trong bài báo [22] với một vài sửa đổi để làm mịn hơn. Cụ thể, khi H > 12 và nếu hàm f ∈ C12+δ[0, T] (mịn hơn so với giả thiết f ∈ C34+δ[0, T] như trong [22] ) thì tích phân ngẫu nhiên phân thứ sẽ trùng với tích phân phân thứ của Z¨ahle và do đó nó có thể hiểu như tích phân Riemann-Stieltjes thông thường. Ta cần Bổ đề kỹ thuật sau
Bổ đề 2.1. Cho WtH là LfBm với chỉ số H ∈ (12,1) và ε∈ (0,1).
(a) Ta có các ước lượng sau với mọi t, s ∈ [0, T]
E|WtH −WsH|2 ≤ c1|t−s|2H, (2.8)
E|WtH,ε−WsH,ε|2 ≤c1|t−s|, (2.9) trong đó c1 là một hằng số dương nào đó chỉ phụ thuộc vào H và T.
(b) Đặt DtH,ε = WtH,ε −WtH , ta có với mọi p∈ (0,1)
E|Dεt −Dεs|2 ≤ c2ε(1−p)H|t−s|p ∀ t, s ∈ [0, T], (2.10) trong đó c2 là một hằng số dương nào đó chỉ phụ thuộc vào H và T.
(c) Với mỗi 0 < λ < 12 ta có ước lượng sau với mọi 2λ < p <1 E∥WH,ε−WH∥2λ,1 ≤c3ε(1−p)H ,
trong đó c3 là một hằng số dương nào đó chỉ phụ thuộc vào H, T và λ.
Chứng minh. (a) Bất đẳng thức (2.8) là một tính chất cơ bản của LfBm và chứng minh của nó có thể tìm thấy trong [25], khi WtH là fBm ta có dấu bằng xảy ra. Bất đẳng thức (2.9) được chứng minh như sau:
Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng s ≤ t. Bởi công thức đẳng cự của tích phân Itô ta có
E|WtH,ε −WsH,ε|2 =
∫t 0
(tưu+ε)2αdu+
∫s 0
(sưu+ ε)2αdu
−2
∫s 0
(tưu+ε)α(sưu+ε)αdu.
Ta coi vế phải của đẳng thức trên như một hàm của t ∈ [s, T], ký hiệu là f(t). Hiển nhiên, f ∈ C∞[s, T] và f(s) = 0, f′(s) = ε2α, f′(t) =
(t+ ε)2α−2α
∫s 0
(tưu+ε)αư1(sưu+ε)αdu. Do đó
|f′(t)| ≤ (t+ε)2α+ 2α
∫s 0
(sưu+ε)2αư1du
= (t+ε)2α+ (s+ε)2α−ε2α ≤ 2(T + 1)2α ∀ s ≤ t≤ T . Áp dụng định lý giá trị trung bình ta có
f(t) = |f(t)−f(s)| ≤2(T + 1)2α|t−s|. (b) Sử dụng ước lượng (2.3) ta nhận được
E|DtH,ε−DsH,ε|2 ≤ 2(
E|DtH,ε|+E|DH,εs |)
≤ 4ε2H . (2.11) Hơn nữa,
E|DtH,ε−DsH,ε|2 ≤ 2(
E|WtH,ε−WsH,ε|2 +E|WtH −WsH|2)
≤ 2c1(1 + (2T)2H−1)|t−s|.
(2.12)
Từ (2.11), (2.12) và với mọi số thực 0< p < 1 ta có
E|Dtε−Dsε|2 = (E|Dεt −Dεs|2)1−p(E|Dtε−Dsε|2)p ≤ c2ε(1−p)H|t−s|p, với c2 = 41−p(2c1(1 + (2T)2H−1))p.
(c) Ta có (
E∥WH,ε −WH∥2λ,1
)1/2
≤
∫T 0
∥Dsε∥ sλ ds+
∫T 0
∫s 0
∥Dεs −Dyε∥ (s−y)λ+1 dyds.
Sử dụng các ước lượng (2.3) và (2.10) ta có (
E∥WH,ε−WH∥2λ,1
)1/2
≤∫T
0 εH
sλds+
∫T 0
∫s 0
√c2ε(1−p)H|t−s|p (s−y)λ+1 dyds
≤ ε(1−2p)H(∫T
0 1 sλds+
∫T 0
∫s 0
√c2
(s−y)λ+1−p/2dyds) .
Các tích phân trong vế phải của bất đẳng thức trên là hội tụ với mọi 0< λ < 1/2, và ta chọn p trong ước lượng (2.10) thỏa mãn 2λ < p <1.
Như vậy tồn tại một hằng số dương c3 thỏa mãn E∥WH,ε−WH∥2λ,1 ≤c3ε(1−p)H . Bổ đề được chứng minh xong.
Định lý 2.2. Cho quá trình ngẫu nhiên tương thích f : [0, T]×Ω →R thỏa mãn điều kiện: Với δ >0 nào đó tồn tại hằng số M > 0 thỏa mãn
∥f∥C12+δ[0,T] < M.
Khi đó với mọi t ∈ [0, T] :
∫t 0
f(s)dWsH,ε L
2(Ω)
−−−→ (Z)
∫t 0
f(s)dWsH , ε →0.
Chứng minh. Như một hệ quả của (2.8), WH có quỹ đạo β-H¨older liên tục với mọi 0 < β < H, tức là: WH ∈ ∩
0<β<H
Cβ[0, T]. Mặt khác, bởi vì f ∈ C12+δ[0, T] nên tích phân ngẫu nhiên phân thứ của Z¨ahle, (Z)
∫t 0
f(s)dWsH, có thể hiểu như tích phân Riemann-Stieltjes. Do đó ta có thể áp dụng công thức tích phân từng phần tới cả hai tích phân (Z)
∫t 0
f(s)dWsH,
∫t 0
f(s)dWsH,ε và nhận được
∫t 0
f(s)dWsH,ε −(Z)
∫t 0
f(s)dWsH =
∫t 0
f(s)d(WsH,ε−WsH)
= f(t)(WtH,ε −WtH)−
∫t 0
(WsH,ε −WsH)df(s).
Do đó ∫t
0
f(s)dWsH,ε −(Z)
∫t 0
f(s)dWsH ≤ ∥f(t)(WtH,ε −WtH)∥ +∫t
0
(WsH,ε−WsH,ε)df(s). Áp dụng bất đẳng thức H¨older và sử dụng (2.4) ta có
∥f(t)(WtH,ε−WtH)∥ ≤ ∥f(t)∥4∥WtH,ε −WtH∥4 ≤ M c(4)εH, (2.13) trong đó ∥.∥ và ∥.∥p là ký hiệu chuẩn trong L2(Ω) và Lp(Ω), tương ứng . Bởi vì f ∈ C12+δ[0, T] ⊂ W1+δ2 ,∞[0, T], chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức (1.2) với λ = 1−2δ và nhận được
∫t
0
(WsH,ε−WsH)df(s) ≤ C(δ)∥WH,ε −WH∥1−2δ,1∥f∥1+δ2 ,∞
Bằng các tính toán đơn giản ta có
∥f∥1+δ2 ,∞ ≤M(1 + 2
δ)T δ2 := M1. Do đó từ Bổ đề 2.1 ta nhận được
∫t
0
(WsH,ε −WsH)df(s) ≤ M1√
C(δ)c3ε(1−2p)H. Kết hợp bất đẳng thức trên và (2.13) ta được
∫t
0
f(s)dWsH,ε −(Z)
∫t 0
f(s)dWsH < c4ε(1−2p)H , trong đó c4 = M√
T + M1√
C(δ)c3. Định lý được chứng minh xong.
Ta có hệ quả sau như một điều kiện đủ cho sự tồn tại của tích phân ngẫu nhiên phân thứ.
Hệ quả 2.1. Nếu f ∈ C12+δ[0, T] thì tích phân ngẫu nhiên phân thứ tồn tại và nó trùng với tích phân ngẫu nhiên phân thứ của Z¨ahle.