Giá Trị Trung Bình Với Hàm Tùy Ý Và Một Số Lớp Hàm Lồi Liên Quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HƢƠNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI HÀM TÙY Ý VÀ MỘT SỐ LỚP HÀM LỒI LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ HƢƠNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VỚI HÀM TÙY Ý VÀ MỘT SỐ LỚP HÀM LỒI LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một số giá trị trung bình sơ cấp 1.1 Một số giá trị trung bình sơ cấp 1.1.1 1.1.2 1.2 Giá trị trung bình thơng thường Trung bình có trọng 1.1.3 Một số tính chất trung bình Mr (a) Hàm so sánh 1.2.1 1.2.2 Bất đẳng thức Một số hàm so sánh 13 Chương Giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan 18 2.1 2.2 2.3 Tính chất đặc trưng giá trị trung bình 18 2.1.1 Các giá trị trung bình tương đương 20 2.1.2 Tính chất đặc trưng giá trị trung bình Mr 21 Một số lớp hàm lồi liên quan 24 2.2.1 2.2.2 Hàm lồi liên tục 24 Hàm lồi hai lần khả vi 33 2.2.3 Hàm lồi nhiều biến 35 Một số dạng toán liên quan 37 2.3.1 M rng bt ng thc Hăolder 37 2.3.2 Mở rộng bất đẳng thức Minkowski 39 iv Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Bảng ký hiệu N∗ tập số tự nhiên dương (a) Mr (a) dãy số thực trung bình bậc r A(a) G(a) trung bình cộng trung bình nhân Mở đầu Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học không đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò cơng cụ đắc lực mơ hình tốn học liên tục mơ hình tốn học rời rạc lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn v.v Trong hầu hết kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến bất đẳng thức hay đề cập thường thuộc loại khó khó Các tốn ước lượng tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) tổng, tích toán xác định giới hạn số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ nhiều đến tính tốn, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng Trong bất đẳng thức, thứ tự xếp đại lượng trung bình số thực dương đóng vai trò quan trọng việc so sánh giá trị đại lượng trung bình Ngoài thứ tự xếp số đại lượng trung bình thơng thường trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa v.v , người ta quan tâm đến giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Mục đích luận văn nhằm khảo sát tính chất giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Nội dung đề tài luận văn trình bày chương Chương "Một số giá trị trung bình sơ cấp": trình bày kiến thức giá trị trung bình thơng thường, định lý trung bình cộng trung bình nhân, số tính chất trung bình Các kiến thức chương viết sở tổng hợp từ tài liệu [1] [2] Chương "Giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan": trình bày tính chất đặc trưng giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Các kiến thức chương viết sở tài liệu [1], [2], [3] [4] Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cơ Trong q trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô khoa Tốn - Tin thầy trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Bạch Đằng, Thủy Nguyên, Hải Phòng anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hương Chương Một số giá trị trung bình sơ cấp Chương trình bày số khái niệm tính chất giá trị trung bình sơ cấp Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Một số giá trị trung bình sơ cấp Mục trình bày kiến thức về: giá trị trung bình thơng thường, định lý trung bình cộng trung bình nhân, số tính chất trung bình 1.1.1 Giá trị trung bình thơng thường Giả sử n ∈ N∗ Xét tập dãy số dương (a) := (a1 , a2 , , , , an ); (b) := (b1 , b2 , , bi , , bn ) Ký hiệu dãy không dãy gồm toàn số 0, nghĩa (0) := (0, 0, , 0) Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy (a) tỷ lệ với dãy (b) tồn hai số α β không đồng thời cho αai = βbi (i = 1, 2, , n) Nhận xét 1.1.2 (i) Từ định nghĩa ta thấy dãy (0) tỷ lệ với dãy (a) (ii) Nếu hai dãy (a) (b) tỷ lệ hai dãy khác dãy (0) bi = = Sau định nghĩa trung bình bậc r với r = số thực cho trước Định nghĩa 1.1.3 Tổng Mr (a) định nghĩa bởi: Mr (a) := n n ari 1/r , (1.1) i=1 gọi trung bình bậc r, (a) := (a1 , a2 , , an ) dãy gồm n số không âm Nếu đặt A(a) := M1 (a) (1.2) H(a) := M−1 (a) (1.3) G(a) := √ n a1 a2 an , (1.4) thay tương ứng vào công thức (1.1), ta nhận trung bình cộng thơng thường n A(a) = , n i=1 trung bình điều hòa H(a) = n n a−1 i −1 i=1 trung bình nhân G(a) tương ứng 1.1.2 Trung bình có trọng Giả sử pi > (i = 1, , n) (1.5) đặt n Mr = Mr (a) = Mr (a, p) = i=1 n pi ari 1/r , (1.6) pi i=1 Mr = (r < số số a = 0) (1.7) n ap11 ap22 G = G(a) = G(a, p) = apnn 1/ pi i=1 (1.8) Vì trung bình hàm bậc không p, nên không làm n pi = Khi ta viết qi thay cho pi tính tổng quát ta giả sử i=1 sau: n qi ari Mr (a) = Mr (a, p) = n 1/r qi = i=1 (1.9) i=1 n G(a) = G(a, p) = aq11 aq22 aqnn qi = (1.10) i=1 Định nghĩa 1.1.4 Xét số thực r khác Khi tổng Mr (a, p) xác định theo công thức (1.9) gọi trung bình bậc r theo trọng (q) Nhận xét 1.1.5 (i) Ứng với r = −1, r = r = ta nhận trung bình điều hòa, trung bình cộng trung bình bình phương (ii) Trung bình có trọng trở thành trung bình thơng thường pi = với i = 1, , n 1.1.3 Một số tính chất trung bình Mr (a) Để chứng minh tính chất trung bình Mr (a), ta cần sử dụng bất đẳng thức sau 30 đạo hàm bên trái không vượt giá trị đạo hàm bên phải giá trị hai đạo hàm tăng với x Từ suy hàm lồi gián đoạn không bị chặn khoảng Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh ϕ(x) bị chặn đoạn nằm (A, B) Như lý luận phần trên, ta ϕ qx ≤ qϕ(x) q hữu tỷ bất kỳ; ta sử sụng giả thiết liên tục chi chuyển sang q vô tỷ Bây giả thiết i khoảng (h, k) cận ϕ i G Chỉ cần chứng minh ϕ bị chặn (l, h) (k, m), l m số cho A < l < k < m < B Nếu x nằm (l, h) ta tìm i điểm ξ để x chia hữu tỷ (l, ξ) ϕ(x) phải bị chặn đại lượng phụ thuộc vào ϕ(l) G, bị chặn (l, h) Bằng cách tương tự phải bị chặn (k, m) Ta ký hiệu h đầu mút trái i G cận ϕ i giả thiết A < l < x < h Ta tìm số nguyên m n > m cho ξ =l+ n (x − i) m nằm i Khi m m m m ϕ(x) = ϕ ξ+ 1− l ≤ ϕ(ξ) + − ϕ(l) n n n n m m ≤ G+ 1− ϕ(l) ≤ max{G, ϕ(l)} n n Do ϕ(x) bị chặn (l, h) Để chứng minh phần lại định lý ta giới hạn khoảng (A , B ) khoảng (A, B) hay vậy, giả thiết ϕ bị chặn khoảng xuất phát Vì giả sử ϕ ≤ G (A, B), A < x < B, m n > m số nguyên dương, δ số đủ bé (dương âm) để x + nδ nằm (A, B) Khi m(x + σ) + (n − m)x m n−m ϕ(x + mσ) = ϕ ≤ ϕ(x + nσ) + ϕ(x) n n n 31 hay ϕ(x + nδ) − ϕ(x) ϕ(x + mδ) − ϕ(x) ≥ (m < n) n m Khi thay δ −δ thống hai bất đẳng thức, ta ϕ(x + nδ) − ϕ(x) ϕ(x + mδ) − ϕ(x) ϕ(x) − ϕ(x − mδ) ≥ ≥ n m m ϕ(x) − ϕ(x − nδ) ≥ n (2.24) (bất đẳng thức suy trực tiếp từ tính lồi hàm ϕ(x)) Trong (2.24) đặt m = 1, sử dụng ϕ(x) ≤ G, ta G − ϕ(x) ϕ(x) − G ≥ ϕ(x + σ) − ϕ(x) ≥ ϕ(x) − ϕ(x − σ) ≥ (2.25) n n Bây giả sử δ → n → ∞ cho x ± nδ khoảng Khi từ (2.25) suy ϕ(x + δ) ϕ(x − δ) dần tới ϕ(x), tức ϕ liên tục Tiếp theo ta giả thiết δ > thay δ (2.24) δ/n Khi ta ϕ(x + δ) − ϕ(x) ϕ(x + δ ) − ϕ(x) ϕ(x) − ϕ(x − δ ) ≥ ≥ δ δ δ ϕ(x) − ϕ(x − δ) ≥ δ (2.26) δ = mδ/n số bội hữu tỷ δ, nhỏ δ Bởi ϕ liên tục nên (2.26) với δ < δ Vậy giảm dần đến không, phân số thứ (2.26) giảm, phân số cuối tăng, chúng dần tới giới hạn đó, tức ϕ có đạo hàm bên trái bên phải ϕr ϕl ϕl ≤ ϕr Cuối cùng, ta đặt x − δ = x1 , x = x2 , x + δ = x3 (hay x − δ = x1 , x = x2 , x + δ = x3 ) (2.26) cho ta ϕ(x2 ) − ϕ(x1 ) ϕ(x3 ) − ϕ(x2 ) ≥ x3 − x2 x2 − x1 Nếu x1 < x2 < x3 < x4 ta có ϕ(x4 ) − ϕ(x3 ) ϕ(x2 ) − ϕ(x1 ) ≥ x4 − x3 x2 − x1 Chuyển qua giới hạn x3 → x4 , x2 → x1 , ta ϕr (x4 ) ≥ ϕl (x4 ) ≥ ϕr (x1 ) ≥ ϕl (x1 ) (2.27) 32 điều ta hoàn toàn chứng minh định lý Từ chứng minh trên, rõ ràng ϕl (x4 ) ≥ ϕ(x3 ) − ϕ(x2 ) ≥ ϕr (x1 ) x3 − x2 (2.28) Nếu x1 ≤ x2 < x3 ≤ x4 Định lý 2.2.11 khơng khẳng định tồn đạo hàm thông thường ϕ (x) Tuy nhiên, dễ dàng chứng minh ϕ (x) tồn trừ tập đếm giá trị x Hàm ϕ1 (x) đơn điệu, liên tục trừ tập đếm giá trị x Nếu liên tục điểm x1 theo (2.27), ϕr (x1 ) nằm ϕl (x1 ) ϕl (x4 ); ϕl (x4 ) → ϕl (x1 ) x4 → x1 Do ϕr (x1 ) = ϕl (x1 ) ϕ (x) tồn x = x1 Từ (2.28) suy ϕ(x) liên tục lồi khoảng mở (a, b) ϕ(x ) − ϕ(x) x −x bị chặn tất x x nằm khoảng đóng (a, b) Bây ta giả thiết ϕ(x) lồi liên tục Từ (2.28) suy A < ξ < B ϕl (ξ) ≤ λ ≤ ϕr (ξ) đường thẳng y − ϕ(ξ) = λ(x − ξ) (2.29) nằm hồn tồn phía đường cong Ta có định lý sau Định lý 2.2.12 Nếu ϕ(x) lồi liên tục điểm đường cong y = ϕ(x) có đường thẳng qua, đường thẳng nằm phía đường cong Đường thẳng qua điểm đường cong nằm hồn tồn phía đường cong gọi đường thẳng tựa Nếu ϕ(x) lõm điểm đường cong y = ϕ(x) có đường thẳng tựa nằm phía đường cong qua Nếu ϕ(x) đồng thời lồi lõm hai đường thẳng tựa phải trùng nhau, tức ϕ(x) phải tuyến tính 33 2.2.2 Hàm lồi hai lần khả vi Định lý 2.2.13 Giả sử hàm ϕ(x) có đạo hàm cấp hai khoảng mở (A, B) Khi điều kiện cần đủ tính lồi ϕ(x) khoảng bất đẳng thức ϕ (x) ≥ (2.30) Chứng minh (i) Điều kiện cần: Trong (2.17) ta thay 12 (x+y) 12 (x−y) t h giả thiết x > y tức h > 0, ta ϕ(t + h) + ϕ(t − h) − 2ϕ(t) ≥ (2.31) tất t h cho đối số nằm khoảng (A, B) Bây ta giả thiết ϕ (t) < Khi tồn số dương σ h cho ϕ (t + u) − ϕ (t − u) < −σu < u ≤ h Lấy tích phân bất đẳng thức từ u = đến u = h, ta ϕ(t + h) + ϕ(t − h) − 2ϕ(t) ≤ − σh2 điều mâu thuẫn với bất đẳng thức (2.31) (ii) Điều kiện đủ: Ta chứng minh ϕ thỏa mãn điều kiện (2.16) Thật vậy, X = qx ta có ϕ(xv ) = ϕ(X) + (xv − X)ϕ (X) + (xv − X)2 ϕ (ξv ) ξv nằm X xv Như qϕ(x) ≤ ϕ(X) = ϕ qx Nếu ϕ (x) > đẳng thức xảy trường hợp xn = X Định lý 2.2.14 Nếu ϕ (x) > ϕ(x) lồi thực khơng phải tất x bất đẳng thức (2.21) (2.22) thỏa mãn Định lý sau rút từ Định lý 2.2.14 2.1.5 có lợi áp dụng 34 Định lý 2.2.15 Nếu ψ χ đơn điệu, χ tăng, ϕ = χψ −1 ϕ > Mψ < Mχ tất a Ví dụ 2.2.16 (1) Nếu ψ = log x, χ = x ϕ = χψ −1 = ex Định lý 2.2.15 đưa Định lý 1.2.12 (2) Nếu ψ = xr , χ = xs , < r < σ ϕ = xs/r , ϕ >0 Định lý 2.2.15 cho Tính chất 1.1.7(i) (đối với số mũ dương) Các trường hợp khác Tính chất 1.1.7 rút cách tương tự (3) Giả sử ϕ = xk , k khác khác Khi ϕ lồi (0, ∞) k < k > lõm < k < Ta giả thiết k > 1; áp dụng Định lý 1.2.12, ta tìm thấy qxk qx < 1/k px < px k 1/k 1/k p tất x Khi đặt px = ab, pxk = z k , ta Định lý 1.2.2 k > Trong trường hợp khác nhận kết tương tự (4) Giả sử ϕ = log(1 + ex ), ex >0 ϕ (x) = (1 + ex )2 giả sử hoành độ trọng lượng (2.21) tương ứng b2 log aa21 , log b , α, β, Ta aα1 bβ1 · · · l1λ + aα2 bβ2 · · · l2λ < (a1 + a2 )α (b1 + b2 )β · · · (l1 + l2 )λ trừ trường hợp a2 a1 = b2 b1 = (5) Giả sử ϕ = (1 + xr )1/r , r khác khác giả sử hoành độ trọng lượng (2.22) aa12 , bb21 , Trong trường hợp ϕ 35 lồi r > lõm r < Ta thấy, chẳng hạn (a1 + b1 + · · · + l1 )r + (a2 + b2 + · · · + l2 )r 1/r < (ar1 + ar2 )1/r + (br1 + br2 )1/r + · · · + (l1r + l2r )1/r r > a2 b2 a1 , b1 , · · · , khơng đồng thời (6) Ta có định lý sau Định lý 2.2.17 Nếu a > 0, p > pa p log a exp < < exp p p pa log a , pq khơng phải tất a Do tính đối xứng ta phát triển định lý với p thay cho q Bất đẳng thức thứ bất đẳng thức ngược với (2.22) với ϕ = x log x hàm lồi 2.2.3 Hàm lồi nhiều biến Định nghĩa 2.2.18 Giả sử D miền lồi mặt phẳng (x, y), tức miền chứa toàn đoạn thẳng nối hai điểm Hàm Φ(x, y), gọi lồi D xác định khắp nơi D x + x y1 + y2 Φ , ≤ Φ(x1 , y1 ) + Φ(x2 , y2 ) 2 tất (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) R2 (2.32) Định nghĩa khẳng định tổng quát so với tính lồi riêng biệt với x y; chẳng hạn xy hàm lồi x y hàm lồi y x không hàm lồi x y Thường thường để thuận tiện người ta sử dụng dạng khác định nghĩa đưa Định nghĩa 2.2.19 Giả sử x, y, u, v cho trước, ta xét giá trị t (nếu chúng tồn tại) cho (xut, yvt) thuộc miền D Bởi D lồi nên giá trị t lấp đầy khoảng (có thể khơng) Khi ta nói Φ(x, y) lồi D x, y, u, v χ(t) = Φ(x + ut, y + vt) (2.33) 36 hàm lồi t khoảng vừa nói Định nghĩa tương đương với định nghĩa trước x + ut1 = x1 , y + vt1 = y1 , x + ut2 = x2 , y + vt2 = y2 (2.32) có dạng χ t1 + t2 ≥ χ(t1 ) + χ(t2 ) 2 φ gọi lõm −φ hàm lồi Nếu z = Φ(x, y) phương trình mặt hệ tọa độ Đề-các vng góc (2.32) khẳng định điểm cát tuyến mặt nằm phía điểm tương ứng mặt trùng với Nếu mặt liên tục, ta suy tồn cát tuyến nằm phía mặt mặt điều khẳng định trọng tâm số điểm mặt có trọng lượng tùy ý Từ ta có định lý sau Định lý 2.2.20 Nếu Φ(x, y) lồi liên tục Φ qx, qy ≤ qΦ(x, y) (2.34) Cách chứng minh giống hệt cách chứng minh Định lý 2.2.2, không kể thay đổi hiển nhiên ký hiệu Định lý sau tương ứng với Định lý 2.2.13 2.2.14 Định lý 2.2.21 Nếu Φ(x, y) hai lần khả vi miền mở D điều kiện cần đủ để Φ lồi D dạng toàn phương sau dương Q = Φxx u2 + 2Φxy uv + Φyy v u, v tất (x, y) D Nếu Q dương thực (2.34) có dấu bất đẳng thức, trừ trường hợp tất x y Chứng minh (1) Điều kiện cần Nếu (x, y) nằm D hàm χ(t) xác định theo phương trình (2.33) lồi lân cận điểm t = Do đó, theo Định lý 2.2.13, χ > tức Q ≥ 37 (2) Điều kiện đủ Nếu q = 1, X = qx, Y = qy Φ(xv , yv ) = Φ(X, Y ) + (xv − X)Φ0x + (yv − Y )Φ0y + (xv − X)2 Φ1xx + 2(xv − X)(yv − Y )Φ1xy + (yv − Y )2 Φ1yy , số ký hiệu điểm (X, Y ), số điểm đoạn nối điểm với điểm (xv , yv ) Do qΦ(x, y) ≤ Φ(X, Y ) = Φ qx, qy Nếu Q dương thực có dấu bất đẳng thức xv = X, yv = Y tất v Chú ý dạng Q dương Φxx ≥ 0, Φxx Φyy − Φ2xy ≥ (2.35) dương thực Φxx > 0, Φxx Φyy − Φ2xy > 2.3 2.3.1 (2.36) Một số dạng toán liên quan Mở rộng bất ng thc Hă older Ta ó trỡnh by bt ng thc Hăolder (1.15) ni dung ca nh lý 1.2.2, trường hợp riêng Định lý 1.1.6 Trong mục ta xét mở rộng Bất đẳng thức Hăolder cú th vit di dng sau: A(ab) MF (a)MG (b) (2.37) qab ≤ F −1 qF (a) G−1 qG(b) (2.38) F (x) = xr (r > 1) G(x) = xr , r r hai số liên hợp Đặt ϕ = F −1 , ψ = G−1 , F (a) = x, G(b) = y, a = ϕ(x), b = ϕ(y), 38 ta qϕ(x)ψ(y) ≤ ϕ qx ϕ qy (2.39) Trường hợp đơn giản bất đẳng thức 1 ϕ(x1 )ψ(y1 ) + ϕ(x2 )ψ(y2 ) ≤ ϕ (x1 + x2 ) ψ (y1 + y2 ) 2 chứng tỏ hàm ϕ(x)ϕ(y) hàm lõm x y Khi ϕ ψ liên tục trường hợp bất tổng quát bất đẳng thức (2.39) Ta có định lý sau Định lý 2.3.1 Nếu F G liên tục đơn điệu thực sự, để A(ab) MF (a)MG (b) so sánh điều kiện cần đủ F −1 (x)G−1 (y) hàm lõm lồi hai biến x y; trường hợp thứ ta có bất đẳng thức (2.37), trường hợp thứ hai ta có bất đẳng thức ngược lại Ví dụ 2.3.2 Giả sử F (x) = xr , G(y) = y s Khi từ Định lý 2.2.21 2.3.1 ta suy A(ab) ≤ Mr (a)Ms (b) r > 1, s > (r−1)(s−1) ≥ Nếu r < 1, s < 1, (1−r)(1−s) ≥ ta có bất đẳng thức ngược lại Sau mở rộng trc tip khỏc ca bt ng thc Hăolder nh lý 2.3.3 Giả sử f (x) hàm liên tục tăng thực sự, không x = f (x) tồn liên tục x = 0; giả sử g(x) hàm ngược f (x) Hơn giả thiết F (x) G(x) xác định F (x) = xf (x), G(x) = xg(x) (2.40) (2.37) tất a, b dương Khi đó, f hàm lũy thừa ca x v (2.37) a v bt ng thc Hă oder Chứng minh Ký hiệu F −1 G−1 ϕ ψ chứng minh Định lý 2.3.1, ϕ(x)ψ(x) hàm lõm x y Từ Định lý 2.2.21 (2.35) suy ϕ ≤ 0, ψ ≤0 39 ϕ (x)ψ (y) ≤ ϕ(x)ψ(y)ϕ (x)ψ (y) (2.41) tất x y dương Nếu ϕ(x) = u, ψ(x) = v x x x = F (u) = uf (u), = f (u), u = g u u x x x x x= g =G , = ψ(x) = v u u u u ψ(x)ϕ(x) = x (2.42) Từ đó, ϕ (x)ψ(x) + 2ϕ (x)ψ (x) + ϕ(x)ψ (x) = nghĩa theo (2.41) (ϕ ψ + ϕψ )2 = 4ϕ ψ ≤ 44ϕψϕ ψ , tất đối số x Điều có trường hợp ϕ ψ = ϕψ = −ϕ ψ , ϕ ψ+ϕψ =0 tức ϕ ψ khơng đổi Từ đó, theo (2.42), xϕ /ϕ không đổi tức ϕ hàm khác lũy thừa x 2.3.2 Mở rộng bất đẳng thức Minkowski Nếu ϕ(x) = xr , r > ta có bất đẳng thức Mϕ Sϕ Tϕ a+b ≤ Mϕ (a) + Mϕ (b) , 2 a+b ≤ Sϕ (a) + Sϕ (b) , 2 a+b ≤ Tϕ (a) + Tϕ (b) , 2 tổng trọng lượng Tϕ (a) = ϕ−1 pϕ(a) , p > (2.43) (2.44) (2.45) 40 Ta đưa Tϕ Mϕ p = đưa Sϕ phần tử dãy (p) Chú ý rằng, chất tất bất đẳng thức tương đương với có Định lý 1.2.15 Tuy nhiên chúng không tương đương trường hợp ϕ tổng quát Các bất đẳng thức có dạng 2ϕ−1 a+b pϕ ≤ ϕ−1 pϕ(a) + ϕ−1 pϕ(b) (2.46) cần phân biệt trọng lượng bất đẳng thức Trong (2.43) p = 1, (2.44) phần tử dãy (p) (2.45) phần tử dãy (p) số dương tùy ý Bất đẳng thức (2.46) khẳng định ϕ−1 pϕ(x) p cho hàm lồi n biến x1 , x2 , , xn , hàm χ(t) = ϕ−1 pϕ(x + ut) lồi với t mà x + ut dương, x, p, u cố định x, p dương Nếu hàm ϕ hai lần khả vi điều kiện tương đương với χ (0) ≥ (theo Định lý 2.2.13) Tính tốn trực tiếp ta ϕ (χ) = ϕ (χ) 2 pu2 ϕ (χ) puϕ (x) , (2.47) χ = χ(0) = ϕ−1 pϕ(x) (2.48) χ = χ (0) Vì ta cần tìm điều kiện để ϕ (x) 2 pu ϕ (x) − ϕ(χ) puϕ (x) ≤ (2.49) Ta thấy (2.49) ta khơng có hạn chế dấu ϕ Sau ta giả thiết ϕ > 0, ϕ > 0, ϕ > Ta viết (2.49) dạng ϕ (χ) ψ(χ) = ≤ ϕ (χ) puϕ (x) pu2 ϕ (x) (2.50) 41 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có puϕ = (pϕ )u pϕ ϕ 2 ≥ pu ϕ ϕ2 p ϕ (2.51) Do (2.50) với x, u ψ(χ) ≤ ϕ (x)2 p ϕ (x) pψ(x) (2.52) x Hơn nữa, ta có đẳng thức (2.51) u = ϕ (x)/ϕ (x) (v = 1, 2, · · · , n), (2.52) điều kiện cần đủ để (2.50) Cuối đặt y = ϕ(x) ϕ [ϕ−1 (y)]2 Φ(y) = ψ(x) = ψ ϕ (y) = ϕ {ϕ−1 (y)} −1 (2.53) (2.52) có dạng Φ py ≤ pφ(y) (2.54) Bây ta xét riêng trường hợp sau đây: (I) Trường hợp (2.43), p = 1: (2.44) Φ(y) hàm lõm y (II) Trường hợp (2.44), tất phần tử dãy (p) 1: (III) Trường hợp (2.45), phần tử dãy (p) số dương tùy ý: (ax + b)c (a > 0, c > 11 ), eax+b (2.55) Trong trường hợp (2.54) Để chứng tỏ cách dễ dàng quan hệ (I) (II), ta trình bày chúng dạng khác Giả thiết ϕ liên tục Khi từ φ(y) = ϕ (x)/ϕ (x) ta tới d2 ϕ (x) φ (y) = ϕ (x) dx2 ϕ (x) 42 Do ϕ(y) lõm ϕ (x)/ϕ (x) lõm ϕ ϕ /ϕ2 tăng Đó dạng khác (I), dạng khác (II) ”ϕ/ϕ lồi" Tóm lại, ta có định lý sau Định lý 2.3.4 Giả sử ϕ đó, liên tục ϕ > 0, ϕ > 0, ϕ > Khi (i) Để (2.43) điều kiện cần đủ ϕ /ϕ lõm ϕ ϕ /ϕ tăng; (ii) Để (2.44) đúng, điều kiện đủ (nhưng không cần) ϕ/ϕ lồi ϕϕ /ϕ giảm; (iii) Để (2.45) đúng, cần đủ ϕ hàm (2.55) 43 Kết luận Luận văn trình bày số tính chất giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Cụ thể: (1) Giới thiệu số giá trị trung bình sơ cấp (trung bình thơng thường, trung bình có trọng, số tính chất trung bình Mr (a)); giới thiệu bất đẳng thức số hàm so sánh (2) Nêu chứng minh tính chất đặc trưng giá trị trung bình với hàm tùy ý (3) Nêu chứng minh số lớp hàm lồi liên quan (hàm lồi liên tục, hàm lồi hai lần khả vi, hàm lồi nhiều biến) ví dụ minh họa; đồng thời trình bày số dạng toán liên quan mở rộng bất đẳng thc Hăolder v bt ng thc Minkowski 44 Ti liệu tham khảo Tiếng Việt [1] G.H Hardy, J.E Littlewood, G Polya (1999), Bất đẳng thức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (bản dịch) [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lí áp dụng, NXB Giáo dục Tiếng Anh [3] G.D Anderson, M.K Vamanamurthy, M Vuorinen (2007), "Generalized convexity and inequalities", J Math Anal Appl., 335, 1294– 1308 [4] P.N Constantin, L.-E Persson (2004), Convex functions and their applications, Springer ... trưng giá trị trung bình Mục giới thiệu giá trị trung bình xác định với hàm tùy ý Mϕ (a) với hàm ϕ cho trước, tính tương đương giá trị trung bình với hàm tùy ý, tính chất đặc trưng giá trị trung bình. .. 1.2.2 18 Chương Giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Chương trình bày tính chất đặc trưng giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên quan Các kiến thức chương tham... bình Ngồi thứ tự xếp số đại lượng trung bình thơng thường trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa v.v , người ta quan tâm đến giá trị trung bình với hàm tùy ý số lớp hàm lồi liên