TÓM TẮT GIÁO KHOA ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH 1. Phương trình bậc 2: ax2+bx+c = 0 với x1, x2 là nghiệm thì ax2+ bx + c = a(xx1)(xx2); với =b2 4ac (’=b’2ac với b’=b2) Nếu a+ b+ c=0 thì x1= 1; x2= ca; Nếu a – b+ c=0 thì x1= –1; x2= – ca; Định lý viet: S= x1+ x2 = – ba; P = x1.x2= ca 2. Tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c B và B > C A > C b. A > B A + C > B + C c. Nếu C > 0 thì A > B AC > BC d. Nếu C < 0 thì A > B AC < BC 2. Các hệ quả: a. Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều b. c. Với d. Với A, B ≥ 0, e. Với A, B và f. A > B ≥ 0 g. A > B 3. Bất đẳng thức Cô si (Cauchy) cho hai số không âm: Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: . Dấu “=” xảy ra a = b. 4. Bất đẳng thức Cô si cho ba số không âm: Cho ba số ta có : . Dấu “=” xảy ra a = b = c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Cô si : Dấu “=” xảy ra a = b Dấu “=” xảy ra a = b = c 5. Bất đẳng thức Bunhiacopski: a. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 4 số: Với 4 số thực bất kỳ ta có: . Dấu “=” xảy ra b. Bất đẳng thức Bunhiacopski cho 6 số: Với 6 số thực bất kỳ ta có: Dấu “=” xảy ra c. Các chuyển dạng của bất đẳng thức Bunhiacopski (1) (2) 7. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với hai số A, B tùy ý, ta có: a. . b. . Dấu “=” xảy ra A.B ≥ 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: a. Công thức cơ bản : b. Công thức cộng: cos(a+b)=cos a.cos b–sin a.sin b cos(ab)=cos a.cos b+sin a.sin b sin(a+b)=sin a.cos b+cos a.sin b sin(ab)=sin a.cos b cos a.sin b tan(a+b) = tan (a b )= cot ( a + b) = cot ( a – b )= c. Công thức nhân đôi: sin 2a = 2 sin a.cos a cos 2a = cos2a sin2a = 2 cos2a1 = 12sin2a tan 2a = cot 2a = d. Công thức hạ bậc: cos2a = sin2a = tan2a = e. Công thức biến đổi tổng thành tích: cos a + cos b = 2 cos .cos cos a–cos b = 2sin . sin sin a + sin b=2 sin .cos sin a – sin b = 2 cos .sin sinx+cosx= sin = cos(x ) sinx–cosx= sin(x– )= – cos f. Công thức biến đổi tích thành tổng PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình LG cơ bản: trong đó k Z 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. asin2x+bsinx+c = 0 (đặt t= sinx, đk:–1t1) acos2x+bcosx+c = 0 (đặt t=cosx, đk:–1t1) atan2x+btanx+c = 0 (đặt t= tanx) acot2x+bcotx+c = 0 (đặt t= cotx) 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) với Chia hai vế pt(1) cho ta được: (2) Ta xác định sao cho: Khi đó ta được phương trình: Điều kiện để pt(3) có nghiệm là 4. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: (1) Với cosx = 0: ta kiểm tra có phải là nghiệm của pt (1) không. Với cosx 0: chia 2 vế pt (1) cho cos2x ta được pt: Lưu ý: Nếu cosx = 0 thì =1 5. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a. Dạng của phương trình đối xứng: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (1) b. Dạng tương tự: a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (2) PP: Giải (1): Đặt Giải (2): Đặt t = QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc A có thể được thực hiện theo một trong k phương án A1, A2, …, Ak. Mỗi phương án Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1 + n2 +… + nk cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử thực hiện công việc A bao gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak. Mỗi công đoạn Ai (i = 1, 2, …, k) có ni cách thực hiện. Khi đó công việc A có thể được thực hiện bởi n1. n2 … nk cách. Lưu ý: Khi thực hiện một công việc, có nhiều phương án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong công việc. Khi đó ta dùng quy tắc cộng (cộng tất cả số cách thực hiện của từng phương án) ta được số cách thực hiện công việc. Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua nhiều bước mới xong công việc thì ta dùng quy tắc nhân (nhân tất cả số cách thực hiện cho từng bước) ta được số cách thực hiện công việc. 3. Hoán vị. a) Cho một tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A. (Gọi tắt là một hoán vị của A hay một hoán vị của n phần tử) b) Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: 4. Chỉnh hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của n). b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: 5. Tổ hợp. a) Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A (Gọi tắt là tổ hợp chập k của A) b) Số tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử là: Chú ý: Quy ước: Với quy ước này ta có: ; đúng với Tính chất 1. Tính chất 2. (hằng đẳng thức Pascal): NHỊ THỨC NEWTON 1) Công thức nhị thức Newton: Nhận xét: Trong công thức (1) có n + 1 số hạng. Số hạng thứ k + 1 là Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất Trong mỗi số hạng, tổng số mũ của a và b luôn bằng n. 2) Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton: XÁC SUẤT Một số lưu ý: Cho hai tập hợp A, ký hiệu n(A) hoặc |A| là để chỉ số phần tử của tập A Nếu A B = thì n(AB) = n(A) + n(B) Nếu A B ≠ thì: n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 1. Phép thử và không gian mẫu. Phép thử : là một thí nghiệm hay một hành động mà: Kết quả của nó không thể dự đoán trước được. Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của hành động đó. Không gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là KGM của T và kí hiệu là .
Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: Nguyễn Trung Kiên Hình không gian toán không khó đề thi TSĐH làm cho nhiều học sinh bối rối Thông qua chuyên đề hy vọng giúp bạn học sinh hiểu rõ chất toán để từ tìm chìa khóa giải triệt để dạng toán ne t Phần 1: Những vấn đề cần nắm tính toán ⊻ Trong tam giác vuông ABC (vuông A) đường cao AH ta có: AB AC AB + AC ilie 1 = + ⇒ AH = 2 AH AB AC ta - u - b = c tan B , c = b tan C , AH = HB.HC H C w B w w b ox A ⊻ Trong tam giác thường ABC ta có: a = b + c − 2bc cos A;cos A = b2 + c2 − a2 2bc Tương tự ta có hệ thức cho cạng b, c góc B, C: - S ∆ABC = 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 - S = p.r (Trong p chu vi, r bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) - S= abc 4R NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net ⊻ Thể tích khối đa diện: - Vchop = B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) - VLT = B.h Phần 2) Phương pháp xác định đường cao loại khối chóp: Loại 1: Khối chóp có cạnh góc vuông với đáy chiều cao Loại 2: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy đường cao đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến Loại 3: Khối chóp có mặt kề vuông góc với đáy đường cao giao tuyến mặt kề - Loại 4: Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy - Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn nội tiếp đáy Sử dụng giả thiết mở: u ne t - ilie Hình chóp SABCD có mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC - Hình chóp SABCD có SB = SC SB, SC tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực BC Việc xác định chân đường cao yếu tố đặc biệt quan trọng để giải câu hỏi toán hình không gian cổ điển b ox ta - w w Phần 3: Các toán tính thể tích w A Tính thể tích trực tiếp cách tìm đường cao: Để giải tốt dạng tập em cần nắm dấu hiệu để xác định đường cao sử dụng công thức + Vchóp = B.h + VLT = B.h Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , có AB = AD = a, CD = a Góc mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) 600 Gọi I trung điểm AD biết mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp SABCD HD giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’2 mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với đáy ABCD ’’ NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net Vì mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vuông góc với đáy ABCD mà ( SBI ) ( SCI ) có giao tuyến SI nên SI ⊥ ( ABCD ) Kẻ IH ⊥ BC ta có góc mặt phẳng ( SCB ), ( ABCD ) ˆ = 600 Từ ta tính được: IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD ) = AD ( AB + CD ) = 3a SHI a 3a 2S 2 IH BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a − a − = nên IH = ∆IBC = 2 BC 3 15 a Từ tính VSABCD = a 5 u ne t S A ilie B H D w w b C ox ta I w Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn B ' C ' , I giao điểm BM B ' C Tính thể tích khối chóp IABC theo a HD giải: Dấu hiệu để nhận biết đường cao toán là:’’ I nằm mặt bên ( BCC ' B ') vuông góc với đáy ( ABC ) ’’ Ta có: - ABCA ' B ' C ' lăng trụ đứng nên mặt bên vuông góc với đáy I ⊂ ( B ' BC ) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ BC IH ⊥ ( ABC ) I trọng tâm tam giác BB ' C ' ⇒ IH CI 4a = = ⇒ IH = BB ' CB ' 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net Có AC = A′C − AA′2 = 9a = 4a = a ⇒ BC = AC − AB = 2a VIABC = 1 4a IH dt ( ABC ) = 2a.a = a ( đvtt) 3 C' A' M B' I ne t O C u A ilie H B ta Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a ox vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M , N trung điểm AD SC ; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ANIB b ( SMB ) Tính thể tích khối tứ diện w w Lời giải: Ta có: w +) Chứng minh ( SAC ) ⊥ ( SMB ) AC = AB + BC = a + 2a = a 3; BM = AB + AM = a + 2a a = Gọi O = AC ∩ BD ;do I giao điểm hai đường trung tuyến AO BM nên trọng tâm tam giác ABD Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: AI = a a AO = AC = ; BI = BM = 3 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net Nhận xét: AI + BI = Do BM ⊥ AI a 2a + = a = AB , suy tam giác AIB vuông I 3 (1) Mặt khác: SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ BM (2) Từ (1) (2) suy BM ⊥ ( SAC ) +) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Ta thấy khối chóp ANIB khối chóp NAIB ne t Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Điểm N nằm mặt phẳng ( SAC ) u vuông góc với đáy ( ABCD ) ’’ ilie Do NO đường trung bình tam giác SAC nên ta có: NO / / SA NO = 1 a a a2 = AI BI = = 2 3 ox Diện tích tam giác AIB là: S AIB ta Do NO đường cao tứ diện ANIB a SA = 2 w w b 1 a 2 a a3 Thể tích khối tứ diện ANIB là: V = S AIB NO = = 3 36 w S N M A D I O B C NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net Ví dụ 4) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = 3a, BC = 2a Các mặt bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp SABC Lời giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Hình chóp có mặt bên hợp với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy hình chóp’’ Từ ta có lời giải sau: ne t Gọi O hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) I , H , J hình chiếu O AB, BC , CA u Theo định lý ba đường vuông góc ta có: SI ⊥ AB, SJ ⊥ AC , SH ⊥ BC ta Theo giả thiết ta có: SIO = SJO = SHO = 600 ilie Suy ra: SIO, SJO, SHO góc hợp mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , ( SBC ) mặt đáy ox Các tam giác vuông SOI , SOJ , SOH nên OI = OJ = OH b Do O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC đường trung tuyến w w Mặt khác: ABC tam giác cân A nên AH vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa w Suy A, O, H thẳng hàng H trung điểm BC Tam giác ABH vuông H , ta có: AH = AB − BH = 9a − a = 2a Diện tích tam giác ABC là: S ABC = Ngoài ra: S ABC = pr , với p = ⇒r= 1 BC AH = 2a.2a = 2a 2 2 ( AB + AC + BC ) = 4a r : bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC S ABC 2a 2 a = = = OH p 4a NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net Tam giác SOH vuông O , ta có: SO = OH tan 600 = a 1 a 2a 3 Thể tích khối chóp SABC là: V = S ABC SO = 2a 2 = 3 I O ne B H J u A t S ilie C w w b ox ta Ví dụ 5) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A AB = a 3, AC = a Biết đỉnh C ' cách đỉnh A, B, C khoảng cách từ đỉnh B đến mặt 6a phẳng (C’AC) Tính thể tích khối chóp A ' ABC ' theo a tính cosin góc tạo mặt 15 phẳng ( ABB ' A ') mặt phẳng đáy ( ABC ) Giải: Dấu hiệu nhận biết đường cao toán là: ‘’Đỉnh C ' cách đỉnh A, B, C ⇔ w C ' A = C ' B = C ' C ’’ C' B' A' N H B C M I A K NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net - Hạ C ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆C ' HA = ∆C ' HB = ∆C ' HC ⇔ HA = HB = HC Suy H tâm vòng ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC vuông A nên H trung điểm BC Ta có: d B /( ACC ') = 2d H /( ACC ') Hạ HM ⊥ AC , HN ⊥ C ' M ⇒ HN ⊥ ( ACC ') ⇒ d H /( ACC ') = HN = Ta có: HM = 3a d B /( ACC ') = 15 a AB = ⇒ C ' H = a từ tính CC ' = 2a 2 ne t 1 1 a3 Có VA ' ABC ' = VLT = C ' H dt ( ABC ) = a .a 3.a = 3 2 AC suy I trung điểm AB Tam giác ABC vuông A nên KI ⊥ AB ⇒ Góc tạo ( ABB ' A ') u - Hạ A ' K ⊥ ( ABC ) C ' HKA ' hình chữ nhật Gọi I = HK ∩ AB OI / / = ox a a 13 IK 13 ⇒ cos A ' IK = = HK = ; A ' I = IK + A ' K = 2 A'I 13 b IK = IK Tính A' I ta Ta có: cos A ' IK = ilie đáy ( ABC ) A ' IK w w w Ví dụ 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành AB = 2a, AD = a, BAD = 600 SAB tam giác Gọi H trung điểm AB , K hình chiếu vuông góc H lên mặt a 15 phẳng ( SCD ) Tính thể tích khối chóp SABCD biết HK = điểm K nằm tam giác SCD Giải: Bài toán cho theo kiểu giả thiết mở Dấu hiệu để tìm đường cao khối chóp là:’’ SAB tam giác Tức SA = SB '' NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net S B C 120° K H E ne t F ilie Gọi E trung điểm CD , F trung điểm ED u D A ta Với giả thiết SA = SB ta suy chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABCD thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB ox Nói cách khác chân đường cao hạ từ S lên ( ABCD ) thuộc đường thẳng chứa HF HK dt ( SCD ) w w Ta có: VSABCD = 2VSHCD = b Hạ HK ⊥ SF ⇒ HK ⊥ ( SCD ) w Ta cần tính diện tích tam giác SCD Ta có: dt ( SCD ) = SF CD; Mà SF = SK + KF ; SK = SH − HK ; KF = HF − HK SH đường cao tam giác SAB suy ra: SH = a 3, HF đường cao tam giác HDE suy ra: HF = a 3 15a Thay số ta có: SF = 10 Vậy: VSABCD = a 3 15a 3a3 2a = 10 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net Ví dụ 7) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a SAB = SCB = 900 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Giải: Đây toán dễ làm cho học sinh bối rối xác định đường cao hình chóp S ne t K ilie A u C H ta B b ox AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( SHA) ⇒ AB ⊥ HA Hạ SH ⊥ ( ABCD ) AB ⊥ SA w w Chứng minh tương tự ta có BC ⊥ HC ⇒ HABC hình vuông Mặt khác ta có: w Ta có HC ⊥ BC kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = a HK = HC + HS ⇒ SH = HK HC HC − HK =a 1 3a 6a Thể tích khối chóp VSABC = SH S ∆ABC = a = 3 2 Ví dụ 8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = a , SD = a mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 10 Bài 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA ' B ' C ' có BB ' = a , góc tạo BB ' mặt phẳng ( ABC ) 600, tam giác ABC vuông C góc BAC =600 Hình chiếu vuông góc điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a ĐS: V = 9a 208 Bài 28: Trong không gian cho hình chóp tam giác SABC có SC = a Góc tạo ( ABC ) ( SAB ) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a ne t ĐS: V = 3a Bài 29: Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD hình thoi cạnh a , góc ABC = ilie ta a3 ox ĐS: V = u a M trung điểm AD ( P ) mặt phẳng qua BM song song với SA , cắt SC K Tính thể tích khối chóp KABCD 600, SO vuông góc với đáy ( O tâm mặt đáy), SO = Bài 30: Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật, AD = a 2, CD = 2a Cạnh SA vuông b góc với đáy SA = 2a Gọi K trung điểm AB w w a) Chứng minh ( SAC ) vuông góc với ( SDK ) b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a ; tính khoảng cách từ K đến ( SDC ) 5a 10 w ĐS: V = 2a ; h = Bài 31: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng ( P ) chứa BC vuông góc với AA ' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a3 12 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 60 Bài 32: Cho hình chóp SABC có AB = AC = a ; BC = a ; SA = a ; góc SAB góc SAC 300 Tính thể tích khối chóp theo a a3 ĐS: V = 16 Bài 33: Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC khoảng cách từ G đến mặt bên ( SCD ) a a) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên ( SCD ) ne t b) Tính thể tích khối chóp SABCD a a3 ĐS: a ) ; b) ilie u Bài 34: Cho hình chóp SABC có đường cao AB = BC = a ; AD = 2a Đáy tam giác vuông cân B Gọi B ' trung điểm SB, C ' chân đường cao hạ từ A xuống SC Tính thể tích khối chóp SAB ' C ' ox ta a3 ĐS: 36 Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên b AA ' = a Gọi M trung điểm cạnh BC w w w a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' b) Tính khoảng cách đường thẳng AM B ' C a3 a ĐS: a ) ; b) Bài 36: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a ; SA = a ; SB = a mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy M N trung điểm cạnh AB BC Tính thể tích khối chóp SBMDN góc ( SM ; ND ) ĐS: V = a 3a ; cos ϕ = NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 61 Bài 37: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, góc BAD góc ABC 900; AB = BC = a ; AD = 2a SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M , N trung điểm SA; SD Tính thể tích khối chóp SABCD khối chóp SBCMN ĐS: a )a ; b) a3 Bài 38: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A, AB = a ; AC = a hình chiếu vuông góc A ' ( ABC ) trung điểm cạnh t BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC cosin góc đường thẳng AA ' B ' C ' u ne a3 ĐS: V = ;cos α = ilie Bài 39: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm a3 96 ox ĐS: V = ta cạnh SB, BC , CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP b Bài 40: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a góc BAC = 1200 w w Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách từ điểm ĐS: d = a w A đến mặt phẳng ( A1MB) Bài 41: Cho hình chóp SABC có góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 600 Các tam giác ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng ( SAC ) ĐS: d = 13a 13 Bài 42: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a tâm O , SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SC Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) tính thể tích khối chóp OAHK NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 62 ĐS: V = 2a 27 Bài 43: Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông AB = AC = a; AA1 = a Gọi M , N trung điểm AA1 BC1 Chứng minh MN đoạn vuông góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 a3 12 ne t ĐS: V = Bài 44: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm ilie a 10 30 ta ĐS: d = u cạnh AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính khoảng cách BM , B1C ox Bài 45: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vuông A, B , AB = BC = AD =a b Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB w w w a) Chứng minh tam giác SCD vuông b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) a ĐS: h = Bài 46: Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giác vuông SA = SB = SC = a Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AC , BC , D điểm đối xứng S qua E , I giao điểm AD SMN a) Chứng minh AD vuông góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI a3 ĐS: V = 36 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 63 Bài 47: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh AB = AD = a; AA ' = a góc BAD = 600 Gọi M N trung điểm A ' D ' A ' B ' Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng ( BDMN ) tính thể tích khối chóp ABDMN ĐS: V = 3a 16 ne a3 2a ;V2 = 3 ilie u ĐS: V1 = t Bài 48: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC ' 2a cho: CK = Mặt phẳng α qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành khối đa diện Tính thể tích khối đa diện ta Bài 49: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, AB = BC = a , BAD = ABC = 900 , AD = 2a , SA = 2a vuông góc với đáy Gọi M , N trung điểm SA, AD a3 b ĐS: VSBCNM = ox Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp SBCNM theo a w w w Bài 50: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh bên SC vuông góc SM SN với đáy SC = 2a Hai điểm M , N thuộc SB SD cho = = Mặt phẳng MB ND ( AMN ) cắt SC P Tính theo a thể tích khối chóp SAMPN ĐS: VSAMPN = 2a Bài 51: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , đường cao SA = a M ( ) điểm thay đổi SB , đặt SM = x < x < a Mặt phẳng ( ADM ) cắt SC N 1) Tứ giác ADMN hình gì? Tính diện tích tứ giác theo a x NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 64 2) Mặt phẳng ( ADM ) chia hình chóp làm hai phần, phần hình chóp SADMN có V thể tích V1 phần lại tích V2 Xác định giá trị x để = V2 ĐS: S ADNM = ( 2a + x ) x2 − a x + a2 ; x = 2a Bài 52: Cho lăng trụ tứ giác ABCDA ' B ' C ' D ' có chiều cao a Mặt phẳng ( A ' BD ) hợp với mặt bên ( ABB ' A ') góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho ĐS: V = 2a t Bài 53: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ AA ' đến mặt bên BCC ' B ' khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABC ') a Mặt u 4a 3 ilie ĐS: V = ne phẳng ( ABC ') hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ ox ta Bài 54: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ( ABB ' A ') hình thoi cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt bên ( ACC ' A ') tạo với đáy góc α Tính thể tích khối lăng trụ theo a α b a3 ĐS: V = sin α w w Bài 55: Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác nội tiếp đường tròn tâm O Hình chiếu A ' mặt phẳng ( ABC ) O Khoảng cách AA ' BC a góc w hai mặt phẳng ( ABB ' A ') ( ACC ' A ') α Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' ĐS: V = 2a tan 3 tan α α −1 Bài 56: Cho hình lăng trụ ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A với AB = a, BC = 2a Mặt bên ( ABB ' A ') hình thoi, mặt bên ( BCC ' B ') nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt phẳng hợp với góc α Tính thể tích khối lăng trụ cho NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 65 ĐS: V = 3a cot α Bài 57: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a , đường chéo AC a biết tam giác AO ' C tam giác vuông O ' ( O ' tâm hình thoi A ' B ' C ' D ' ).Tính thể tích khối hộp ĐS: V = a Bài 58: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a tâm O Gọi M , N trung điểm SA, SC Biết góc tạo đường thẳng BM ND 600 Tính thể tích khối ne 30a 30a V = 18 u ĐS: V = t chóp SABCD ilie Bài 59: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B có AB = BC = a; AD = 2a , SAC tam giác cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, ta SB tạo với ( SAC ) góc 600 Gọi O giao điểm AC BD Giả sử mặt phẳng ( P ) qua O b w w ĐS: VMBCD 6a a , d M /( SCD ) = = 54 ox song song với SC cắt SA M Tính thể tích khối chóp MBCD khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( SCD ) w Bài 60: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh AA ' = a Đường thẳng B ' C tạo với đường thẳng AD góc 600 , đường chéo B ' D tạo với mặt bên ( BCC ' B ') góc 300 Tính thể tích khối chóp ACB ' D ' cosin góc tạo AC B ' D ĐS: VACB ' D ' 3a , cos ( AC , B ' D ) = = 27 Bài 61: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD = 600 Đỉnh a S cách điểm A, B, D Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) Tính thể tích khối chóp SABCD xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SOAB NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 66 ĐS: VSABCD = 2a a , R= 12 Bài 62: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc ABC = 600 Góc mặt phẳng ( A ' BD ) ( ABCD ) 600.Tính thể tích khối chóp C ' A ' AD khoảng cách hai đường thẳng CD ' A ' D theo a a3 a ĐS: V = , d = ne t Bài 63: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , SAB tam giác vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SD tạo với ( SBC ) góc α Gọi M trung điểm AB , mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với ( SAD) cắt SA, SD, CD N , E , F Tính thể tích khối chóp SMNEF xác định tâm , tính bán ta 3a 93a , R= ox ĐS: VSMNEF = ilie kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAMC theo a u cho cos α = Bài 64: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M , N b trung điểm AD, CD Hình chiếu S ABCD trùng với giao điểm AN BM ĐS: VSBMNC w SH = 2a w w Tính thể tích chóp SBCNM khoảng cách đường thẳng BM SC biết đường cao 2a , = 24 Bài 65: Cho khối chóp SABC có đáy tam giác vuông cân B , đường cao SE với E trung điểm cạnh BC SE = CE = 2a Gọi M , N trung điểm SE , CE Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho ACD = α ( 450 < α ≤ 900 ) Gọi H hình chiếu S lên CD a) Tính thể tích tứ diện EHMN theo a α b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SACD theo a thể tích tứ diện EHMN lớn 160 ĐS: V = − a cos 2α , V = π R = πa 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 67 Bài 66: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông B, BAC = 60° , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC a , khoảng cách hai đường thẳng A′B AC ( a 3+ ) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' ĐS: Bài 67: Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân C cạnh huyền a Mặt phẳng ( A ' AB ) vuông góc với đáy ABC , AA ' = a , góc A ' AB góc nhọn Biết mặt bên ( A ' AC ) tạo với đáy ABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 3a a , d B ,( A ' AC ) = 10 ne ĐS: VLT = t theo a tính khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( A ' AC ) u Bài 68: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh a , SA = a , Gọi M , N lần ilie lượt điểm thuộc đoạn thẳng AB, AD cho AM = MB; DN = AN ,biết MN vuông góc 11 3a a 93 , d= 192 31 ox ĐS: VSMCND = ta với SM , ∆SMC tam giác cân S Tính thể tích khối chóp SMNCD khoảng cách SA CM w ĐS: w w b Bài 69: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông A, BC = 3a, AA′ = a góc A′B với mặt phẳng trung trực đoạn BC 30° Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ khoảng cách hai đường thẳng A′B, AC Bài 70: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, D biết AB Mặt bên SBC tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách hai đường thẳng BC , SA theo AD = DC = a ĐS: NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 68 Bài 71: Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1 có M trung điểm cạnh AB, BC = 2a, ACB = 900 ABC = 600 , cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 45 , hình chiếu vuông góc C1 lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm CM Tính thể tích khối lăng trụ cho góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( ACC1 A1 ) ĐS: V = 3a , tan(( ABC ); ( ACC1 A1 )) = Bài 72: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B AB = a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Góc hợp SC mặt phẳng M trung t a , tính thể tích khối chóp SABC ne điểm AC Biết khoảng cách SM AB ( SAB ) = 600 ; u theo a ilie ĐS: V = a3 ta Bài 73: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC tam giác cân với SB = SC = a nằm a3 b ĐS: V = ox mặt phẳng vuông góc với đáy Biết ASB = BSC = CSA = 600 Tính thể tích khối chóp SABC w w Bài 74: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng BC ' tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 600 AB = AA ' = a Gọi M , N , P trung điểm w BB ', CC ', BC Q điểm cạnh AB cho BQ = a Chứng minh Chứng minh ( MAC ) ⊥ ( NPQ ) tính thể tích khối lăng trụ theo a ĐS: V = a 15 Bài 75: Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có cạnh đáy a Gọi M , N , I trung điểm AA ', AB BC Biết góc tạo (C ' AI ) ( ABC ) 600 Tính thể tích khối chóp NAC ' I khoảng cách hai đường thẳng MN , AC ' NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 69 ĐS: VNAC ' I = a3 a , d= 32 Bài 76: Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông với cạnh huyền BC = 2a ; ABC = 600 Mặt bên ( BCB ' C ') hình thoi ( B ' BC < 900 )và vuông góc với đáy mặt bên ( ABB ' A ') tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ ĐS: V = 7a3 Bài 77: Cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông B có ne t AB = a, BC = a , BB ' = a Mặt phẳng ( P ) qua A vuông góc với A ' C cắt CC ', BB ' lần 3 a ilie ĐS: V = u lượt M , N Tính thể tích khối chóp ABCMN 5a , AC = 4a ta Bài 78: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh w w 2a ĐS: V = , d= a 3 b ox SO = 2a SO vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp SMBD khoảng cách hai đường thẳng SA BM w Bài 79: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = 2a , SA vuông góc với đáy ABCD Gọi M , N trung điểm SA, BC , E giao điểm mặt phẳng ( DMN ) với SB Biết DMN = 300 Tính thể tích khối chóp SDMEN theo a ĐS: 8a Bài 80) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O biết AB = a; BC = a , Tam giác SAO cân S , mặt bên SAD vuông góc với đáy ABCD Biết SD hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách SB AC NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 70 ĐS: VSABCD = 3a 3a , d= Bài 81: Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi H tâm mặt ADD ' A ' , K hình chiếu D lên BD ' Tính thể tích tứ diện D ' DHK khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( D ' A ' B ) ĐS: V = a3 a , d= 36 t Bài 82: Cho hình chóp SABC có SC ⊥ ( ABC ) tam giác ABC vuông B Biết ne AB = a, AC = a 3, ( a > ) góc mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) α với tan α = ilie u Tính thể tích khối chóp SABC theo a 13 ox ta ĐS: V = 2a b Bài 83: Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tam giác ABD tam giác đều.Gọi M , N trung điểm BC , C ' D ' Biết MN vuông góc với B ' D 6a3 22 , d= a 24 11 w ĐS: VDAMN = w w tính thể tích khối chóp DAMN khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( AMN ) Bài 84: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm SB, SD Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD biết AM vuông góc với CN ĐS: R = 10a 10 Bài 85: Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giácvuông, SA = SB = SC = a Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AC , BC , D điểm đối xứng S qua E ; I NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 71 giao điểm đường thẳng AD với mặt phẳng ( SMN ) Chứng minh AD vuông góc SI tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI ĐS: V = a3 36 Bài 86: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, BC = a ABC = 1200 Mặt bên SAB tam giác cạnh 2a tạo với mặt đáy góc α Biết hình chiếu vuông góc S mặt đáy nằm hình bình hành ABCD cos α = Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách đường thẳng SB AD theo a t 2a 114 , d= 19 ne ĐS: V = a 14 Tính thể tích khối chóp SABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) ilie SB = u Bài 87: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , cạnh huyền 3a Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng ABC trọng tâm G tam giác ABC cạnh bên ox ta 3a ĐS: V = ,d = a b Bài 88: Cho hình chóp SABC có mặt bên SBC tam giác cân SB = SC = a nằm mặt w 2a3 ĐS: V = w w phẳng vuông góc với đáy Biết ASB = BSC = CSA = 600 Tính thể tích khối chóp SABC Bài 89: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có AC = a, CB = 2a, ACB = 1200 đường thẳng A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 300 Gọi M trung điểm BB ' Tính thể tích khối lăng trụ cho tính khoảng cách AM CC ' theo a ĐS: V = 105a a 21 d= 14 Bài 90: Cho lăng trụ đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 600 , AC ' = 2a Gọi O giao điểm AC BD , E giao điểm A ' O AC ' Tính thể tích khối tứ diện EABD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BDE ) NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 72 ĐS: V = 3a a 21 ,d = 36 Bài 91: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , BAC = 600 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC A ' B AC ĐS: V = ( ) −1 a khoảng cách hai đường thẳng a 15 Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' 3 a ne t Bài 92: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân A , BC = 2a Gọi M trung điểm BC , biết hai mặt phẳng ( AB ' M ) ( BA ' C ') vuông góc với a ilie ĐS: V = 2a , d = u Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( AC ' M ) theo a ta Bài 93: Cho lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân C , đường thẳng BC ' ox tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 600 AB = AA ' = a Gọi M , N , P trung điểm AM , NP theo a a 15 a 15 ,d = w w ĐS: V = b BB', CC ', BC Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng w Bài 94: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với SAB = SAC = 300 AB = AC = 2a, BC = a, SA = a Tính thể tích khối chóp SABC theo a ĐS: V = a3 Bài 95: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a BAD = 600 tam giác SAC , SBD cân S Gọi M , N trung điểm AB, BC Biết hai mặt phẳng ( SDM ), ( SDN ) vuông góc với Tính thể tích khối chóp SABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SMN ) theo a NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 73 ĐS: V = 6a a , d= Bài 96: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân có hai đáy AB, CD Biết AB = 3a, AC = a 7, CD = a Các mặt bên ( SAB ), ( SBC ), ( SAD ) tạo với đáy góc 600 Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD ) nằm hình thang ABCD Tính thể tích khối chóp SABCD theo a ne t ĐS: V = 3a u Do khuôn khổ thời gian có hạn nên trình bày hoàn chỉnh vấn đề hình không gian Vì có sai sót mong bạn đọc lượng thứ ilie Mọi đóng góp xin vui long gửi về: kiên.noiaybinhyen@gmail.com nguyentrungkien_ntk@yahoo.com ta HÀ NỘI ox MÙA KHAI TRƯỜNG 2012-2013 w w w b NGUYỄN TRUNG KIÊN NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 74 [...]... ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều kiện B’C song song với (AMN) Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy nghĩ điều này Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P) cũng bằng khoảng cách từ B đến (P)) NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 27 Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là... thẳng chéo nhau trong không gian Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên b đến mp(P) - Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã trình bày ở mục A NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net... SC ) = 2 KF = a 6 6 a 6 3 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 33 S N A M K D F H O B ne t E Q u C ilie Chú ý: Trong bài toán này ta đã dựng đường cao NK để quy về bài toán cơ bản ta Phần 6 ox Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian .b Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b... việc tìm hình chiếu khó khăn, thì ta nên sử dụng công thức ta 1 3V V = B.h ⇒ h = 3 B b ox Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác ABD Mặt bên SAB tạo với đáy một góc 600 Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAD Lời giải: w w Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , E là hình chiếu... nhiều Ví dụ 7) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết AC vuông góc với SD tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC Giải: - Tính thể tích khối chóp SABCD NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 32 Gọi H là trung điểm AB, O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD... tính thông qua 1 khối đa diện trung gian đơn giản hơn Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau: NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 11 VSA′B′C ′ SA′.SB′.SC ′ (1) = VSABC SA.SB.SC VSA′ABC A ' A (2) Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ = VSABC SA S C' ne t A' B' A ilie u C ta B w w b ox ˆ = 600 , SA vuông góc Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD với đáy ABCD... AKC ' M để quy khoảng cách về bài toán cơ bản là yếu tố quan trọng quyết định thành công Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng SBC và ABC là 600 Các tam giác SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng SAC (Đề dự bị khối A 2007) HD giải: NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 21 Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy ra BS = BA = BC... đường) NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 29 Từ A ' hạ A ' K vuông góc B ' C ' , Hạ A ' H vuông góc với AK thì A ' K.A ' A 2a A ' H ⊥ ( AB ' C ') ⇒ d A '/( AB ' C ') = A ' H = = 3 A ' K 2 + A ' A2 (Rõ ràng việc quy về bài toán cơ bản có vai trò đặc biệt quan trọng trong các bài toán tính khoảng cách, các em học sinh cần chú ý điều này) Ví dụ 5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a... hiệu ‘’ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy’’ A w O w w P N b S C M B 1 2a 3 Cách 2: V( SABCD ) = 2V( SABM ) = 2 BM dt ( SAM ) = AM MS sin 600 = a 3 dt ( SAC ) 3 3.2 16 3V 1 1 13 3 39a 2 3a = CN AS = a a= ⇒ d ( B, ( SAC ) = ( SABC ) = 2 2 4 2 16 dt ( SAC ) 13 NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 22 Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang... tính đối xứng của hình lập phương nên ta có: VB ' PIE = VD ' QJF NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 17 Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối đa diện ở phía dưới và phía trên mặt phẳng ( AEF ) Ta có: V1 = VAA ' IJ − 2VB ' PIE = 3a 3 2a 3 25a 3 − = 8 72 72 V2 = VABCDA ' B ' C ' D − V1 = a 3 − Vậ y 25a 3 47 a 3 = 72 72 V1 25 = V2 47 Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian u ne t A Khoảng ... B B Khoảng cách đường thẳng chéo không gian Khi tính khoảng cách đường thẳng chéo a b không gian ta tiến hành theo trình tự sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau... CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Để giải tốt dạng toán học sinh cần lưu ý tính chất bất đẳng thức bản: 1) sin ϕ , cos ϕ ∈ [ − 1;1] 2) Nếu tích ab = M không đổi a, b > a + b ≥ ab = M , a + b không đổi NGUYỄN... NGUYỄN TRUNG KIÊN www.boxtailieu.net 22 Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a , gọi H hình chiếu A lên