Phần hình học 10 Chuyên đề 1: Vectơ Bài 1. Cho tam giác ABC. M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) c) Bài 2. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức: . Chứng minh MN AC. Bài 3. Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn . CMR : B, C, D thẳng hàng. Bài 4. Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC. Chứng minh rằng: Bài 5. Cho tam giác ABC. Đặt . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng: . (hd: Sử dụng kết quả của bài tập 4. Nếu gọi D là giao điểm của AI với BC thì ta có: ) Bài 6. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N , P. Chứng minh rằng: . (hd: Sử dụng kết quả của bài tập 4. Nếu gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì ta có: ) Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD, BC sao cho Chứng minh rằng: . Bài 8. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Hãy biểu diễn vectơ theo các vectơ và . ( hd: ) Bài 9. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B trên (O). Giả sử các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M và thỏa mãn điều kiện góc AMB bằng ( là góc cho trước). Chứng minh rằng: a) b) Bài 10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng của A qua O. a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành. b) Chứng minh : c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh . Từ đó kết luận gì về ba điểm G, H, O. Bài 11. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O , Điểm M là 1 điểm bất kỳ : a) Tính = + + + theo Từ đó suy ra đường thẳng MS quay quanh 1 điểm cố định
Tài Li ệu bồi d ưỡng học sinh giỏi Toán Trang 1 Nguyễn Xuân Quân Phần hình học 10 Chuyên đ ề 1: Vectơ Bài 1. Cho tam giác ABC. M, N l ần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng: a) 2 4 3 3 AB CM BN b) 4 2 3 3 AC CM BN c) 1 1 3 3 MN BN CM Bài 2. Cho tam giác ABC. Hai đi ểm M, N được xác địn h b ởi các hệ thức: ; 3BC MA O AB NA AC O . Ch ứng minh MN // AC. Bài 3. Cho 4 đi ểm A, B, C, D th ỏa mãn 2 3 5AB AC AD . CMR : B, C, D th ẳng hàng. Bài 4. Cho tam giác ABC, M là m ột điểm tr ên cạnh BC. Chứng minh rằng: MC MB AM AB AC BC BC Bài 5. Cho tam giác ABC. Đ ặt , ,BC a AC b AB c . G ọi I l à tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Ch ứng minh rằng: . . . 0a IA b IB c IC . (hd: S ử dụng kết quả của b ài tập 4 . N ếu g ọi D l à giao điểm của AI v ới BC thì ta có: AI c b b c ID BD CD BC ) Bài 6. Cho đư ờng tr òn ( I) n ội tiếp tam giác ABC. (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần l ượt tại M, N , P. Ch ứng minh rằng: . . . 0a IM b IN c IP . (hd: Sử dụng kết quả của bài tập 4. Nếu gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì ta có: AP AN p a BM BP p b CN CM p c ) Bài 7. Cho t ứ giác ABCD. Các đi ểm M, N lần l ượt thuộc các đoạn AD, BC sao cho MA NB m MD NC n Chứng minh rằng: nAB mDC MN m n . Bài 8. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Hãy biểu diễn vectơ AH theo các vectơ AB và AC . ( hd: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b a b c a c b AH AB BC AB AC a a a ) Bài 9. Cho đư ờng tròn (O) và hai điểm A, B trên (O). Giả sử các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M và thỏa mãn điều kiện góc AMB bằng ( là góc cho trước). Chứng minh rằng: a) 2 2cos . 2 MO MA MB b) 2 2sin . 2 OM OA OB Bài 10. Cho tam giác ABC n ội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng của A qua O. a) Ch ứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành. b) Ch ứng minh : 2 2 HA HD HO HA HB HC HO OA OB OC OH c) G ọi G l à trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh 3OH OG . T ừ đó kết luận g ì về ba điểm G, H, O. Bài 11.Cho hình ch ữ nhật ABCD tâm O , Đi ểm M là 1 đi ểm bất kỳ : a) Tính MS = MA + MB + MC + MD theo MO T ừ đó suy ra đường thẳng MS quay quanh 1 điểm cố định Tài Li ệu bồi d ưỡng học sinh giỏi Toán Trang 2 Nguyễn Xuân Quân b) Tìm t ập hợp các điểm M thỏa MA + MB + MC + MD = a ( a > 0 cho trư ớc ) c) Tìm t ập hợp các điểm N thỏa NA + NB = NC + ND Bài 12. Cho tam giác ABC. BI = 3 1 BC ; CJ = 3 1 CA ; AK = 3 1 AB a) Ch ứng minh rằng: IC + JA + KB = 0 , AI + BJ + CK = 0 . Suy ra hai tam giác ABC và IJK cùng tr ọng tâm. b) Tìm t ập hợp M th ỏa : MA + MB + MC = 2 3 MB + MC 2 MB + MC =2 MA + MB d) Tính IK ; IJ theo AB và AC . Bài 13.Cho tam giác ABC. Tìm t ập hợp điểm M sao cho a) 2 3 8 81MA MB MC . b) 2 (2 1) 1MA mMB m MC Bài 14.Cho tam giác ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . G là trọng tâm tam giác ABC a) Ch ứng minh rằng AI + BJ + CK = 0 .Suy ra tam giác ABC và IJK cùng tr ọng tâm. b) Tìm t ập hợp điểm M thỏa mãn : a) MA + MB + MC = 2 3 MB + MC b) MB + MC = MB - MC c) D, E xác đinh b ởi : AD = 2 AB và AE = 5 2 AC . Tính DE và DG theo AB và AC . Suy ra 3 đi ểm D,G,E thẳng h àng. Bài 15. Cho tam giác ABC , v ới mỗi số thực k ta xác đ ịnh các điểm A’ , B’ sao cho ' , 'AA kBC BB kCA . Tìm tìm quỹ tích trọng tâm G’ của tam giác A’B’C. Bài 16. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất a) MA MB MC b) 2MA MB MC c) 3MA MB MC d) 3MA MB Bài 17. Cho hai đi ểm A, B phân biệt và hai số , không đ ồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: a) N ếu 0 thì không t ồn tại điểm M sao cho: 0MA MB b) N ếu 0 thì t ồn tại duy nhất điểm M sao cho: 0MA MB Bài 18. Cho tam giác ABC, g ọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng v ới A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD. a) Chứng minh rằng: 1 IG AB DM 3 . b) Lấy J thỏa 2CJ 2AB JM . Chứng minh rằng IJ song song với AB. c) Giả sử AB a, BC 2a và 0 ABC 60 . Tính độ dài của u AB 2AC . d) Xác định tập hợp điểm E thỏa mãn: 2EA 3EB 5EC 2 ED EG . (hd: a). 1 IG AG AI AB AC AC AD AM 3 1 1 AB 2DM DM AB DM 3 3 b). 2CJ JM 2AB 2AJ 2AC AM AJ 2AB 5 3AJ 2AB 2AC AM 5AM AJ AM 3 Mà M là trung đi ểmcủa AD nên MJ 2 JD . Tài Li ệu bồi d ưỡng học sinh giỏi Toán Trang 3 Nguyễn Xuân Quân G ọi K l à trung điểm của CD, ta có MI 2 IK . V ậy ta có: MJ MI IJ // CD // AB JD IK . c). K ẻ AH vuông góc với BC. Ta có: 0 a BH AB.cos60 2 , 0 a 3 AH AB.sin60 2 . T ừ đó ta có 2 2 3a CH BC BH AC AH CH a 3 2 2 2 2 BC AB AC V ậy tam giác ABC vuông tại A. D ựng BF 2AC AB 2AC AB BF AF và BF 2AC 2a 3 . 2 2 u AB 2AC AF AB BF a 13 . d). L ấy điểm S sao cho 2SA 3SB 5SC 0 5 3 AS AC AB 4 4 S là đi ểm cố định. G ọi R là trung điể m c ủa DG. Khi đó, ta có: 2EA 3EB 5EC 2 ED EG 4ES 2 2ER ES ER V ậy ta suy ra tập hợp điểm E là đường trung trực của đoạn thẳng SR. ) Bài 19. Cho tứ giác lồi ABCD. Xét M là điểm tùy ý. Gọi P, Q, R, S là các điểm sao cho: 4MB MC MD MP ; 4MC MD MA MQ ; 4MD MA MB MR ; 4MA MB MC MS . Tìm vị trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD. Bài 20. Cho tam giác ABC. Trên c ạnh AB, BC, CA l ấy lần lượt các điểm M, N, P th ỏa mãn 2AM AB BC , 3BN BC AC , 2CP CA . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng tr ọng tâm. Bài 21. Cho tam giác ABC. M là trung đi ểm BC. Ch ứng minh rằng: a) 2 2 2 1 . 2 AB AC AB AC BC b) 2 2 2 2 2( ) 4 AB AC BC AM Bài 22. Chứng minh với 4 điểm bất kỳ A, B, C, D ta luôn có: . . . 0AB CD AC DB AD BC ( H ệ thức Ơ -le). T ừ đó, chứng minh ba đường cao trong tam giác đồng quy. Bài 23. Cho tam giác ABC v ới trọng tâm G. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 3 GA GB GC a b c (H ệ thức Lep -nit). Bài 24. Cho tam giác ABC. Tìm đi ểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách t ừ đó đến các đỉnh c ủa tam giác là nhỏ nhất. Bài 25. Cho các vectơ a và b l ập với nhau góc 120 o . Tìm x đ ể 2b a và vectơ a xb vuông góc v ới vectơ a b . Bài 26. G ọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2 . . .a IA b IB c IC abc (HD: S ử dụng kết quả bài tập 5) Tài Li ệu bồi d ưỡng học sinh giỏi Toán Trang 4 Nguyễn Xuân Quân Bài 27. Cho tam giác ABC cân t ại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Ch ứng minh rằng OE CD. (HD: S ử dụng tích vô h ướng bằng cách phân tích vectơ và kết hợp OA BC) Bài 28. Cho đo ạn thẳng AB cố định v à số thực k. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: a) 2 2 AM BM k . b) 2 2 MA MB k (HD: a) S ử dụng trung điểm AB b) G ọi I, H lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và hình chiếu của M lên đường thẳng AB. Ta có: 2 2 2 2 . 2 MA MB k MA MB MA MB k MI BA k k MH HI BA k AB IH k IH AB Đ ẳng thức đó chứng tỏ H là điểm cố định và tập hợp điểm M là đư ờng thẳng vuông góc với AB tại H Bài 29. Cho tam giác ABC. Tìm t ập hợp điểm M sao cho: a) 2 2 2 0MB MC MA b) 2 2 2 2 0MB MC MA (HD: a) S ử dụng đỉnh E của hình bình hành ABEC. b) S ử dụng trung điểm BC , tương t ự 28b b) G ọi I là trung đi ểm BC thì tập hợp điểm M là đường v uông góc v ới IA tại H sao cho 2 2 4 8 BC IA IH IA ) Bài 30. Cho tam giác ABC có tr ọng tâm G. Gọi A 1 , B 1 , C 1 l ần l ượt là hình chiếu vuông góc của G xu ống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 . . . 0a GA b GB c GC . (với a=BC, b=AC, c=AB). Bài 31. Cho tam giác ABC có tr ọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có: 2 2 2 2 2 2 . . .MA MB MC MAGA MBGB MC GC GA GB GC (HD: S ử dụng . . . . . .MAGA MB GB MC GC MAGA MB GB MC GC ) Lưu ý: b ất đẳng thức .a b ab đư ợc sử dụng nhi ều và đẳng thức xảy ra khi hai vectơ a và b cùng chi ều) Bài 32. Cho tam giác ABC. Ch ứng minh rằng với điểm M bất kỳ, ta có: 2 2 2 . . .a MA b MB c MC abc (HD: Xét . . .v a MA b MB c MC và s ử dụng 2 0v ) Bài 33. Cho tam giác ABC. Ch ứng minh rằng: cosA+cosB+cosC 3 2 . (HD: Lấy các vectơ đơn vị 1 2 3 , ,e e e lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho chúng cùng hướng với , ,BC CA AB . S ử dụng 2 1 2 3 0e e e ) B ổ xung một số kiến thức về tọa độ vect ơ trên trục (Các em xem thêm ki ến thức SGK, thầy chỉ đưa một số kiến thức và bài tập cơ bản để có thể áp d ụng trong các bài toán khác) - M ột đ ường thẳng được gọi là trục (tọa độ) nếu trên đó đ ã ch ọ một điểm O làm gốc và một vec tơ i có đ ộ dài bằng 1 là vec tơ đơn vị của trục , hư ớng của i đư ợc gọi là hướng của trục. - Cho hai đi ểm A, B tr ên trục, tọa độ vec tơ AB trên tr ục đ ược gọi là độ dài đại số của vec tơ AB , kí hi ệu AB . Như v ậy, .AB AB i - M ột số hệ thức cơ bản: Tài Li ệu bồi d ưỡng học sinh giỏi Toán Trang 5 Nguyễn Xuân Quân +) AB BA +) AB OB OA +) AB BC AC (h ệ thức Sa -lơ) - Cho đi ểm M trên trục 'Ox x . T ọa độ vec tơ OM đư ợc gọi là tọa độ của điểm M. Kí hiệu M(x) ho ặc M=( x ) đ ể chỉ t ọa độ điểm M là x . Đôi khi đ ể thuận tiện, ta còn dùng kí hiệu M=( M x ) đ ể chỉ tọa độ đi ểm M . Ta có: M=( M x ) M x OM . - Độ dài đại số của một vec tơ trên trục bằng tọa độ điểm ngọn trừ tọa độ điểm gốc: B A AB x x Bài 1. Trên tr ục 'Ox x cho ba đi ểm A, B, M (A B) và s ố k 1 . a) Ch ứng minh rằng: MA kMB MA kMB b) Trong đi ều kiện câu a) chứng minh rằng : 1 A B M x kx x k (HD: a) G ọi i là vec tơ đơn v ị của trục 'Ox x . Ta có: . . .MA kMB MAi kMB i MAi k MBi MA kMB b) S ử dụng A M B M MA kMB x x k x x Bài 2. Trên tr ục 'Ox x cho b ốn điểm M, A, B, C. Chứng minh rằng: a) . . . 0MA BC MB CA MC AB ( H ệ thức Ơ -le) b) 2 2 2 . . . . . 0MA BC MB CA MC AB BC CA AB (H ệ thức Sti -oa) Bài 3. Trên đư ờng thẳng cho hai đi ểm phân biệt A, B. V ới mỗi số k cho tr ước , ch ứng minh rằng tồn t ại duy nhất điểm H sao cho 2 2 HA HB k . (HD: Cách 1: Ch ọn trên đi ểm O và vec tơ đơn vị. Như vậy, tr ở thành một trục. Gọi I là trung điểm c ủa AB, ta có: 2 2 .2HA HB k HA HB HA HB k BA HI IA HI IB k BA HI k 2 k IH AB . Đ ẳng thức này khẳng định tồn tại duy nhất điểm H. Cách 2: Ch ọn trên đi ểm O và vec tơ đơn vị. Như vậy, tr ở thành một trục. Giả sử , ,A a B b H x . Ta có: 2 2 2 2 2 2 2HA HB k a x b x k b a x k b a Vì A B nên a b , do đó phương tr ình có nghiệm duy nhất 2 2 2 k b a x b a . Đi ều này chứng tỏ tồn tại duy nhất điểm H. ) Bài 4. Trên tr ục số cho bốn điểm A, B, C, D; I là trung điểm của AB, K là trung điể m c ủa CD. Chứng minh các đi ều kiện sau tương đương: a) CA DA CB DB b) 2 1 1 AD AB AC (H ệ thức Đề - các) c) 2 .IA IC ID (H ệ thức Niu -tơn) d) . .AC AD AB AK (H ệ thức Mác -lô-ranh) ( Chú ý: B ốn điể m A, B, C, D trên tr ục v à thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là hàng đi ểm đi ều hòa . Kí hi ệu (ABCD)= -1 ) Bài 5. Cho các đi ểm A( -1; 1), B(1; 3), C(-2; 0). a) Ch ứng minh rằng A, B, C thẳng h àng. b) Tìm t ọa độ điểm D sao cho (ABCD)= -1 ( hay A, B, C, D l ập t hành 1 hàng đi ểm điều hòa). (HD: S ử dụng kết quả câu a) b ài tập 4) Tài Li ệu bồi d ưỡng học sinh giỏi Toán Trang 6 Nguyễn Xuân Quân Chuyên đ ề 2 : H ệ thức lượng trong tam giác Bài 1. Cho tam giác ABC. Ch ứng minh rằng: a) 2 2 2 cot cot cot 4 a b c A B C S (Đ ịnh lí côtang). b) 1 2 r R . c) 2 2 2 4 3.a b c S . d) 2 2 2 2 2 2 3 4 a b c m m m a b c (HD: b,c) áp d ụng bđt cô-si) Bài 2. Ch ứng minh tam giác ABC vuông tại A khi v à chỉ khi: 2 2 2 sin sin sinA B C Bài 3. Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn điều kiện 3 3 3 2 sin 2sin .sin b c a a b c a B A C thì ABC là tgiác đều. Bài 4. Trong t ất cả các tam giác ngoại tiếp cùng một đường tròn cho trước, hãy tìm tam giác có diện tích nh ỏ nhất. Bài 5. Ch ứng minh rằng nếu tam giác ABC có sin cos cos sin cos cos B C A C A B thì tam giác ABC là tam giác vuông ho ặc cân. Bài 6. Cho tam giác ABC, BM, CN là các trung tuy ến. Ch ứng minh rằng: 2 2 2 5BM CN b c a Bài 7. Cho tam giác ABC. Ch ứng minh rằng góc B 60 o khi và ch ỉ khi: 1 1 3 a b b c a b c Bài 8. Ch ứng minh rằng tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi sin 2 sin cos A B C . Chuyên đ ề 3 : Phương pháp t ọa độ trong mặt phẳng Bài 1. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6; -5). a/ Tìm t ọa độ điểm D xác định bởi hệ thức : ACABAD 23 . b/ Tam giác ABC là tam giác gì? Vi ết phương trình đường tròn ngoại ti ếp tam giác ABC v à tìm giao điểm c ủa đường tròn này với đường thẳng y = 5. (ĐS: D(-3;16), phương tr ình ( C) là : 29)8( 22 yx , giao đi ểm l à )5;10( 1 M và )5;6( 2 M ) Bài 2. Cho hai đi ểm A(1;6), B( -3; -4). Hãy tìm điểm M trên đ ư ờng thẳng d: 2x –y–1= 0 sao cho : MA + MB bé nh ất. Bài 3. Trong m ặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho hình thoi ABCD có tọa độ các đỉnh A(0;3), B(5;3) . Tâm I c ủa hình thoi nằm trên đường thẳng (d): 02 yx .Xác đ ịnh tọa độ của các đỉnh C và D ? Tài Li ệu bồi d ưỡng học sinh giỏi Toán Trang 7 Nguyễn Xuân Quân (ĐS: )1;2( C )1;3( D ) Bài 4. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy . Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC . Biết A( 1; 3 ) và hai đư ờng trung tuyến phát xuất từ B và C lần lượt có phương trình là : x – 2 y + 1 = 0 và y – 1 = 0 . (ĐS: AB : x – y + 2 = 0, AC : x + 2y – 7 = 0, BC : x – 4y – 1 = 0 ) Bài 5. Trong m ặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích S = 3 2 , A(2; - 3), B(3; -2). Tr ọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng 3x – y – 8 = 0 . Xác đ ịnh toạ độ điểm C. (ĐS: C(-2; -10) ho ặc C(1; -1)) Bài 6. Vi ết phương trình đường thẳng d đi qua M(4; -3) sao cho tam giác t ạo bởi đường thẳng đó và hai tr ục tọa độ có diện tích bằng 3. Bài 7. Trong m ặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC với A(2, 1) và phương tr ình đường phân giác trong c ủa B v à C l ần l ư ợt là: d 1 : x2y+1=0 và d 2 : x+y+3=0. Vi ết ph ương trình cạnh BC. (Lưu ý: Phân giác nh ớ đến tính chất đối xứng , đư ờng cao nhớ đến tính chất vuông góc, trung tuyến nhớ đ ến tính chất trung điểm ) Bài 8. Cho tam giác ABC có đ ỉnh B( -4;1), tr ọng tâm G(1;1) và đường t h ẳng chứa phân giác trong của góc A có phương tr ình 1 0x y > Tìm t ọa độ đỉnh A và C. (ĐS: A(4; 3) và C(3; -1)) Bài 9. Cho đư ờng thẳng d m : m x m y m( 2) ( 1) 2 1 0 . a) Ch ứng minh rằng d m luôn đi qua m ột điểm cố định A. b) Tìm m đ ể d m c ắt đo ạn BC với B(2; 3), C(4; 0). c) Tìm ph ương trình đường thẳng đi qua A và tạo với BC một góc 0 45 . d) Tìm m đ ể đ ường thẳng d m ti ếp xúc với đ ường tròn tâm O bán kính R = 5 . (ĐS: a) A(1; –3) b) m 8 3 7 2 c) x y x y5 14 0, 5 8 0 d) m m 4 3, 3 ) Bài 10. Cho ba đi ểm A(0; –1), B(4; 1), C(4; 2). Vi ết phương trình đường thẳng d khi bi ết: a) d đi qua A và kho ảng cách từ B đến d b ằng hai lần khoảng cách từ C đến d. b) d đi qua C và c ắt các trục O x, Oy l ần l ượt tại E và F sao cho: OE OF 3 . c) d đi qua B, cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N với M N x y0, 0 và sao cho: i) OM + ON nh ỏ nhất ii) OM ON 2 2 1 1 nh ỏ nhất. (ĐS: a) x y x y1 0, 2 3 3 0 b) x y x y2 6 0, 4 4 0 c) i) x y2 6 0 ii) x y4 17 0 ) Bài 11. Cho đư ờng cong (C m ): x y mx y m 2 2 4 2 0 . a) Ch ứng minh rằng với mọi m, (C m ) luôn là đư ờng tr òn và (C m ) luôn đi qua 2 đi ểm c ố định A, B. b) Tìm m để (C m ) đi qua gốc toạ độ O. Gọi (C) là đường tròn ứng với giá trị m vừa tìm được. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d x y: 4 3 5 0 và chắn trên (C) một dây cung có đ ộ dài bằng 4. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có vectơ chỉ phương là a ( 2;1) . d) Tìm m đ ể (C m ) ti ếp xúc với trục tung. Viết phương trình đường tròn ứng với m đó. (ĐS: a) A(1; 1), B(1; 3) b) m = 2, (C): x y x y 2 2 2 4 0 , 1 2 : 4 3 8 0, : 4 3 7 0x y x y c) x y x y2 8 0, 2 2 0 d) m = –2, x y x y 2 2 2 4 4 0 ) Bài 12. Cho đư ờng cong (C t ): x y x t y t t 2 2 2 cos 2 sin cos2 0 (0 < t < ). a) Ch ứng tỏ (C t ) là đư ờng tròn với mọi t. b) Tìm t ập hợp tâm I của (C t ) khi t thay đ ổi. c) G ọi (C) là đường tròn tro ng h ọ (C t ) có bán kính l ớn nhất. Viết phương trình của (C). d) Vi ết ph ương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục O x m ột góc 0 45 . Tài Li ệu bồi d ưỡng học sinh giỏi Toán Trang 8 Nguyễn Xuân Quân (ĐS: b) x y 2 2 1 c) t C x y y 2 2 , ( ) : 2 1 0 2 d) x y x y x y x y1 0, 1 0, 3 0, 3 0 ) Bài 13. Cho các đi ểm 1;1 , 4;0 , 2;0 , 0; 4A B C D . Tìm t ập hợp các điểm M sao cho diện tích các tam giác MAB và MCD b ằng nhau. (ĐS: qu ỹ tích M l à đường thẳng 3x -y+12=0 và 5x+5y+4=0) Bài 14. Cho đư ờng thẳng : 4 0x y và d: 2 2 0x y . Tìm t ọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đư ờng thẳng ON cắt đ ường thẳng t ại điểm M thỏa m ãn OM.ON=8. (ĐS: 0; 4 , 0; 2M N ho ặc 6 2 6;2 , ; 5 5 M N ) Bài 15. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A c ó đ ỉnh A(6; 6), đ ường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x+y-4=0. Tìm tọa độ đỉnh B và C, biết điểm E(1;-3) n ằm tr ên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. (ĐS: 0; 4 , 4;0B C ho ặc 6;2 , 2; 6B C ) Bài 16. Cho đi ểm 1;2 o M và hai đư ờng thẳng: 1 2 : 2 1 0 ; : 2 2 0x y x y . G ọi là đư ờng th ẳng đi qua o M và c ắt 1 2 , l ần lượt tại M và 'M . Vi ết phương trình bi ết rằng 2 ' o o M M M M . (ĐS: 3; 2 ; : 1 0M x y ) Bài 17. Cho 4 s ố thực a, b, c, d tho ả điều kiện: a b c d 2 2 1 3 . B ằng phương pháp hình học, chứng minh rằng : ac c b 9 6 2 d d 4 . (ĐS: Xét đư ờng tròn (C): x y 2 2 1 và đư ờng thẳng d x y: 3 . G ọi M(a; b) (C), N(c; d) d. G ọi A, B l à các giao điểm của (C) và d với đường thẳng y = x . A 2 2 ; 2 2 , B 3 3 ; 2 2 . Tính MN ac cd bd 2 = 10 – 2( ) , AB 2 2 3 2 2 . T ừ MN AB ta suy ra đpcm. ) Bài 18. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I . Gọi D là trung điểm của cạnh AB, E là trọng tâm c ủa tam giác ADC . Ch ứng minh rằng nế u AB = AC thì IE vuông góc v ới CD . (ĐS: Ch ọn hệ tọa độ Oxy cho O trùng với trung điểm của BC, điểm A thuộc trục Oy và ta có: + A(0 ; a), B(-c ; 0), C(c ; 0). Suy ra D( 2 c ; 2 a ), E( 6 c ; 2 a ) Do AB = AC nên tâm I Oy => I(0 ; y 0 ). IA (0 ; a - y 0 ), IC (c ; -y 0 ) IA = IC <=> 22 ICIA <=> (a - y 0 ) 2 = c 2 + y 0 2 <=> y 0 = a ca 2 22 V ậy I(0 ; a ca 2 22 ) H ệ số góc của đường thẳng IE là : k a c xx yy YE IE 3 H ệ số góc của đ ường thẳng CD là: k’ c a xx yy CD CD 3 . Ta có: k . k’ = -1 V ậy IE CD. ) Bài 19.Cho đư ờng tròn (C): x 2 + y 2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đư ờng th ẳng d: 01yx . Xác đ ịnh tọa độ các đ ỉnh h ình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A d. (ĐS: Đư ờng tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2 T ọa độ của I(4, –3) th ỏa ph ương trình (d): x + y – 1 = 0. V ậy I d Tài Li ệu bồi d ưỡng học sinh giỏi Toán Trang 9 Nguyễn Xuân Quân V ậy AI là một đường chéo của hình vuông ngo ại tiếp đường tròn, có bán kính R = 2 , x = 2 và x= 6 là 2 ti ếp tuyến của (C ) n ên . Ho ặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2 A(2, –1) . Ho ặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6 A(6, –5) . Khi A(2, –1) B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) . Khi A(6, –5) B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) . ) Bài 20.Cho tam giác đ ều ABC.Gọi D l à điểm đối xứng của C qua AB.Vẽ đường tròn tâm D qua A, B; M là đi ểm bất kì trên đường tròn đó ( ), BMAM . Ch ứng minh rằng độ dài MA, MB, MC là độ dài ba c ạ nh c ủa một tam giác vuông. (ĐS: Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Trang 10 Nguy ễn Xuân Quân O M(x0;y 0) B D ^ > C A Ch ọn hệ trục Oxy sao cho Ox tr ùng với AB , chiều dương hướng từ A đ ến B,trục Oy là đường trung trực của đoạn AB A(-1;0); B(1;0) ,C(0; )3 ,D(0;- )3 Phương trình đường tròn tâm D qua A, B là : 4)3( 22 yx (1) Gi ả sử );( baM là đi ểm bất k ì trên đường tròn (1) .Ta có : 222 )1( baMA 222 )1( baMB 222 )3( baMC 132)3( 222222 bbabaMBMA = 4)3( 222 baMC M n ằm trên đường tròn (1) nên : 04)3( 22 ba 222 MCMBMA MA, MB, MC là đ ộ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Bài 21.Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đi ểm A(0; a),B(b;0) ,C (-b; 0) v ới a>0 ,b >0 . a) Vi ết ph ương trình đường tròn (C ) ti ếp xúc với đ ường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường thẳng AC t ại C. b) G ọi M là mộ t đi ểm bất kỳ trên đường tròn (C ) và 1 2 3 , ,d d d là các kho ả ng cách t ừ M đến các đư ờng thẳng AB,AC,BC.Chứng minh rằng 2 1 2 3 d d d (ĐS: a) ABC cân t ại A;tâm I của (C) thuộc Oy );0( 0 yI , );(),;( 0 abABybIB .Do a b yaybABIB 2 00 2 00. M ặc khác 2 4 22 0 222 a b bybIBR . V ậy pt của ( C) l à 2 4 22 2 2 )( a b b a b yx b) Đư ờng thẳng AB có pt: 0 abbyax ; AC có pt: 0 abbyax ; BC có pt: y = 0 Xét đi ểm )();( 00 CyxM . Ta có : 0 0 0 0 1 2 3 0 2 2 2 2 ; ; ax by ab ax by ab d d d y a b a b Do 2 4 22 2 0 2 000 )()();( a b b a b yxCyxM 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2a x a b ab y a y 2 2 2 2 0 0 2 2 1 2 0 3 2 2 b y a y d d y d a b . Bài 22. Trong m ặt phẳng 0xy cho đ ường tròn (C): x 2 +y 2 -2x+4y+4 = 0.G ọi là đường thẳng song song đường thẳng d:3x+4y-1 = 0 và chia đường tròn ( C) thành hai cung mà t ỉ số độ d ài b ằng 2.T ìm phương trình đường thẳng . (ĐS: [...]... x 1 x 2 x 4 x 8 Trang 13 2 4x Nguyn Xuõn Quõn Ti Liu bi dng hc sinh gii Toỏn bpt x2 6 x 8 x 2 9 x 8 4 x 2 (1) x 0 không phải là nghiệm 8 8 8 x 0 , phương trình (1) x 6 x 9 4 Đặt x t , điều kiện t 4 2 (*) x x x Bpt trở thành: t 2 15t 50 0 5 t 10 , kết hợp (*) ta được: 8 4 2 t 10 4 2 x 10 5 17 x 5 17 x KL: nghiệm của BPT là: x 5 17;5 17 2 Tỡm... t = x(x+3) (1) Tr thnh t(t+2) =9/16 4 1 t 4 9 9 9 3 ta cú x(x+3) = - x2 + 3x + = 0 x = 4 4 4 2 -3+ 10 x= 1 1 1 2 * Vi t = ta cú x(x+3) = x2 + 3x - = 0 -3- 10 4 4 4 x= 2 * Vi t = Trang 20 Nguyn Xuõn Quõn Ti Liu bi dng hc sinh gii Toỏn 3 2 * Vy phng trỡnh cú nghim : x ; x 3 10 3 10 ;x 2 2 x + y + xy = 4 2) Gii h phng trỡnh : 2 (2) 2 x y + xy = 3 ( x + y) + xy = 4 (2) t S = x+ y;... ; 0) , (2 ; 0) , (8 ; 0) , (9 ; 0) Túm li phng trỡnh cú 10 nghim nguyờn (x, y) l: (1; 0) , (2 ; 0) , (8 ; 0) , (9 ; 0) , (0 ; 12) , (0 ; 12) , (5 ; 12) , (5 ; 12) , (10 ; 12) , (10 ; 12) 2 Tỡm iu kin ca tham s m h phng trỡnh sau cú nghim 1 1 t u = x v v = y vi u 2, v 2 x y u v 5 u v 5 H ó cho tr thnh: 3 3 u v 3 u v 15m 10 u v 8 m u, v l cỏc nghim ca PT : t2 5 t + 8 = m (1)... Ta cú 2 4 4. 4 2 2 2 2 2 2 S OAB OA OB OB b OA a 2 1 1 1 1 3 1 1 p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú (3 1 ) 2 2 1 2 2 10 a b b a b a 10 3 1 AB 2 2 1 a Min 2 khi a b 3 S OAB 5 3a b b 10 Khi ú ng thng d cú phng trỡnh 3 x y 10 0 2 2 2 Chng minh rng: a GA1 b GB1 c GC1 0 (Vi a=BC, b=AC, c=AB) a 2 GA1 b 2 GB1 a 2 GC1 0 ( a 2 GA1 b2 GB1 a 2... Quõn Ti Liu bi dng hc sinh gii Toỏn a 0; b 1 a b 1 a 1; b 0 PT 3 2 a b 1 a 2; b 3 *) a = 0; b = 1 gii ra x = 2 *) a = 1 ; b = 0 gii ra x = 1 *) a = -2; b=3 gii ra x = 10 Vy cỏc nghim ca phng trỡnh l : x = 1; x = 2, x = 10 3m 1 2 PT x 9 3 m x 9 1 x t t x 9, t 0 2 3m 1 PT tr thnh : t 3 m t 1 t 2 9 2t 2 2 m 1 t m 13 0 (1) 2 PT ban u cú nghim x1 10 x 2 (1) cú nghim... Oxy, cho im A(2; 3 ) v elip (E) cú phng trỡnh 2 3 4 2 (S: MA MF1 MN , ng trũn cn tỡm l: x 1 y ) 3 3 ************************** Trang 12 Nguyn Xuõn Quõn Ti Liu bi dng hc sinh gii Toỏn Mt s b thi hc sinh gii toỏn 10 cỏc em tham kho 1: Cõu I: (5 im) 2 1 Gii bt phng trỡnh: x 1 x 2 x 4 x 8 4 x 2 Cho cỏc s thc a, b, c (vi a 0) sao cho: phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 cú hai nghim thuc on... 3(2) iu kin cn bpt (1) nghim ỳng vi x 0; 4 thỡ (2) nghim ỳng x 0; 4 Xột f(x)= x2-4x-3 Bng bin thi n Bi 4: 2 0 x -3 f(x) 4 -3 -7 T bng bin thi n (2) ỳng vi x 0; 4 m max f ( x ) m 3 [0;4] * BPT(1) 4 2 4 x x 4 x x m 3 (*) 2 2 t t 4 x x 2 Bng bin thi n 0 x 4 2 2 t 0 0 Da vo bng bin thi n suy ra 0 t 2 Bt phng trỡnh (*) tr thnh g(t)= -t2+2t+1 m (3) bt phng trỡnh u nghim ỳng vi x... lun c x y 2 010 z 3 4 x3 y 3 x y 2 010 x yz Bi 3: Chn h trc ta nh hỡnh bờn v vit c ta ca H(0;0), a b c A(a;0), B(b;0), C(0;c) Suy c ta cỏc im I ;0 K 0; , 2 2 Vit c phng trỡnh ca (d):y = m, 0< m . ) ************************** Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Trang 13 Nguy ễn Xuân Quân M ột số b ộ đ ề thi học sinh giỏi toán 10 các em tham khảo Đ ề 1: Câu I: (5 đi ểm) 1. Gi ải. Tài Li ệu bồi d ưỡng học sinh giỏi Toán Trang 1 Nguyễn Xuân Quân Phần hình học 10 Chuyên đ ề 1: Vectơ Bài 1. Cho tam giác ABC. M, N l ần lượt là trung. minh rằng độ dài MA, MB, MC là độ dài ba c ạ nh c ủa một tam giác vuông. (ĐS: Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Trang 10 Nguy ễn Xuân Quân O M(x0;y 0) B D ^ > C A Ch ọn hệ trục Oxy sao