Tài liệu phương trình hàm phân dạng và lời giải chi tiết A. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG f(A)=B Dạng : Tìm f(x) , biết Đặt t = u(x) , tính x theo t : Thế vào biểu thức đã cho ta được Khi đó thay t bởi x ta được : Kiểm tra lại xem hàm số tìm được thỏa mãn đk đề bài chưa. (vì pp này mới chỉ là đk cần) • Lưu ý : Nếu việc rút x theo t phức tạp, ta có thể biến đổi . Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết : a) b) Hướng dẫn giải a) Đặt t = 2x + 1 Hệ thức đã cho trở thành : f(t) = . Vậy f(x) = b) Đặt t = Do đó f(t) = . Vậy f(x) = Bài tập tự luyện:
Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 1 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân A. PHƯƠNG TR ÌNH D ẠNG f(A)=B D ạng : Tìm f(x) , bi ết f u x v x Đ ặt t = u(x) , tính x theo t : 1 x u t Th ế vào biểu thức đã cho ta được 1 ( )f t v u t Khi đó thay t b ởi x ta được : f x Ki ểm tra lại xem hàm số tìm được thỏa mãn đk đề bài chưa. (vì pp này mới chỉ là đk cần) Lưu ý : N ếu việc rút x theo t phức tạp, ta có thể biến đổi v x k u x . Ví d ụ 1: Tìm hàm s ố f(x) biết : a) 2 1 7 5f x x b) 2 2 1 1 0f x x khi x x x Hư ớng dẫn giải a) Đ ặt t = 2x + 1 1 2 t x H ệ thức đã cho trở thành : f(t) = 1 7 3 7 5 2 2 2 t t . V ậy f(x) = 7 3 2 2 x b) Đ ặt t = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 x t x x t x x x Do đó f(t) = 2 2t . V ậy f(x) = 2 2x Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm hàm f(x) bi ết : a) : \ 0f và 2 2 1 1f x x x x . (Nhân lư ợng liên hợp 2 1x x .ĐS: 1 ( )f x x b) 2 : \ ,3 3 f và 3 1 1 2, 1 2 1 x x f x x x x (ĐS: 4 ( ) 3 2 x f x x c) : \ 0f và 2 1 1 0f x x x x (ĐS: 2 1 1 ( ) t f t t t d) : \ 1f và 2 1 1 1 0f x x x (ĐS: 2 2 2 ( ) ( 1) x x f x x e) 2 1 1 1f x x x (ĐS: 4 2 ( ) 2 2f x x x f) : \ 0f và 4 2 2 1 0 1 x x f x x x (Bi ến đổi 4 2 1x x v ề 2 1 x x . ĐS: 2 1 ( ) 2f x x Bài 2: Tìm 1x f x bi ết với 1x , 2 2 1 1 f x x . (ĐS: 2 1 4 2 1 x x f x x x B. PHƯƠNG TR ÌNH DẠNG a.f(A)+b.f(B)=C D ạng : Tìm f(x) bi ết . ( ) . ( ) ( )a f u x b f v x r x T ừ hệ thức đã cho suy ra hệ thức mới chỉ chứa ( )f u x và ( )f v x Ta đư ợc hệ pt chứa 2 ẩn ( )f u x và ( )f v x Gi ải hệ n ày ta đưa bài toán về dạng 1. Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 2 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân * a.f(x) + b.f(–x) = C. Thay x b ởi – x ta đư ợc a.f( –x) + b.f(x) = C * a.f(x) + bf 1 ( ) x = C. Thay x b ởi 1 x ta đư ợc a.f 1 x ta đư ợc a.f 1 x + b.f(x) = C Ví d ụ 1 : Tìm hàm số f(x) bi ết : a) 2.f(x) – f(–x) = 4 3 12 4x x b) 1 1 –1 . 1 x f x f x x 0, 1x x Hư ớng dẫn giải a) Ta có : 2.f(x) – f(–x) = 4 3 12 4x x (1) Thay x b ởi – x thì đẳng thức trở thành : 4 3 2. ( ) ( ) 12 4f x f x x x (2) Nhân 2 vào hai v ế của (1) xong cộng với (2) theo từng vế ta được 4 3 4 3 3. ( ) 3 12 12 ( ) 4 4f x x x f x x x b) Ta có : 1 1 –1 . 1 x f x f x x (3) Thay x b ởi 1 x thì đẳng thức này thành: 1 1 1 1 ( ) 1 1 f f x x x x Hay 1 1 ( ) 1 x x f f x x x x (4) Nhân 1 x x vào hai v ế của (3) ta đ ược: 2 2 1 1 1 1 ( ) x x x f x f x x x x (5) L ấy (4) trừ (5) theo từng vế ta được: 2 2 1 1 1 ( ) 1 x x x f x x x x 2 2 1 1 1 ( ) ( ) (1 ). 1 x x x x f x f x x x x x Suy ra : 1 ( ) 1 f x x . Ví d ụ 2 : Cho hàm s ố f(x) xác định với 1 2 x . Tìm hàm s ố này biết rằng ( ) 2 2 1 x f x xf x (1) Hư ớng dẫn giải Đ ặt 2 2 1 2 1 x u u x xu u x x u v ới 1 2 u Thay 2 1 x u x và 2 1 u x u vào (*) ta đư ợc ( ) 2 2 1 2 1 u u f f u u u Đ ổi u th ành x ta được: ( ) 2 2 1 2 1 x x f f x x x (2) T ừ (1), (2) Ta được hệ : ( ) 2 (1) 2 1 ( ) 2 (2) 2 1 2 1 x f x xf x x x f x f x x * 1x 2(2 1) ( ) 1 x f x x * x = 1 ta thay x = 1 vào (1) : f(1) + f(1) = 2 f(1) =1 Tóm l ại: 1 neáu 1 ( ) 2(2 1) 1 1 1 2 x f x x neáu x vaø x x Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 3 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân Ví d ụ 3: Tìm hàm s ố : \ 0;1f th ỏa mãn: 1 1 , 0 (1) x f x f x x x Hư ớng dẫn giải Đ ặt 1 1 1 ,(1) 1 x x f x f x x x . Đ ặt 1 2 1 2 1 1 1 1 ,(1) 1 1 x x f x f x x x x . Đ ặt 2 3 2 2 2 1 ,(1) 1 x x x f x f x x x . Ta đư ợc hệ : 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 1 1 1 1 1 ( ) 1 . 2 2 1 ( ) 1 f x f x x x x x f x f x x f x x x x f x f x x Th ử lại thấy đúng, vậy hàm số cần tìm là: 1 1 1 . 2 1 f x x x x Bài t ập tự luyện: Bài 1: Tìm hàm f(x) biết : a) 2 ( ) 3 ( ) 2 3f x xf x x (ĐS: ( ) 1f x b) : \ 0f và 1 2. ( 0)f x f x x x (ĐS: 2 2 ( ) 3 x f x x c*) : \ 0f và 1 1 . 1 ( 0, 1) 2 1 f x f x x x x (ĐS: 6 2 ( ) 7 x f x x d) 2 : \ 3 f và 2 2 2 996 ( ) 3 2 3 x f x f x x x (ĐS: 1992 1 ( ) 3 2 x x f x x e) :f và 2 2 1f x f x x (ĐS: 2 2 1 ( ) 3 x x f x f*) : \ 1f và 3 3 ( 1) 1 1 x x f f x x x x (ĐS: 2 2 7 ( ) 2 1 x x f x x g*) : \ 1;0;1f và 1 2 1 ( 1) 1 x xf x f x x (ĐS: 2 4 1 ( ) 5 1 x x f x x x Bài 2: Tìm hàm s ố f(x) biết f(x) là m ột đa thức bậc ba th ỏa: 2 (0) 0 ( ) ( 1) f f x f x x x HD: Vì f(0) = 0 3 2 ( )f x ax bx cx (1) 3 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f x a x b x c x = 3 2 2 3 3 2ax ax ax a bx bx b cx c = 3 2 (3 ) (3 2 ) ( ) (2)ax a b x a b c x a b c T ừ (1), (2) v à giả thiết 2 2 ( ) ( 1) ( 3 ) (2 3 ) ( )f x f x b a b x b a x a b c x Đ ồng nhất hệ s ố tìm được: 3 2 ( ) 3 2 6 x x x f x . Cách khác : 1 (0) 0 0 3 (1) 1 1 1 (2) 5 8 4 2 5 2 1 (3) 14 27 9 3 14 9 a f d f a b c b f a b c f a b c c Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 4 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân C. H Ệ PHƯƠNG TRÌNH D ạng : Tìm hai hàm f(x) và g(x) bi ết: af ( ) ( ) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) (2) u x bg v x r x cf p x dg q x s x Kh ử f hoặc g để đ ưa về dạng 2 hoặc dạng 1 ( )f x và g(x) Ví d ụ : Kh ử f : Trong (1) đ ặt t = u(x) th ì 1 ( )x u t nên (1) thành 1 1 af( ) ( ( )) ( ) (3)t bg v u t r u t Trong (2) c ũng đặt t = p(x) thì 1 ( )x p t nên (2) thành 1 1 ( ) ( ( )) ( ) (4)cf t dg q p t s p t T ừ (3) và (4) khử f(t ) Ví d ụ 1 : Tìm hai hàm f(x) và g(x) sao cho: 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 11 (1) 1 1 2 2 10 1 ( 0 ) (2) 2 xf x g x x x x x f xg x vaø x x x x Hướng dẫn giải Đ ặt t = x + 1 x = t – 1 và do đó (1) tr ở thành: ( 1) ( ) ( ) 2( 1) 11t f t g t t t 2 ( 1) ( ) ( ) 2 2 11 (3)t f t g t t t L ại đặt 1 1 t x x t do đó (2) tr ở thành: 2 2 2 2 10 2 1 2 10 ( ) ( ) (2 ) ( ) ( ) 2 2 10 1 t t f t g t t tf t g t t t t t t t (4) C ộng (3) và(4) theo từng vế ta được: 2 (2 1) ( ) (2 1)t f t t Suy ra f(t) = 2t – 1 v ới 2t – 1 1 0 2 t . V ậy f(x) = 2x – 1 1 2 x Mặt khác thay f(t) = 2t – 1 vào (4) ta được: 2 2 2 (2 1) ( ) 2 2 10 2 2 2 10 ( ) 10 ( )t t g t t t t t t t g t t g t V ậy g(x) = x + 10 Bài t ập: Tìm các hàm f(x) và g(x), bi ết: 1 ( 6) 2 (2 15) ( 2) (1) 2 , 2 ( 5) 4 (2) 2 f x g x x a x f g x x Hư ớng dẫn giải Đ ặt u = x + 6 x = u – 6 Thay x = u – 6 vào (1) ta có : 4 ( ) 2 (2 3) (3) 2 u f u g u Đ ặt 2 2 2 2 x t x t Thay x = 2t – 2 vào (2) , ta có: f(t) + g(2t+3) = 2t + 2 (4) Đổi u và t thành x, ta có: Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 5 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân 4 ( ) 2 (2 3) (3) 2 ( ) (2 3) 2 2 x f x g x f x g x x Gi ải hệ ta đ ược 7 12 ( ) 2 x f x và 3 8 (2 3) 2 x g x Đ ặt y = 2x + 3 3 2 y x Thay vào bi ểu thức của g ta được: 3 7 3 7 ( ) ( ) 4 4 y x g y g x Tóm l ại ta đã tìm được f(x) và g(x) như sau: 7 12 ( ) 4 3 7 ( ) 4 x f x x g x b) (2 1) (1 ) 1 1 2 3 1 2 2 f x g x x x f g x x Đ ặt u = 2x – 1 1 2 u x 1 – x = 1 1 1 2 2 u u 1 3 1 3 ( ) ( ) (1) 2 2 2 2 u u x x f u g f x g Đ ặt 1 1 ( ) 2 3 ( ) 2 3 (2) 1 1 2 2 x v v x v x f v g f x g x v T ừ (1),(2) 1 3 ( ) (3) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 3 (4) 2 x x f x g f x x x f x g Thay vào (1) ta có : 1 3 3 2 2 2 x x x g x Đ ặt t = 1 3 1 2 ; 1 2 2 x x x t t ( ) 1 ( ) 1g t t g x x Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 6 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân Bài 3 Tìm ( xác định) h/số f(x) thỏa: ( ) ( ). ( ) 2002 x y f x y f x f y v ới mọi x, y R (*) Hư ớng dẫn giải Thay x = 0 , y= 0 vào (*) ta có : 2 0 (0) (0) 2002 1 (1)f f V ới 2 (0) (0) 0 (0 ) 1f f f (2) Từ (1), (2) (0) 1f Thay y = – x vào (*) 0 (0) ( ). ( ) 2002 1f f x f x ( ) . ( ) 1 (3)f x f x L ại cho y = 0 ( ) ( ) 2002 (4) x f x f x ( ) 2002 (5) x f x Ta có (3) 1 1 ( ) 2002 (6) ( ) 2002 x x f x f x theo (5) T ừ (4) v à (6) ta suy ra : ( ) 2002 x f x . Đ ảo lại xem h/số ( ) 2002 x f x Ta nh ận thấy f(x) thỏa yêu cầu của bài toán. V ậy ( ) 2002 x f x BÀI T ẬP NÂNG CAO Bài 1: Tìm hàm s ố y = f(x) biết rằng: f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 ,x y R Hư ớng dẫn giải Xét pt : f(x.y) + f(x – y) + f(x + y + 1) = x.y + 2x +1 (1) T ừ (1) cho y = – 1 , y = 0 ta đư ợc: ( ) ( 1) ( ) 2 1 1f x f x f x x x x (2) (0) ( ) ( 1) 2 1f f x f x x (3) T ừ (2), (3) ( ) (0)f x f x Đ ặt t = – x ( ) (0) ( ) (0) 0f t f t f t t f Đ ặt g(t) = f(t) – t ta có g(t) = f(0) – 0 = g(0) t Đ ể tính g(0) ta viết (1) dưới dạng ( . ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) 0f x y xy f x y x y f x y x y ( . ) ( ) ( 1) 0g x y g x y g x y L ấy x = y = 0 2 (0) (1) 0g g Do g(t) = g(0) t Do đó : ( ) 0 ( )f t t t f x x x Bài 2: Cho hàm f(x) v ới biến số thực x, không đồng nhất 0 thỏa pt: f(x).f(y) = f(x – y) , (*)x y Tìm f(x) Hư ớng dẫn giải Cho x = a v ới ( ) 0f a ta có : (*) ( ) ( ) ( ) (1)f a f y f a y a t ồn tại vì f(x) không đồng nhất 0 Thay y = 0 ta có : (1) ( ). (0) ( ) (0) 1f a f f a f Thay y = x t ừ (*) 2 ( ) (0) 1f x f (2) Thay y = 2 x t ừ (*) ( ). ( ) 1 . 0 2 2 2 x x x f x f f f x f (3) Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 7 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân T ừ (2) và (3) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0 2 f x f x f x x f V ậy f(x) = 1 x Bài 3: Tìm hàm s ố f(x) nếu: ( ) ( ) 2 ( )cos , (1) (0) 1 2 f x y f x y f x y x y f f Hư ớng dẫn giải Trong (1) cho x = 0 , y = t ta có: ( ) ( ) 2cos (2)f t f t t Trong (1) cho x = , 2 2 t y ta có: ( ) ( ) 0f t f t (3) Trong (1) cho , 2 2 x y t ta có: ( ) ( ) 2sinf t f t t (4) C ộng (2) với (3) ta đ ược: ( ) 2 ( ) ( ) 2cosf t f t f t t (5) L ấy (5) trừ (4) ta được : 2 ( ) 2(cos sin ) ( ) cos sinf t t t f t t t (6) Rõ ràng (6) th ỏa m ãn (1) và (0) 1 2 f f V ậy h àm cần tìm là: ( ) cos sinf x x x Bài 4: Cho hàm s ố f(x) liên tục trên R thỏa điều kiện ( ) (2 )f x f x x R . Tìm hàm s ố f(x) Hư ớng dẫn giải Theo đ ề bài suy ra: 2 ( ) 2 2 2 n x x x f x f f f Khi n thì 0 2 n x Mà f(x) là hàm liên t ục nê n (0) 2 n x f f khi n T ức là : lim ( ) lim (0) 2 n n n x f x f f x R . Đi ều đó chứng tỏ f(x) không đổi với mọi x hay f(x) = c = hằng số Th ử lại ta đ ược f(x) = c thỏa điều kiện đề bài Bài 5: Tìm hàm f(x) bi ết 2 1 8 8 3 ( ) (1) 1 x f x f x x Hư ớng dẫn giải Đ ặt 2 2 2 2 8 8 1 1 8(1 ) 8(1 ) ( 0) 1 (1 ) 1 1 u u u u u u x x x u u u u u 2 1 8(1 ) 3 ( ) ( 0) 1 u u f f u u u u Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 8 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân Hay 2 1 8(1 ) 3 ( ) (2) 0 1 x x f f x x x x Như th ế f(x) và 1 f x là nghi ệm của hệ: 2 2 1 8 8 3 ( ) (1) 1 0 1 8( 1) ( ) 3 (2) 1 x f x f x x x x x f x f x x Gi ải hệ (1) v à (2) bằng cách khử 1 f x ta đư ợc 2 ( 1)( 3) ( ) 0 1 x x f x x x Bài 6: Cho hàm s ố f(x) xác định trên R và bị chặn trong ( ; )a a v ới a là số dương cho trước và th ỏa điều kiện: 1 ( ) (1) 2 2 x f x f x x R Hãy tìm hàm s ố f(x) Hư ớng dẫn giải T ừ (1) suy ra: f(x) 1 2 2 x f x 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 x x x f f 2 2 3 3 4 1 1 2 2 2 2 2 x x x f f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 n n n n n x x x f f C ộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được: 1 1 2 2 1 1 1 ( ) 1 (2) 2 2 2 2 n n n x f x f x V ới bất kỳ x nào, ta ch ỉ cần chọn n đủ lớn , ta sẽ có: 1 2 n x a a Mặt khác vì f(x) bị chặn trong khoảng ( ; )a a nên tồn tại số c sao cho 1 2 n x f c x Từ (2) ta cho n thì ta được : 1 4 ( ) . 1 3 1 4 f x x x V ậy 4 ( ) 3 f x x . Th ử lại thấy hàm số này thỏa yêu cầu đề bài. Bài 7: Tìm các hàm s ố f xác định và đồng biến trên R thỏa hệ thức sau: 1 ( ) 2 4 1 4 f f y x x y v ới mọi ,x y (1) Hư ớng dẫn giải Thay 1 4 x y vào (1) ta có : 1 1 ( ) 1 4 2 f f y y (2) Thay x = y =0 1 (0) 1 4 f f (3) Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 9 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân T ừ (2) và (3) 1 1 1 ( ) (0) 4 2 4 f f y y f f (4) Do f đ ồng biến trên R nên 1 1 1 (4) ( ) (0) 4 2 4 f y y f y R Do đó ( ) 2 (0) (5)f y y f y R Thay x = 1 ( ) 8 f y vào (1) ta đư ợc: f(0) = 1 2 2 ( ) ( ) 1 (0) (6) 2 2 y f y f y y f T ừ (5) f(0) = f(y) – 2y (7) T ừ (6) , (7) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 3 y f y f y y f y y Th ử lại thấy f(x) = 2x + 2 3 th ỏa yêu cầu đề ra Bài 8: Tìm hàm s ố y = f(x) thỏa điều kiện 1 2 ( ). '( ) ( ) (0) 1 x f x f x x f x f Gi ải T ừ 1 2 ( ). '( ) ( ) x f x f x x f x 2 ( ) . ' 1 2f x f x x Ta có , 3 2 ( ) 3 ( ) . '( )f x f x f x V ậy : , 3 3 2 ( ) 3 6 ( ) 3 3f x x f x x x c ( C là h ằng số ) 3 2 3 ( ) 3 3 (0) 0 0 1 1 f x x x c Do f c c V ậy 3 2 ( ) 3 3 1f x x x Bài 9: Hãy tìm hàm s ố y = f(x) biết rằng 2 3 " ' 3 . '( ) . ( ) 1 0 (1) (1) 1 ( 2) 1 x f x x f x x f f Gi ải ' 3 3 1 1 2 3 (1) . '( ) 1 . ' ( ) 1 '( ) x f x x f x x c c f x x x Do f’(1) = 1 1 1 1 1 2 1 1 c c 2 2 3 2 2 2 1 2 1 1 '( ) ( ) 1 1 1 ( 2) 1 1 2 4 4 f x f x c x x x x Do f c c Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 10 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân V ậy 2 1 1 1 ( ) 4 f x x x Bài 10: Cho P(x) là m ột đa thức bậc n thỏa mản điều P(x) 0 x CMR: P(x) + P’(x) + P”(x) + . . . + P (n) (x) 0 x Gi ải Do P(x) 0 x v ậy nếu gọi P(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a o thì n là s ố chẵn v à a n > 0 Xét hàm s ố : F(x) = P(x) + P’(x) + P”(x) + . . . + P (n) (x) Khi đó F(x) c ũng là một đa thức bấc n, v ới hệ số của x n c ũng chính là a n Do F(x) là hàm liên t ục và a n > 0 n ch ẵn, nên F(x) phải đạt giá trị bé nhất Gi ả sử minF (x) = F(x o ) khi đó ta có F’(x o ) = 0 Do P (n + 1) (x) 0 F’(x) = P’(x) + P”(x) + . . . + P (n) (x) F’(x) = F(x) – P(x) Như v ậy từ F’(x o ) = 0 F(x o ) = P(x o ) Do P(x) 0 x F(x o ) = P(x o ) 0 Hi ển nhi ên ta có F(x) F(x o ) x F(x) 0 x đfcm Đ Ề HỌC SINH GIỎI CÁC NĂM TRƯỚC Đ ề 1 : ( 2008) Cho hàm s ố f : R R th ỏa mãn 3 tính chất sau: 1. f(1) = 1 2. f( x + y ) – f(x) – f(y) = 2xy 3. f( 1 x ) = 4 ( ) 0 f x x x Tính 2008f Gi ải T ừ tính chất 2 cho x = 0 f(y) – f(0) – f(y) = 0 f(0) = 0 (1) Đ ặt x = y = 2 t ta đư ợc : f(t) – 2f( 2 t ) = 2 2 t t (2) Tương t ự đặt x = y = 1 t ( 0t ) ta đư ợc : 2 2 1 2 2f f t t t Theo tính ch ất 3 ta suy ra 4 4 2 2 1 2 2 2 2 t t f f f f t t t t 4 2 2 1 2 2 2 t f f t t t 4 4 2 4 2 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 t f f t f t Thay f t t t t t 2 2 4 4 4 16 2 2 ( ) 2 8 0 (3) 2 t f f t t t f f t t t t t t [...].. .Phương trình hàm ~ 11 ~ Tài liệu bồi dưỡng HSG t t2 f (t ) 2 f ( ) 2 2 Từ (2) và (3) ta có hệ 8 f ( t ) f (t ) t 2 2 2 2 3 f (t ) 3t f (t ) t t Thử lại hàm số nầy thỏa mãn cả ba tính chất Vậy f t 2 8 f ( 2 ) 4 f (t ) 2t 8 f ( t ) f (t ) t 2 2 2008 2008 Đề 2: Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 + px + . Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 4 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân C. H Ệ PHƯƠNG TRÌNH D ạng : Tìm hai hàm f(x) và g(x) bi ết: af ( ) ( ). P(x o ) 0 Hi ển nhi ên ta có F(x) F(x o ) x F(x) 0 x đfcm Đ Ề HỌC SINH GIỎI CÁC NĂM TRƯỚC Đ ề 1 : ( 2008) Cho hàm s ố f : R R th ỏa mãn 3 tính chất sau: 1. f(1) = 1 2. f( x + y ) –. 2 x f x x neáu x vaø x x Tài li ệu bồi d ưỡng HSG Phương tr ình hàm ~ 3 ~ “Hãy c ố gắng bằng tất cả những gì có thê” Nguy ễn Xuân Quân Ví d ụ 3: Tìm hàm s ố : 0;1f th ỏa mãn: 1 1 ,